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수치해석수치해석Numerical AnalysisNumerical Analysis

161009161009

Ch19. Numerical Integration Ch19. Numerical Integration Ch19. Numerical Integration Ch19. Numerical Integration FormulasFormulas

� 미적분

• 미분 : 독립변수에 대한 종속변수의 변화율

� y(t)= 임의의 물체의 시간에 따른 위치, v(t)= 속도

� 함수의 구배

Part 5. Part 5. Part 5. Part 5. 소개소개소개소개 (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)

( ) ( )d

v t y tdt

=

Numerical AnalysisNumerical Analysis

� 함수의 구배

• 적분 : 미분의 역, 어떤 구간 내에서 시간/공간에 따라 변화하는 정

보를 합하여 전체 결과를 구함.

� 0에서 t까지의 구간에서 곡선 v(t) 아래의 면적

0( ) ( )

t

y t v t dt= ∫

Part 5. Part 5. Part 5. Part 5. 소개소개소개소개 (2/2)(2/2)(2/2)(2/2)

� 미분과미분과미분과미분과 적분의적분의적분의적분의 비교비교비교비교


미분 적분

19.1 19.1 19.1 19.1 소개소개소개소개 및및및및 배경배경배경배경

� 적분:

→ 독립변수 x 에 대한 함수 f(x)의

구간 x = a에서 x = b까지의 적분

→x = a 와 b 사이의 범위에서

∫=b

adxxfI )(


→x = a 와 b 사이의 범위에서

곡선 f(x) 아래의 면적

• 구적법= 수치적으로 정적분을 구하는 방법

도형과 같은 면적을 가지는 사각형을 구축한다는 것을 의미

19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton----Cotes Cotes Cotes Cotes 공식공식공식공식 (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)

• 가장 널리 사용되는 수치적분 방법

• 복잡한 함수나 도표화된 데이터를 적분하기 쉬운 다항식으로 대체

여기서

∫∫ ≅=b

an

b

adxxfdxxfI )()(

nn

nnn xaxaxaaxf ++++= −−

1110)( L


적분의 근사: (a) 직선 아래 면적, (b)포물선 아래 면적

19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton----Cotes Cotes Cotes Cotes 공식공식공식공식 (2/2)(2/2)(2/2)(2/2)


• 데이터를 동일 간격의 소구간으로 나누어

일련의 다항식으로 근사값 계산

• Newton-Cotes 공식에는 폐구간법과 개구간법이 있음

세 직선 아래의 면적으로 근사 (a) 폐구간 적분 공식과 (b) 개구간 적분 공식

19.3 19.3 19.3 19.3 사다리꼴사다리꼴사다리꼴사다리꼴 공식공식공식공식 (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)

• Newton-Cotes 폐구간 적분공식의 첫 번째 방법

• 1차 다항식

)()()(

)()()(

)(

)(

bfafab

dxaxab

afbfaf

dxxfI

b

a

b

an

+−=

−−−

+=

=

∫

∫


→ 사다리꼴 공식

2)( ab −=

높이 평균 a)(b 높이 평균 폭 I ×−=×=


� 사다리꼴 공식의 오차

• 한 개의 구간에 대해 공식을 적용할 때 발생하는 국소절단오차

- 선형 함수에 대해서는 정해 제공

← f''(ξ) = 0

3))((12

1abξfEt −′′−=


- 2차 이상의 함수인 경우에는

어느 정도의 오차가 발생

함수 f(x)의 x = 0에서 0.8까지의적분의 근사와 발생 오차

� Q. 주어진 5차 함수의 적분을 a = 0에서 b = 0.8까지의

구간에 대해 사다리꼴 공식을 사용하여 수치적으로 구하

라. (참고로 정해는 1.640533)

Sol)

예제 19.1 (1/2)

2 3 4 5( ) 0.2 2.5 200 675 900 400f x x x x x x= + − + − +


Sol)

� Et = 1.640533 – 0.1728 = 1.467733

� εt = 89.5% (상당한 오차 !)

1728.02

232.02.0)08.0( =

+−=I

예제 19.1 (2/2)

근사적인 오차 추정값:

32 000,8800,10050,4400)( xxxxf +−+−=′′

6008.0

)000,8800,10050,4400()(

8.0

0

32

−=−

+−+−=′′ ∫ dxxxx

xf

56.2)8.0)(60(1 3 =−−=E


56.2)8.0)(60(12

1 3 =−−=aE

note : Ea는 참 오차와 같은 차수와 부호를 가지지만, 차이가 있다. 이는 2차도함수의 평균≠f"(ξ )때문이며, 따라서 Ea는 근사 오차임.


� 합성 사다리꼴 공식

• a에서 b까지의 적분 구간을 다수의 소구간으로 나누고, 사다리꼴 공

식을 각 소구간에 적용

→ 합성 (또는 다구간) 적분공식



• (n + 1)개의 등간격 기본점 (x0, x1, x2, ..., xn)

→ n개의 등간격 구간 폭;

만약 a = x0와 b = xn로 놓으면,

사다리꼴 공식을 각각 적용하면,

n

abh

−=

∫∫∫−

+++= n

n

x

x

x

x

x

xdxxfdxxfdxxfI

1

2

1

1

0

)()()( L


사다리꼴 공식을 각각 적용하면,

또는

여기서, 평균 높이는 함수값의 가중 평균값을 나타냄

2

)()(

2

)()(

2

)()( 12110 nn xfxfh

xfxfh

xfxfhI

+++

++

+= −

L

++= ∑

−

=

)()(2)(2

1

1

0 n

n

i

i xfxfxfh

I

44444 344444 21321

height Average

1

1

0

Width2

)()(2)(

)(n

xfxfxf

abI

n

n

i

i ++

−=∑−

=


• 합성 사다리꼴 공식의 오차(각 구간의 오차의 합)

또는 ← 에서

∑=

′′−

−=n

i

it ξfn

abE

13

3

)(12

)(

fn

abEa ′′

−−=

2

3

12

)(

n

fnξfn

i

i ′′≅′′∑=1

)(


n

ξf

f

n

i

i∑=

′′

≅′′ 1

)(

예제 19.2 (1/2)

� Q. 두 개의 구간에 대한 사다리꼴 공식을 이용하여

a = 0에서 b = 0.8까지의 범위에서 함수의 적분값을

구하라. 참고로 정해는 1.640533.

Sol)

2 3 4 5( ) 0.2 2.5 200 675 900 400f x x x x x x= + − + − +


Sol)

n = 2 (h = 0.4)에 대해서

232.0)8.0( 456.2)4.0( 2.0)0( === fff

0688.14

232.0)456.2(22.08.0 =

++=I

%9.34 57173.00688.1640533.1 ==−= tt εE

64.0)60()2(12

8.02

2

=−−=aE

예제 19.2 (2/2)

nnnn hhhh IIII εεεεtttt (%)(%)(%)(%)

2

3

4

5

6

0.4

0.2667

0.2

0.16

0.1333

1.0688

1.3695

1.4848

1.5399

1.5703

34.9

16.5

9.5

6.1

4.3

<함수 f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4를x = 0에서 0.8까지 적분한 합성 사다리꼴 공식의 결과>


2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.4

0.2667

0.2

0.16

0.1333

0.1143

0.1

0.0889

0.08

1.0688

1.3695

1.4848

1.5399

1.5703

1.5887

1.6008

1.6091

1.6150

34.9

16.5

9.5

6.1

4.3

3.2

2.4

1.9

1.6

19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 공식공식공식공식 (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)

• 사다리꼴 공식- 오차가 함수의 2차도함수와 관련

• Simpsons 공식: 데이터 점들을 연결하는 고차 다항식을 사용

• 조밀한 구간에 대한 사다리꼴 공식보다 정확한 적분


(a) Simpson 1/3 공식: 세 점을 연결하는 포물선 아래에 있는 면적(b) Simpson 3/8 공식: 네 점을 연결하는 3차 방정식 아래에 있는 면적


� Simpson 1/3 공식

• 세 점을 연결하는 2차 다항식을 사용하는 경우 (Lagrange form)

또는 또는

dxxfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxI

x

x

−−

−−+

−−

−−+

−−

−−= ∫ )(

))((

))(()(

))((

))(()(

))((

))((2

1202

101

2101

200

2010

212

0

)]()(4)([3

210 xfxfxfh

I ++=6

)()(4)()( 210 xfxfxfabI

++−=


여기서 h = (b – a)/2, a = x0, b = x2, 그리고 x1 = (a + b)/2

• 오차

또는

-기대했던 것(3차 도함수에 비례)보다 더 정확한 4차 도함수에 비례

→ 3차 다항식에 대해서도 정확한 결과를 산출

)(90

1 )4(5 ξfhEt −= )(2880

)( )4(5

ξfab

Et−

−=

� Q. Simpson 1/3 공식을 이용하여 구간 a = 0와 b = 0.8

사이에서 다음 식을 적분하라. (참고로 정해는 1.640533)

Sol)

n = 2 (h = 0.4)에 대해서

예제 19.3

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +−+−+=

232.0)8.0( 456.2)4.0( 2.0)0( === fff


단일 구간에 적용한 사다리꼴 공식의 결과보다 약 5배 정도 더 정확함

232.0)8.0( 456.2)4.0( 2.0)0( === fff

367467.16

232.0)456.2(42.08.0 =

++=I

%6.16 2730667.0367467.1640533.1 ==−= tt εE

2730667.0)2400(2880

8.0 5

=−−=aE


� 합성 Simpson 1/3 공식

• 주어진 구간을 등간격의 여러 구간으로 나눔으로써 개선된 적분 결

과를 얻는다.

각각의 적분항에 Simpson 1/3 공식을 대입하면

∫∫∫−

+++= n

n

x

x

x

x

x

xdxxfdxxfdxxfI

2

4

2

2

0

)()()( L


또는

6

)()(4)(2

6

)()(4)(2

6

)()(4)(2 12432210 nnn xfxfxf

hxfxfxf

hxfxfxf

hI++

++++

+++

= −−L

n

xfxfxfxf

abI

n

n

j

j

n

i

i

3

)()(2)(4)(

)(

2

6,4,2

1

5,3,1

0 +++

−=∑∑−

=

−

=


• 이 방법을 적용하기 위해서는 "짝수 개"의 구간을 사용

• 추정오차:

)4(

4

5

180

)(f

n

abEa

−−=


합성 Simpson 1/3 공식에사용되는 상대적 가중치

(함수 값 위에 주어진 수치)

예제 19.4 (합성 Simpson 1/3 공식)

� Q. 합성 Simpson 1/3 공식을 이용하여

구간 a = 0과 b = 0.8 사이에서 n = 4 일 때 다음 식을 적

분하라. (참고로 정해는 1.640533)

Sol)

n = 4 (h = 0.2)에 대해서

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +−+−+=


추정오차:

232.0)8.0(

464.3)6.0( 456.2)4.0(

288.1)2.0( 2.0)0(

=

==

==

f

ff

ff

623467.112

232.0)456.2(2)464.3288.1(42.08.0 =

++++=I

%04.1 017067.0623467.1640533.1 ==−= tt εE

017067.0)2400()4(180

8.04

5

=−−=aE


� Simpson 3/8 공식

• 3차 Newton-Cotes 폐구간 적분 공식

• 3차 Lagrange 다항식을 이용하여 유도

또는

)]()(3)(3)([8

33210 xfxfxfxf

hI +++=

8

)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfabI

+++−=


여기서 h = (b – a)/3

• 오차: 또는•

- 네 개의 데이터 점으로 3차의 정확도를 얻음

- Simpson 3/8 공식이 Simpson 1/3 공식보다 조금 더 정확함

- 세 개의 데이터 점으로 3차의 정확도를 얻는 1/3 공식이 더 선호됨

• 구간의 개수가 홀수인 경우에도 적용이 가능

8

)(80

3 )4(5 ξfhEt −= )(6480

)( )4(5

ξfab

Et−

−=

예제 19.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (1/3)

� Q.

(a) Simpson 3/8 공식을 사용하여 구간 a = 0에서 b =

0.8까지 아래의 식을 적분하라.

(b) Simpson 3/8 공식과 Simpson 1/3 공식을 함께 사용

하여 다섯 개의 구간(구간 a = 0에서 b = 0.8까지)에 대해

아래의 식을 적분하라.


아래의 식을 적분하라.

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +−+−+=

예제 19.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (2/3)

풀이)

(a) n = 3 (h = 0.2667)에 대해서

232.0)8.0( 487177.3)5333.0(

432724.1)2667.0( 2.0)0(

==

==

ff

ff

51970.18

232.0)487177.3432724.1(32.08.0 =

+++=I


(b) h = 0.16에 대해서

232.0)80.0( 181929.3)64.0(

186015.3)48.0( 743393.1)32.0(

296919.1)16.0( 2.0)0(

==

==

==

ff

ff

ff

Simpson 1/3 공식과 3/8 공식을 함께 적용하여적분을 구하는 예(홀수 개의 구간인 경우)

예제 19.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (3/3)

Simpson 1/3 공식을 처음 두 개의 구간에 적용하면

Simpson 3/8 공식을 나머지 세 개의 구간에 적용하면

3803237.06

743393.1)296919.1(42.032.0 =

++=I

264754.1232.0)181929.3186015.3(3743393.1

48.0 =+++

=I


두 결과를 합하여 전체 적분값

264754.18

232.0)181929.3186015.3(3743393.148.0 =

+++=I

645077.1264754.13803237.0 =+=I

<Newton-Cotes 폐구간 적분 공식: 간격의 크기는 h = (b – a)/n임>

구간수구간수구간수구간수((((nnnn))))

점의점의점의점의개수개수개수개수

이름이름이름이름 공공공공 식식식식 절단오차절단오차절단오차절단오차

1 2사다리꼴

공식

2 3Simpson 1/3 공식

19.5 19.5 19.5 19.5 고차고차고차고차 NewtonNewtonNewtonNewton----Cotes Cotes Cotes Cotes 공식공식공식공식

2

)()()( 10 xfxfab

+− ( ) )121 3 (ξfh/ ′′−

6

)()(4)()( 210 xfxfxfab

++− ( ) )(90/1 )4(5 ξ− fh


짝수 구간-홀수 점 공식을 통상적으로 선호한다.

3 4Simpson 3/8 공식

4 5Boole 공식

5 6

8

)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfab

+++− ( ) )(80/3 )4(5 ξ− fh

90

)(7)(32)(12)(32)(7)( 43210 xfxfxfxfxfab

++++− ( ) )(945/8 )6(7 ξ− fh

288

)(19)(75)(50)(50)(75)(19)( 543210 xfxfxfxfxfxfab

+++++− ( ) )(096,12/275 )6(7 ξ− fh

19.6 19.6 19.6 19.6 부등간격의부등간격의부등간격의부등간격의 적분적분적분적분 (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)

• 사다리꼴 공식을 각각의 구간에 적용하고 그 결과를 합한다.

여기서 hi = 구간 i 의 폭

I = fn x( )x0

xn∫ dx = fn x( )x0

x1∫ dx+ fn x( )x1

x2∫ dx+L+ fn x( )xn−1

xn∫ dx

I = x1 − x0( )f x0( )+ f x1( )

2+ x2 − x1( )

f x1( )+ f x2( )2

+L+ xn − xn−1( )f xn−1( )+ f xn( )

2


예제 19.6 (부등간격에 대한 사다리꼴 공식 )

� Q. 주어진 데이터에 대한 적분값을 구하라.

참고로 정해는 1.640533이다.

x f(x) x f(x)

0.00

0.12

0.22

0.32

0.36

0.200000

1.309729

1.305241

1.743393

2.074903

0.44

0.54

0.64

0.70

2.842985

3.507297

3.181929

2.363000


594801.12

232.0363.210.0

2

305241.1309729.110.0

2

309729.12.012.0 =

+++

++

+= LI

Sol)

t = 2.8%

0.36

0.40

2.074903

2.456000

0.70

0.80

2.363000

0.232000

19.6 19.6 19.6 19.6 부등간격의부등간격의부등간격의부등간격의 적분적분적분적분 (2/2)(2/2)(2/2)(2/2)


>> x = [0 .12 .22 .32 .36 .4 .44 .54 .64 .7 .8];>> y = 0.2 + 25*x - 200*x.^2 + 675*x.^3 - 900*x.^4 + 400*x.^5;>> trapuneq(x,y)ans =

1.5948

19.7 19.7 19.7 19.7 개구간법개구간법개구간법개구간법

<Newton-Cotes 개구간 적분 공식: 간격의 크기는 h = (b – a)/n임>

)()( 1xfab − ( ) )(3/1 3 ξ′′fh

2

)()()( 21 xfxfab

+− ( ) )(4/3 3 ξ′′fh

구간구간구간구간수수수수((((nnnn))))

점의점의점의점의개수개수개수개수

이름이름이름이름 공식공식공식공식 절단오차절단오차절단오차절단오차

2 1 중점법

3 2


• 짝수 구간-홀수 점 공식이 보통 선호됨

• 정적분의 계산에는 잘 사용 않으며 이상적분을 수행하는데 유용

3

)(2)(1)(2)( 321 xfxfxfab

+−− ( ) )(45/14 )4(5 ξfh

24

)(11)()()(11)( 4321 xfxfxfxfab

+++− ( ) )(144/95 )4(5 ξfh

20

)(11)(14)(26)(14)(11)( 04321 xfxfxfxfxfab

+−+−− ( ) )(140/41 )6(7 ξfh

4 3

5 4

6 5

19.8 19.8 19.8 19.8 다중적분다중적분다중적분다중적분

• 2차원 함수의 평균값

• 이중 적분:

))((

),(

abcd

dydxyxf

f

d

c

b

a

−−

=∫ ∫


- 적분의 순서가 중요하지 않다.

∫ ∫∫ ∫

=

b

a

d

c

d

c

b

adxdyyxfdydxyxf ),(),(

함수 표면 아래의 면적을 구하는 이중 적분

예제 19.8 (이중적분의 사용)

� Q. 직사각형 가열판의 온도가 다음의 함수로 표현될 수

있을 때, 판의 길이(x 차원)가 8 m이고 폭(y 차원)이 6 m

인 경우에 평균온도를 계산하라.

Sol)

각각의 y의 값에 대해 x 차원을

72222),( 22 +−−+= yxxxyyxT


따라 사다리꼴 공식을 수행

� y 차원을 따라 적분

최종결과 2688과

평균온도 2688/(6x8)=56

Simpson 1/3 공식을 이용하면

� 정확한 값인 2816과 평균온도가 58.66667

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