chap2 deterministic signal_analysis
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2.12 希尔伯特变换
定义
希尔伯特变换
希尔伯特反变换
1 f
f t H f t dt
1 1 g
H g t dt
2.12 希尔伯特变换
希尔伯特变换的等效线性系统
该系统的单位冲激响应和传递函数为
1
1sgn
1, 0sgn
1, 0
h tt
H jt
其中，
F
2.12 希尔伯特变换
0
1
0
2 20 0
1, 0sgn lim
1, 0
1 1sgn lim
2 2
1 1 1 1 2lim lim
2 2
1sgn
j t j t
e u e u
e u e d e u e d
jt j
jt jt t t
jt
F
2.12 希尔伯特变换
希尔伯特变换的等效线性系统
传递函数
可见，希尔伯特变换等效于一个理想移相器
, 0
sgn, 0
jH j
j
02
02
时，相移为 - ；
时，相移为
2.12 希尔伯特变换
希尔伯特反变换的等效线性系统
单位冲激响应
传递函数
也等效于一个理想移相器
1
h tt
1
sgnH jt
F
02
02
时，相移为 ；
时，相移为 -
2.12 希尔伯特变换
例2.12.1
1
1
cos , 0, ,
cos sin2
sin cos2
sin cos2
f t t f t f t H f t
f t t t
f t t t
H f t t t f t
其中 求 和
2.12 希尔伯特变换
希尔伯特变换的性质
1
22
1
2
3
4
0
H f t f t
H f t f t f t
f t dt f t dt
f t f t
f t f t
f t f t dt
若 为偶函数，则 为奇函数；
若 为奇函数，则 为偶函数
5
2.12 希尔伯特变换
希尔伯特变换的性质（证明）
1
1
22 2
22
1 sgn sgn
3 sgn
1 1sgn
2 2
1
2
H f t f t j j f t
H f t f t
f t F F j
f t dt F d F j d
F d f t dt
F F F
2.12 希尔伯特变换
希尔伯特变换的性质（证明）
'
5 ,
1 1
'1'
'
f t f t
f ff t d d
t t
fd f t
t
令
若 则
2.13 解析信号
定义
实信号f(t)的解析信号为复信号
z t f t j f t
2.13 解析信号
解析信号的性质
*
0 0
1 Re
12
2
3 , ,
2 , 02
0, 0
1 14 2
2
j t j t
f t z t
f t z t z t
f t F z t Z
FZ F u
z t F e d F e d
令 则
2.13 解析信号
解析信号的性质
*
1 2
* *
1 2 1 2
0, 05 2
2 , 0
6
* 0 * 0
7
z t F uF
z t z t
z t z t z t z t
令 和 为解析信号，则
；
解析信号的能量是实信号能量的两倍
2.13 解析信号
解析信号的性质（证明）
*
1 1 2 2
*
1 2 1 2
*
1 2
2
22 2
3 sgn
1 sgn 2
6 2 ; 2
* 2 2 0
* 0
7
2 2
z
f
Z f t j f t F jF j
F F u
z t F u z t F u
z t z t F u F u
z t z t
E z t dt f t j f t f t j f t dt
f t f t dt f t dt E
F
2.13 解析信号
判断复信号z(t)=x(t)+jy(t)是否为解析信号的方法
1
2 3 2
3 0
y t x t
z t
Z X u
z t
z t
z t
方法 ：若 是 的希尔伯特变换，
则 是解析信号
方法 ：若满足性质 ，即 ，
则 是解析信号
方法 ：若 的傅氏变换只在 时取非零值，
则 是解析信号
2.13 解析信号
例2.13.1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
1 cos sin sin cos
2 2 cos
2
j t
j t
j t
j t
j t
j t
j t
e
e t j t t H t
e
e t
e
e
e
确定 是否为解析信号
方法 ： ，且
是解析信号
方法 ： ，
是解析信号
方法 3：
是解析信号
2.13 解析信号
求已知实信号f(t)的解析信号的方法
0
1
2
1 j t
f t f t
z t f t j f t
f t F
z t F e d
方法 ：求 的希尔伯特变换 ，再构造解析信号
方法 ：求 的傅立叶变换 ，再由性质 4 求出
2.13 解析信号
例2.13.2
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 00
0
cos 0
1 cos sin2
cos sin
2 cos
1
12
2
j t
j t
f t t
f t t t
z t t j t e
t
z t d
d e
求 的解析信号
方法 ：
方法 ：
2.14 频带信号与带通系统
频带信号的定义
若信号频谱集中在某一频率的附近，如下图，则此信号即为频带信号或带通信号
2c
W若 ，则此频带信号为窄带信号
2.14 频带信号与带通系统
频带信号的解析信号
2z t f t j f t Z F u
2.14 频带信号与带通系统
频带信号的复包络信号（复基带信号）
2
cj t
L
L L c c c
f t z t e
f t F Z F u
2.14 频带信号与带通系统
用复包络信号表示频带信号
用同相分量、正交分量表示
R e R e
R e cos sin
cos sin
c
L c s
j t
L
c s c c
c c s c
f t f t jf t
f t z t f t e
f t jf t t j t
f t t f t t
令
则
2.14 频带信号与带通系统
用复包络信号表示频带信号
用包络分量、相位分量表示
Re Re
Re cos
c
c
j t
L
j t
L
j t t
c
f t a t e
f t z t f t e
a t e a t t t
令
则
2.14 频带信号与带通系统
用复包络信号表示频带信号
从上面两种表示法均可看出，复包络信号包含了频带信号中除了载波频率外的所有信息
频域表示：
*
*
*
1Re
2
1
2
c cj t j t
L L
L c L c
L c
L c
f t z t f t e f t e
F F F
F
F
易见： 是正频部分，
是负频部分
2.14 频带信号与带通系统
例2.14.1
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0
cos
0
cos sin
cos sin
j t
j t
m t W
s t m t e
m t t
S M
W S s t
s t m t e m t t jm t t
W s t
m t t m t t
基带信号 的带宽为 。
求 是解析信号的条件；
求 的希尔伯特变换
当 时， 只在 时取非零值，即 是解析信号
当 时， 是解析信号
的希尔伯特变换是
2.14 频带信号与带通系统
带通系统
若系统的通频带位于某一频率附近，其传递函数如下图，则此系统为带通系统
0
2W 若 ，则称此系统为窄带系统
2.14 频带信号与带通系统
带通系统的单位冲激响应
其解析信号
h t H h t ， 是一频带信号
2z t h t jh t Z H u
2.14 频带信号与带通系统
带通系统的等效低通系统
等效低通冲激响应
等效低通传递函数
注意：这里引入系数1/2是为了方便分析后面的频带信号通过带通系统
01
2
j t
Lh t z t e
0 0 0
1
2L L
h t H Z H u
2.14 频带信号与带通系统
带通系统用等效低通系统表示
单位冲激响应用等效低通单位冲激响应表示
传递函数用等效低通传递函数表示
0
0 0
*
R e R e 2j t
L
j t j t
L L
h t z t h t e
h t e h t e
*
0 0L LH H H
2.14 频带信号与带通系统
频带信号通过带通系统
0
0
0
*
0 0
*
0 0
*
0 0
1Re
2
Re 2
1Re
2
*
j t
L L L
j t
L L L
j t
L L L
L L L L L
x t h t
y t
x t x t e X X X
h t h t e H H H
y t y t e Y Y Y
y t x t h t Y X H
y t x t h t Y X H
输入信号 、系统单位冲激响应
和输出信号 都是频带信号，即
，
，
，
我们知道： ，
问题： 和 、 ，以及 和 、 L 有什么关系？
2.14 频带信号与带通系统
频带信号通过带通系统
* *
0 0 0 0
* *
0 0 0 0
*
0 0
0 0 0
1
2
1
2
1
2
*
L L L L
L L L L
L L
L L L
L L L
Y X H
X X H H
X H X H
Y Y Y
Y X H
y t x t h t
2.14 频带信号与带通系统
由上面推导可见，频带信号通过带通系统的性能完全可以用对应的复包络信号通过等效低通系统代替
以上结论是通信仿真的基础
以上结论也为求频带信号通过带通系统的输出提供了另一种方法
2.14 频带信号与带通系统
例2.14.2
0 0 0
0
0
0
0
0
0
cos , 01
0
cos
1 1 10
2 2 2
sin
1 1*
2 2
1Re cos
2
j t j t j t
L
L
t t
L L L Lt T t T
tj t
Lt T
t t Th t T
t
x t m t t y t
h t z t e e e t T
x t m t t
y t x t h t x d m d
y t y t e t m d
带通系统的单位冲激响应 ，且其他
输入窄带信号 ，求输出
，