کانیک ��ند�ی دا�ه �

نگارنده: مهدي تيماجي

مدرس: دكتر عظيمي

دینا�یک �یاالت �حا�با�ی

�عاد � �وج ��ت�ه اول :�وژه اول

چكيده:

با استفاده از چهار روش اولر هدف از انجام اين پروژه حل معادله ي موج مرتبه اول

0Fصريح

1F، لكس-فردريك1

2F، لكس-وندروف2

3F و اولر ضمني3

مي باشد. نمودارهاي مربوط به حل اين معادله 4

ثانيه رسم شده و همچنين تاثير گام زماني و 10 ثانيه و 5 ثانيه، 2 ثانيه، 1براي چهار زمان مختلف

مكاني بر روي جوابها بررسي شده است.

1 Euler Explicit Method 2 Lax Method 3 Lax-Wendroff Method 4 Euler Implicit Method

روش اولر صريح:

مي باشد. خطاي برشي اين روش از مرتبه ي

معادله ي بدست آمده از معيار پايداري فون-نيومن براي اين روش به صورت زير است:

بنابراين داريم:

مي باشد. پايدار بوده كه در آن پس اين روش به ازاي

4Fزاويه ي فاز

بدست مي آيد: اين روش بصورت زير مي باشد كه از فرض 5

5 Phase Angel

: نمودار ضريب بزرگنمايي براي معادله ي گسسته شده ي اولر صريح1شكل

به دست آوريم:در صورتي كه زاويه ي فاز حل دقيق را نيز با فرض

در نتيجه:

5Fخطاي تغيير فاز نسبي

پس از يك گام زماني بصورت زير بدست مي آيد:6

6 Relative shift phase error

رسم شده است. )2در شكل ( νكه به ازاي چند

مختلفν: نمودار خطاي فاز نسبي به ازاي چند 2شكل

كوچك) معادله به صورت زير ساده مي شود: βبه ازاي عدد موج كوچك (يعني

در نظر گرفته شده از يك بزرگتر باشد، سرعت موج مربوط به βاگر خطاي نسبي فاز به ازاي يك جمله ي سري فوريه ي حل عددي بزرگتر از حل دقيق مي باشدكه باعث خطاي پيش فاز مد گردد و در

صورتي كه اين نسبت كوچكتر از يك باشد، باعث خطاي پس فاز مي شود.

باعث خطاي تغيير فاز نسبي نشان مي دهد كه به ازاي معادله ي بدست آمده مربوط به باعث خطاي پس فاز مي گردد.خطاي پيش فاز و به ازاي

معادله ي اصالح شده ي اين روش به صورت زير مي باشد:

كه نشان مي دهد خطاي اين روش از نوع پخش است.

روش لكس-فردريك:

مي باشد.خطاي برشي اين روش از مرتبه ي

معادله ي بدست آمده از معيار پايداري فون-نيومن براي اين روش به صورت زير است

مي باشد.اين روش به ازاي پايدار

معادله ي خطاي تغيير فاز نسبي به صورت زير مي باشد:

كه نشان مي دهد خطاي پيش فاز توليد مي شود.

معادله ي اصالح شده ي اين روش به صورت زير مي باشد:

كه نشان مي دهد خطاي اين روش نيز از نوع پخش است.

روش لكس-وندروف:

مي باشد.خطاي برشي اين روش از مرتبه ي

معادله ي بدست آمده از معيار پايداري فون-نيومن براي اين روش به صورت زير است

مي باشد.اين روش به ازاي پايدار

معادله ي خطاي تغيير فاز نسبي به صورت زير مي باشد:

خطاي پس فاز توليد مي شود.كه نشان مي دهد بجز به ازاي اعداد موج بزرگ، در

خطاي فاز نسبي(b) ضريب بزرگنمايي. (a): روش لكس-وندروف. 3شكل

معادله ي اصالح شده ي اين روش به صورت زير مي باشد:

كه نشان مي دهد خطاي اين روش نيز از نوع پراكندگي است.

روش اولر ضمني:

مي باشد.خطاي برشي اين روش از مرتبه ي

در اين روش دستگاه معادالت سه قطري زير بدست مي آيد:

بصورت زير تعريف مي شوند: CMو C1كه در آن

معادله ي بدست آمده از معيار پايداري فون-نيومن براي اين روش به صورت زير است:

كه نشان مي دهد اين روش هميشه پايدار است.

معادله ي خطاي تغيير فاز نسبي به صورت زير مي باشد:

كه نشان مي دهد حل اولر ضمني براي اعداد موج متوسط داراي پراكندگي زيادي است و همچنين خطاي پس فاز بزرگي براي اعداد موج بزرگ دارد.

خطاي فاز نسبي(b) ضريب بزرگنمايي. (a): روش اولر ضمني. 4شكل

معادله ي اصالح شده ي اين روش به صورت زير مي باشد:

كه شرط جابجايي را ارضا نمي كند.

Δt=0.01 و t=1s ،Δx=1 در لحظه ي u(x,t): نمودار 5شكل

Δt=0.01 و t=2s ،Δx=1 در لحظه ي u(x,t): نمودار 6شكل

Δt=0.01 و t=5s ،Δx=1 در لحظه ي u(x,t): نمودار 7شكل

Δt=0.01 و t=10s ،Δx=1 در لحظه ي u(x,t): نمودار 8شكل

لكس-فردريك كه نشان مي دهد خطاي اين روش از و FTBSبا توجه به معادله ي اصالح شده ي روش مطابقت دارد و همچنين خطاي روش 8 تا 5 مي باشد، كه با نمودارهاي (Dissipation)نوع اتالف

بوده كه با نمودار آن مطابقت دارد.(Dispersion)لكس-وندروف از نوع پراكندگي

با توجه به اينكه روش لكس-فردريك داراي خطاي اتالفي زيادي مي باشد، نمودار اين روش با سرعت زيادي به صفر ميل مي كند:

: FTBSضريب خطاي روش

ضريب خطاي روش لكس-فردريك:

همانطور كه ضرايب خطا نيز نشان مي دهد، خطاي اتالفي روش لكس-فردريك بسيار زياد مي باشد.

FTBS در جواب روش صريح ν: مقايسه تأثير 9شكل

لكس-فردريك در جواب روش صريح ν: مقايسه تأثير 10شكل

لكس-وندروف در جواب روش صريح ν: مقايسه تأثير 11شكل

لكس-فردريك در جواب روش صريح ی زمانی و مکانیبازه: تأثير 12شكل

به يك نزديكتر است، خطاي روش كمتر ν، نشان مي دهد كه هر چه مقدار 11 تا 9نمودارهاي مساوي يك νهاي مختلف هنگامي كه Δt و Δx نيزنشان مي دهد كه به ازاي 12مي شود. شكل

مي شود، همه ي نمودارها بر روي هم منطبق مي شوند كه دليل آن صفر شدن خطاي اين روش ها مي باشد.

MATLAB با استفاده از t=1s در زمان u(x,t): نمودار 13شكل

نيز از نوع پراكندگي مي باشد. اين تابع براساس انتگرال گيري زماني با استفاده از pdepeخطاي تابع مي باشد.ODE solverيك

باشدν<1 هنگامي كه FTBSجواب روش صريح : 14شكل

باشدν<1هنگامي كه لكس-فردريكجواب روش صريح : 15شكل

باشدν<1لكس-وندروف هنگامي كه جواب روش صريح : 16شكل

باشدν=1لكس-فردريك و لكس-وندروف هنگامي كه ،FTBS جواب روش صريح: 17شكل

باشدν>1 هنگامي كه FTBS روش صريح : واگرايي18شكل

باشدν>1لكس-فردريك هنگامي كه روش صريح : واگرايي19شكل

باشدν>1لكس-وندروف هنگامي كه روش صريح : واگرايي20شكل

هاي مختلف نشان مي دهد. همانطور ν همگرايي و واگرايي روش هاي صريح را براساس 20 تا 14نمودارهاي هاي بزرگتر از يك واگرا مي باشند νكه از بحث همگرايي فون نيومن نيز بدست آمد، اين سه روش براي

).17 تا 14هاي كمتر از يك اين روشها همگرا مي باشند (شكلهاي ν)، و به ازاي 20 تا 18(شكلهاي

مراجع:

[1]: Tannehill, Anderson, and Pletcher, Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, 2nd edition, Taylor & Francis Pub.

[2]: Hoffmann, Klaus A, Computational Fluid Dynamics, 4th edition, Vol 1.