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Nelson Pantoja

CFF - Universidad de Los Andes 1

Mundos-brana. . . sobre paredes de dominio.

Nelson R. Pantoja

Centro de Fısica Fundamental

Universidad de Los Andes

Merida - Venezuela

Diciembre, 2004

Nelson Pantoja

Resumen

Una revision sobre las realizaciones del escenario Randall-Sundrum

sobre paredes de dominio.

1. O. Castillo-Felisola, A. Melfo, N. Pantoja and A. Ramirez

Localizing gravity on exotic thick 3-branes.

Physical Review D70 (2004) 104029; arXiv:hep-th/0404083.

2. N. Pantoja and A. Sanoja

Symmetries of distributional domain wall geometries.

Jourmal of Mathematical Physics (por aparecer); arXiv:gr-qc/0312032.

3. A. Melfo, N. Pantoja and A. Skirzewski

Thick domain wall spacetimes with and without reflection

symmetry.

Physical Review D67 (2003) 105003; arXiv:gr-qc/0211081.

4. R. Guerrero, A. Melfo y N. Pantoja

Self-gravitating domain walls and the thin-wall limit.

Physical Review D65 (2002) 125010; arXiv:gr-qc/0202011.


Nelson Pantoja

I. Dimensiones adicionales

Una nueva vieja idea: los campos del Modelo Estandar localizados sobre undefecto topologico...

1. Wall-worlds

• Regge & Teitelboim (1975)

• Akama (1982)

• Rubakov & Shaposhnikov (1983)


Nelson Pantoja

2. Escenario Arkani-Hamed-Dimopoulos-Dvalidimensiones adicionales compactas

• Arkani-Hamed, Dimopoulos & Dvali (1998)

• Antoniadis, Arkani-Hamed, Dimopoulos & Dvali (1998)

3. Escenario Randall-Sundrum (1)dimension adicional compacta en una geometrıa no-factorizable

• Randall & Sundrum (mayo 1999)

el tamano de las dimensiones adicionales se ajusta para igualar las escalaselectrodebil y gravitacional en el espacio de mayor dimensionalidad,

resolviendo el problema de la jerarquıas


Nelson Pantoja

II. El escenario Randall-Sundrum (2)

Randall & Sundrum (junio 1999): dimension adicional no-compacta

la gravedad en dimensiones altas puede lucir desde el punto de vista de unobservador localizado sobre una 3-brana similar a la gravitacion

4-dimensional ordinaria

1. La geometrıa

• (∼ R5, gab)

gab = e2A(ξ)(−dtadtb + dxi

adxib

)+ dξadξb, A(ξ) = −β|ξ| (1)

Gab + Λgab = 6β δ(ξ)(dtadtb − dxi

adxib

)(2)

Λ = −6β2 ⇔ AdS5 ∀ξ 6= 0 (3)

• Brana = {hipersuperficie tipo tiempo ξ = 0 (co-dimension uno) quesepara R4 × R+ y R4 × R−} ≡ {el volumen de mundo de la 3 -brana}


Nelson Pantoja

2. Localizacion de gravedad

Perturbaciones δgab = hab

• calibre axial haξ = 0

• en el sector TT ∂µhµν = 0 = hµµ

• en la coordenada conformal z ≡ sgn(ξ)(eβ|ξ| − 1

)/β

arrojan (−1

2∂2

z + VQM (z))ψ(z) = m2ψ(z), (4)

VQM (z) =15β2

8(1 + β|z|)2− 3

2βδ(z) (5)

donde hµν = eip·xΦ(z), Φ(z) = e−3A(z)/2ψµν(z) y pµpµ = −m2


Nelson Pantoja

con autofunciones

ψ0(z) ∼ e3A(z)/2 =1

(β|z|+ 1)32

(6)

⇔(−1

2∂2

z + VQM (z))

=12

(∂ξ +

32A′(z)

)(−∂ξ +

32A′(z)

)y

ψm(z) ∼ (|z|+ 1/β)1/2

[Y2(m(|z|+ 1/β)) +

4β2

πm2J2(m(|z|+ 1/β))

](7)

• no hay brecha de masa

• gravedad localizada en ξ = 0 ⇔ ψ0(z) normalizable

• los modos masivos son asintoticamente ondas planas → desviaciones dela ley de Newton


Nelson Pantoja

3. El potencial newtoniano

U(~p) = limp0→0�p

D(5)µνρσ(x, ξ;x′, ξ′) = 〈0|T (hµν(x, ξ)hρσ(x′, ξ′)) |0〉

=∑m

Φm(ξ)Φ∗m(ξ′)D(4,m)µνρσ (x, x′)

∼ Charmousis, Gregory & Rubakov (2000)


Nelson Pantoja

• M3 ∼ βM2Pl y M−2

Pl ∼ GN

U(~p) ∼∑m

|ψm(0)|2 1√βMPl

Tµν1

P(m)µνρσ

p2 +m2

1√βMPl

T ρσ2

∣∣∣∣∣p0=0

∼ GNm1m2

β

(12|ψ0(0)|2

~p 2+ C

∑m>0

|ψm(0)|2

~p 2 +m2

)(8)

• para βr � 1

U(r) ∼ GNm1m2

r+ C

∫ ∞

0

dmGN

β

m1m2

re−mrm

β

= GNm1m2

r

(1 + C

1β2r2

)(9)

la interaccion de ψm con la materia sobre la brana esta suprimida ∼ β−2

Randall & Sundrum (1999)


Nelson Pantoja

4. Localizacion en escenarios RS

• Garriga & Tanaka (2000)

• Pomarol (2000)

• Bajc & Gabadadze (2000)

• Grossman & Neubert (2000)

• Giddings, Katz & Randall (2000)

• Dubovsky, Rubakov & Tinyakov (2000)

• Randjbar-Daemi & Shaposhnikov (2000)

• Dvali, Gabadadze & Shifman (2001)

• . . .


Nelson Pantoja

III. Realizaciones no-singulares del escenario RS

El problema

• localizacion de 4-gravedad sobre 3-branas gruesas generadas por camposescalares autogravitantes

• geometrıas suaves y singulares

– lımite

limγ→0

(M, γgab,γφ, V (γφ))

?= (escenario RS)

– simetrıaslimγ→0

γR dabc = [[R d

abc ]]δ(Σ) + · · ·

LX

([[R d

abc ]]δ(Σ)

)= ? , LX

(limγ→0

γR dabc

)?= LX

([[R d

abc ]]δ(Σ) + · · ·)


Nelson Pantoja

IV. Paredes de dominio y escenarios RS

1. Espaciotiempo pared de dominio

• (M, gab), LXgab = 0, X.= simetrıa plano-paralela

Rab −12gabR+ Λgab = 8π

(∇aφ∇bφ− gab

(12∇cφ∇cφ+ V (φ)

))(10)

∇a∇aφ− dV /dφ = 0 (11)

φ: R → R interpola asintoticamente y de manera suave entre dosmınimos consecutivos de V (φ) tomando allı valores distintos ⇒topologicamente estables


Nelson Pantoja

• Localizacion de gravedad → perturbaciones gravitacionales• DeWolfe, Freedman, Gubser & Karch (2000)

• Garriga & Sasaki (2000)

• Alonso-Alberca, Meesen & Ortin (2000)

• · · ·• Callin & Ravndal (2004)

• Castillo-Felisola, Melfo, Pantoja & Ramirez (2004)X

→ perturbaciones (hab, ϕ) en torno de (gab, φ) con φ = φ(ξ) y hξa = 0

? ϕ se desacopla del sector TT de hab

? modos TT de hab

12∆hab ≡ −1

2∇d∇dhab +Rc d

(ab)hcd +Rc(ahb)c =

23habV (φ) (12)

∆ operador de De Rham-Lichnerowicz


Nelson Pantoja

2. Paredes de dominio gruesas y el lımite de pared delgada

a. metricas y curvaturas como distribuciones tensoriales

gab[Uab] ≡∫M

gabUab ωη, R d

abc [Sabcd] ≡

∫M

R dabc S

abcd ωη (13)

b. sobre la convergencia...

gab[Uab] = limδ→0

δgab[Uab] ?⇒ R dabc [Uabc

d] = limδ→0

δR dabc [Uabc

d] (14)

• Guerrero, Melfo & Pantoja (2002)

formalismo distribucional de Geroch & Traschen (1987)


Nelson Pantoja

c. sobre las simetrıas... se propone

LVTab···[Uab···] ≡ −

∫MTab···(LV

Uab··· + Uab···(∇cVc))ωη (15)

donde

? ωη elemento de volumen de una metrica C∞ auxiliar ηab arbitraria

? ∇c derivada covariante de Levi-Civita asociada con ηab

LV

δgab = 0 −−−−−−−→ LV

δRab = 0 −−−−−−−→ LV

δGab = 0yδ→0

yδ→0

yδ→0

LVgab = 0 −−−−−−−→ L

VRab = 0 −−−−−−−→ L

VGab = 0

• Pantoja & Sanoja (2003)


Nelson Pantoja

• DeWolfe, Freedman, Gubser & Karch (2000)

• Gremm (2000)X

• Csaki, Erlich, Hollowood & Shirman (2000)

• Kobayashi, Koyama & Soda (2002)

• Wang (2002)X

Ejemplo 1. Una brana gruesa M4 embebida en AdS5

i) la geometrıa pared de dominio

δgab = cosh−2δ (βξ/δ)(−dtadtb + dxi

adxib

)+ dξadξb (16)

φ(ξ) = φ0 tan−1 sinh(βξ/δ), φ0 =√

3δ (17)

V (φ) =32

(4 +

1δ

)β2 [cos (φ/φ0)]

2 − 6β2, ⇒ Λ = −6β2 (18)


Nelson Pantoja

φ(ξ) −Gtt(ξ)

β = 1, δ = 0.5, δ = 1


Nelson Pantoja

ii) la geometrıa distribucional δ → 0

gab = limδ→0

δgab =(Θ−

ξ e2βξ + Θ+

ξ e−2βξ

) (−dtadtb + dxi

adxib

)+ dξadξb, (19)

R dabc = lim

δ→0

δR dabc (20)

Gab + Λgab = limδ→0

(δGab + Λ δgab) = 6β δ(ξ)(dtadtb − dxi

adxib

), Λ = −6β2

(21)

· · · realizacion del escenario RS (2) [1]


Nelson Pantoja

iii) localizacion de gravedad

• con dχ ≡ e−Adξ y hµν = eıp·xe−3A(χ)/2ψµν(χ)

(−∂2χ + VQM )ψµν = m2ψµν , VQM (χ) =

94A′2(χ) +

32A′′(χ) (22)

para δ = 1

VQM (χ) =34β2 5(βχ)2 − 2

(1 + (βχ)2)2(23)

• −∂2χ + VQM = (∂χ + 3

2A′)(−∂χ + 3

2A′) y

ψ0 ∼ exp(3A(χ)/2) (24)

∃ un estado ligado en el umbral de masa y un continuo de estados masivos∀m > 0 no localizados (VQM → 0 asintoticamente).

∼ Gremm (2000)∼ Guerrero, Melfo & Pantoja (2002)


Nelson Pantoja

Figura 1: VQM y el modo sin masa ψ0 (norma arbitraria)


Nelson Pantoja

Ejemplo 2. Una brana gruesa con expansion de de Sitter

i) la geometrıa pared de dominio

δgab ≡ cosh(βx/δ)−2δ(−dtadtb + e2βtdxi

adxib + dξadξb

)(25)

φ = φ0 tan−1 sinh(βξ/δ), φ0 ≡√

3δ(1− δ) (26)

V (φ) =32(3 +

1δ)β2 [cos (φ/φ0)]

2(1−δ), ⇒ Λ = 0 (27)

version 5-D ∼ Goetz (1990)


Nelson Pantoja

φ(ξ) −Gtt(ξ)

β = 1, δ = 0.1, δ = 0.2


Nelson Pantoja

ii) la geometrıa δ → 0

gab ≡ limδ→0

δgab =(Θ−

ξ e2βξ + Θ+

ξ e−2βξ

) (−dtadtb + e2βtdxi

adxib + dξadξb

),

(28)

R dabc = lim

δ→0

δR dabc (29)

Gab = lim

δ→0

δGab = −6βδ(ξ)

(∂a

t dtb + ∂axidxi

b

). (30)

Guerrero, Melfo & Pantoja (2002)


Nelson Pantoja

iii) localizacion de la gravitacion

con hµν = eıp·xeA(ξ)/2ψµν(ξ) obtenemos

(−∂2ξ + VQM )ψµν = m2ψµν , pµpµ − 2β2 ≡ −m2 (31)

VQM (ξ) =94β2 − 3

2β2

(32

+1δ

)cosh−2 βξ

δ−→δ→0

94β2 − 3βδ(ξ) (32)

ψ0 ∼ exp(3A(ξ)/2) −→δ→0

23βe−3β|ξ|/2 (33)

∃ un estado ligado sin masa y un continuo de estados masivos conm2 > 9β2/4 no localizados.

∼ Karch & Randall (2000)∼ Wang (2002)

Castillo-Felisola, Melfo, Pantoja & Ramirez (2004)


Nelson Pantoja

Figura 2: VQM y el modo sin masa ψ0 (norma arbitraria)


Nelson Pantoja

V. Un espaciotiempo pared doble

1. Espaciotiempo (R5, gab)

gab = e2A(ξ)(−dtadtb + dxiadx

ib + dξadξb), A(ξ) = − 1

2sln(1 + (αξ)2s), (34)

φ = φ0 tan−1(αsξs), φ0 =

√3(2s− 1)s

, (35)

V (φ) = 3α2 sin(φ/φ0)2−2/s

[2s+ 3

2cos2(φ/φ0)− 2

]. (36)

−Gtt tiene dos maximos ξ± = ±δ [(s− 1)/(s+ 2δ)]1/(2s), s > 1

Melfo, Pantoja & Skirzewski (2003)


Nelson Pantoja

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5–6 –4 –2 0 2 4 6

1

2

3

4

5

φ(ξ) Gtt(ξ)

s = 1, 5 s = 1, 3, 5


Nelson Pantoja


• con hµν = eıp·xeA(ξ)/2ψµν(ξ) obtenemos

(−∂2ξ + VQM )ψµν = m2ψµν (37)

VQM (ξ) =3

4ξ25(αξ)4s + 2(αξ)2s − 4s(αξ)2s

(1 + (αξ)2s)2(38)

• −∂2ξ + VQM = (∂ξ + 3

2A′)(−∂ξ + 3

2A′) y

ψ0 ∼ exp(3A(ξ)/2) (39)

∃ un estado ligado en el umbral y un continuo de estados masivos nolocalizados (VQM → 0 asintoticamente).


∼ Bazeia, Furtado & Gomes (2004) para geometrıas con V (φ) polinomico.


Nelson Pantoja

-10 -5 0 5 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

VQM

ψ0

ξ

s=1

-10 -5 0 5 10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

s=3

ξ

V

ψ0

QM

Figura 3: VQM y el modo no-masivo ψ0 para s = 1 y s = 3.


Nelson Pantoja

VI. Un mundo-brana sin simetrıa Z2


1. Espaciotiempo (R5, gab)

δgab = e2A(ξ)(−dtadtb + dxi

adxib

)+ dξadξb (40)

A(ξ) = − 112

[−αξ + δ exp(−2 exp(−βξ/δ))− δ Ei (−2 exp(−βξ/δ))] (41)

Ei(u) ≡ −∫ ∞

−u

dτe−τ

τ

φ(ξ) =√δ exp(− exp(−βξ/δ)) (42)

V (φ) =β2

8 δ2φ2 ln2

(φ2

δ

)− 1

24

(β

δφ2

(1− ln

(φ2

δ

))− α

)2

(43)


Nelson Pantoja

-1 -0.5 0 0.5 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

φ

φφ 10

(a)φ(ξ), δ = 0.4, δ = 1 V (φ) (lınea continua) β > α > 0.


Nelson Pantoja

2. Lımite de pared delgada

gab = limδ→0

δgab (44)

gab =(eαξ/6 Θ(−ξ) + e−(β−α)ξ/6 Θ(ξ)

) (−dtadtb + dxi

adxib

)+ dξadξb (45)

R dabc = lim

δ→0

δR dabc (46)

⇒ la superficie ξ = 0 separa dos patches AdS5 diferentes para δ → 0

Tenemos una realizacion explıcita no-singular de un mundo-brana sinsimetrıa de reflexion entorno de una 3-brana M4


Nelson Pantoja


• haciendo dχ ≡ e−Adξ y con hµν = eıp·xe−3A(χ)/2ψµν(χ) obtenemos

(−12∂2

χ + VQM )ψµν(χ) = m2ψµν(χ) (47)

VQM =12

(94A′(χ)2 +

32A′′(χ)

)(48)

• − 12∂

2χ + VQM = 1

2 (∂χ + 32A

′)(−∂χ + 32A

′) y

ψ0(χ) ∼ e3A(χ)/2 (49)

∃ un estado sin masa normalizable si β > α > 0 y un continuo deestados masivos no localizados (VQM → 0 asintoticamente).


Nelson Pantoja

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

χ

ψ

VQM

0

(b)

Figura 4: VQM y el modo no-masivo ψ0 (norma arbitraria) para β > α > 0.


Nelson Pantoja

• en el lımite de pared delgada:

limδ→0

VQM = − 348βδ(χ)+

158

α2

(12− αχ)2Θ(−χ)+

158

(β − α)2

(12 + (β − α)χ)2Θ(χ)

(50)

limδ→0

ψ0 ∼ (1− k−χ)−3/2Θ(−χ) + (1 + k+χ)−3/2Θ(χ)

limδ→0

ψm ∼ (k−1− − χ)1/2

[Y2(m(k−1

− − χ)) + C−J2(m(k−1− − χ))

]Θ(−χ)

+ (k−1+ + χ)1/2

[Y2(m(k−1

+ + χ)) + C+J2(m(k−1+ + χ))

]Θ(χ)

k− ≡ α/12 k+ ≡ (β − α)/12


Nelson Pantoja

• el potencial newtoniano para k− ∼ k+ [8]

U(r) ∼ GNm1m2

r

+ C

∫ ∞

0

dmGN

ke

m1m2e−mr

r

m

ke(1 + 3 (k−/k+ − 1))

+ O((k−/k+ − 1)2) (51)

donde

k−1e =

k−1+ + k−1

−2

GN = G5ke (52)

Obs. para β = 2α tenemos k+ = k− y recuperamos el escenario Z2-simetricoRS .


Nelson Pantoja

• mundos-brana singulares sin simetrıa Z2

– Ida (2000)

– Deruelle & Dolezel (2000)

– Stoica, Tye & Wasserman (2000)

– Perkins (2001)

– Battye & Carter (2001)

– Battye, Carter, Mennim & Uzan (2001)

– · · ·– Padilla (2004)

– Takahashi & Shiromizu (2004)


Nelson Pantoja

VII. Sumario y estado actual

• realizaciones explıcitas no triviales de escenarios RS no singulares.

• correspondencia rigurosa entre escenarios RS y espaciotiempos pared dedominio.

• trabajo en progreso

– confinamiento de otros campos en estas realizaciones (Melfo, Pantoja& Tempo)

– posibles extensiones supersimetricas (Guerrero, Melfo, Pantoja &Rodriguez)

– localizacion de gravedad sobre paredes de dominio escalaresacopladas no-minimalmente a gravitacion (Abreu, Melfo & Pantoja)


Nelson Pantoja

Distribuciones en Relatividad General

• R. P. Geroch and J. Traschen, Phys. Rev. D36 (1987) 1017.

1. Metricas y curvaturas distribucionales

Suponga dados (M, gab) tales que

1. gab y gab existen casi en todos lados y son tensores localmente acotados,

2. la primera derivada ∇c gab en el sentido de las distribuciones en algunoperador derivada suave ∇c existe y es localmente de cuadradointegrable, esto es, el producto externo de la derivada con ella misma eslocalmente integrable.

Estas son las condiciones mınimas para que la curvatura de Riemann seadefinible como distribucion a partir de la formula coordenada usual.Denominaremos a los tensores metricos que satisfacen las condiciones dearriba tensores metricos regulares.


Nelson Pantoja

2. Soporte de las curvaturas distribucionales

Teorema. Sea S una subvariedad d-dimensional de una variedad Mn-dimensional. Sea α b···d

a···c una distribucion no-nula tal que

1. tenga soporte en S

2. sea la suma de las distribuciones asociadas a un tensor localmenteintegrable y a la derivada de un tensor localmente de cuadradointegrable.

Entonces d = n− 1.


Nelson Pantoja

3. Convergencia

Teorema. Sean igab, (i = 1, 2, · · · ) y gab tensores metricos regulares talesque

1. igab y igab son localmente uniformemente acotados a y

2. igab, igab y ∇a igbc convergen localmente en cuadrado integrable a gab,

gab y ∇agbc, respectivamente.

La curvatura distribucional iRd

abc de igab converge a la curvaturadistribucional R d

abc de gab en el siguiente sentido: para cualquier campo deprueba Uabc

d, se tiene que

limi→∞

iRd

abc [Uabcd] = R d

abc [Uabcd] (53)

aEsto significa que, dados cualesquiera campos de prueba Uab y Sab, existe un campo de

prueba φ, independiente de i, que acota a todas las densidades escalares Uabigab y Sab ig

ab.


Nelson Pantoja

Locally localized gravity

Since gravity can propagate through all dimensions, a question ariseswhether effective four-dimensional gravity is obtained at the scales currentlyprobed by experiments. There seems to be three different approaches toobtain the answers.

• One may calculate the component h00 of the metric perturbation due toa matter source directly [Garriga & Tanaka (2000), Giddings, Katz &Randall (2000), Deruelle and Tolezel (2001), Chung, Everett &Davoudiasl (2001), Smolyakov & Volobuev (2002)]. This method leadsto some complications due to the fact that a brane can no longer beconsidered straight when introducing a matter source on it.


Nelson Pantoja

• A second approach is to consider the gravitational potential as the resultof two massive particles interacting through the exchange of a virtualgraviton, and to use the wave equation of the graviton to determine itspropagator and interaction with matter [Charmousis, Gregory andRubakov (2000), Kiritsis, Tetradis & Tornaras (2002), Nojiri & Odintsov(2002) Ghoroku, Nakamura & Yahiro (2003) Callin & Ravndal (Mar2004)]. In this approach the branes are not bent, because the gravitonsare traveling through empty space. The only difficulty resides in thefixing of the normalization of the different 4-dimensional fields.


Nelson Pantoja

• The third approach: to make a dimensional reduction to four dimensionsfrom the 5-dimensional graviton lagrangian, and then identify thephysical 4-dimensional fields by requiring that they have canonicalLagrangians [Boos, Kubyshin, Smolyakov & Volobuev (2001), idem(2002), Callin & Ravndal (Dec 2004)]


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