Ch1 多項式函數的極限與導數

製作教師： Chinhu

發行學校：慧燈中學

割線與切線( ) ( , ( )) ( )f x P a f a y f x設 為一函數， 是

圖形上的一定點。

( , ( ))Q x f x 是圖形上異於P的任意點

( ) ( )

( ) ( )limx a

Q P PQ

f x f a

x af x f a

x a

當 點沿圖形趨近於 時，割線

的斜率 會趨近於切線

的斜率

切線的斜率( ) ( )

lim ( )x a

f x f af x

x a

當極限 存在時 y=，在 的圖形上

( , ( ))P a f a m

m

以 為切點的切線斜率 為

x→ a

f(x)-f(a)lim

x-a

2

(2,4)

( )

P

f x x

已知點 在二次函數

的圖形 P上，求以 點為切點的切

例1：

線方程式。

2

( ) (2)lim 4

2x

f x fP m

x

點的切線斜率

4 4x y 由點斜式知方程式：

2

(2,0)

( )

P

f x x x

e 已知點 在二次函數

-2的圖形 P上，求以 點為切點的切線

x：

方程式。

.2 4Ans x y

3

(1,2)

( )

P

f x x

已知點 在三次函數

+1的圖形 P上，求以 點為切點的切

例2：

線方程式。

1

2

1

( ) (1)lim

1

lim 1 3

x

x

f x fP m

x

x x

點的切線斜率

1x y 由點斜式知方程式 3：

3

(2,8)

( )

P

f x x

已知點 在三次函數

的圖形 P上，求以 點為切點的切

ex:

線方程式。

.12 16Ans x y

拋物線的光學性質平行於對稱軸的光線經拋物線反射後必通過焦點 F；相反的﹐由焦點 F射出的光線經拋物線反射後都會與軸平行﹒

平均速度與瞬時速度

( ) (

( )

( )

)f x f a

x a

f x x

a x x a

函數 表示一個運動質點在時刻 的位移則時刻 到時刻 為平均速度之間 的

( ) ( )limx a

f x f a

aa

x

質點在時刻 時的瞬 為速度

﹐

2

50

( ) 50 4.9

3:

t

h t t

已知一物體從離地面 公尺高處自由落下，經 秒後離地的高度為

例

公尺

(1) 2 3t t 求時刻 到 之間的平均速度。

(2) 2t 求時刻 的瞬時速度。

(1) 24.5( / ) 公尺 秒 (2) 19.6( / ) 公尺 秒

4( 1

:

) ,s t

ex

t t

設有一運動的位移函數是

求時刻 的瞬時速度

.4Ans

切線斜率的另一表示法

0 0

, ( ) ( )

( ) ( )lim limx x

x x a y f x f a

yPQ

x

y f a x f a

x x

令 則

割線 的斜率為

切線的斜率為

m=