Ch. 2 교류회로 (Alternating Current: AC)

• 사인파 (sinusoidal signal)

– 주파수, 진폭, 위상 (frequency, amplitude, phase)

– 주기 (period, T ): 한바퀴도는 (cycle) 시간– 주파수 (frequency, f ): 초당 cycle의수 f = 1/ T

– 각주파수 (angluar frequency): = 2f = 2/T

1

시간에따라주기적으로방향을바꾸는전류를교류전류(alternating current)라하고, 교류회로는교류전류가흐르는회로이지만직류전류도함께존재할수있다.

Vp : 최대진폭

위상 두회전벡터사이의각도)sin( tVv p

2

유효값: 제곱평균제곱근 RMS (Root Mean Square)

• 사인파전류의실효값 (effective value): 같은양의줄열을발생시키는직류전류의값

)sin(

)sin(

tII

tVv

p

p

3

2,

2

2

2

4

2sin

2

1

2

)(2cos11

)(sin11

0

0

0

2

0

peff

peff

ppT

pp

T

pp

T

pp

T

II

VV

T

IVtt

T

IV

dtt

IVT

dttIVT

dtIvT

P

역률 (Power factor)

• 역률: 전압과전류의위상이같지않을때위상차 이면,역률은 cos

cos2

sincoscossin)sin(1

)sin()sin(11

)sin(),sin(

0

00

pp

T

pp

T

pp

T

pp

IV

dttttIVT

dtttIVT

dtIvT

P

tVvtII

4

= /2 인소자?

축전기(Capacitor)• 축전기(capacitor): 축전기(capacitor) :두개의도체로이루어져서로다른전하를저장하는장치(정전기에너지를저장하는그릇)

C : 기하학적구조에의존

• 평행판축전기 (판의면적A, 사이거리 d)

5

+Q -Q

전위차 V VCQ

V

QC

VCF 11

단위 : 페럿( farad : F)

•전기용량(Capacitance: C) : 축전기의전하축적용량 (그릇의크기)

C

V Q

A

QAQE

000

dA

QEdxV

f

i

0d

A

V

QC 0

0incq

AdE

축전기내부에만 전기장존재

6

교류회로에서 축전기

2sin

cos

max

max

wtVwCI

wtVwCdt

dqI

C

C

• 폐회로

wtVCq sinmax

• 축전기에 걸리는 전압 관계식

wCXwt

X

VwtVwCI C

CC

1 re, whe

2sin

2sin max

max

; 용량리엑턴스

교류회로에서축전기의저항

• 축전기에 흐르는 전류 : 전압의 위상은 전류보다 /2 느리다.

0)( C

qtv

ieieie iii 22sincos , ref.)

• 커패시터 (Capacitor)– 특정한커패시턴스값을갖는회로소자– 공기나절연체, 혹은유전체를사이에둔두개의도체판으로구성

– 누설저항 (leakage resistance)

• 전해커패시터 (electrolytic capacitor)– 큰전기용량– 얇은산화막이용– 극성이있음

• 가변캐패시터– 전기용량의변화가가능

7

인덕터 (Inductor): 자기적에너지의저장

- 인덕턴스 (Inductance) L : 자기장에너지를저장하는그릇의크기

- 자기유도의결과, 렌츠의법칙에따라코일을통과하는기력선의변화를억제하는방향으로유도기전력발생

- 회로의기하학적구조, 구성물질의자기적성질에의존

- 회로에흐르는전류의반대방향으로유도기전력발생

- 고주파에서큰저항으로작용

IL B [T•m2/A=H : Henry]

dt

dIL

8

dt

d (패러데이법칙)

9

교류회로에서 코일 (인덕터)

2sincos

cos1

sin

maxmax

max

max

wt

wL

Vwt

wL

VI

wtVw

LI

wtdtVLdI

L

L

L

• 폐회로

wtVdt

dILtv L sin)( max

• 인덕터에 걸리는 전압 관계식

wLXwtX

Vwt

wL

VI L

LL

re, whe

2sin

2sin maxmax ; 유도리엑턴스

교류회로에서인덕터의저항

• 인덕터에 흐르는 전류 : 전압의 위상은 전류보다 /2 빠르다.

0)( dt

dILtv L

ieieie iii 22sincos , ref.)

VinVout

• RL 필터 (filter)– 사인파전압원 (Sinsonuidal Voltage Source)

– 회로내의전압의합은항상 0

dt

tdILtRItvi

)()()(

tItI p sin)( 전류를사인파로가정

10

R

Lwhere

tLRItLItRItv pppi

1

22

tan,

sincossin)(

전류가전압보다위상 만큼뒤짐저항양단간의저항: 출력전압 vo

222 /1

1

sinsin)(

RLLRI

RI

V

V

tVtRItv

p

p

i

o

opo

낮은주파수에서는 Vo/Vi~1 이된다.: 저역통과필터 (low pass filter)

Vin Vout

Acos Asin

12 00

R

L

R

Lf f0 : 반전력주파수 (half-power freq.): cut-off freq.

11

저주파통과필터(low pass filter)

고주파통과필터(high pass filter)

in

out

V

VlogdB 1020

707903 .V

VdB

in

out

2

1

1

12

0

2

R/LV

VP

i

o

• RC 필터– 사인파전압원:

– 전압강하:

tVtv pi sin)(

RIC

Qtvi )(

tVtICdt

tdIR

dt

tdQtIRI

C

Qtv

dt

d

p

i

cos)(1)(

)()(,)(

가정: tItI p sin)(

tVtIC

tIR ppp cossin1

cos

----(1)

12

Vout 의주파수의존성차이는?

----(2)

----(3)

----(4)

----(5)

tI

Vtt

CttR

p

p

cossincoscossin1

sinsincoscos

0sincos1

sinsin1

coscos

RC

tI

V

CRt

p

p ----(6)

22 1 &

1tan

CR

VI

CRp

p

)sin(

1)sin(

22

t

CR

VtII p

p

13

0sincos1

sinsin1

coscos

RC

tI

V

CRt

p

p(6)

만약, t = 0 이면 0sin1

cos

p

p

I

V

CR

만약, t = /2 이면 0sincos1

RC

----(7)

----(8)

(8)(7)

(4)

tRIv po sin

입력전압 vi에대한저항 R의전압 vo비율

저항 R에걸리는전압 ;

211

1

CRv

v

i

o

전류가전압보다 만큼앞섬높은주파수: 위상차 0낮은주파수 (직류): 위상차 /2

12 RCfo

고역통과필터(high-pass filter)

C: 0.16 FR: 105

----(9)

----(10)

----(11)

• 미분회로 (differentiating circuits)

– RC 필터에서 RC<<1 이면, 위상 ~ /2

tRCVt

RC

Vtv p

po

cossin

/11)(

2

tVdt

tdV

dt

tdvp

pi

cossin)(

입력전압의미분:

dt

tdvRCtv i

o

)()(

Output 전압 = Input 전압의미분: analog computer14

2

1tan

CR

tVtv pi sin)( 입력전압:

----(12)

----(13)

(8)

(9),(10)

----(14)

(1)

(12)를다시쓰면,

• 적분회로 (integrating circuits)

– RC 회로에서 Capacitor에흐르는전압 :흐르는전류의적분

tcosC

IdttsinI

C)t(v p

po

1

15

IdtCC

qtvo

1)(

0 01

tan

CR

tRC

Vp

cos

R

VI p

p ,0

tcosC

I)t(v p

o dttvRC i )(1

tVtv pi sin)(

----(15)

----(16)

만약RC>>1 이면

출력전압 = 입력전압의적분: 아날로그컴퓨터

16

R

L

C VoutVin

R

L C

VoutVin

대역통과필터(band pass filter) vs. 대역차단필터(band stop filter: Notch filter)

• RC회로에서전원쪽으로갑자기스위치가닫힐때,

RC

tAK

RC

ttI

tIRCdt

tdI

C

tQtRIV

dt

d

expexp)(

0)(1)(

)(

)(

RCRC

t

R

VtI

R

VtIt

: exp)(

)0(,0

시상수

A 값은초기조건으로부터결정됨.

t

CV

R

V

V

R

C

0

과도전류• 과도효과 (Transient effect)

정상상태가되기전의전류/전압, 정상상태가되면사라짐

On/off 직후의현상, 펄스에대한응답

미분방정식의완전한해: 정상상태 + 과도전류 (각각을분리해서고려가능)

tVRIVvc exp1축전기에걸리는전압 ;

Q(t)

I(t)

•시정수 (time constant, ) 지수함수적인표현식에서회로의 time scale을나타내는물리적양이며 life time 이라고도함• RC time시간의단위, 회로의 time scale을결정

tR

VtI exp)( CV

R

V

18

V

R

C

0

• 축전기쪽으로갑자기스위치가열릴때,

tCVIdtQ exp

0, & ,0 ItR

VIt

0)(1)(

)()(0

tIRCdt

tdI

C

tQtRI

dt

d

물리적 조건

RCtAtI exp)(

RC: 시상수

Q(t)

I(t) t

dt

tdILtRIV

)()(

• RL회로에서과도현상

스위치를닫을경우

스위치를열경우

L

Rt

R

VtI

dt

tdILtRI

,exp)(

)()(0

19

V

R

L

0 put

)(

R

VIxI

R

V

L

R

dt

tdI

L

Rt

R

VtI ,exp1)(

R

VItIt , ,0 0

링잉 (ringing)- RLC 회로에서전압이급격하게변화하면발생

-교류전류의감쇠는공진주파수에의존함

-마찰계에서단진자운동과비슷한감쇠진동

20

V

R

L

C

S

01

2

2

ILCdt

dI

L

R

dt

Id

dt

dIL

R

QRIV

dt

d

가정: ttAtI sinexp)(

미분방정식을풀면

2

22

4

1,

2 L

R

LCL

R

과도감쇠 (overdamping) : < 0임계감쇠 (critical damping) : = 0

• RLC회로에서스위치를닫을경우

복합파형• 퓨리에급수 (Fourier Series)

– 임의의주기함수 f(t’)는 기본주파수와조화주파수의함수로표현가능.

– 신호처리및물리학의여러문제해결에유용함– 선형함수의기본성질 : 중첩의원리(superposition principle)

tT

t't,'ntsinb'ntcosaa

)'t(fn

nn

2

2 1

0

21

0nm ,2

0nm ,

nm ,0

coscos

0nm 0,

0nm ,

nm ,0

sinsin

0 cossin

tdtntm

tdtntm

tdtntm

tdtnsin)t(fb

tdtncos)t(fa

n

n

1

1

td)t(fa 1

0

• 구형파에대한퓨리에급수

최대진폭 Vp ,주파수

tsintsintsintsin

V)t(v p

7

7

15

5

13

3

14

22

• 톱니파 (sawtooth wave)

tttt

Vtv p

4sin

4

13sin

3

12sin

2

1sin

2)(

고주파수항이추가될수록구형파에가까워짐.

2for

0for

tV

tV)t(V

p

p

ttV

)t(V p for 2

dtetfwg

dwewgtf

iwt

iwt

)(2

1)(

)(2

1)(

퓨리에변환(Fourier Transform)

Time space => Frequency space

-15 -10 -5 5 10 15

-1

-0.5

0.5

1

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

-15 -10 -5 5 10 15

-1

-0.5

0.5

1

2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

Time domain

Frequency domain

(real space => momentum space)

실효값 (effective value)

• 구형파

• 톱니파

peffp

T

peff IIIdtIT

I 1 2

0

22

tT

ItI p2)(

3,

3

212

2

2

2

2 peff

pT

Tp

eff

II

Idtt

T

I

TI

24

TtT

I

TtI

tI

p

p

2for

20for

)(

줄열은전류의제곱, 방향은중요치않음

숙제: 중간고사시험보기직전에제출

• 반사인파

pp

T

pdc

I

T

ItdtsinI

TI

242 2

0

23

22

222 IIIII dceff

tI

tI

ItI ppp

4cos

15

42cos

3

42)(

3

22

3

4

215

4

3

4

2

2222

prms

pprms

II

III

여기서, In는각주파수성분의 rms값

교류성분의 rms 값

25

반사인파의퓨리에급수

반사인파의실효값은

; 평균값첫항:

둘째항이상:

tdtntfb

tdtntfa

n

n

sin)(1

cos)(1

오실로스코프(Oscilloscope)

26

- 시간에따른복잡한전압파형을측정하는기기

- Y-t mode, XY mode, FFT 기능, Average 기능

a b

리사주 (Lissajous) 도형- X, Y 가서로다른주파수를가질때, 정수배가된다면그형태가정지상태가됨

tsinbvy

tsinVvx

VV

HpH

;

;

27

b

asin

asinbv,v,tAt VH

1

00