cfd2 sph 20170406 · tóth balázs -bme-Émk, vízépítési és vízgazdálkodási tanszék...
TRANSCRIPT
SimítottrészecskedinamikaSmoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
ÁramlásoknumerikusmodellezéseII.
TóthBalázsBME-ÉMK
VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék2017.04.19.
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Numerikusmódszerek
- 2 - 2017.04.19.
Anumerikussémákkétcsoportosításiszempontja
Euleri Lagrange-i
Hálóalapú Részecskealapú
Osztályozás
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Részecskealapúmódszerek
2017.04.19.- 3 -
Anumerikusmodellezésttöbbmint50évigahálóalapúmódszerekjelentették.Bárarészecskealapúsémák ötletenemúj,amódszereklényegifeljődéseazelmúlt20-25évretehető.
Motiváció:• topológiaváltozássaljárójelenségek(pl.törések,szabadfelszínűáramlások)• peremfeltételnélküliproblémák(pl.csillagközigázok,galaxisok)• diszperzközegek,molekuladinamika• kapcsoltszámítások• anyagipályákkövetéseáramlásokban• hálógenerálás(ésújragenerálás)nehézségei
Áttekintés
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Részecskealapúmódszerek
2017.04.19.- 4 -
Csoportosítás
Diszkrétközeg Kontinuumközegegyrészecske =egyatom,molekula,szemcse
egyrészecske=aközegegyelemirésze
azelemekközöttiinterakcióközvetlenmodellezése
a részecskékközöttiinterakciókataközegetleíró,lokálisanértelmezettPDE-ekmegoldásavezérli
DEM,MD, ... SPH, EFG,RKPM,...
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Definíciók
2017.04.19.- 5 -
Definíció:egységfelosztása(Partition ofunity)
A𝑑𝑜𝑡𝑡𝛺 ⊂ ℝ((𝑑 = 1,2,3) egy nyílt tartomány. Legyenek 𝛺0, 𝛺1, …𝛺3 ⊂ ℝ( nyílt résztartományok úgy, hogy
1. 𝛺 ⊂5𝛺6
3
670
,
2. Léteznek 𝜙6 ∈ 𝐶; ℝ( , (𝑘 > 0) függvények, melyekre igaz, hogy 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝜙6 ⊂ 𝛺6,3. 0 ≤ 𝜙6 𝑥 ≤ 1, ∀𝑥 ∈ 𝛺6,
4.F𝜙6 𝑥3
670
= 1, ∀𝑥 ∈ 𝛺
Ekkor a {𝜙0, 𝜙1, …𝜙3} függvények reprezentálják az egység felosztását az 𝛺tartományon.
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Definíciók
2017.04.19.- 6 -
Egységfelosztása(partition ofunity)
∑ 𝜙6 𝑥 = 1�6
𝜙0 𝑥 𝜙1 𝑥 𝜙K 𝑥 𝜙L 𝑥 𝜙M 𝑥 𝜙N 𝑥
Ω
𝜙6 𝑥 :simítófüggvények
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Részecskealapúmódszerek
2017.04.19.- 7 -
Simítófüggvényektulajdonságai
• 𝜙 ∈ 𝐶; ℝ( ,
• 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝜙(𝑥 − 𝑥Q) ⊂ 𝐵S,
• 𝐵S = 𝑥 𝑥 − 𝑥Q < 𝜎, 𝑥 ∈ ℝ( , 𝑣𝑎𝑔𝑦𝑖𝑠 egy 𝜎 sugarú 𝑥Q középpontú gömb,
• 𝜙 𝑥 > 0, ha 𝑥 < 𝜎
• ∫ 𝜙 𝑥 𝑑Ω = 1�\]
• Analitikus függvények, pl: polinomok, spline-görbék, exponenciális függvények
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 8 -
Konvolúció (azinterpolációáltalánosítása)
𝐴 𝑟 = `𝐴 𝑟′ 𝛿(𝑟 − 𝑟′)
c
𝑑𝑟′
Kétprobléma:1. 𝛿 x − xe numerikusannemkezelhető,2. azintegráláscsakanalitikusfüggvényekesetébenvégezhetőel.
𝐴:tetszőleges függvény𝛿:Dirac-delta
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 9 -
1.Probléma
Anumerikusannemkezelhető𝛿 𝑥 − 𝑥e függvénytlecseréljükamárismertsimítófüggvényre:
𝐴 𝑟 ≈ `𝐴 𝑟′ 𝜙(𝑟 − 𝑟′)
c
𝑑𝑟′ Ez már csak közelítés!
2.ProblémaKépezzükakontinuumkonvolúció egydiszkrétreprezentációját:
𝐴 𝑟6 =F𝐴 𝑟g 𝜙 𝑟6 − 𝑟g𝑚g𝜌g
�
g
𝑚g:j.anyagi ponthoz rendelt tömeg𝜌g:j.anyagi ponthoz rendelt sűrűség
Diszkrét konvolúció
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 10 -
Deriváltakközelítése
𝛻𝐴 𝑟 = ` 𝛻𝐴 𝑟e 𝜙 𝑟 − 𝑟e
k
𝑑𝑟e =
= `𝛻 𝐴 𝑟e 𝜙 𝑟 − 𝑟e
k
𝑑𝑟e − `𝐴 𝑟e 𝛻𝜙 𝑟 − 𝑟e
k
𝑑𝑟e =
= `𝜙 𝑟 − 𝑟e 𝐴 𝑟e
l
𝑑𝑆 − `𝐴 𝑟e 𝛻𝜙 𝑟 − 𝑟e
k
𝑑𝑟e = − `𝐴 𝑟e 𝛻𝜙 𝑟 − 𝑟e
k
𝑑𝑟e
= 0,mert 𝜙 𝜎 = 0
Tehátbármelyfüggvényderiváltjavisszavezethetőasimítófüggvényderiváltjávalvettkonvolúcióra.
𝛻𝐴 𝑟6 =F𝐴 𝑟g 𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g𝑚g𝜌g
�
gDiszkrétalakban:
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 11 -
Konzisztencia
Adott egy 𝑃𝑢 = 𝑓 alakú PDE, és egy 𝑃pq𝑣 = 𝑓 numerikus séma. A sémát 𝑛-ed rendig konzisztensnek nevezzük, ha tetszőleges, sima 𝐴 függvény esetén:
limpq→Q
𝑃𝐴 − 𝑃pq𝐴 = 0.
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 12 -
Konzisztencia
VizsgáljukmegakapottelsőrendűSPHdifferenciál-operátornulladrendűkonzisztenciájátegy𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. függvénysegítségével!
𝜕y𝐴 z6− 𝜕y𝐴6 = 0 −F𝐴g𝜕y𝜙 𝑟6 − 𝑟g
𝑚g𝜌g
�
g
≠ 0
Csakakkorteljesülanulladrendű konzisztencia,haamintavételipontokeloszlásaegyenletes.EzazSPHesetébennemelvárható!Akonzisztenciarendjénekjavításáraszámosmódszerlétezik.Alkalmazzukazadiszkrétkonvolúciót azalábbiazonosságra:
𝛻𝐴 =1𝜌; 𝛻𝜌
;𝐴 −𝐴𝜌; 𝛻𝜌
;.
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 13 -
Elsőrendűdifferenciáloperátor
Akapottoperátor:
𝛻𝐴6 =1𝜌6F 𝐴g − 𝐴6 𝑚g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g ,�
g
Melyet magasabbrendűkonzisztenciájamiatthasználnak.Ezenkívülsokegyéboperátorislétezik,melyekkülönbözőtulajdonságokkalrendelkeznek.Amegfelelőoperátorkiválasztásátamegoldandódifferenciálegyenletalakjahatározzameg.Ezanalógavégeselemmódszeresetébenmegszokott„elemtípussal”.
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 14 -
Másodrendűdifferenciáloperátor
Hasonlómegfontolásokkalamásodikderivált:
Δ𝐴6 =F2 𝐴g − 𝐴6𝑟6g𝑟6g
1𝑚g𝜌g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g ,
�
g
Fontos:itt asimítófüggvénynek csak az elsőrendű deriváltja szerepel!
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 15 -
Folyadékokmodellezése
Kontinuitásiegyenletlagrange-ivonatkoztatásirendszerben:𝜕𝜌𝜕𝑡 + 𝛻𝜌𝑣 =
𝜕𝜌𝜕𝑡 + 𝑣𝛻𝜌 + 𝜌𝛻𝑣,
𝑑𝜌𝑑𝑡 = −𝜌𝛻𝑣
MelynekSPH-diszkretizált alakja:
𝑑𝜌𝑑𝑡 z6
=F 𝑣g − 𝑣6 𝑚g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g .�
g
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 16 -
Folyadékokmodellezése
Euler-egyenletlagrange-ivonatkoztatásirendszerben:𝜕𝑣𝜕𝑡 + 𝑣𝛻𝑣 =
𝑑𝑣𝑑𝑡 = −
1𝜌𝛻𝑝 + 𝑔
MelynekSPH-diszkretizált alakja:
𝑑𝑣𝑑𝑡 z6
=F𝑝6𝜌61+𝑝g𝜌g1
𝑚g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g + 𝑔,�
g
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 17 -
Folyadékokmodellezése
Mivelanyomás- éssebességmező közöttkinematikaikényszertmostnemírunkfel,anyomásszámításáraállapotegyenletetalkalmazunk:
𝑝6 = 𝑐1 𝜌6 − 𝜌Q ,
Ahol𝑐 aközeghangsebessége,𝜌Q pedigareferenciasűrűség. Azállapotegyenletsegítségévelaközegkompresszibilitásakontrollálható,vízesetébenaz1%-ossűrűségingadozásadműszakiszempontbólelfogadhatóeredményt.
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 18 -
Folyadékokmodellezése
Peremfeltételek:
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 19 -
Folyadékokmodellezése
Peremfeltételek:- Térbenrögzítettfolyadékrészecskék,𝑢 ≔ 0
- Sokfalirészecske- Egyszerűimplementáció- Nemtriviálisno-slip- Matematikailagkorrekt
- Falipotenciál(Kelvin-Voigt model)- Egyszerűimplementáció- Kisszámításiigény- Matematikailaginkorrekt- Tetszőlegesgeometria 𝐭𝑅1(𝐮, 𝑦)
𝐧𝑅0(𝐮, 𝑦)
𝐮
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 20 -
Folyadékokmodellezése
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
y[m
]
u[m/s]
Sebességeloszlás
Analitikussebességeloszlás:
𝑢 𝑦 =12𝜇𝜕𝑝𝜕𝑥 𝑦(ℎ − 𝑦)
𝜕𝑝𝜕𝑥 = 0.1𝜌𝑔
Laminárisáramlássíklapokközött
𝑢1𝑚
𝑦
𝑥
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 21 -
Folyadékokmodellezése
Egyikoldaláltalgerjesztettáramlásnégyzetkeresztmetszetűüregben
𝑢 = 1𝑚𝑠
1𝑚
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-0,4 0,1 0,6
y[m
]
u[m/s]
Vízszintessebesség
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
-0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5
v[m
/s]
x[m]
Függőlegessebesség
𝑅𝑒 = 500
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 22 -
Folyadékokmodellezése
Azegyenletekmegoldásanumerikusintegrálással,egyarraalkalmassémával,példáulmásodrendűRunge-Kutta (RK2)módszerrelkaphatómeg:
𝐴±²01 = 𝐴± +
Δ𝑡2𝑑𝐴𝑑𝑡 z
±
𝐴±²0 = 𝐴± + Δ𝑡𝑑𝐴𝑑𝑡 z
±²01
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 23 -
Numerikusstabilitás
Amegoldásnumerikusstabilitásához:- Adaptív időlépés(CFL)
Δ𝑡 = 0.2min𝜎
max6𝑎6
� ,𝜎𝑐
- Fizikaidisszipációhiányábanmesterségesdiffúzió(pl.akontinuitási ésmozgásegyenletben):𝑑𝜌𝑑𝑡 z6
=F 𝑣g − 𝑣6 𝑚g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g + 0.2𝑐𝜎F 𝜌g − 𝜌6
�
g
𝑟6g𝑟6g
1 𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟6𝑚g𝜌g
�
g𝑑𝑣𝑑𝑡 z6
=F𝑝6𝜌61+𝑝g𝜌g1
𝑚g𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟g + 0.01𝑐𝜎F 𝑣g − 𝑣6
�
g
𝑟6g𝑟6g
1 𝛻𝜙 𝑟6 − 𝑟6𝑚g𝜌g,
�
g
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék
Simítottrészecskedinamika
2017.04.19.- 24 -
Összefoglalás
Alkalmazásiterületek:- Asztrofizika- Törések,szabadfelszínűáralmások,robbanásokmodellezése- Többfázisúáramlásokmonolitikusmodellezése- Kapcsolt feladatok- Nyomkövetés áramlásokban
Tulajdonságok:- Teljesen hálómentes- Lagrange-i- Explicit ésimplicitmodellek(implict:pressure-velocity coupling)- Átfedő diszkretizáció,változókonfiguráció- A végesdifferenciamódszerénekegyfajtaáltalánosítása
TóthBalázs- BME-ÉMK,VízépítésiésVízgazdálkodásiTanszék - 25 -
Köszönömafigyelmet!
2017.04.19.