Chapitre 1 :

RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT :

MÉTHODES DE CALCULS

Lorsqu’un circuit électrique linéaire (composé de dipôles linéaires) est alimenté en permanence par une source d’énergie électrique sinusoïdale, les grandeurs électriques du circuit sont toutes sinusoïdales de même fréquence égale à celle de la source. On dit alors que l’on est en régime sinusoïdal forcé et établi ou régime sinusoïdal permanent.Bien entendu, les calculs sur les valeurs instantanées restent possibles, mais ils deviennent vite délicats. Afin de faciliter les calculs, on utilise deux outils, qui font abstraction du temps : le formalisme complexe, ou la construction vectorielle de Fresnel.

Attention ! Les lois générales de l’électricité (Les lois des nœuds, des mailles et les théorèmes de Superposition, Thévenin, Norton, Millmann, etc.) , restent valables à condition de les appliquer aux valeurs instantanées, ou bien, de les transposer au calcul complexe ou au calcul vectoriel.

1- Construction vectorielle de Fresnel

Méthode : À chaque grandeur sinusoïdale on associe un vecteur, et réciproquement

Question : Soit le schéma de la figure ci-dessous. Déterminer l’intensité du courant traversant la lampe L, sachant que les courants sinusoïdaux dans les lampes L1, L2 et L3 sont :i1 = IMax sin (ωt) i2 = IMax sin(ωt + 2π/3) i3 = Imax sin (ωt + 4π/3)

avec : IMax = 1 A et f = 50 Hz

Réponse :– À chaque courant, on associe un vecteur :

– Loi des nœuds :

– On construit graphiquement la somme vectorielle des courants sachant que chaque vecteur a pour longueur IMax. Le vecteur résultant étant nul, on en déduit que l’amplitude du courant i est nulle.

2- Utilisation des nombres complexesAfin de faciliter les calculs, on associe une fonction complexe du temps u = u (t) à chaque grandeur réelle sinusoïdale du temps u = u (t). Si la grandeur est un sinus (respectivement cosinus), alors elle est donnée par la partie imaginaire (respectivement réelle) de la fonction complexe :

On définit l’amplitude complexe de u = u (t) :U = UMaxe jϕ0,u (c’est un nombre complexe)

Attention ! Le module de U, noté |U|, est ici égal à UMax (valeur maximale) ; et non à UEff (valeur efficace) comme cela est parfois le cas lorsque le coefficient √ 2 est arbitrairement introduit.

Remarque : Dans le cas d’un système linéaire où toutes les sources sont synchrones (même temps) et de même fréquence, on peut faire abstraction du terme exp (jωt), ce qui revient à travailler avec les seules amplitudes complexes.Méthode :À chaque grandeur sinusoïdale on associe un nombre complexe, et réciproquement

Question : Reprendre l’exemple précédent en utilisant la méthode des complexes.

Réponse :– À chaque courant, on associe un nombre complexe :

– Loi des nœuds :

D’où :

IMPÉDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXES D’UN DIPÔLE

Soit le dipôle linéaire ci- contre. La convention récepteur est adoptée.

• DéfinitionsL’impédance complexe Z d’un dipôle est le rapport de u (t) par i (t).

Avec :ϕ = ϕ0,u − ϕ0,i ; R = Re (Z) = |Z| cos (ϕ) : résistance et X = Im (Z) = |Z| sin (ϕ) : réactance. |Z|, R et X s’expriment en ohms (Ω).

L’admittance complexe Y est l’inverse de l’impédance complexe :

où G = Re (Y) = R/(R2 + X2) : conductance, B = Im (Y) = −X/(R2 + X2) : susceptance.|Y|, G et B s’expriment en siemens (S) ou en ohms-1 (Ω-1).

• Schéma électrique et notations complexes

• Dipôles linéaires élémentaires

PUISSANCES – FACTEUR DE PUISSANCE

• Formules et relations Amplitudes complexes : U = UMax e jϕ0,u et I = IMax e jϕ0,i

Déphasage de u par rapport à i : ϕ = ϕ0,u − ϕ0,i

Remarque :

• Puissances de dipôles linéaires élémentaires

• Facteur de puissance. Caractérise le taux d’utilisation du réseau.

• Interprétation physiqueÀ la puissance active correspond une énergie active qui est absorbée et transformée dans le récepteur en énergie thermique, mécanique, chimique, etc.Par contre, à la puissance réactive correspond une énergie réactive qui va périodiquement de la source vers le récepteur puis du récepteur vers la source, et ainsi de suite sans ne jamais être absorbée par le récepteur.L’existence d’une puissance réactive conduit à une augmentation du courant dans le générateur et la ligne alimentant le récepteur. Cette augmentation engendre un surcroît de pertes et nécessite un surdimensionnement des moyens de transport. La puissance apparente est un élément de dimensionnement de la ligne et du générateur.Pour une puissance active donnée, plus le facteur de puissance est faible et plus le courant est élevé. C’est pourquoi l’ONE impose un facteur de puissance élevé et pénalise financièrement les consommateurs d’énergie réactive.

• Théorème de Boucherot. La puissance active totale (respectivement réactive totale) consommée par un ensemble de récepteurs est égale à la somme des puissances actives (respectivement réactives) consommées par chaque récepteur.Ainsi, une installation comportant n récepteurs, alimentée sous une tension UEff et consommant un courant IEff, absorbe une puissance active PTot et une puissance réactive QTot avec un facteur de puissance fP = cos (ϕ) tels que :

Attention ! Les puissances apparentes ne s’additionnent pas.

• Relèvement du facteur de puissance. S ’il est inférieur à la norme, le facteur de puissance d’une installation doit être relevé. Une méthode simple consiste à brancher en parallèle des condensateurs sur l’installation généralement inductive.