chap 2. 우연과 확률 2.1 우연과 확률 2.2 확률의 정의 2.3 조건부 확률과...

Chap 2. Chap 2. 우연과 확률우연과 확률

2.1 우연과 확률

2.2 확률의 정의

2.3 조건부 확률과 독립사건

2.4 확률변수와 확률분포

2.5 기대값과 그 성질

SNU IDS Lab. 2006 2Chap 2. 우연과 확률


Random Event ( 우연 사건 )

일어나기 전에 어떤 결과가 나올지 미리 알 수 없는 사건

Ex. 주사위 결과 , 내일의 날씨 , 태아의 성별 등

우연 사건의 결과를 결정하는 요인을 알지 못하거나 제어하지 못하기 때문에 발생

확률 계산의 원리 우연 사건의 개별적 결과는 불확실하지만 , 장기적인 결과는 거의 확실

⇒ “ 확률” : 우연적 현상의 정량적 표현



표본공간 (sample space) S

통계적 조사에서 얻을 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합

Example

– 주사위 눈금의 수 S={1,2,3,4,5,6}

– 공정에서 10 개 불량품 제조될 때까지 제도된 제품 수 S={10,11,...}

– 전구의 수명시간 S={ }

수학적 확률 ( 고전적 정리 - Laplace(1749-1827))

N 개의 원소로 구성된 표본공간 S 에서 각각의 근원사상이 일어날 가능성이 같다는 가정 하에 m 개의 원소로 구성된 사건 A 의 확률을 다음과 같이 정의함 .

문제점 ) 유한표본공간에서만 정의됨– 각 결과가 나타날 가능성이 동일해야 함 .



출생아의 성별문제 (vs. 동전 던지기 ) 남자가 될 가능성과 여자가 될 가능성이 동등한가 ?

통계적 확률 ( 경험적 확률 ) 어떤 시행을 총 N 번 관측하여 특정결과 A 가 모두 몇 번 나타났는가 ?

세어본 결과 n 번 이었다면 , A 의 확률은 n/N 이다 핵심 조건

– 이때 , N 이 충분히 커야 한다 .

– 이제까지의 시행과 앞으로의 시행이 동일해야 한다 .

우리나라 통계청 집계 결과 1:

2002 년도에 우리나라 신생아 : 494,625 명

첫째 아이 : 239,184 명 ( 남아비율 : 51.6%)

둘째 아이 : 202,594 명 ( 남아비율 : 51.8%)

셋째 이상 : 48,876 명 ( 남아비율 : 58.5%)



확률의 공리적 정리 표본공간 S 에서 임의의 사건 A 에 대하여

–

–

– 서로 배반인 에 대하여

을 만족할 때 P(A) 를 사건 A 의 확률이라 함 .

Definition. 분할 이고 을 만족하는 을

표본공간 의 분할이라고 한다 .


Theorem. 확률의 성질

이면

Example

3 개의 주머니에 각각 1~5 까지 번호가 매겨진 5 개의 구슬이 있다 . 각 주머니에서 1 개씩 구슬을 꺼낼 때 , 꺼낸 구슬의 숫자의 합이 5 이상일 확률은 ?

• 꺼낸 숫자의 합이 5 이상일 사건 :

• 꺼낸 숫자의 합이 5 미만 (4 이하 ) 일 사건 :

• 꺼낸 숫자의 합이 4 일 사건 :

• 꺼낸 숫자의 합이 3 일 사건 :

•




Definition. 조건부 확률 사건 A 가 주어졌을 때 , 사건 B 가 일어날 조건부 확률

Example

두 개의 주사위를 던지는 실험에서 첫 번째 던진 주사위 눈이 두 번째 던진 주사위의 눈보다 클 때 두 주사위 눈의 합이 10 일 확률은 ?

• 첫 번째 주사위의 눈이 두 번째 주사위의 눈보다 더 큰 사건 : A

• 합이 10 인 사건 : B

• P (A) = 15/36 , P (B) = 3/36 , P (A∩B) = 1/36

• P (B|A) = 1/15



Lemma. 조건부 확률의 곱셈법칙 P (A) > 0, P (B) > 0 이면

Example

불량품이 20 개이고 양호품이 80 개인 로트에서 2 개의 단순랜덤표본 추출 시 2 개 모두 불량품일 확률은 ?

• 첫 번째 제품이 불량품일 사건 : A

• 두 번째 제품이 불량품일 사건 : B

•


2.3 조건부 확률과 독립사건 (Advanced)

Lemma. 전확률의 공식

사건 A1,∙∙∙∙∙, An 이 표본공간 S 의 분할일 때 , P (Ai) > 0 에 대하여 다음이 성립

Example

통계학과 학생 중 한 학생을 단순랜덤 추출하였을 때 , 그 학생이 수학 과목 수강생일 확률은 ?

– 통계학과 학생 : 1 학년 30%, 2 학년 25%, 3 학년 25%, 4 학년 20%

– 수학 수강생 : 1 학년의 50%, 2 학년의 30%, 3 학년 10%, 4 학년 2%

1

학년

2

학년

3

학년

4

학년

통계학과 학생

수학 수강생



Definition. 독립사건 (Pairwise Independent event)

( 또는 P (A|B) = P (A), P (B) > 0 이나 P (B|A) = P (B), P (A) > 0)

이 성립하면 사건 A, B 가 서로 독립이다 .

참고 ) A 와 B 가 서로 독립이면 ,

– A c 와 B 도 서로 독립이다 .

– A 와 B c 도 서로 독립이다 .

– A c 와 B c 도 서로 독립이다 .

음…Slide 8

서로 독립인 사건인가 ?



Definition. 확률변수 (Random Variable)

표본공간 S 에서 정의된 실수 값 함수

Example ►►

– 경제정책에 대한 찬반 여론조사에서 표본의 크기가 3 명일 때 표본공간과 확률변수

– 두 개의 동전을 던지는 실험에서 앞면의 개수에 대한 표본공간과 확률변수

Definition. 확률밀도함수 (Probability Distribution Function : pdf)

확률변수가 취하는 값이 흩어진 정도를 합이 1 인 함수로 표현한 함수– 이산형 확률변수의 확률밀도함수

– 연속형 확률변수의 확률밀도함수 를 만족하는



Examples. 확률변수 (Random Variable)

주사위를 던져서 나오는 눈금의 수

유권자가 지지하는 후보

치료 중인 환자의 완치 여부

복원을 샀을 때의 당첨 금액

하루 동안 어느 주유소를 이용한 자동차의 수

전자 부품의 수명

신생아의 몸무게

⇒ 통계학의 관심 대상이 되는 불확실성을 지닌 현상들은 모두 확률 변수로 표현



Lemma. 확률밀도함수의 성질 이산형 확률밀도함수의 성질

–

–

–

연속형 확률밀도함수

–

–

–

– 임의의 에 대하여

–



를 확률변수 의 확률밀도함수라고 할 때 ,

Definition. 확률변수 기대값 (Expected Value) 또는 평균 (Mean)

확률변수의 의 기대값

일반적으로 연속형 함수 에 대하여 확률변수 의 기대값



Example

1000 원짜리 복권을 사는 경우를 생각해보자 .복권의 당첨액이 1 억원이고 당첨확률이 20 만분의 1, 즉 0.000005 라고 할 때 기대값은 얼마인가 ?

– 확률변수 X 는 무엇인가 ?

X=0 (Fail), X=1 억 (Success)

– 각각의 확률은 ?

P(X=0)=0.999995, P(X=1) = 0.000005

– 복권의 당첨 기대값은 ?

E(X) = 0* 0.999995 + 1 억 * 0.000005 = 500


2.5 기대값과 그 성질 (Advanced)

Theorem. 기대값의 성질

이면

Definition. 분산 (Variance) & 표준편차 (Standard Deviation)

Theorem. 분산의 성질


EX1. 로또의 확률

Lotto 6/45 당첨 확률과 기대값 45 개 숫자 중에서 6 개를 골라서 모두 맞추면 1 등 당첨되는 복권

1 등 당첨 확률

총 당첨자는 782,542 명 , 7 명이 총 당첨금의 46.51% 가져감


EX1. 로또의 확률

복권의 이면– 1 등 당첨 확률 ≈ 1/800 만

– 1 등 당첨금 ≈ 20 억

– 복권 구입액 2000 원 : 1 단위 가치

연소득 2000 만원인 직장인 A 씨의 경우 ,

– 복권 당첨액 20 억 : 1000 만 단위 가치 (100 년 소득에 해당 )

– 당첨액 기대값 = 1000 만 단위 가치 * (1/800 만 ) > 1 단위 가치 ⇒ 복권 구입 합리적

200 억대 재산가 B 씨의 경우 ,

– 복권 당첨액 20 억 : 100 만 단위 가치 ( 단순 비례 값 )

– 당첨액 기대값 = 100 만 단위 가치 * (1/800 만 ) < 1 단위 가치 ⇒ 복권 구입 비합리적⇒ 고소득층은 복권에 관심 없음

⇒ 정부는 국가공익사업 기금을 저소득층 부담으로 조성


EX2. 첫 번째 남자아이를 가질 때까지

평균 몇 명의 아이를 낳게 될까 ?

어느 부족 사회는 남자아이를 갖고자 하는 사회적 정통이 강하여첫 번째 남자아이를 가질 때까지 계속 출산한다고 한다 . 출산이 계속 가능하고 , 일단 남아를 1 명 낳으면 출산을 정지한다 .출생 성비가 어떤 영향을 받을까 ?

남아를 낳을 확률 p, 여아를 낳을 확률 q (1-p)

부부가 낳게 될 총 아이의 수 : X

P[X=1] = p

P[X=2] = qp

P[X=3] = q2p …

P[X=k] = qk-1p , k= 1,2,3,….

E[X] = ?


EX3. 쉬발리에 드 메레씨의 의문

17 세기 유행하던 2 개의 Game, 각각 승리할 확률은 ?

1) 동일한 주사위 4 번 던져서 그 중 1 번이라도 1 의 눈이 나오는 경우 승리

2) 24 차례에 걸쳐 주사위 2 개를 던지는데 , 한번이라도 동시에 1 이 나오면 승리



Game 옵션 1

동일한 주사위 4 번 던져서 그 중 1 번이라도 1 의 눈이 나오는 경우 승리 .승리할 확률은 ?

다음의 경우 승리– 4 번 모두 1 이 나오는 경우

– 3 번 1 이 나오고 , 1 번 1 이 아닌 숫자가 나오는 경우



또는…

– 1 – P[4 번 모두 1 이 아닌 숫자가 나오는 경우 ] = 1 – (5/6)4 = 0.518



Game 옵션 2

24 차례에 걸쳐 주사위 2 개를 던지는데 , 한번이라도 동시에 1 이 나오면 승리 .승리할 확률은 ?

1 번 시행에서의 표본공간– S= {(1,1), (1,2), (1,3), ……… , (6,6)}

1 번 시행에서의 승리할 확률– P[ 모두 1 이 나오는 경우 ] = 1/36

24 번 시행에서 승리할 확률– 1 – P[24 번 모두 1 이 아닌 숫자가 나오는 경우 ] = 1 – (35/36)24 = 0.491


EX4. 도박꾼의 파산 : 모의 시행

Roulette Odd/Even Game

Player 가 이길 확률 : p=18/38

Roulette 50판까지 버틸 확률은 ?

Player 의 판돈은 5 만원

한 판에 1 만원씩 건다 .

쉽지 않은 확률…

– 실제 카지노에 가서 해본다

– 수백 번의 시행이 필요

– 모의시행

20 번 시행 했을 때

– 50판까지 돈이 남아있는 경우 , 8/20 ≈ 0.4

– 대부분 50판이 아닌 끝까지 간다⇒ 승률 p≤0.5 인 경우 , 도박꾼이 이길 확률은 0


EX5. 우연의 확률

Lotto 6/45

1 등에 당첨될 확률 : 1/814 만

모두 1 등을 놓칠 확률– (1- 1/8,140,000)8,140,000

≈ 0.3679

축구장 내 23 인의 생일이 모두 다를 확률 1st 사람의 생일은 어느 날이어도 된다 .

겹치지 않을 확률 = 365/365

2nd 사람은 1st 사람과 겹치면 안 된다 . 겹치지 않을 확률 = 1*364/365

3rd 사람은 1st, 2nd 사람과 겹치면 안 된다 .겹치지 않을 확률 = 1*364/365*363/365

……


EX6. Inverse Probability

의사 A 가 내원 고객 B 를 촉진 검사한 결과 유방에서 알갱이 발견 환자 중 주로 1% 만이 악성이므로 A 는 양성이라 확신한다 .

그래도 혹시…하여 유방 X 선 사진을 찍어보니 악성결과가 나왔다 .

– X 선 사진기는 악성 종양에 대해 80% 정확 , 양성 종양에 대해 90% 정확

B 가 정말로 악성일 확률은 얼마인가 ?

– 100 명의 의사들이 75% 라고 대답

– But… 정답은 7.5%

chap 2. 우연과 확률 2.1 우연과 확률 2.2 확률의 정의 2.3 조건부 확률과...

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