ch3-110 §3.4 二维 r.v.函数的分布 · ch3-113 例1设二维r.v.( x,y )的概率分布为 x y...
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-
Ch3-110
§3.4 二维 r.v.函数的分布
已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数,
转化为( X ,Y )的事件
问题
方法
求 Z = g( X ,Y )的概率分布
-
Ch3-111
当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散),(
kk jikyxgzZ ==
∑=
====kkjki
kkzyxg
jik yYxXPzZP),(
),()( ,2,1=k
当( X ,Y )为连续r.v.时,)()( zZPzFZ ≤= )),(( zYXgP ≤=
∫∫=zD
dxdyyxf ),(
}),(|),{(: zyxgyxDz
≤其中
-
Ch3-112
-1-0.5
00.5
1
-1-0.5
00.5
1
0
0.25
0.5
0.75
1
-1-0.5
00.5
1
-1-0.5
00.5
1
}),(|),{(: zyxgyxDz
≤ 的几何意义:
Dz
-
Ch3-113
例1设二维r.v.( X,Y )的概率分布为
X Y
pij -1 1 2
-1
0
41 61
41 81 121
81
求 XYXYYXYX ,,, −+ 的概率分布
离散型二维 r.v.的函数
-
Ch3-114
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格:
P 41 41 61 8181 121
X +Y X -Y X Y Y / X
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0
1 0 -1 0 -1/2 0
-
Ch3-115
故得
PX+Y -2 -1 0 1 2
41 41 4161 121
PX - Y -1 0 1 2 3
41 41 4181 81
-
Ch3-116
PX Y -2 -1 0 1
61 4181 2411
PY /X -1 -1/2 0 1
4181 241161
-
Ch3-117
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立,
具有可加性的两个离散分布
设 X ~ P (λ1), Y ~ P (λ2), 且独立,
则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)
则 X + Y ~ P(λ1+ λ2)
-
Ch3-118
X ~ P(λ1), Y ~ P(λ2), 则Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, …,
,),()(0∑=
−====k
iikYiXPkZP
∑=
−−−
−⋅=
k
i
iki
ike
ie
0
21
)!(!
21 λλ λλ
∑=
−−−
−=
k
i
iki
ikik
ke
021)!(!
!!
21
λλλλ
!)( 2121
kek λλλλ −−+= ,2,1,0=k
Poisson分布可加性的证明
-
Ch3-119
问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f.数,g(x,y)为已知的二元函数,
求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.方法
从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件建立新的二维r.v.(Z ,X )或(Z, Y ),求其边缘分布得Z 的d.f.
二维连续r.v.函数的分布
-
Ch3-120
(1) 和的分布:Z = X + Y设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则
• z
•z
x +y= z
)()( zZPzFZ ≤=)( zYXP ≤+=
∫∫≤+
=zyx
dxdyyxf ),(
∫ ∫∞+
∞−
−
∞−=
xzdyyxfdx ),(
或
∫ ∫∞+
∞−
−
∞−=
yzdxyxfdy ),( +∞
-
Ch3-121
特别地,若X ,Y 相互独立,则
∫∞+
∞−−= dxxzxfzfZ ),()(
)3(+∞
-
Ch3-122
例2已知( X ,Y ) 的联合d.f.为
⎩⎨⎧
-
Ch3-123
∫∞+
∞−−= dxxzfxfzf YXZ )()()(
∫ −=1
0)( dxxzfY
⎩⎨⎧
-
Ch3-124
⎪⎩
⎪⎨
⎧
-
Ch3-125
当0 ≤ z < 1 时,
∫∫−
=xzz
Z dydxzF 00 1)(
∫ −=z
dxxz0
)(
2/2z=
zzfZ =)(
y
x1
1x+y = z
•z•z
-
Ch3-126
x+y = z
当1≤ z < 2 时,
∫∫−
−+
xz
zdydx
0
1
11
∫ − −+−=1
1)(1
zdxxzz
12/2 2 −−= zz
zzfZ −= 2)(
z-1
1
y
x1•z
•z)1()( −= zzFZ
-
Ch3-127
1
y
x
1x+y = z
2
2当2 ≤ z 时,
1)( =zFZ0)( =zfZ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
-
Ch3-128
例3已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为
⎩⎨⎧
-
Ch3-129
z
x
z = x
z = 2
x
x = 1
1
2当 z < 0 或 z > 2 ,
z
z
z
z
当 0 ≤ z < 1, 2
2/ 893)( zxdxzf
z
zZ== ∫
当 1 ≤ z < 2,
)4
1(233)(
21
2/
zxdxzfzZ
−== ∫
f Z (z) = 0
⎩⎨⎧
-
Ch3-130
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
-
Ch3-131解法二 (不等式组定限法)
∫∞+
∞−−= dxxzxfzfZ ),()(
考虑被积函数取非零值的区域
⎩⎨⎧
-
Ch3-132
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
-
Ch3-133
正态随机变量的结论
若X ,Y 相互独立, ),(~),,(~ 222211 σμσμ NYNX
则 ),(~ 222121 σσμμ +++ NYX
若(X ,Y ) );,;,(~ 222211 ρσμσμN则 )2,(~ 2221
2121 σσρσσμμ ++++ NYX
niNX iii ,,2,1),,(~2 =σμ
若 nXXX ,,, 21 相互独立
则 ),(~1
2
11∑∑∑===
n
ii
n
ii
n
ii NX σμ
推广
-
Ch3-134
已知 ( X ,Y )的联合d.f. f (x,y)求 Z = aX +bY + c 的 d.f.,其中 a,b,c为常数,a , b ≠ 0
.).(,||
1)( eazdxb
caxzxfb
zfZ ∞
-
Ch3-135
另一种计算 f Z (z) 的方法
构造一个新的二维 r.v. (Z ,V ),
求( Z , V ) 的联合 d.f. f ( z, v )
求边缘密度 f Z (z)
⎩⎨⎧
==
),(),(
YXrVYXgZ
其中
随机变量代换法
-
Ch3-136
设⎩⎨⎧
==
),(),(
yxrvyxgz
存在唯一的反函数:
h , s 有连续的偏导数, vs
zs
vh
zh
J
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=⎩⎨⎧
==
),(),(
vzsyvzhx
则
已知 ( X ,Y )的联合 d.f. f XY ( x , y )求 (Z, V ) 的 p.d.f. f ZV(z, v) 的公式
记
||)],(),,([),( Jvzsvzhfvzf XYZV =
-
Ch3-137
证 ),(),( vVzZPvzFZV ≤≤=)),(,),(( vYXrzYXgP ≤≤=
dxdyyxf
vyxrzyxgXY∫∫
≤≤
=
),(),(
),(
∫ ∫∞− ∞−=z v
XY dvdzJvzsvzhf ||)],(),,([
||)],(),,([),( Jvzsvzhfvzf XYZV =
-
Ch3-138
例如 已知(X ,Y )的联合d.f. f (x,y),Z = X / Y , 求 f Z (z)令
⎩⎨⎧
==
YVYXZ /
⎩⎨⎧
==
VYZVX
|||10
||| vzv
J ==
( ) ||,),( vvzvfvzfZV =∫
∞+
∞−= dvvzfzf ZVZ ),()( ∫
∞+
∞−= dvvvzuf ||),(
(2) 商的分布: Z = X / Y
-
Ch3-139
例4已知( X, Y ) 的联合分布函数为
⎩⎨⎧ >>+−−
=+−−−
其他,00,0,1
),()( yxeee
yxFyxyx
求Z = X / Y 的 p.d.f.
解
⎩⎨⎧ >>
=+−
其他,00,0,
),()( yxe
yxfyx
∫∞+
∞−= dvvvzvfzfZ ||),()(
⎩⎨⎧ >>
=+−
他其,00,0,
),()( vze
vzvfvzv
-
Ch3-140
(3) 平方和的分布: Z = X 2+Y 2
设(X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x,y),则)()( 22 zYXPzFZ ≤+=
⎩⎨⎧
≥<
=∫∫ ≤+ ,0),(
,0,0
22 zdxdyyxfz
zyx
⎩⎨⎧
≥<
=∫∫ ,0,)sin,cos(
,0,0
0
2
0zrdrrrfdz
zθθθ
π
-
Ch3-141
例如,X ~ N(0,1), Y ~ N(0,1), X ,Y 相互独立, Z = X 2+Y 2 , 则
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥⋅
<=
∫−−
,0,21
21
21
,0,0)( 2
02
sin2
cos 22
zdee
zzf zzZ π θθ θ
ππ
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<= −
,0,21
,0,0)( 2 ze
zzf zZ
自由度为2的χ 2分布称为
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<=
∫ ,0,)sin,cos(21
,0,0)( 2
0zdzzf
zzfZ π θθθ
-
Ch3-142
(4) 极值分布:即极大(小)值的分布
离散随机变量的极值分布可直接计算
仅就独立情形讨论极值分布
-
Ch3-143
max{X ,Y }
P1 0
0.75 0.25
例5 X, Y 相互独立, 都服从参数为 0.5 的0-1分布. 求 M = max{X ,Y }的概率分布
解 YXpij 1 0
10
0.25 0.250.25 0.25
-
Ch3-144
设连续随机变量X ,Y 相互独立, X ~ FX (x), Y ~ FY (y), M = max{X ,Y }, N = min{X ,Y },求 M ,N 的分布函数.
)},(max{)( uYXPuFM ≤=),( uYuXP ≤≤=
)()( uYPuXP ≤≤=)()( uFuF YX=
-
Ch3-145
)},(min{)( vYXPvFN ≤=)},(min{1 vYXP >−=
),(1 vYvXP >>−=)()(1 vYPvXP >>−=
.)](1)][(1[1 vFvF YX −−−=
-
Ch3-146
推广
nXXX ,,, 21 相互独立,且
nixFX iii ,,2,1),(~ =
设
},,,min{},,,max{
21
21
n
n
XXXNXXXM
==
则
∏
∏
=
=
−−=
=
n
iiN
n
iiM
vFvF
uFuF
1
1
))(1(1)(
)()(
-
Ch3-147
例6 系统 L 由相互独立的 n 个元件组
(4) L 为 n 个取 k 个的表决系统 ( 即 n个元件中有 k 个或 k 个以上的元件正常工作时,系统 L 才正常工作).
(3) 冷贮备 ( 起初由一个元件工作, 其它n – 1 个元件做冷贮备, 当工作元件失效时, 贮备的元件逐个地自动替换);
成, 其连接方式为 (1)串联; (2)并联;
-
Ch3-148
若 n 个元件寿命分别为 nXXX ,,, 21niEXi ,,2,1),(~ =λ
且
求在以上 4 种组成方式下, 系统 L 的寿命 X 的 d.f.解
⎩⎨⎧ >
=−
其它,00,
)( ix
iXxe
xfi
i
λλ
⎩⎨⎧ >−
=−
其它,00,1
)( ix
iXxe
xFi
i
λ
-
Ch3-149
(1) },,,min{ 21 nXXXX =
∏=
−−=n
iXX xFxF i
1))(1(1)(
⎩⎨⎧
≤>
=−
0,00,
)(xxen
xfxn
X
λλ
⎩⎨⎧
≤>
=−−
0,1,0,
)(1xxe
xFx
Xi
λ
-
Ch3-150
(2) },,,max{ 21 nXXXX =
∏=
=n
iXX xFxF i
1)()(
⎩⎨⎧
≤>−
=−−−
0,00,)1(
)(1
xxeen
xfnxx
X
λλλ⎩⎨⎧
≤>−
=−
0,0,0,)1(
xxe nxλ
-
Ch3-151
(3) nXXXX +++= 21
∫∞+
∞−+−= dttxftfxf XXXX )()()( 2121
n = 2 时,
⎩⎨⎧
≤
>= ∫−−−
0,00,
0
)(
xxdtee
x txt λλ
⎩⎨⎧
≤>
=−
0,00,
xxxe xλ
t
x
x = t
-
Ch3-152
∫∞+
∞− +++−= dttxftfxf XXXXXX )()()( 321321
⎩⎨⎧
≤
>= ∫−−−
0,00,
0
)(
xxdtete
x txt λλ
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>=−
0,0
0,!2
2
x
xex xλ
可证, X 1+ X 2 与 X 3 也相互独立, 故
-
Ch3-153
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>−=
−−
0,0
0,)!1()(
1
x
xenx
xfx
n
X
λ
归纳地可以证明,
-
Ch3-154
(4) )()( xXPxFX ≤=
⎩⎨⎧
<≥>−
=0,0,0),(1
xxxXP
( )xkXXPxXP n 个大于中至少有,,)( 1=>[ ] [ ]∑
=
−≤>=n
kj
jnjjn xXPxXPC )()( 11
[ ] [ ]⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥−−= ∑=
−−−
0,0
0,11)(x
xeeCxFn
kj
jnxjxjn
X
λλ
-
Ch3-155
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡−−∑
=
−−−n
kj
jnxjxjn eeCdx
d λλ 1)
( )
( )∑
∑−
=
−−−+−
−−
=
−−−
−−−
+−=
1 1)1(
1
1)(
1
n
kj
jnxxjjn
xnn
kj
jnxjxjn
eejnC
enejeC
λλ
λλλ
λ
λλ
( )
( )∑
∑−
=
−−−+−+
=
−−−
−+−
−=
1 1)1(1 1)1(
1
n
kj
jnxxjjn
n
kj
jnxjxjn
eejC
ejeC
λλ
λλ
λ
λ
-
Ch3-156
( )
( )∑
∑
+=
−−−
=
−−−
−−
−=
n
kj
jnxjxjn
n
kj
jnxjxjn
eejC
ejeC
11
1
λλ
λλ
λ
λ
knxxkkn eekC
−−− −= )1( λλλ
⎩⎨⎧
<≥−
=−−−
0,00,)1(
)(xxeekC
xfknxxkk
nX
λλλ
-
Ch3-157
作业 P.134习题三
20 22 23 26 29 30
-
Ch3-158
第9周 问 题
设随机变量 X 与 Y 相互独立,且
.)(~,)6.0,1(~ yfYBX
求随机变量 YXZ −= 3 的概率密度.)( zg函数
-
Ch3-159
问 题第10周
某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位: 箱) 取[1 , 5]上的每个整数值是等可能的. 生产每箱产品的成本是300元,出厂价每箱900元.若售不出, 则每箱以100元的保管费借冷库保存. 问该企业每周生产多少产品能使获利的期望值最大?
-
Ch3-160
设 X 与Y 相互独立, 且X ~ B (n, p),Y ~ B (m, p),
则
二项分布可加性的证明附录
X + Y ~ B ( n + m , p)
证 Z = X + Y 的可能取值为0,1,2, …, n + m
kmn
k
i
ikm
in CCC +
=
− =∑0
(证明中用到 )
-
Ch3-161
,),()(0∑=
−====k
iikYiXPkZP
,)()(0∑=
−===k
iikYPiXP
∑=
+−−−− −−=k
i
ikmikikm
iniin ppCppC
0)1()1(
kmnkkmn ppC
−++ −= )1(
k = 0,1,2, …, n + m
所以 X +Y~ B ( n+m , p )
-
Ch3-162
,),()(0∑=
−====k
iikYiXPkZP
(1) 设 n ≤ m , 当 k ≤ n 时,
,)()(0∑=
−===k
iikYPiXP
∑=
+−−−− −−=k
i
ikmikikm
iniin ppCppC
0)1()1(
kmnkkmn ppC
−++ −= )1(
kmn
k
i
ikm
in CCC +
=
− =∑0
其中
证二
-
Ch3-163
(2) 当 n < k ≤ m 时
∑=
−====n
iikYiXPkZP
0),()(
∑=
+−−−− −−=n
i
ikmikikm
iniin ppCppC
0)1()1(
kmnkkmn ppC
−++ −= )1(
-
Ch3-164
(3) 当 m < k ≤ n + m 时
∑−=
−====n
mkiikYiXPkZP ),()(
∑−=
+−−−− −−=n
mki
ikmikikm
iniin ppCppC )1()1(
kmnkkmn ppC
−++ −= )1(
故 X + Y ~ B ( n + m , p)
由二项分布背景,不难理解X+Y 表示做了n + m 次试验,事件 发生的次数.A
-
Ch3-165
前例3已知 ( X ,Y )的联合密度函数为
⎩⎨⎧
-
Ch3-166
1),(),( ⋅−= uuzfuzfZU
⎩⎨⎧ −
-
Ch3-167
∫∞+
∞−= duuzfzf ZUZ ),()(
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
-
Ch3-168
附例已知 ( X ,Y )的联合密度函数为
⎩⎨⎧
-
Ch3-169
31),2(
31),( ⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += uuzfuzfZU
⎪⎩
⎪⎨⎧ +
-
Ch3-170
∫∞+
∞−= duuzfzf ZUZ ),()(
( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
-
Ch3-171
附例 已知 ( X ,Y ) 的联合密度 f (x , y)求 Z = aX +bY + c 的密度函数 ,
其中 a,b,c为常数,a , b ≠ 0令
⎩⎨⎧
=++=YUcbYXaZ
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−−=
UYa
cbUZX
||1|
10
1|||
aab
aJ =−
=
-
Ch3-172
||1,),(a
ua
cbuzfuzfZU ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
∫∞+
∞− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= du
au
acbuzfzfZ ||
1,)(
由此得