ch ƯƠ ng 1. lÝ thuy Ết ðỘ ðo - | blog toán · ch ươ ng 1. lý thuy ết ñộ ño biên...

Chương 1. Lý thuyết ñộ ño Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu

Trang 1

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT ðỘ ðO

1.1 ðại số tập hợp

1.1.1 ðại số

Kí hiệu P(X) { }:A A X= ⊂ là tập tất cả các tập con của tập khác rỗng X.

C⊂ P(X) là lớp những tập con của X.

Một lớp C⊂ P(X) ñược gọi là ñại số trên X nếu C khác rỗng và thỏa các ñiều kiện sau:

(i) Nếu ,A B ∈ C thì A B ∈∪ C

(ii) Nếu A∈ C thì \X A∈C

Ví dụ

(i) C = P(X), C ={ },X∅ là các ñại số trên X

(ii) Cho X là tập vô hạn, ñặt C ={ :A X A⊂ hữu hạn hoặc \X A hữu hạn } là

ñại số trên X.

Mệnh ñề

Cho C là một ñại số trên X. Khi ñó, ,X∅ ∈C và C ñóng kín ñối với các phép toán

hữu hạn về tập hợp ( hợp hữu hạn, giao hữu hạn, hiệu và hiệu ñối xứng giữa hai tập

hợp).

Chứng minh

Từ ñịnh nghĩa của ñại số trên tập hợp, dễ dàng suy ra ,X∅ ∈C.

Với ,A B ∈ C. Ta có

( ) ( )C

CCC CA B A B A B = = ∈

∩ ∩ ∪ C

\ CA B A B= ∈∩ C

( ) ( )\ \A B A B B A∆ = ∈∪ C

Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com


Trang 2

Mệnh ñề

Cho M là một lớp khác rỗng các tập con của X. Khi ñó, tồn tại duy nhất một ñại số bé

nhất trên X chứa M , kí hiệu là C(M) và ñược gọi là ñại số sinh bởi M

Chứng minh

Gọi U là họ các ñại số trên X chứa M. Họ U không rỗng vì P(X) ⊂U

ðặt C(M) =∩ {C: C∈U}. Khi ñó, C(M) là một ñại số trên X.

Với mọi C∈U , ta có M⊂C nên C(M) ⊃ M

1.1.2 σ - ñại số

Một lớp C⊂ P(X) ñược gọi là σ - ñại số trên X nếu C khác rỗng và thỏa các ñiều kiện

sau:

(i) Nếu ( )n nA ∈ C thì 1n

n

A∞

=

∈∪ C

(ii) Nếu A∈ C thì \X A∈C

Ví dụ C = P(X), C ={ },X∅ là các σ - ñại số trên X

Nhận xét Nếu C là một σ - ñại số thì C là một ñại số. ðiều ngược lại nói chung không

ñúng.

Chứng minh

Với ,A B ∈ C . ðặt ( )1, 2

nA A A B n= = ≥ . Ta có ( )n nA ∈ C . Do C là một σ - ñại số

nên 1n

n

A∞

=

∈∪ C. Suy ra, A B ∈∪ C.

Ta lấy ví dụ chứng tỏ C là một ñại số nhưng không là σ - ñại số. Xét X là tập vô hạn,

ñặt C ={ :A X A⊂ hữu hạn hoặc \X A hữu hạn } là ñại số trên X nhưng không là σ -

ñại số. Thật vậy,

Do X là tập vô hạn nên có { }1 2, ,...,

nx x x X⊂ .

ðặt { }n nA x= . Ta có ( )n nA ⊂ C nên ( )2n n

A ⊂ C. Do ñó,



Trang 3

{ }2 2 4 2, ,..., ,...

n nn

A A x x x∈

= =ℕ

∪ và { }1 3 2 1, ,..., ,...C

nA x x x −= là tập vô hạn nên A∉ C.

Vậy C không là σ - ñại số

Mệnh ñề

Cho M là một lớp khác rỗng các tập con của X. Khi ñó, tồn tại duy nhất một σ - ñại số

bé nhất trên X chứa M , kí hiệu là F(M) và ñược gọi là σ - ñại số sinh bởi M

1.1.3 σ - ñại số Borel

Cho X là không gian metric . Một σ - ñại số bé nhất trên X chứa lớp các tập mở trong X

ñược gọi là σ - ñại số Borel trên X. Kí hiệu B(X) hoặc B.

Mỗi phầ tử của B gọi là tập Borel

Tập Borel là tập thu ñược bằng cách xuất phát từ các tập mở và thực hiện hữu hạn hay

ñếm ñược các phép toán về tập hợp trên các tập ñó. Như vậy, tập mở và tập ñóng là

những tập Borel.

Tập H trong không gian metric X ñược gọi là tập loại Fσ nếu H là hợp của một số ñếm

ñược các tập ñóng. Ví dụ: Tập các số hữu tỉ ℚ là tập loại Fσ

Tập K trong không gian metric X ñược gọi là tập loại Gδ nếu G là giao của một số

ñếm ñược các tập mở. Ví dụ: Tập các số vô tỉ I là tập loại Gδ

Các tập loại Fσ và Gδ ñều là các tập Borel

ðịnh lí

σ - ñại số Borel trên không gian metric X cũng chính là σ - ñại số sinh bởi lớp các tập

ñóng trong X

Chứng minh

Gọi M , N là lần lượt là lớp các tập mở và lớp các tập ñóng trong X. Theo ñịnh

nghĩaσ - ñại số Borel, ta có B =F(M). Ta chứng minh F(M)= F(N).

Với G ∈ M, ta có \X G ∈ N nên \X G ∈ F(N). Do ñó, G ∈ F(N). Vậy M⊂ F(N)

Suy ra F(M) ⊂ F(N).

Lập luận tương tự ta có F(M) ⊃ F(N). Vậy F(M)= F(N).



Trang 4

1.1.4 Tập số thực mở rộng

Tập { },= −∞ +∞ℝ ℝ ∪ gọi là tập số thực mở rộng.

Với x ∈ ℝ , ta qui ước x−∞ < < +∞ . Khi ñó,

(i) ( ) ( )x x+ ±∞ = ±∞ + = ±∞

(ii) ( )0 0

. 0

0

x

x x

x

=

+∞ = +∞ >−∞ <

(iii) ( )0 0

. 0

0

x

x x

x

=

−∞ = −∞ >+∞ <

(iv) 0x =

±∞

(v) ( ) ( )+∞ + +∞ = +∞

(vi) ( ) ( )−∞ + −∞ = −∞

Chú ý (i) Các phép toán ,∞ ∞ − ∞∞

là không có nghĩa

(ii) Nếu x a y a+ = + thì không khẳng ñịnh x y=

1.2 ðộ ño trên ñại số tập hợp

1.2.1 Hàm tập hợp

Cho M ⊂P(X). Một hàm :f M→ ℝ ñược gọi là một hàm tập hợp (hàm tập)

Hàm tập f ñược gọi là cộng tính nếu với ,A B ∈ M, A B = ∅∩ và A B ∈∪ M thì ta có

( ) ( ) ( )f A B f A f B=∪ ∪ .

Nếu f cộng tính thì f cộng tính hữu hạn, tức là nếu với 1 2, ,...,

nA A A ∈ M,

( ) i jA A i j= ∅ ≠∩ và

1

n

ii

A=

∈∪ M thì ta có ( )11

n n

i iii

f A f A==

=

∑∪ .



Trang 5

Hàm f ñược gọi là σ -cộng tính nếu với ( )i iA ∈ M, ( ) i jA A i j= ∅ ≠∩ và

1i

i

A∞

=

∈∪ M

thì ta có ( )11

i iii

f A f A∞ ∞

==

=

∑∪ .

1.2.2 ðịnh nghĩa ñộ ño trên ñại số tập hợp

Giả sử C là một ñại số trên X. Một hàm tập :µ C → ℝ ñược gọi là một ñộ ño trên C

nếu thỏa các ñiều kiện sau

(i) ( ) 0Aµ ≥ với mọi A∈ C

(ii) ( ) 0µ ∅ =

(iii) µ có tính σ -cộng tính

ðộ ño µ ñược gọi là hữu hạn nếu ( )Xµ < +∞ . ðộ ño µ ñược gọi là σ -hữu hạn nếu

tồn tại dãy ( )nX ⊂ C sao cho 1

nn

X X∞

=

=∪ và ( )nXµ < +∞ với mọi n.

Nhận xét

ðộ ño µ cũng có tính cộng tính. Thật vậy, giả sử µ là một ño trên C và với

1 2, ,...,

nA A A ∈ C, ( )

i jA A i j= ∅ ≠∩ . Ta kiểm tra ( )

11

n n

i iii

f A f A==

=

∑∪

ðặt ( ) 1iA i n= ∅ ≥ + . Khi ñó, ( )i iA ∈ C và

1 1

n

i ii i

A A∞

= =

= ∈∪ ∪ C

Theo tính chất iii) của ñộ ño ta có, ( ) ( )1 11

n

i i ii ii

A A Aµ µ µ∞ ∞

= ==

= =

∑ ∑∪

Suy ra ( )11

n n

i iii

A Aµ µ==

=

∑∪

Ví dụ Cho C là một ñại số trên X và 0x X∈ . Xét :µ C → ℝ như sau

( )µ ∈= ∉

0

0

1 0

neáu x AA

neáu x A

Khi ñó, µ là một ñộ ño trên C và ñược gọi là ñộ ño Dirac



Trang 6

1.2.3 Tính chất của ñộ ño

ðịnh lí

Cho µ là một ñộ ño trên ñại số C . Khi ñó,

(i) Nếu ,A B ∈ C và ⊂A B thì ( ) ( )µ µ≤A B

ðặc biệt khi ( )µ < +∞A thì ( ) ( ) ( )µ µ µ= −\B A B A

(ii) Nếu ( )i iA ∈ C , ∈A C và 1i

i

A A∞

=

⊂ ∪ thì ( ) ( )1

ii

A Aµ µ∞

=

= ∑

(iii) N ếu ( )i iA ∈ C , ( ) i jA A i j= ∅ ≠∩ , ∈A C và

1i

i

A A∞

=

⊂∪ thì ( ) ( )1

ii

A Aµ µ∞

=

≤∑

Chứng minh

(i) Ta có ( )= ∪ \B A B A và ( ) = ∅∩ \A B A . Do ñó

( ) ( ) ( ) ( )µ µ µ µ= + ≥\B A B A A

Do ( )µ < +∞A nên suy ra ( ) ( ) ( )µ µ µ= −\B A B A

(ii) Do 1i

i

A A∞

=

⊂ ∪ nên ( )∞ ∞

= =

= =

∩ ∩∪ ∪

1 1i i

i i

A A A A A

ðặt = ∩i iB A A ta có ( )i iB ∈ C và

1i

i

A B∞

=

=∪

ðặt ′ =1 1B B , ′ =2 2 1\B B B ,…, −

=

′ = ∪

1

1

\n

n n ii

B B B . Khi ñó, ( )i iB′ ∈ C , ′ ⊂i iB B , các ′

iB rời

nhau ñôi một và 1 1i i

i i

B B A∞ ∞

= =

′= =∪ ∪ .

Do ñó, ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

i i ii i i

A B B Aµ µ µ µ∞ ∞ ∞

= = =

′= ≤ ≤∑ ∑ ∑

(iii) V ới mỗi ∈ℕn , ta có 1

n

ii

A A=

⊂∪

Suy ra ( )1

n

ii

A Aµ µ=

≤

∪ hay ( ) ( )

1

n

ii

A Aµ µ=

≤∑ ∀ ∈ℕn



Trang 7

Cho → ∞n ta ñược ( ) ( )1

ii

A Aµ µ∞

=

≤∑

ðịnh lí


(i) Nếu ( )i iA ⊂ C , 1i

i

A∞

=

∈∪ C và ( )µ = ∀ ∈ℕ0,iA i thì

1

0i

i

Aµ∞

=

=

∪

(ii) Nếu ,A B ∈ C và ( )µ = 0B thì ( ) ( ) ( )µ µ µ= =∪ \A B A B A

Chứng minh

(i) ðặt 1i

i

A A∞

=

= ∪ , ta có A∈C. Khi ñó ( ) ( )1

0 0i

i

A Aµ µ∞

=

≤ ≤ =∑ . Suy ra ( )µ = 0A hay

1

0i

i

Aµ∞

=

=

∪ .

(ii) Do ⊂ ∪A A B nên ( ) ( )µ µ≤ ∪A A B .

Ta lại có ( ) ( ) ( ) ( )µ µ µ µ≤ + =∪A B A B A . Vậy ( ) ( )µ µ=∪A B A

Ta có ( ) ( )µ µ≤ ≤ =∩0 0A B B hay ( )µ =∩ 0A B . Mặt khác, do ( )= ∩\ \A B A A B nên

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )µ µ µ µ µ= = − =∩ ∩\ \A B A A B A A B A

ðịnh lí


(i) Nếu ( )i iA ⊂ C , +⊂ 1i iA A ∀ ∈ℕi và

1i

i

A∞

=

∈∪ C thì ( )1

limi ii

i

A Aµ µ∞

→∞=

=

∪

(ii) Nếu ( )i iA ⊂ C , +⊃ 1i iA A ∀ ∈ℕi ,

1i

i

A∞

=

∈∩ C, ( )µ < +∞1A thì ( )1

limi ii

i

A Aµ µ∞

→∞=

=

∩

Chứng minh

(i) ðặt 1i

i

A A∞

=

= ∪ và −= = =1 1 2 2 1 1, \ , ..., \i i i

B A B A A B A A . Khi ñó, ( )i iB ⊂ C, rời nhau

ñôi một, 1i

i

A B∞

=

=∪ và 1

k

k ii

A B=

=∪



Trang 8

Do ñó, ( ) ( ) ( )1 1

limk

i iki i

A B Bµ µ µ∞

→∞= =

= =∑ ∑ . Mặt khác, do 1

k

k ii

A B=

=∪ nên

( ) ( ) ( )1

lim limk

i kk ki

A B Aµ µ µ→∞ →∞=

= =∑

(ii) Do +⊃ 1i iA A ∀ ∈ℕi nên ( )1 \

i iA A là dãy tăng và ( )

∞ ∞

= =

= ∈

∪ ∩1 1

1 1

\ \i i

i i

A A A A C.

Theo (i) ta có ( ) ( )µ µ∞

→∞=

=

∪ 1 1

1

\ lim \i ii

i

A A A A hay ( )µ µ∞

→∞=

=

∩1 1

1

\ lim \i ii

i

A A A A

Suy ra ( ) ( ) ( )( )µ µ µ µ∞

→∞=

− = −

∩1 1

1

limi ii

i

A A A A .

Do ( )µ < +∞1A nên ta có ( )1

limi ii

i

A Aµ µ∞

→∞=

=

∩ .

ðịnh lí

Cho µ là một hàm tập không âm, ( )µ ∅ = 0 , cộng tính trên ñại số C . Khi ñó, µ là một

ñộ ño trên C nếu thỏa một trong hai ñiều kiện sau :

(i) Với ( )i iA ⊂ C , +⊂ 1i iA A ∀ ∈ℕi và

1i

i

A∞

=

∈∪ C thì ta có ( )1

limi ii

i

A Aµ µ∞

→∞=

=

∪

(ii) Với ( )i iA ⊂ C , +⊃ 1i iA A ∀ ∈ℕi ,

1i

i

A∞

=

= ∅∩ thì ta có ( )lim 0iiAµ

→∞=

Chứng minh

(i) Giả sử ( ) ⊂i iB C, các

iB rời nhau ñôi một,

1i

i

B∞

=

∈∪ C , ñặt 1i

i

B B∞

=

=∪ . Ta chứng

minh ( ) ( )µ µ∞

=

=∑1

ii

B B .

ðặt =

= = =∪ ∪1 1 2 1 21

, , ..., i

i kk

A B A B B A B . Ta có ( )i iA ⊂ C , +⊂ 1i iA A và

1i

i

A B∞

=

= ∈∪ C.

Suy ra ( ) ( )limii

B Aµ µ→∞

=



Trang 9

Do µ cộng tính nên ( ) ( )µ µ=

=∑1

i

i kk

A B . Suy ra ( ) ( ) ( )µ µ µ∞

→∞ = =

= =∑ ∑1 1

limi

k iik i

B B B

(ii) Giả sử ( ) ⊂i iB C, các

iB rời nhau ñôi một,

1i

i

B∞

=

∈∪ C , ñặt 1i

i

B B∞

=

=∪ . Ta chứng

minh ( ) ( )µ µ∞

=

=∑1

ii

B B .

Trường hợp ( )µ = +∞iB

Do ⊂iB B nên ( ) ( )µ µ≤

iB B . Suy ra ( )µ = +∞B . Do ñó, ( ) ( )µ µ

∞

=

=∑1

ii

B B

Trường hợp ( )µ < +∞iB với mọi i

ðặt =

= = =∪ ∪1 1 2 1 21

, , ..., i

i kk

A B A B B A B . Ta có ( )i iA ⊂ C , +⊂ 1i iA A và

1i

i

A B∞

=

= ∈∪ C.

Ta có ( )1 1

\ \i i

i i

B A B A∞ ∞

= =

∅ = =∪ ∩

ðặt ′ ′= =1 1\ , ..., \i i

A B A A B A , +′ ′⊃ 1i iA A và

∞

=

′ = ∅∩1

ii

A

Theo giả thiết ta có ( )µ→∞

′ =lim 0iiA hay ( )µ

→∞=lim \ 0

iiB A hay ( ) ( )µ µ

→∞− =lim 0

iiB A

Hay ( ) ( )µ µ→∞ =

− =∑1

lim 0i

kik

B B hay ( ) ( )µ µ∞

=

=∑1

kk

B B

1.3 Mở rộng ñộ ño

Cho m là một ñộ ño trên ñại số C. Ta tìm cách mở rộng m thành một ñộ ño trên một

σ - ñại số nào ñó chứa C.

1.3.1 ðộ ño ngoài

Hàm tập :m∗ P(X) → ℝ ñược gọi là một ñộ ño ngoài nếu thỏa các ñiều kiện sau

(i) ( ) 0m A∗ ≥ với mọi A X⊂

(ii) ( ) 0m∗ ∅ =



Trang 10

(iii) N ếu 1i

i

A A∞

=

⊂ ∪ thì ( ) ( )1

ii

m A m A∞

∗ ∗

=

≤ ∑

Nhận xét

(i) Nếu A B⊂ thì ( ) ( )m A m B∗ ∗≤ . Thật vậy, ñặt 1 , , 2i

B B B i= = ∅ ≥ , ta có 1

ii

A B∞

=

⊂∪ ,

suy ra ( ) ( ) ( )1

ii

m A m B m B∞

∗ ∗ ∗

=

≤ =∑

Từ nhận xét trên ta nhận thấy rằng ñể kiểm tra ñiều kiện (iii) ta kiểm tra

( )11

i iii

m A m A∞ ∞

∗ ∗

==

≤

∑∪

(ii) Nều m∗ là một ñộ ño ngoài thì m∗ chưa chắc là ñộ ño

Ví dụ Cho X là tập ñếm ñược, xét hàm tập :m∗ P(X) → ℝ xác ñịnh như sau

( )∗ ≠ ∅= = ∅

1 A 0

neáum A

neáu A

Khi ñó, m∗ là một ñộ ño ngoài nhưng m∗ không là ñộ ño. Thật vậy,

Giả sử 1i

i

A A∞

=

⊂ ∪ . Nếu A = ∅ thì ( ) ( )1

0i

i

m A m A∞

∗ ∗

=

= ≤ ∑ . Nếu A ≠ ∅ thì có 0i ∈ℕ ñể

0iA ≠ ∅ , khi ñó ( ) ( ) ( )

01

1i i

i

m A m A m A∞

∗ ∗ ∗

=

≥ = =∑ .

Vậy nếu 1

ii

A A∞

=

⊂∪ thì ( ) ( )1

ii

m A m A∞

∗ ∗

=

≤ ∑ , tức m∗ là một ñộ ño ngoài.

Kế tiếp, ta chứng minh m∗ không là ñộ ño.

Do X là tập ñếm ñược nên { } { }1 21

, ,..., ,...i i

i

X a a a a∞

=

= =∪

Ta có ( ) 1m X∗ = , { }( ) 1 i

m a i∗ = ∀ . Do ñó, ( ) ( )1

ii

m A m X∞

∗ ∗

=

= +∞ ≠∑ hay m∗ không là

ñộ ño.

ðịnh lí Carathéory

Cho m∗ là một ñộ ño ngoài trên X. Gọi L là lớp các tập con A của X sao cho



Trang 11

( ) ( ) ( )\m E m E A m E A∗ ∗ ∗= +∩ với mọi E X⊂ (*)

Khi ñó, L là một σ - ñại số trên X và hàm tập L

mµ ∗= là một ñộ ño trên L. ðộ ño µ

ñược gọi là ñộ ño cảm sinh bởi ñộ ño ngoài trên L. Tập A thỏa ñiều kiện (*) gọi là tập

m∗ - ño ñược.

Chứng minh

Do ( ) ( )\E E A E A= ∪ ∩ nên ( ) ( ) ( ){ }: \ ,L A X m E m E A m E A E X∗ ∗ ∗= ⊂ ≥ + ∀ ⊂∩

Chứng minh ñịnh lí này qua 3 bước:

Bước 1: Kiểm tra L là một ñại số

Dễ thấy L ≠ ∅ vì L∅ ∈

(i) Với ,A B L∈ . Ta chứng minh A B L∈∪

Với mọi E X⊂ , ta có ( ) ( ) ( )\m E m E A m E A∗ ∗ ∗= +∩

Ta lại có ( ) ( )( ) ( )( )\m E A m E A B m E A B∗ ∗ ∗= +∩ ∩ ∩ ∩

( ) ( )( ) ( )( )\ \ \ \m E A m E A B m E A B∗ ∗ ∗= +∩

Suy ra

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )\ \ \ \m E E A B E A B m E A B m E A Bµ µ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + + +∩ ∩ ∩ ∩

Mặt khác ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )\ \E A B E A B E A B E A B=∩ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪

( ) ( )\ \ \E A B E A B= ∪

Suy ra ( ) ( )( ) ( )( )\m E m E A B m E A B∗ ∗ ∗≥ +∩ ∪ ∪ với mọi E X⊂ hay A B L∈∪

(ii) Với A L∈ . Ta chứng minh CA L∈

Với mọi E X⊂ , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )\ \ C Cm E E A m E A m E A m E Aµ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + = +∩ ∩

Suy ra CA L∈

Bước 2: Chứng minh hàm tập L

mµ ∗= là cộng tính



Trang 12

Với ,A B L∈ , A B = ∅∩ . Ta chứng minh ( ) ( ) ( )m A B m A m B∗ ∗ ∗= +∪

Với mọi E X⊂ , ñặt ( )G E A B= ∩ ∪

Do A L∈ nên ( ) ( ) ( )\m G m G A m G A∗ ∗ ∗= +∩ .

Ta lại có ( )G A E A B A E A= =∩ ∩ ∪ ∩ ∩ và ( )( )\ \G A E A B A E B= =∩ ∪ ∩

Vậy ( ) ( ) ( )m G m E A m E B∗ ∗ ∗= +∩ ∩

Chọn E X= thì ta có ( ) ( ) ( )m A B m A m B∗ ∗ ∗= +∪

Bước 3 Chứng minh L là một σ - ñại số và L

mµ ∗= là σ - cộng tính

(a) Xét dãy ( )i iA L⊂ , rời nhau ñôi một.

Ta chứng minh 1

ii

A L∞

=

∈∪ và ( )11

i iii

m A m A∞ ∞

∗ ∗

==

=

∑∪

Theo bước 1 ta có 1

n

ii

A L=

∈∪ . ðặt 1i

i

A A∞

=

= ∪ thì 1

n

ii

A A=

⊃ ∪

Do 1

n

ii

A L=

∈∪ nên với mọi E X⊂ , ta có

( )1 1

\n n

i ii i

m E m E A m E A∗ ∗ ∗

= =

= +

∩ ∪ ∪

( )1 1

\nn

i ii i

m E A m E A∗ ∗

= =

= +

∑ ∩ ∪ (do bước 2)

( ) ( )1

\n

ii

m E A m E A∗ ∗

=

≥ +∑ ∩ với mọi n ∈ ℕ

Cho n→ ∞ , ta ñược ( ) ( ) ( )1

\i

i

m E m E A m E A∞

∗ ∗ ∗

=

≥ +∑ ∩

( ) ( )1

\i

i

m E A m E A∞

∗ ∗

=

≥ +

∩∪

( ) ( )\m E A m E A∗ ∗= +∩



Trang 13

Suy ra ( ) ( ) ( )\m E m E A m E A∗ ∗ ∗= +∩

Suy ra ( ) ( ) ( )1

\i

i

m E m E A m E A∞

∗ ∗ ∗

=

= +∑ ∩

Cho E A= , ta ñược ( ) ( )1

ii

m A m A∞

∗ ∗

=

= ∑ . Vậy L

mµ ∗= là một ñộ ño

(b) L là một σ - ñại số

Xét bất kì dãy ( )i iA L⊂ . ðặt 1

1 1 2 2 11

, \ ,..., \i

i i kk

B A B A A B A A−

=

= = =

∪

Khi ñó, ( )i iB L⊂ , rời nhau ñôi một và 1 1i i

i i

A B∞ ∞

= =

=∪ ∪

Theo (a) ta ñược 1

ii

B L∞

=

∈∪ . Do ñó 1

ii

A L∞

=

∈∪

1.3.2 ðịnh lí thác tri ển

ðịnh lí ( ðịnh lí mở rộng ñộ ño)

Cho m là một ñộ ño trên ñại số C⊂ P(X) .

ðặt ( ) ( ) ( )1

inf :i i i

i

m A m P P∞

∗

∈=

= ⊂

∑

ℕ C,

1i

i

P A∞

=

⊃

∪

Khi ñó

(i) m∗ là ñộ ño ngoài

(ii) Với mọi A∈ C, ta có ( ) ( )m A m A∗=

(iii) M ỗi tập thuộc F(C) là m∗ - ño ñược

Chứng minh

(i) Giả sử ( )i iA ⊂P(X). Ta chứng minh ( )11

i iii

m A m A∞ ∞

∗ ∗

==

≤

∑∪

Với 0ε > , theo ñịnh nghĩa của ( )im A∗ , tồn tại họ ( )kik

P∈

⊂ℕ

C, 1

ki i

k

P A∞

=

⊃∪ sao cho

( ) ( )1 2k

i i ik

m P m Aε∞

∗

=

< +∑



Trang 14

Do 1 1 1

ki i

i k i

P A∞ ∞ ∞

= = =

⊃∪∪ ∪ nên ( )1 1 11 1

k ki i i

i i ki k

m A m P m P∞ ∞∞ ∞ ∞

∗

= = == =

≤ ≤

∑ ∑∑∪ ∪

Suy ra ( ) ( )1 1 11 2

i i iii i ii

m A m A m Aε ε

∞ ∞ ∞ ∞∗ ∗ ∗

= = ==

< + = +

∑ ∑ ∑∪

Do 0ε > tùy ý nên ( )11

i iii

m A m A∞ ∞

∗ ∗

==

≤

∑∪

(ii) Với mọi A∈ C , mọi ( )i iP ∈⊂

ℕ C thỏa

1i

i

P A∞

=

⊃∪ ta có ( ) ( )1

ii

m A m P∞

=

≤ ∑ suy ra

( ) ( )m A m A∗≤

Mặt khác, chọn ( )1, 2i

P A P i= = ∅ ≥ , ta có ( )i iP ∈⊂

ℕ C ,

1i

i

P A∞

=

=∪ .

Khi ñó ( ) ( )1

ii

m P m A∞

=

=∑ nên suy ra ( ) ( )m A m A∗≥

Vậy ( ) ( )m A m A∗=

(iii) Gọi L là lớp các tậpm∗ - ño ñược. Theo ñịnh lí Carathéory, L là một σ - ñại số trên

X. Nếu C L⊂ thì F(C) L⊂ . Do ñó, ta chỉ cần chứng minh C L⊂

Lấy A∈ C. Với 0ε > , mọi E X⊂ , tồn tại ( )i iP ∈⊂

ℕ C sao cho

1i

i

P E∞

=

⊃∪ và

( ) ( )1

ii

m P m E ε∞

∗

=

≤ +∑

Ta lại có ( ) ( )1 1

\ \i i

i i

m E A m E A m P A m P A∞ ∞

∗ ∗ ∗ ∗

= =

+ ≤ +

∩ ∩∪ ∪

( ) ( )1 1

\i i

i i

m P A m P A∞ ∞

∗ ∗

= =

≤ +∑ ∑∩

( ) ( )( )1

\i i

i

m P A m P A∞

∗ ∗

=

= +∑ ∩

Vì \ , i iP A P A∈∩ C nên ( ) ( )i i

m P A m P A∗ =∩ ∩ và ( ) ( )\ \i i

m P A m P A∗ =

Do ñó



Trang 15

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1

\ \i i i

i i

m E A m E A m P A m P A m P m E ε∞ ∞

∗ ∗ ∗

= =

+ ≤ + = < +∑ ∑∩ ∩

Do 0ε > tùy ý nên ( ) ( ) ( )\m E A m E A m E∗ ∗ ∗+ ≤∩ với mọi E X⊂ hay A L∈

ðịnh nghĩa

Cho µ là một ñộ ño trên σ - ñại số L ⊂ P(X). ðộ ño µ ñược gọi là ñộ ño ñủ nếu với

bất kì N L∈ , ( ) 0Nµ = và nếu B N⊂ thì B L∈ và ( ) 0Bµ =

Mệnh ñề

ðộ ño µ cảm sinh bởi ñộ ño ngoài m∗ là một ñộ ño ñủ

Chứng minh

Gọi L là lớp các tậpm∗ - ño ñược. Khi ñó, L

mµ ∗= là ñộ ño cảm sinh bởi ñộ ño ngoài

m∗ . Ta chứng minh µ là một ñộ ño ñủ.

Lấy bất kì N L∈ , ( ) 0Nµ = và B N⊂ . Ta chứng minh B L∈ và ( ) 0Bµ =

Với mọi E X⊂ , ta có

( ) ( ) ( ) ( )\m E B m E B m E m B∗ ∗ ∗ ∗+ ≤ +∩

Do B N⊂ nên ( ) ( ) ( ) 0m B m N Nµ∗ ∗≤ = = hay ( ) 0m B∗ =

Vậy ( ) ( ) ( )\m E B m E B m E∗ ∗ ∗+ ≤∩ hay B L∈ .

Do B L∈ nên ( ) ( ) 0B m Bµ ∗= =

Ví dụ

Cho X là tập khác rỗng và C { },X= ∅ . Xét :µ C R→ xác ñịnh như sau

( ) ( )0, 1Xµ µ∅ = =

(a) Chứng minh µ là một ñộ ño trên C

(b) Xác ñịnh ñộ ño ngoài µ∗ sinh bởi ñộ ño µ

(c) Xác ñịnh σ - ñại số L các tập µ∗ - ño ñược và ñộ ño m là mở rộng tiêu chuẩn của µ

HD:



Trang 16

(a) Kiểm tra 3 ñiều kiện của ñộ ño

i) ( ) 0Aµ ≥ , A∀ ∈ C

ii) ( ) 0µ ∅ =

iii) V ới ( )nA ∈ C, ( )n mA A m n= ∅ ≠∩ ,

1n

n

A∞

=

∈∪ C , ta có

( )1 1

1n n

n n

A Aµ µ

∞∞

= =

= = ∑∪

(b) ( ) 1 0

neáu AA

neáu Aµ∗ ≠ ∅

= = ∅

(c) L =C { },X= ∅ , L

m µ µ∗= =

ðịnh lí ( Mở rộng tiêu chuẩn ñộ ño)

Cho m là một ñộ ño trên ñại số C⊂P(X). Khi ñó, tồn tại một ñộ ño µ xác ñịnh trên

một σ - ñại số L ⊃ F(C) ⊃ C sao cho

(i) ( ) ( )A m Aµ = với mọi A∈ C

(ii) µ là một ñộ ño ñủ

(iii) N ếu m là ñộ ño hữu hạn (σ - hữu hạn) thì µ là ñộ ño hữu hạn (σ - hữu hạn)

(iv) Giả sử µ là σ - hữu hạn. Khi ñó, A L∈ khi và chỉ khi \A B N= hoặc A B N= ∪

trong ñó B∈ F(C), ( ) ( ) 0m N Nµ∗ = = với m∗ là ñộ ño ngoài sinh bởi ñộ ño m trong

ñịnh lí mở rộng ñộ ño.

Chứng minh

Gọi m∗ là ñộ ño ngoài sinh bởi ñộ ño m và L là σ - ñại số các tậpm∗ - ño ñược

ðặt L

mµ ∗= , theo ñịnh lí Carathéory, µ là một ñộ ño xác ñịnh trên σ - ñại số

L ⊃ F(C) ⊃ C và ta cũng có (i), (ii), (iii). Ta kiểm tra kết quả (iv)

Nếu \A B N= hoặc A B N= ∪ thì hiển nhiên A L∈ . Ngược lại, nếu A L∈ ta xét hai

trường hợp



Trang 17

Trường hợp ( )Aµ < +∞

Khi ñó, ( ) ( ) ( )1

inf :i i i

i

m A m P P∞

∗

∈=

= ⊂

∑

ℕ C,

1i

i

P A∞

=

⊃

∪ < +∞

Tức là với mọi 0ε > , tồn tại ( )i iP ∈⊂

ℕ C sao cho

1i

i

P A∞

=

⊃∪ và ( ) ( )1

ii

m P m A ε∞

∗

=

< +∑

Suy ra

Với mỗi k∈ℕ , tồn tại ( )iki

P∈

⊂ℕ

C sao cho 1

ik

i

P A∞

=

⊃∪ và ( ) ( )1

1kii

m P m Ak

∞∗

=

< +∑

ðặt 1

ik k

i

B P∞

=

=∪ và 1k

k

B B∞

=

=∩ . Ta có ,k

B B ⊂F(C)

Ta cũng có ( )kBµ ≤ ( ) ( )1

1kii

m P m Ak

∞∗

=

< +∑ với mọi k∈ℕ

Nên ( ) ( ) ( ) 1k

B B Ak

µ µ µ≤ < + với mọi k∈ℕ . Suy ra ( ) ( )B Aµ µ≤

Mặt khác, B A⊃ nên ( ) ( )B Aµ µ≥ . Vậy ( ) ( )A Bµ µ=

ðặt \N B A= ta có 0Nµ = và \A B N=

Trường hợp ( )Aµ = +∞

Doµ là σ - hữu hạn nên tồn tại ( )n nA L∈ sao cho 1n

n

A A∞

=

= ∪ và nAµ < +∞

Theo trường hợp 1, với mỗi n ∈ ℕ , tồn tại n nD A⊃ ñể ( )\ 0

n nD Aµ = với

nD ∈ F(C)

ðặt 1n

n

D D∞

=

= ∪ thì D ∈ F(C) và ( )1

\ \n

n

N D A D A∞

=

= =∪

Ta có ( ) ( )1 1

\ \ 0n n n

n n

N D A D Aµ µ µ∞ ∞

= =

≤ ≤ =∑ ∑

Vậy \A D N= với D ∈ F(C) và 0Nµ =

Bây giờ nếu A L∈ thì \X A L∈ . Do ñó

\ \X A B N′ ′= với B′ ∈ F(C) và 0Nµ ′ =



Trang 18

Ta suy ra

( )\A X B N′ ′= ∪ hay A B N′ ′ ′= ∪ với \B X B′ ′ ′= ∈ F(C) và 0Nµ ′ =

1.4. ðộ ño Lebesgue trên kℝ

1.4.1. ðộ ño Lebesgue trên ℝ

Ta gọi một gian trên ℝ là một tập thuộc một trong các dạng sau

( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , , , ,a b a b a b a b a a a a −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞ với ,a b ∈ ℝ

Kí hiệu là ,a b∆ =

Từ ñịnh nghĩa một gian trên ℝ , ta suy ra phần bù của một gian là một gian hoặc là hợp

của hai gian rời nhau.

ðộ dài của một gian kí hiệu là ∆ và ñịnh nghĩa là ∆ ∅

∆ = ∆ ≠ ∅

0 = b-a

neáu

neáu

Gọi C 1

: ,n

i i ji

P P=

= ∈ = ∆ ∆ ∆ = ∅

ℝ ∩∪ . Khi ñó, C là một ñại số trên ℝ . Thật vậy,

Với 1 2,P P ∈C. Ta có

1 11

n

ii

P=

= ∆∪ với 1 1i j

∆ ∆ = ∅∩ 1, , 1,i n j n= =

2 21

k

jj

P=

= ∆∪ với 2 2i j

∆ ∆ = ∅∩ 1, , 1,i k j k= =

Do ñó ( )1 2 1 2 1 21 1 1 1

n k n k

i j i ji j i j

P P= = = =

= ∆ ∆ = ∆ ∆

∩ ∩ ∩∪ ∪ ∪∪ hay 1 2P P∩ là hợp của một số

hữu hạn những gian rời nhau ñôi nên 1 2P P ∈∩ C

Với P ∈C , ta cũng có ( )1

\ \n

ii

P=

= ∆ℝ ℝ∩ hay \Pℝ là hợp của một số hữu hạn

những gian rời nhau ñôi. Vậy \P ∈ℝ C

Do ñó ( )1 2 1 2

CC CP P P P= ∈∪ ∩ C



Trang 19

Xét hàm tập :m C → ℝ xác ñịnh như sau với 1

n

ii

P=

= ∆ ∈∪ C , i j

∆ ∆ = ∅∩

1

n

ii

mP=

= ∆∑ . Khi ñó, m là một ñô ño trên ñại số C .

Mở rộng tiêu chuẩn của ñộ ño m theo ñịnh lí mở rộng tiêu chuẩn ñộ ño gọi là ñộ ño

Lebesgue trên ℝ và kí hiệu là µ

Chú ý

(i) Theo ñịnh lí mở rộng tiêu chuẩn ñộ ño, ta có L ⊃ F(C) ⊃ C nên mỗi gian trên ℝ là

ño ñược và µ∆ = ∆

(ii) ðô ño µ là ñộ ño ñủ và σ - hữu hạn vì 1

,n

n n∞

=

= − ℝ ∪ và ( ), 2n n nµ − = < +∞

(iii) V ới A ⊂ ℝ ta có

( ) ( )1

inf :i i i

i

m A∞

∗

∈=

= ∆ ∆

∑

ℕ là dãy các khoảng mở và

1i

i

A∞

=

∆ ⊃

∪ α=

Thật vậy, theo ñịnh nghĩa ñộ ño ngoài ta có

( ) ( ) ( )1

inf :i i i

i

m A m P P∞

∗

∈=

= ⊂

∑

ℕ C,

1i

i

P A∞

=

⊃

∪ β=

Ta chứng minh α β= .

Do mỗi khoảng mở ñều thuộc C nên ta có α β≥

Với 0ε > , xét một tổng có dạng 1

ii

∞

=

∆∑ với ( )i i∈∆ ⊂ℕ

C và 1i

i

A∞

=

∆ ⊃∪

Với mọi i ∈ ℕ , tồn tại một gian mở i i′∆ ⊃ ∆ sao cho

2i i i

ε′∆ ≤ ∆ +

Khi ñó 1i

i

A∞

=

′∆ ⊃∪ và 1 1 1 12

i i i iii i i i

mPε ε ε

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

′∆ ≤ ∆ + = ∆ + ≤ +

∑ ∑ ∑ ∑

Suy ra α β ε≤ + . Do 0ε > tùy ý nên α β≤ . Vậy α β=

(iv) F(C) là σ - ñại số Borel trên ℝ và do ñó mỗi tập Borel là ño ñược.



Trang 20

Thật vậy, gọi M là lớp các tập mở của ℝ , với G ∈ M ta có i

i I

G∈

= ∆∪ trong ñó i

∆ là các

khoảng mở và I ⊂ ℕ . Do ñó, G ∈ F(C) nên M⊂ F(C) hay B =F(M) ⊂ F(C). Mặt khác,

mỗi gian là một tập Borel nên C⊂ B , do ñó F(C) ⊂ B. Vậy B = F(C).

(v) Tập A ⊂ ℝ ñược gọi là ño ñược theo ñộ ño Lebesgue µ nếu

( ) ( ) ( )\m E m E A m E A∗ ∗ ∗= +∩ với mọi ⊂ ℝE

Khi ñó, ( )A m Aµ ∗=

ðịnh lí

Cho A ⊂ ℝ . Khi ñó, ( ) 0m A∗ = khi và chỉ khi với mỗi 0ε > , tồn tại một họ không quá

ñếm ñược những khoảng mở ( )i i∆ sao cho 1i

i

A∞

=

∆ ⊃∪ và 1

ii

ε∞

=

∆ <∑

Nhận xét

Cho A ⊂ ℝ . Khi ñó, ( ) 0m A∗ = khi và chỉ khi A ño ñược và 0Aµ =

Mệnh ñề

Mọi tập con hữu hạn hoặc ñếm ñược của ℝ là ño ñược và có ñộ ño bằng 0

Nhận xét

Các tập , ,ℕ ℤ ℚ là ño ñược và có ñộ ño bằng 0

ðịnh lí (ðặc trưng của tập ño ñược theo Lebesgue)

Cho A ⊂ ℝ . Khi ñó, các mệnh ñề sau là tương ñương

(i) Tập A là ño ñược theo Lebesgue

(ii) Với mỗi 0ε > , tồn tại một tập mở G A⊃ sao cho ( )\m G A ε∗ <

(iii) V ới mỗi 0ε > , tồn tại một tập mở F A⊂ sao cho ( )\m A F ε∗ <

Chứng minh

(i) ⇒ (ii)

Trường hợp 1: Aµ < +∞


WIN7

Cross-Out


Trang 21

Với 0ε > tồn tại dãy ( )i i∈∆ℕ những khoảng mở sao cho

1i

i

A∞

=

∆ ⊃∪ và 1

ii

Aµ ε∞

=

∆ < +∑

ðặt 1i

i

G∞

=

= ∆∪ . Ta có G mở, G A⊃ và 1

ii

G Aµ µ ε∞

=

≤ ∆ < +∑ .

Do ñó ( )\G A G Aµ µ µ ε= − <

Trường hợp 2 Aµ = +∞

Ta có ( )1 1

;n

n n

A A n n A∞ ∞

= =

= − = ∩∪ ∪ với [ ]nnAAn ;−= ∩ ño ñược và +∞<nAµ nên với

0>ε , theo TH1, với mọi n ∈ ℕ , tồn tại tập mở nn AG ⊃ sao cho ( )|2

n n nG A

εµ <

ðặt ∪∞

=

=1n

nGG thì G mở và AG ⊃ và

( ) ( )∪∪∪∞

=

∞

=

∞

=

⊂=

=111

\\\\n

nnn

nn

n AGAGAGAG nên

( ) ( )1 1

\ \2n n n

n n

G A G Aεµ µ ε

∞ ∞

= =

≤ < =∑ ∑

(ii) ⇒ (i)

Theo giả thiết, với mỗi n ∈ ℕ , tồn tại tập mở nG A⊃ sao cho ( ) 1

\n

m G An

∗ <

ðặt 1n

n

K G∞

=

= ∩ , ta có K ño ñược và K A⊃

Ta lại có ( ) ( ) ( )1

1\ \ \

n nn

m K A m G A m G An

∞∗ ∗ ∗

=

= ≤ <

∩ với mọi n ∈ ℕ .

Do ñó ( )\ 0m K A∗ = . Suy ra \K A ño ñược . Do ñó ( )\ \A K K A= ño ñược

( ) ( )i iii⇔

Tập A ño ñược khi và chỉ khi CA ño ñược. Tập CA ño ñược khi và chỉ khi với mỗi

0ε > , tồn tại một tập mở CG A⊃ sao cho ( )\ Cm G A ε∗ < . ðiều này có nghĩa là tồn

tại tập ñóng CF G A= ⊂ sao cho ( )\m A F ε∗ < .



Trang 22

Vậy A ño ñược khi và chỉ khi với mỗi 0ε > tồn tại tập ñóng F A⊂ sao cho

( )\m A F ε∗ < .

1.4.2. ðộ ño Lebesgue trên kℝ ( )1k >

Gian trên kℝ là một tập thuộc một trong có dạng 1 2

...k

I I I∆ = × × trong ñó ( )1,iI i k=

là các gian trên ℝ .

Thể tích của một gian kí hiệu là ∆ và ñịnh nghĩa là =

∆ = ∏1

k

ii

I trong ñó iI là ñô dài

các gian trên ℝ .

Gọi Ck

1

: ,n

k

i i ji

P P=

= ∈ = ∆ ∆ ∆ = ∅

ℝ ∩∪ . Khi ñó, Ck là một ñại số trên kℝ

Xét hàm tập :m Ck → ℝ xác ñịnh như sau với 1

n

ii

P=

= ∆ ∈∪ Ck , i j

∆ ∆ = ∅∩

1

n

ii

mP=

= ∆∑ . Khi ñó, m là một ñô ño trên ñại số Ck

Mở rộng tiêu chuẩn của ñộ ño m theo ñịnh lí mở rộng tiêu chuẩn ñộ ño gọi là ñộ ño

Lebesgue trên kℝ và kí hiệu là kµ

Các tính chất ñối với ñộ ño Lebesgue trên ℝ vẫn còn ñúng ñối với ñộ ño Lebesgue trên kℝ ( )1k > .

Chú ý

(i) Trên mỗi kℝ , tồn tại một tập không ño ñược ñối với ñộ ño Lebesgue kµ

(ii) ðô ño Lebesgue trên kℝ là bất biến ñối với các phép dời.

1.5. Hàm ño ñược

1.5.1. ðịnh nghĩa

Cho F là một σ - ñại số trên X. Ta gọi ( ),X F là một không gian ño ñược. Nếu trên F

có một ñộ ño µ thì ta gọi ( ), ,X F µ là một không gian ñộ ño. Mỗi phần tử của F ñược

gọi là tập ño ñược.



Trang 23

Cho A F∈ và hàm số :f A→ ℝ . Hàm f ñược gọi là ño ñược trên A ñối với σ - ñại

số F nếu với mọi a ∈ ℝ , tập ( ){ }:x A f x a F∈ < ∈ .

Nếu trên trên F có một ñộ ño µ thì ta nói f ño ñược theo ñộ ño µ hay µ - ño ñược

Trường hợp kX = ℝ , kF L= thì ta nói f ño ñược theo ñộ ño Lebesgue.

Trường hợp kX = ℝ , kF B= thì ta nói f ño ñược theo Borel hay f là hàm Borel

Nhận xét Các mệnh ñề sau là tương ñương

(i) Với mọi a ∈ ℝ , ( ){ }:x A f x a F∈ < ∈

(ii) Với mọi a ∈ ℝ , ( ){ }:x A f x a F∈ > ∈

(iii) V ới mọi a ∈ ℝ , ( ){ }:x A f x a F∈ ≤ ∈

(iv) Với mọi a ∈ ℝ , ( ){ }:x A f x a F∈ ≥ ∈

Ví dụ

(i) Xét A X⊂ . Hàm ñặc trưng của tập A ñược ñịnh nghĩa là

( )χ ∈

= ∉

1 0 A

neáu x Ax

neáu x A

Khi ñó A

χ là ño ñược trên X khi và chỉ khi tập A ño ñược

(ii) Hàm Dirichlet ( ) ∈= ∈

ℚ

ℝ ℚ

1 0 \

neáu xf x

neáu x là ño ñược

(iii) Cho kA ⊂ ℝ ño ñược ñối với ñộ ño Lebesgue trên kℝ và :f A→ ℝ là hàm ño

ñược. Khi ñó hàm f ño ñược trên A .

1.5.2. Tính chất của hàm ño ñược

(i) Cho f là hàm ño ñược trên A và ,B A B F⊂ ∈ . Khi ñó, f ño ñược trên B

(ii) Giả sử µ là ñộ ño ñủ trên F và 0Aµ = . Khi ñó, mọi hàm xác ñịnh trên A ñều ño

ñược .

(iii) Nếu f là hàm ño ñược trên A thì các tập sau là ño ñược



Trang 24

( ){ }:x A f x∈ = +∞ , ( ){ }:x A f x∈ = −∞ , ( ){ }:x A f x c∈ = , ( ){ }:x A a f x b∈ < ≤

(iv) Cho f là hàm ño ñược trên nA với n I∈ ⊂ ℕ . Khi ñó hàm f ño ñược trên

nn I

A∈∪

và n

n I

A∈∩ .

(v) Cho A là tập ño ñược và ( )f x c= với mọi x A∈ . Khi ñó f ño ñược trên A

(vi) Nếu f là hàm ño ñược trên A và k ∈ ℝ thì kf là hàm ño ñược trên A

1.5.3. Các phép toán trên hàm ño ñược

(i) Nếu f là hàm ño ñược trên A và 0α > thì fα

ño ñược trên A

(ii) Nếu f và g là hai hàm ño ñược trên A thì ( )min ,f g , ( )max ,f g là các hàm ño

ñược trên A

(iii) N ếu f và g là hai hàm ño ñược và nhận giá trị hữu hạn trên A thì f g± , .f g và

( ) 0fg

g≠ là các hàm ño ñược trên A

(iv) Nếu ( )n nf là dãy những hàm ño ñược trên A thì supnf , inf

nf , lim

nf , lim

nf là các

hàm ño ñược trên A . Từ ñó suy ra nếu limnf f= thì f là hàm ño ñược trên A

1.5.4. Cấu trúc hàm ño ñược

ðịnh nghĩa

Cho ( ), ,X F µ là không gian ñộ ño và :f A→ ℝ với A F∈ . Hàm f ñược gọi là hàm

ñơn giản nếu f ño ñược trên A và chỉ nhận một số hữu hạn những giá trị thực.

Giả sử ( ) { }1 2, ,...,

nf A c c c= ⊂ ℝ . ðặt ( ){ }:

i iA x A f x c= ∈ = thì

iA F∈ ,

1

n

ii

A A=

=∪ ,

các iA rời nhau ñôi một và

1i

n

i Ai

f c χ=

= ∑ .

Ngược lại, nếu 1

i

n

i Ai

f c χ=

= ∑ với các iA ño ñược , rời nhau ñôi một ,

1

n

ii

A A=

=∪ thì f là

hàm ñơn giản trên A .



Trang 25

Cho f là hàm ño ñược trên A . ðặt ( )max ,0f f+ = và ( )min ,0f f− = − thì f + và f − là

các hàm không âm, ño ñược trên A và ta cũng có f f f+ −= − , f f f+ −= +

ðịnh lí (ðịnh lí về cấu trúc hàm ño ñược)

Cho f là hàm ño ñược trên A . Khi ñó tồn tại một dãy ( )n nf những hàm ñơn giản sao

cho limnf f= trên A .

Nếu 0f ≥ thì có thể chọn dãy hàm ñơn giản ( )n nf sao cho 1

0n nf f +≤ ≤ với mọi n ∈ ℕ

và limnf f= trên A .

Chứng minh

Trường hợp 1: Hàm f ño ñược không âm

Với mỗi n ∈ ℕ , ñặt ( ){ }0 :nC x A f x n= ∈ ≥ ,

( )1:2 2

i

n n n

i iC x A f x

−= ∈ ≤ ≤

với 1,2,..., 2ni n=

Khi ñó, các tập i

nC là ño ñược, rời nahu và

0

i

ni

C A∞

=

=∪

ðặt ( ) ∈= − ∈

0 1

2

n

n i

nn

n neáu x C

f x ineáu x C

thì ( )nf x là hàm ño ñược trên A

Xét n ∈ ℕ , chứng minh 1n n

f f +≤

Lấy x A∈ . Khi ñó, tồn tại { }0,1,..., 2ni n∈ ñể i

nx C∈ .

Nếu 0i = thì ( )f x n≥ và ( )nf x n= .

Nếu ( ) 1f x n≥ + thì ( ) ( )11

n nf x n n f x+ = + > =

Giả sử ( ) 1n f x n≤ < + . Ta viết ( ) ( ) 11

1 1

1 22

2 2

nn

n n

nnf x

++

+ +

+≤ < . Do ñó

( ) ( )1

1 1

2

2

n

n nn

nf x n f x

+

+ +≥ = =



Trang 26

Xét 1i ≥ , ta có

( ) ( ) 2 1 2

11 1 1 1

2 2 2 1 2 1 2: :2 2 2 2

i i i

n n nn n n n

i i i iC x A f x x A f x C C−

+ ++ + + +

− − −= ∈ ≤ < ∈ ≤ < =

∪ ∪

Nếu 2 1

1

i

nx C −

+∈ thì ( ) ( )1 1

2 2 1

2 2n nn n

i if x f x+ +

− −= = =

Nếu 2

1

i

nx C +∈ thì ( ) ( )1 1 1

2 1 2 2 1

2 2 2n nn n n

i i if x f x+ + +

− − −= ≥ = =

Vậy ta có ( ) ( )1n nf x f x+ ≥ với mọi x A∈

Xét x A∈ , chứng minh ( ) ( )limnnf x f x

→∞=

Nếu ( )f x = +∞ , ta có ( )f x n≥ với mọi n ∈ ℕ . Do ñó, ( )nf x n= với mọi n ∈ ℕ .

Vậy ( ) ( )limnnf x f x

→∞= +∞ =

Nếu ( )0 f x≤ < +∞ thì tồn tại 0n ∈ ℕ ñể ( ) 0

f x n< . Với 0

n n≥ thì ( )f x n< .

Do ñó có { }0,1,..., 2ni n∈ ñể i

nx C∈ và ( ) 1

2n n

if x

−= . Khi ñó

( ) ( ) 1

2n nf x f x− < với

0n n≥

Suy ra ( ) ( )limnnf x f x

→∞=

Trường hợp 2: Hàm f ño ñược bất kì

Ta có f f f+ −= − . Khi ñó, theo trường hợp 1, tồn tại hai dãy hàm ñơn giản ( )nn

f + , ( )nn

f −

sao cho ( ) ( )limnnf x f x+ +

→∞= , ( ) ( )lim

nnf x f x− −

→∞= . ðặt

n n nf f f+ −= − thì ( )n nf là hàm ñơn

giản và ( ) ( )limnnf x f x

→∞= .

1.5.5. Hàm tương ñương

Cho không gian ñộ ño ( ), ,X F µ . Một tính chất P ñược gọi là thỏa mãn hầu khắp A

nếu tồn tại B F∈ , B A⊂ , 0Bµ = sao cho P thỏa trên \A B

Hai hàm f và g ñược gọi là tương ñương trên tập A nếu f g= hầu khắp A .



Trang 27

Kí hiệu f g∼

ðịnh lí

Cho µ là một ñộ ño ñủ trên σ - ñại số F và A F∈ . Nếu f g∼ và f ño ñược trên A

thì g là hàm ño ñược trên A .

1.5.6. Hội tụ theo ñộ ño

Cho ( )n nf , f là những hàm ño ñược trên A . Dãy hàm ( )n nf ñược gọi là hội tụ theo ñộ

ño µ về hàm f trên A nếu với mỗi 0ε > ( ) ( ){ }lim : 0nn

x A f x f xµ ε→∞

∈ − ≥ = .

Kí hiệu nf fµ→

Ví dụ

(i) Cho :nf →ℝ ℝ xác ñịnh như sau ( )n

f x c= với mọi x ∈ ℝ , với mọi n ∈ ℕ .

Khi ñó, nf hội tụ theo ñộ ño về c

(ii) Cho ( )n nf , f là những hàm thực xác ñịnh trên A F∈ và ( )n nf hội tụ ñều về hàm f

trên A . Khi ñó, ( )n nf hội tụ theo ñộ ño µ về hàm f trên A

(iii) Cho nf fµ→ trên A và c ∈ ℝ . Khi ñó,

ncf cfµ→ trên A

ðịnh lí

Cho µ là một ñộ ño ñủ trên σ - ñại số F . Khi ñó

(i) Nếu nf fµ→ và f g∼ trên A thì

nf gµ→ trên A

(ii) Nếu nf fµ→ và

nf gµ→ trên A thì f g∼ trên A

Chứng minh

(i) Dễ thấy

(ii) Ta chứng minh ( ) ( ){ }: 0x A f x g xµ ∈ ≠ =

Ta có

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )1

1: : 0 :

n

x A f x g x x A f x g x x A f x g xn

∞

=

∈ ≠ = ∈ − > = ∈ − ≥

∪



Trang 28

Ta chứng minh ( ) ( ){ }: 0x A f x g xµ ε∈ − ≥ = với 0ε >

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x f x f x g x− ≤ − + −

Nếu ( ) ( )2n

f x f xε− < và ( ) ( )

2nf x g x

ε− < thì ( ) ( )f x g x ε− <

Do ñó

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ): : :2 2n n

x A f x g x x A f x f x x A f x g xε εµ ε µ µ

∈ − ≥ ≤ ∈ − ≥ + ∈ − ≥

Suy ra ( ) ( ){ }: 0x A f x g xµ ε∈ − ≥ = và do ñó ( ) ( ){ }: 0x A f x g xµ ∈ ≠ =

ðịnh lí

Cho µ là một ñộ ño ñủ trên σ - ñại số F và ( )n nf là dãy những hàm ño ñược trên A

mà limnf f= h.k A . Khi ñó f là hàm ño ñược trên A . Nếu thêm giả thiết Aµ < +∞

thì nf fµ→ trên A .

Chứng minh

Do limnf f= h.k A nên có , 0B A Bµ⊂ = ñể ( ) ( )lim

nf x f x= với \x A B∈ . Suy ra

f ño ñược trên \A B . Hơn nữa, µ là ñộ ño ñủ, 0Bµ = nên f ño ñược trên B . Do ñó,

f ño ñược trên ( )\B A B A=∪ .

Với 0ε > , ñặt ( ) ( ){ }:n nA x A f x f x ε= ∈ − ≥

Gọi p i

i p

C A∞

=

= ∪ , 1p

p

C A∞

=

=∩

Khi ñó, pC là dãy tăng và

pCµ < +∞ với mọi p ∈ ℕ nên lim

ppC Cµ µ

→∞=

Với x C∈ , ta có p

x C∈ với mọi p ∈ ℕ

Do ñó, với mọi p ∈ ℕ , tồn tại i p≥ ñể i

x A∈ tức là ( ) ( )if x f x ε− ≥

Do ñó, ( ) ( )if x f x→/ hay x B∈ . Do ñó, C B⊂ nên 0Cµ = . Suy ra lim 0

ppCµ

→∞=

Vì p pA C⊂ nên 0

p pA Cµ µ≤ ≤ với mọi p ∈ ℕ .



Trang 29

Suy ra lim 0ppAµ

→∞= và do ñó

nf fµ→ trên A .

ðịnh lí

Cho ( )n nf là dãy những hàm ño ñược trên A và nf fµ→ trên A . Khi ñó tồn tại

dãy con ( ) ( )kn n nk

f f⊂ sao cho knf f→ hầu khắp A



Trang 30

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1.1 Cho C = ){ }, : ,a b a b ∈ ℝ . Chứng minh rằng σ - ñại số sinh bởi C trùng với σ - ñại

số Borel trên ℝ .

1.2 Cho :f X Y→ là một ánh xạ và C là mộtσ - ñại số trên Y. Chứng minh rằng

1f − ( C ) ( ){ 1 :f A A−= ∈ C } là một σ - ñại số trên X

1.3 Cho C là một ñại số trên X . Xét :µ C → ℝ như sau ( )µ = 0A với mọiA∈ C

Chứng minh rằng µ là một ñộ ño trên C

1.4 Cho X là tập ñếm ñược và :µ P(X) → ℝ xác ñịnh như sau

( )µ

= ∞

soá phaàn töû cuûa A A höõu haïn + voâ haïn

neáuA

neáu A

Chứng minh rằng µ là một ñộ ño.

1.5 Cho C là một ñại số trên X, ∈E C và µ là một ñộ ño trên C. Với ∈A C, ñặt

( ) ( )µ µ= ∩EA E A . Chứng minh rằng µ

E là một ñộ ño trên C.

1.6 Cho µ là một ñộ ño trên σ - ñại số C. Với ∈E C, ñặt F {= ⊂ ∈:A E A C }. Chứng

minh F là một σ - ñại số trên E và µF là một ñộ ño.

1.7 Cho C là một σ - ñại số X , µ là một ñộ ño trênC, ≠ ∅Y và ánh xạ →:f X Y

ðặt ( ){ −= ⊂ ∈1:F B Y f B C } và ( ) ( )( )γ µ −= 1B f B . Chứng minh F là một σ - ñại số Y

và γ là một ñộ ño trên F.

1.8 Cho A là tập con của ℝ và 0Aµ > . Chứng minh rằng trong A có hai ñiểm mà

khoảng các giữa chúng là số vô tỉ

1.9 Cho A là tập con của ℝ và 0Aµ > . Chứng minh rằng trong A có hai ñiểm mà

khoảng các giữa chúng là số hữu tỉ

1.10 Cho A là tập con của R. Chứng minh rằng tập A ño ñược khi và chỉ khi tập

), 1A n n +∩ ño ñược



Trang 31

1.11 Cho A là tập con ño ñược của 0;1 và 0A aµ = > . Giả sử 1 2, ,...,

nx x x là n phần tử

phân biệt của 0;1 . ðặt { }:i iA x x x A= + ∈ . Chứng minh rằng nếu

2na

> thì các tập

iA , 1,...,i n= không thể rời nhau ñôi một. Từ ñó, suy ra rằng trong A có hai phần tử

mà khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách giữa hai ñiểm ix nào ñó

1.12 Cho ,A B là hai tập (L)- ño ñược chứa trong 0,1 và ( ) ( ) 1A Bµ µ+ > . Chứng

minh rằng ( ) 0A Bµ >∩ .

1.13 Cho ( )n nA là dãy những tập con ño ñược của 0,1 . Giả sử với mỗi 0ε > , tồn tại

j ∈ ℕ sao cho 1jAµ ε> − . Chứng minh rằng

1

1n

n

Aµ∞

=

=

∪

1.14 Cho ),nA n= +∞ . Chứng minh

nA là dãy giảm nhưng

1

limn nn

n

A Aµ µ∞

→∞=

≠

∩

1.15 Cho A ⊂ ℝ , A là tập (L) – ño ñược và Aµ < +∞ . Chứng minh rằng với mỗi 0>ε ,

tồn tại tập compắc K A⊂ sao cho ( )\A Kµ ε<

1.16 Cho A là tập ño ñược vàf là hàm số xác ñịnh trên A . Chứng minh rằng nếu với

mọi số hữu tỉ r , tập ( ){ }∈ <:x A f x r ño ñược thì hàm f ño ñược trên A .

1.17 Cho f là hàm số xác ñịnh trên A . Chứng minh rằng nếu nf với n lẻ là hàm ño

ñược trên A thì f ño ñược trên A

1.18 Cho :f X → ℝ là hàm ño ñược trên X , với , ,a b a b∈ <ℝ . Chứng minh rằng

( )( ) ( )

( )( )

≤ ≤= <

>

f x neáu a f x b

g x a neáu f x a

b neáu f x b

ño ñược trên X .

1.19 Cho f là hàm số xác ñịnh trên ,a b ⊂ ℝ . Giả sử với mọi , ,a bα β ⊂ thì f ño

ñược trên ,α β . Chứng minh rằng f ño ñược trên ,a b

1.20 Cho :f X → ℝ và :g X → ℝ là các hàm ño ñược trên X . Chứng minh các tập

sau là ño ñược



Trang 32

(a) ( ) ( ){ }:x X f x g x∈ < (b) ( ) ( ){ }:x X f x g x∈ ≠

1.21 Cho nf fµ→ trên A và

nf g→ h.k A . Chứng minh rằng f g∼ trên A

1.22 Cho 0,1A ⊂ và ( )L - ño ñược , 0A aµ = > . Chứng minh rằng

(a) Hàm ( ) ( )0,f x A xµ = ∩ liên tục trên 0,1

(b) Với mọi ( )0,b a∈ , tồn tại B A⊂ ,B là ( )L - ño ñược và B bµ =

1.23 Cho ( )nnf là dãy những hàm ño ñược trên A , +∞<Aµ . Chứng minh 0nf µ→

trên A với Nn ∈∀ khi và chỉ khi 01

n

n

f

f

µ→+

trên A


ch ƯƠ ng 1. lÝ thuy Ết ðỘ ðo - | blog toán · ch ươ ng 1. lý thuy ết ñộ ño biên...

Documents