chap 8 code dynamique

Chapitre VIII Code dynamique explicite

VIII - Code dynamique expliciteMalgr les rticences initiales de certains universitaires, la mthode explicite d'intgra-

tion par rapport au temps associe une discrtisation spatiale par lments finis a prisune importance croissante ces dernires annes. Elle a la prfrence des concepteurs decodes de calculs industriels - PAMSTAMP, OPTRIS, etc. - destins rsoudre desproblmes trs fortement non linaires.

C'est videmment le cas de la simulation de l'emboutissage de tles minces ointerviennent grands dplacements, grandes dformations, contact avec frottement...

Cette mthode, moins "pure" que la mthode implicite - en ce sens qu'il n'y a pasd'itration de correction d'quilibre aprs chaque incrment de chargement - permetjustement de passer les caps difficiles d'un calcul incrmental ; difficults qui ne sontparfois que trs localises mais qui se traduisent par une impossibilit de convergence etdonc par une absence de solution dans le cas d'un calcul implicite.

A-.Notions lmentairesAfin de bien prciser certaines notions de base et de mettre en vidence une restriction

majeure, des cas simples sont prsents dans cette partie.

I - Exemple unidimensionnelDans ce qui suit, on suppose que l'quation "rsoudre" est :t + T = 0 o t = (r-vm-i)

dtII s'agit, connaissant T = T0 l'instant t = 0, de calculer l'volution de T l'instant t + At.

a- Mthode implicitei(Tt+At -Tt) = -Tt+At => Tt+At = ^ .Tt; d'o TtmAt = (^ Mt (r-vm-2)il n'y a donc aucune oscillation ni instabilit.

b - Mthode expliciteLa mthode porte le qualificatif "explicite" car les valeurs au pas de temps t sont

utilises pour calculer les inconnues au pas de temps t +At.

i(Tt+At-Tt) = -T t=>T t+At=(i-At).T t; d'o TtmAt - d-At)n.Tt {1} (r-vm-3)

Connaissant T l'instant t, il est donc possible de calculer T l'instant t + At, maisavec la restriction At < 1 car, dans ce cas simple, {1} :

fournit une solution borne si 1 - At < 1 => At < 2 ;- n'engendre pas d'oscillations si 1 - At > 0 =$ At < 1.

c - Schma semi-implicitei(Tt+* - Tt) = -a.Tt+At - (1 -a).Tt => Tt+At = *$$.Tt (r-vm-3)oc = 1 simplicit, a = 0 ^ explicite, a = schma de Cranck-Nicholson

vin-1 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


2 - Expression matricielle

On s'intresse, cette fois, la formulation : C.t + K.T = o les matrices C et K sontdfinies positives, c'est dire que : Q = 'X.K.X > o pour tout vecteur X non nul.

a - Schma impliciteC.[Tt+At - Tt 1 i + K'Tt+At = t+At ! (r-VIII-5)

Le systme rsoudre est: [C + At.K]. AT = R o R = At.(|)t+At - At.K.Tt et AT = Tt+At - Tt.

b - Schma explicite

C.[Tt+At - Tt 1 + K.Tt = t ; (r-vra-6)

Le calcul effectuer est : AT = C~1.Rt o R t = At.(|> t - At.K.Tt et AT = [Tt+At -Tt].

Cela suppose cependant, une valeur maximale de At car :

Tt+At = A.Tt + At.C~14> t o A = [l - At.C~1.KjTt+n At reste born si A,max, la plus grande valeur propre de A, est < 1 ; (r-vm-7)Si les valeurs propres de [C"1.KJsont notes Lj => Xj = 1 - At.Lj, les conditions deviennent:- stabilit : At < 7-2- ; - non oscillation : 1 - At.Lmax > 0 =* At < -r-^-

Lmax L-max

Pour peu que C soit diagonale, l'algorithme de rsolution entre t0 et tn est trs simple :DEBUTTt


En remplaant dans l'quation choisie, on arrive une galit donnant Ut+At :

[^ M+lit c}u'+* = Ft -[K-^M}Ut -{*?"- 2*s c]-u'-At (r-vm-10)Nota : en dbut d'algorithme, il est ncessaire de connatre Uto_At, soit en l'imposant,

soit en le calculant avec les deux relations {2} => Uto_At = Uto - At.to + . At2.to;.

b - Valeur critique de AtLa mthode utilisant les diffrences centres est conditionnellement stable, c'est dire

que doit tre assure la condition : At < Atcr = ^ Tn o Tn est la plus petite priode propredu systme [1].

Dans la partie suivante, il sera vu comment s'affranchir d'un calcul de valeurs propresdans le cas d'un assemblage d'lments finis.

c - RemarqueDans [1], [4] et [7], sont prsentes et compares entre elles des mthodes autres que

les diffrences centres : Newmark, Wilson 6-method, Houbolt method, Park, cc-method...On se limite ici aux diffrences centres, mthode implmente dans le code explicite

ayant fourni les rsultats prsents ultrieurement dans ce document.

B j^Caicul des structures1 - Formulation matricielle

a - Principe des travaux virtuels

- JJJ^.).dv + JJJ f--dv + JJ.Q.ds - JJJcj..dv = JJJpjQ..dv {3} (r-vm-i i)

Pour un lment fini e : JJJtr(g.8).dv = JJJ* .(J.dv = f e .JJJ * B.dv (r-vra-12)

CJt tant connu l'instant t, on retrouve dans la relation prcdente les efforts"internes" cet instant ; efforts dont la dfinition a t donne dans le chapitre VI.

b - Forme discrtiseLa forme discrtise de {3} devient: M.+C. + F5nt =Fext o les efforts extrieurs

regroupent les efforts quivalents dus une pression et les efforts localiss donns oudus au contact, comme expliqu en C.

Avec C = a.M(et non C = a.M + p.K) et Fext - Fjnt = R, on obtient: IM.[ + a.] = R (r-vm-is)

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c - Diffrences centres(At)2.t=Ut+At-2BUt+Ut_At 2.Att=Ut+At-Ut_At P = ^ + ^ q = ^ r r = p-q

= p. M.Ut+At = R + q.WLUt + r.M.Ut_At avec R = Fext - Fint o Fext 4- t + At et Fjnt -> t

La matrice M tant prise diagonale, comme prcis dans les paragraphes suivants,1 Rl'quation relative au degr de libert i s'crit : u(t')At = ( + q.u[l} + r.u(t'lAt) {4} (r-vm-14)P MJJ

Nota - pour un nud libre dans la direction i, la relation {4} sert calculer u^At;- pour un nud dplacement impos dans cette direction, u^At est connu et {4}sert calculer le rsidu Rj qui, avec la composante de l'effort interne, peut donnerla composante de l'effort de liaison en fin de calcul.

d - Algorithme simplifiDEBUTLire p, a, At, tmax; { p, a peuvent tre considrs comme des paramtres de rglage}Initialiser Ut,Ut_At ; {ici, on suppose que les seuls dplacements imposs sont nuls}Initialiser Fint et a zro; {s'il ne s'agit pas de la reprise d'un calcul en cours}Calculer M; {voir paragraphes suivants}Calculer p, q, r; (P^ + ^ At cl = ^ r = P~q}t


2 - Matrice masse : MA la fois pour des raisons de simplicit de calcul - voir relation {4} - et parce que la

valeur Atcr sera suprieure - voir paragraphe 3, ci-aprs -, la matrice M est diagonale etnon pas cohrente (ou "consistante" qui est traduction brute du terme anglais"consistent") - voir annexe n, paragraphe B-2.

La mthode dcrite ci-dessous est propose par Hughes dans [7] pages 445 et 566.

a^ansjationsPour les dplacements u, v, w d'un nud d'un lment-coque comportant n nuds,

les termes diagonaux de la matrice M, pour cet lment, s'obtiennent en plusieurs tapes:

Par exemple, en ce qui concerne le dplacement, u, d'un point courant d'un triangle :u - = N?.U!.+N^.u2 +N.u3 = N>i = Nu.Ue

. MK = JJJp.NH.Nfdv (sans sommation sur i) ;-mu = 5X;

n . . .

0- M|j


3 - Estimation du pas de temps

Dans le paragraphe A-3-b, une limite de At a t donne sous la forme : Atcr = ~Tn.2En posant Tn = 2.7T.con =$ Atcr = o con est la plus grande pulsation propre, (r-vm-20)

n

Afin d'viter un calcul de valeurs propres, une approche diffrente est effectue. Elleconsiste en une analogie avec une simple barre (en traction-compression).a - Barre

Se rfrer l'annexe H, partie E, pour les notions utilises ci-aprs.K =

p4^ M = |^ ["li5 ^D = M-iBK = |rj^ : matrice dynamique.

La plus grande valeur propre de D est 2 = -^f- = co2 = co2 =


G- Non-linarit due au contactOutre les deux types de non-linarit voques dans les chapitres VI et vn, la non-

linarit due au contact est prsente avec la formulation dynamique explicite. En effet,ce type de codes est largement utilis pour la simulation de la mise en forme o lesdplacements sont imposs par des surfaces rigides.

1 - Pnalisation

Dans les paragraphes suivants seul le contact avec Poutillage est pris en compte. Pourles liaisons "classiques", c'est dire les suppressions de certains degrs de libert pourassurer l'quilibre de la structure ou imposer des symtries, une mthode habituelle depnalisation est utilise.

En occultant ici la notion de repre local, cette pnalisation consiste, pour imposer undplacement AU| (ligne i dans la matrice-colonne des dplacements), multiplier le termediagonal KH (ligne i et colonne i) de la matrice de raideur par un "grand" coefficient (R).L'effort AFj - dans le second membre - est alors considr connu et pris gal AUjxR.

a - Mthode incrmentaleDans la mthode dveloppe ici, la gomtrie de la structure (tle) n'est pas contrainte

suivre exactement celle de l'outillage ; ce sont des efforts judicieusement calculs quisont appliqus cette structure pour l'empcher de pntrer dans l'outillage.

En fait, l'outil - indformable et dont la position dans l'espace l'instant t est connue -correspondent des "ressorts" de grande raideur agissant dans des directions privilgies ;les efforts en question sont donc caractristiques d'une lgre pntration.

/n OU|j|On peut imaginer un de ces ressorts comme un lment de \ / ^^^

longueur nulle connect un nud (k) de la structure d'une f^ -Jd^^part et l'outil d'autre part. Le support de l'effort exerc par la / ^tle sur ce ressort passe par k et, en l'absence de frottement, . / /Ana pour direction une normale n une facette de l'outil. ^"^^J

^Xtle(f-VIII-2) ^X

Si, suivant cette normale et par rapport un repre global fixe, le dplacement de l'outilest not Agn.n, le dplacement du nud k est not Aun.n, la loi de comportement de cetlment particulier de raideur Rn est : AFn = Rn.(Aun - Agn) avec AFn = AFn.n (r-vm-24)

o : AFn est l'action du nud k sur cet lment.

Toujours en 2 dimensions mais avec du frottement, la loi de comportement devient :AFn = Rn.(Aun-Agn) ^ Ak = Aun.n + Au,t:tleAFt =Rt.(Au,.-Agt) AgH = Agn.h + Agt.t : outil

Si frottement "glissant" (Coulomb): Ft = ji. Fn| => Rt = ^ -2- o dt = Y|AjUt - A^ (r-vm-26)dtEn trois dimensions, un repre local (x, y, n) est utilis tel que, par exemple, l'axe x

reste parallle au plan (X, Z) du repre global fixe.

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Si AFX, AFy, AFn sont les efforts exercs par rAFxl [Rt-A9X] [H | | ] [Aux~le nud k sur l'lment "ressort", la formula- AFy + Rt.Agy = Rt , Auytion matricielle de cet lment est: (r-vm-27) AP R An ~ ~ ~ ~ ~ ~ F T AN

L nj L n wj L nj L n.

On a donc affaire un "lment fini" dont, aprs changement de base, les coefficientsde la matrice carre sont assembls avec ceux de la matrice globale de rigidit de la tletandis que les composantes d'efforts Rt.Agx, Rt.Agy et Rn.Agn, aprs changement debase, sont ajoutes au second membre de l'quation K.AU = AF.

b - Conditions de contactLes expressions prcdentes restent vraies en l'absence de contact si Rn = Rt = 0.Avec An.n, la distance entre k et H en dbut d'incrment (voir f-viiM2), AgH, l'incrment

de dplacement impos pour l'outil et Aks le dplacement du nud k calcul (connu enfin d'incrment), un critre gomtrigue de contact est: - An + Aun - Agn > 0. (r-vm-28)

Une condition mcanique de rupture de contact est : Fn < 0 o Fn .= AjFn (r-vm-29)

2 - Projection dynamiquea - Remarque pralabley///S//,

Agi Au1w

d1Ti '//////s Au2

Ag2 \d2"L y////// ~T*u3 r=Agi"AuiJLJL ///////t __ d2 = Ag2-Au2 + d1

Ag3 d3 = Ag3 - Au3 + d2

41 v//////f H(Ag|-Aui)En notant di, la "pntration" d'un nud dans l'outil aprs le pas i : di = ](Agi- Aui);

iCette "pntration" peut donc tre directement utilise pour calculer l'effort de contact,

soit l'effort appliquer au nud pour le "ramener" sur la surface de l'outil au pas (s+1).

b -ConsquenceLa mthode de pnalisation incrmentale s'applique dans le cas d'un code implicite

o, schmatiquement, est rsolu chaque pas, le systme : K,AU = AF.

Dans un code explicite doit tre rsolue l'quation matricielle : M. + C. = Fext -Flrrt.L'ide principale consiste donc appliquer au nud (de masse m) un effort de contact

de la forme Fc = m.y o l'acclration y est calcule en fonction de la pntration d pourque, dans un intervalle de temps At, le nud se dplace de cette distance d suivant lanormale sortante l'outil considr.

vm-8 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


Dans le cas o l'on considre un mouvement uniformment acclr de vitesse initialev0:^d = ^ .Y-At2 + v0.At ; ce qui donne y et donc l'effort Fcen l'absence d'amortissement.

c - Mthode initialeEn un nud de masse m et suivant la normale la surface en contact, on note :ut le dplacement l'instant t ;d* le dplacement imposer pour ramener ce nud sur la surface t +At ;F-, effort interne ;Fc effort de contact calculer ; (cet effort est not Fn dans le paragraphe 1-b).En l'absence d'amortissement, l'quation matricielle M.+ C. + Fjnt = Fext donne :^(u;+At-2.ut+ut.At) = Fc-Fl o u;+^=ut.+ d*^Fc=F l+-^-(d*-ut+ut.At)

d - Mthode modifieDans la mthode prcdente la valeur de l'effort Fc tend, au cours du temps, vers celle

de FJ . La valeur de d*, trs petite, n'est donc pas aisment exploitable numriquement nipour le test gomtrique de contact ni pour la gestion de l'ventuel dplacement de lasurface rigide.

Une autre mthode consiste prendre pour effort de contact : Fc* =-^y(d*-ut +ut_At);y(d*-ut + ut_At) tend alors vers Fj et la valeur moyenne de pntration d* constate

numriquement reste de l'ordre de 10~3 mm.

e Remarques

- En posant : FC* = m.y* =>Y* =0 .

f - Frottement

Pour tout nud en contact avec un outil, l'effort normal de contact Fn = Fc*.n est calculcomme prcis dans le paragraphe C-1-b. A l'instant t, la vitesse du nud par rapport l'outil est dcompose en vitesses normale et tangentielle : V/outj, = Vn.n + Vt.

Si |vt|| > e => Ft. = -y.Fn.jpjr o Ft est l'effort tangentiel recherch.

vin - 9 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


D Bibliographie dujshapitre VIII[1] BATHE, K.J., Finite lment procdures in engineering analysis, Prentice-HalI,

New Jersey, 1982, 734 pages.[2] BELYTSCHKO, T., TSAY, C.S., Explicit algorithme for nonlinear dynamics ofshell,

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[4] BOULMANE, L, Application des techniques implicites-explicites de la dynamiquetransitoire la simulation numrique en mise en forme des mtaux, Thse dedoctorat en sciences pour l'ingnieur, Universit de Franche-Comt, 1994, 174 p.

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[6] BRUNET, M., SABOURiN, F., A simplified triangular shell lment with neckingcriterion forSD. sheet mtal forming analysis, VDI Beritche 894, FE simulation of 3-Dsheet mtal forming, 1991, Zurich, pages 229-238.

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formulations for thin sheet mtal forming, VDI Beritche 894, FE simulation of 3-Dsheet mtal forming, 1991, Zurich.

VIII-10 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

Page de titreTable des matiresI - IntroductionII - Structures de poutresIII - Elasticit plane et axisymtrieIV - Flexion des plaquesV - Coques facettisesVI - Non-linarit gomtriqueVII-Non-linarit matrielleVIII - Code dynamique expliciteA - Notions lmentairesB - Calcul des structuresC - Non-linarit due au contactD - Bibliographie

Annexes

chap 8 code dynamique

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