chap8_theorie des jeux

7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux

1/131

Introduction la

thorie des jeux

David Bounie

Thomas Houy


2/131

Introduction

Nous avons tudi la firmeconcurrentielle et le monopole.

Il existe des structures de marchintermdiaires : loligopole.

Une forme particulire de loligopole est

le duopole : deux firmes.


3/131

Choisir une stratgie

2 firmes produisent un bien identique.

4 variables sont considrer.

Le prix de chaque entreprise.

Loutput de chaque entreprise.

Plusieurs cas peuvent tre analyss.


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Les jeux squentiels

La firme connat les choix effectus parlautre entreprise.

La 1ere firme est le leader.

La 2me firme est le suiveur.

Les interactions stratgiques entre 1 et 2

constituent un jeu squentiel. Les variables stratgiques peuvent tre

les prix ou les output.


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Les jeux simultans

La firme ne connat pas les choixeffectus par lautre entreprise.

La firme doit prvoir les dcisions delautre lorsquelle fixe le prix ou le niveaudoutput produire.

Les interactions stratgiques entre 1 et 2constituent un jeu simultan.


6/131

Elle permet de modliser lecomportement stratgique des agentsqui comprennent que leur comportement

dpend de leur action mais galement delaction des autres agents.

Le rle de la thorie des jeux


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Ltude des oligopoles

Ltude des cartels

Jeux militaires Biologie Ethologie

Quelques applications


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Un jeu se compose de :

Un ensemble dejoueurs.

Un ensemble de stratgies pour chaquejoueur.

Des gains associs chaque stratgie desjoueurs.

Quest ce quun jeu ?


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Exemple trs simple dejeu entre 2 agents

(sous forme normale)


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Jeu 2 joueurs avec 2 stratgies possibles

Les joueurs sappellent A et B.

Le joueur A a deux stratgies : up oudown.

Le joueur B a deux stratgies : Left ou

Right.

La matrice des gains est reprsente commesuit :

Exemple


11/131


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Joueur B

Joueur A

Les gains du joueur B sont ( , ici)

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Thorie des jeux


13/131

Exemple : Si A joue Up et B joue Rightalors A gagne 1 et B gagne 8

Joueur B

Joueur A

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Thorie des jeux


14/131

Joueur B

Joueur A

Une situation de jeu est une paire

(ex : (U,R) ) o le premier lment est lastratgie choisie par le joueur A et le

deuxime lment est la stratgie choisie

par le joueur B

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Thorie des jeux


15/131

Quel est le rsultat de ce jeu ?

Joueur B

Joueur A

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Thorie des jeux


16/131

Joueur B

Joueur A

(U,R) est-ilun rsultatpossible ?

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Thorie des jeux


17/131

Joueur B

Joueur A

Si B joue Right alors la meilleure rponse deA est Down. Ainsi les gains de A passerontde 1 2. Donc (U,R) nest pas possible.

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

(U,R) est-ilun rsultatpossible ?

Thorie des jeux


18/131

Joueur B

Joueur A

(D,R) est-ilun rsultatpossible ?

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Thorie des jeux


19/131

Joueur B

Joueur A

Si B joue Right alors la meilleure rponse de

A est Down.

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)


Thorie des jeux


20/131

Joueur B

Joueur A

Si B joue Right alors la meilleure rponse de

A est Down.Si A joue Down alors la meilleure rponse deB est Right. Donc, (D,R) est possible.

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)


Thorie des jeux


21/131

Th i d j


22/131

Joueur B

Joueur A

Si A joue Down, la meilleure rponse de Best R, donc (D,L) nest pas possible.

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

(D,L) est-ilun rsultatpossible ?

Thorie des jeux


23/131

Th i d j


24/131

Joueur B

Joueur A

Si A joue Up, la meilleure rponse de B est Left.Si B joue Left, la meilleure rponse de A est Up.Donc (U,L) est possible.

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

(U,L) est-ilun rsultatpossible ?

Thorie des jeux

Th i d j t ti


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Un jeu en forme normale est dcrit comme suit:

1. Un ensemble de Njoueurs, I {1,2,,N}

2. Chaque joueur i, i I, a un ensemble dactions Ai

qui est lensemble de toutes les actions possibles

pour i. Soit ai Ai, une action particulire de Ai.

On appelle ai un rsultat du jeu.

3. Chaque joueur a une fonction de payoff, i qui

assigne un nombre rel i(a), chaque action du

joueur i.

Thorie des jeux: notation


26/131

Dfinition dunquilibre du jeu

ilib d N h


27/131

Une situation du jeu o chaque stratgie

est la meilleure rponse lautre est un

quilibre de Nash.

Dans notre exemple, il y a deux quilibres

de Nash : (U,L) et (D,R).

quilibre de Nash

Th i d j


28/131

Joueur B

Joueur A

(U,L) et (D,R) sont deux quilibresde Nash pour ce jeu

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Thorie des jeux

Th i d j


29/131

joueur B

joueur A

(U,L) et (D,R) sont des quilibres de Nash

pour ce jeu. Mais, lequel va apparatre ?Nous remarquons que (U,L) est prfr (D,R) par les deux joueurs. Pour autant

est-ce que (U,L) va apparatre ?

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Thorie des jeux


30/131

L dil d i i


31/131

Deux bandits se font arrter par la police.

Les policiers nont pas assez de preuves

pour les inculper.

Les policiers interrogent les bandits

sparment.

Les bandits peuvent :

soit garder le silence (S)

soit se confesser (C), i.e. ils avouent.

Le dilemme du prisonnier

Thorie des je


32/131


Clyde

Bonnie

(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

Thorie des jeux

Thorie des jeux


33/131

Si Bonnie joue le Silence alors la meilleure

rponse de Clyde est la Confession.

Clyde

Bonnie

(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

Thorie des jeux

Thorie des jeux


34/131

Si Bonnie joue le Silence alors la meilleure

rponse de Clyde est la Confession.

Clyde

Bonnie

(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

Si Bonnie joue la Confession alors lameilleure rponse de Clyde est la

Confession

Thorie des jeux

Thorie des jeux


35/131

Donc, quelle que soit la strat. de Bonnie,

Clyde doit toujours se Confesser.Se Confesser est la stratgie dominantepour Clyde.

Clyde

Bonnie

(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

Thorie des jeux

La stratgie dominante


36/131

Df.: on appelle une stratgie dominante une stratgie

dont le payoff est suprieur toute autre action et ce que

quelle que soit la stratgie des autres joueurs.

Formellement:

On enlve laction a de i de Ai; on note les actions des

autres

Jouer maximise le profit de i ; donc :

, , ,i i i i i ii ia a a a pour tout a A

La stratgie dominante

i ia A

ia

ia

Thorie des jeux


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Donc, le seul quilibre de Nash pour ce

jeu est (C,C), mme si (S,S) donne Bonnie et Clyde de meilleurs gains.Lquilibre de Nash est inefficace

Clyde

Bonnie

(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

Thorie des jeux

Le jeu de la poule mouille


38/131


B

A(6,6) (1,10)

(10,1) (-20,-20)

Coopre

Trahit

Coopre Trahit

Le jeu de la poule mouille


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Jeu squentiel(sous forme extensive)

Jeux squentiels


40/131

Dans nos deux exemples, les joueursjouaient simultanment.

Il existe des jeux o les joueurs jouent lun

aprs lautre :jeux squentiels.

Le joueur qui joue en premier est le

leader , celui qui joue en deuxime est le

fo l lower .

Jeux squentiels

Exemple


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Parfois, un jeu a plusieurs quilibres de

Nash et il est difficile de savoir lequel va

sortir du jeu

En revanche, quand un jeu est squentiel,

il est possible de dire quel quilibre deNash va sortir du jeu.

Exemple

Thorie des jeux


42/131

joueur B

joueur A

(U,L) et (D,R) sont deux quilibres de Nash

quand le jeu est simultan. Et, il estimpossible de savoir quel quilibre va arriver

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Thorie des jeux

Thorie des jeux


43/131

joueur B

joueur A

Supposons maintenant que le jeu est

squentiel : A est le leader et B le follower.Nous pouvons rcrire ce jeu sous sa formeextensive

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Thorie des jeux

Thorie des jeux


44/131

U D

L LR R

(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

A

B BA jour en premierB jour en second

Thorie des jeux


45/131

Thorie des jeux


46/131

U D

L LR R

(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

A

B B

Si A joue U alors B joue L; A gagne 3.Si A joue D alors B joue R; A gagne 2.Donc (U,L) est lquilibre de Nash qui sortira

Thorie des jeux


47/131

Fonctions de

meilleures rponses

Fonctions de meilleures rponses


48/131

Soit un jeu 22; i.e., un jeu avec deux joueurs A

et B, qui ont chacun deux actions possibles

A peut choisir entre deux actions : aA1 et aA

2

B peut choisir entre deux actions aB1 et aB

2

Il y a 4 paires dactions possibles :

(aA1, aB

1), (aA

1, aB

2), (aA

2, aB

1), (aA

2, aB

2)

Chaque paire dactions donnera des gains

diffrents aux joueurs



49/131



50/131

UA(aA1, aB

1) = 6 et UB(aA1, a

B1) = 4

UA(aA1, aB

2) = 3 et UB(aA1, a

B2) = 5

UA

(aA

2, aB

1) = 4 et UB

(aA

2, aB

1) = 3UA(aA2, a

B2) = 5 et U

B(aA2, aB

2) = 7




51/131

UA(aA1, aB1) = 6 et UB(aA1, aB1) = 4UA(aA1, a

B2) = 3 et U

B(aA1, aB

2) = 5

UA(aA2, aB1) = 4 et UB(aA2, aB1) = 3

UA(aA2, aB

2) = 5 et UB(aA2, a

B2) = 7

Si B choisit laction aB1, quelle est lameilleure rponse de A ?




52/131

UA(aA1, aB1) = 6 et UB(aA1, aB1) = 4

UA(aA1, aB

2) = 3 et UB(aA1, a

B2) = 5

UA

(aA

2, aB

1) = 4 et UB

(aA

2, aB

1) = 3UA(aA2, a

B2) = 5 et U

B(aA2, aB

2) = 7

Si B choisit laction aB1, la meilleure

rponse de A est aA1 (car 6 > 4)




53/131

UA(aA1, aB

1) = 6 et UB(aA1, a

B1) = 4

UA(aA1, aB2) = 3 et UB(aA1, aB2) = 5

UA

(aA

2, aB

1) = 4 et UB

(aA

2, aB

1) = 3UA(aA2, aB2) = 5 et UB(aA2, aB2) = 7



Si B choisit laction aB2, quelle est la

meilleure rponse de A ?




54/131

UA(aA1, aB

1) = 6 et UB(aA1, a

B1) = 4

UA(aA1, aB2) = 3 et UB(aA1, aB2) = 5

UA

(aA

2, aB

1) = 4 et UB

(aA

2, aB

1) = 3UA(aA2, aB2) = 5 et UB(aA2, aB2) = 7




rponse de A est aA2

(car 5 > 3)




55/131

Si B choisit aB1 alors A choisit aA

1

Si B choisit aB2 alors A choisit aA

2

La courbe de meilleure rponse de

A est donc :

Meilleuresrponses

de AaA1

aA2

aB

2aB

1Actions de B

+

+




56/131

UA(aA1, aB

1) = 6 et UB(aA1, a

B1) = 4

UA(aA1, aB

2) = 3 et UB(aA1, a

B2) = 5

U

A

(a

A

2, a

B

1) = 4 et U

B

(a

A

2, a

B

1) = 3UA(aA2, a

B2) = 5 et U

B(aA2, aB

2) = 7




57/131

UA(aA1, aB

1) = 6 et UB(aA1, aB1) = 4

UA(aA1, aB

2) = 3 et UB(aA1, aB2) = 5

U

A

(a

A

2, a

B

1) = 4 et U

B

(a

A

2, a

B

1) = 3UA(aA2, a

B2) = 5 et U

B(aA2, aB

2) = 7

Si A choisit laction aA1, quelle est la

meilleure rponse de B ?




58/131

UA(aA1, aB

1) = 6 et UB(aA1, aB1) = 4

UA(aA1, aB

2) = 3 et UB(aA1, aB2) = 5

U

A

(a

A

2, a

B

1) = 4 et U

B

(a

A

2, a

B

1) = 3UA(aA2, a

B2) = 5 et U

B(aA2, aB

2) = 7

Si A choisit laction aA1, la meilleure

rponse de B est aB2 (car 5 > 4)




59/131

UA(aA1, aB

1) = 6 et UB(aA1, a

B1) = 4

UA(aA1, aB

2) = 3 et UB(aA1, a

B2) = 5

U

A

(a

A

2, a

B

1) = 4 et UB

(aA

2, aB

1) = 3UA(aA2, aB2) = 5 et UB(aA2, aB2) = 7



Si A choisit laction aA2, quelle est la

meilleure rponse de B ?




60/131

UA(aA1, aB

1) = 6 et UB(aA1, a

B1) = 4

UA(aA1, aB

2) = 3 et UB(aA1, a

B2) = 5

U

A

(a

A

2, a

B

1) = 4 et UB

(aA

2, aB

1) = 3UA(aA2, aB2) = 5 et UB(aA2, aB2) = 7








61/131

Si A choisit aA

1 alors B choisit aB

2 Si A choisit aA2 alors B choisit a

B2

La courbe de meilleure rponse de B est

donc :

Actionsde A a

A1

aA2

aB

2aB

1

Meilleures rponses de B




62/131

aA1

aA2

aB

2aB

1

Notons que aB2 est uneaction strictement

dominante pour B


Si A choisit aA1

alors B choisit aB2

Si A choisit aA2 alors B choisit aB

2

La courbe de meilleure rponsede B est donc :

Actionsde A

Meilleures rponses de B

Meilleures rponses & quilibre de Nash


63/131

Rponse de A

aA

1

aA2

aB2aB1

aA

1

aA2

aB2aB1

+

+

Choix de A

Choix de B Rponse de B

Comment peut-on utiliser les courbes de meilleuresrponses pour localiser les quilibres de Nash du jeu ?

B A

p q


64/131


65/131



66/131

aA

1

aA2

aB2aB1

+

+ Oui, (aA2, aB2). Pourquoi ?

p q

Rponse de A

Rponse de B

Existe-t-il un quilibre de Nash ?

Comment peut-on utiliser les courbes de meilleures

rponses pour localiser les quilibres de Nash du jeu ?=> Superposez les courbes



67/131

aA

1

aA2

aB2aB1

+

+

p q

Oui, (aA2, aB2). Pourquoi ?aA2 est une meilleure rponse a

B2

aB2 est une meilleure rponse aA

2

Rponse de A

Rponse de B

Existe-t-il un quilibre de Nash ?

Comment peut-on utiliser les courbes de meilleures

rponses pour localiser les quilibres de Nash du jeu ?=> Superposez les courbes


68/131



69/131

6,4 3,5

5,74,3

aA1

aA2

aB1 aB

2Joueur B

Joueur A

aA2 est la seule meilleure rponse aB2

aB2 est la seule meilleure rponse aA

2

Existe-t-il un 2eme

Equilibre de Nash ?

p q



70/131

6,4 3,5

5,74,3

aA1

aA2

aB1 aB

2Joueur B

Joueur AExiste-t-il un 2

eme

quilibre de Nash ?Non, car aB2 est uneaction strictement

dominante pour B

aA2 est la seule meilleure rponse aB2

aB2 est la seule meilleure rponse aA

2

p q


71/131

Une applicationLa fixation simultane des

quantits

Le modle de Cournot

Concurrence en quantit


72/131

Les firmes se concurrencent en choisissantleurs niveaux doutputsimultanment.

Le mathmaticien franais Cournot a tudi

le premier ce type dinteraction (1838). Si la firme 1 produit y1 units et la firme 2

produit y2 units alors la quantit totale

offerte sur le march est y1 + y2. Le prix de march sera alors p(y1+ y2).

Les fonctions de cot sont c1(y1) et c2(y2).




73/131

Supposons que la firme 1 prenne le niveau

doutput y2 produit par la firme 2 comme

donn.

La fonction de profit de la firme 1 est alors :

Etant donn y2, quel niveau doutput y1

maximise le profit de la firme 1 ?

1 1 2 1 2 1 1 1( ; ) ( ) ( ).y y p y y y c y


Un exemple


74/131

Supposons que la fonction de demande

inverse du march est :

et que les fonctions de cot des firmes

sont :

p y yT T

( ) 60

c y y1 1 12

( ) c y y y2 2 2 2215( ) .et

Un exemple

Un exemple


75/131

( ; ) ( ) .y y y y y y1 2 1 2 1 1260 Etant donn y

2, la fonction de profit de 1 est

Un exemple

Un exemple


76/131



Etant donn y2, le niveau doutput quimaximise le profit de la firme 1 est y y y y1 1 2 160 2 2 0 .

Un exemple

Un exemple


77/131



Etant donn y2, le niveau doutput quimaximise le profit de la firme 1 est y y y y1 1 2 160 2 2 0 .i.e. la meilleure rponse de 1 y2 est

y R y y1 1 2 21514

( ) .

Un exemple

Un exemple


78/131

y2

y1

60

15

Courbe de raction de la firme 1

y R y y1 1 2 2151

4 ( ) .

Un exemple

Un exemple


79/131

( ; ) ( ) .y y y y y y y2 1 1 2 2 2 2260 15 Idem, tant donn y

1

, la f.d. profit de 2 est

Un exemple

Un exemple


80/131


1


Etant donn y1, le niveau doutput quimaximise le profit de la firme 2 est

y y y y2 1 2 260 2 15 2 0 .

Un exemple

Un exemple


81/131


1


Etant donn y1, le niveau doutput quimaximise le profit de la firme 2 est

y y y y2 1 2 260 2 15 2 0 .i.e. la meilleure rponse de 2 y1 est

y R y y2 2 1145

4 ( ) .

Un exemple


82/131

Un exemple


83/131

Un quilibre merge lorsque le niveaudoutput produit par chaque firme est tel

quaucune des firmes na intrt dvier.

Une paire de niveaux doutput (y1*,y2*) estune quilibre dit de Cournot-Nash si

y R y2 2 1* *( ).y R y1 1 2* *( ) et

Un exemple

Un exemple


84/131

y R y y1 1 2 2

151

4

* * *( ) y R y y

2 2 1

145

4

* **

( ) . et

Un exemple

Un exemple


85/131

y R y y1 1 2 2

151

4

* * *( )

y R y

y

2 2 1

145

4

* **

( ) . et

Nous substituons y2*

y

y

1

1

15

1

4

45

4

**

Un exemple

Un exemple


86/131

y R y y1 1 2 2

151

4

* * *( ) y R y y

2 2 1

145

4

* **

( ) . et

Nous substituons y2*

y

y

y11

115

1

4

45

4 13

**

*

Un exemple


87/131


88/131

Un exemple


89/131

y2

y1

La courbe de raction de la firme 2

60

15


y R y y1 1 2 21514

( ) .

y R yy

2 2 1 145

4

( ) .

45/4

45

Un exemple

Un exemple


90/131

y2

y1


45

60


y R y y1 1 2 21514

( ) .

8

13

Equilibre de Cournot-Nash

y y1 2 13 8* *, , .y R y

y2 2 1 1

45

4

( ) .

Un exemple



91/131

1 1 2 1 2 1 1 1( ; ) ( ) ( )y y p y y y c y

11

1 2 11 2

11 1 0

yp y y y

p y y

yc y ( ) ( ) ( ) .

Globalement, tant donn le niveau doutput

y2 choisi par la firme 2, la f.d. profit de 1 est

et la valeur de y1

qui max le profit est

La solution, y1 = R1(y2), est la raction deCournot-Nash de la firme 1 y2.

Co cu e ce e qua t t



92/131

2 2 1 1 2 2 2 2( ; ) ( ) ( )y y p y y y c y

22

1 2 21 2

22 2 0

yp y y y

p y y

yc y ( ) ( ) ( ) .

De mme, tant donn le niveau doutput y1

de la firme 1, la fonction de profit de 2 est :

Et la valeur de y2

qui max le profit est

La solution, y2 = R2(y1), est la raction deCournot-Nash de la firme 2 y1.

q



93/131

y2

y1

Courbe de raction de 2Courbe de raction de 1 y R y1 1 2( ).

Equilibre de Cournot-Nash

y1* = R1(y2*) et y2* = R2(y1*)y2*

y R y2 2 1( ).

y1*

q


94/131

Jeu en Stratgies Mixtes


95/131

Stratgies pures


96/131

joueur B

joueur A

Le joueur A a le choix entre U ou D, mais pas

une combinaison des deux. On parle dans cecas de stratgies pures

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Stratgies pures


97/131

joueur B

joueur A

De mme, L and R sont les stratgies pures

de B.

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Stratgies pures


98/131

joueur B

joueur A

Par consquent, (U,L) et (D,R) sont les

quilibres de Nash en stratgies pures.

L R

U

D

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Stratgies pures


99/131

joueur B

joueur A

Considrons un nouveau jeu... Existe-t-il un

quilibre de Nash en stratgie pure ?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Stratgies pures


100/131

joueur B

joueur A

(U,L) est-il un quilibre de Nash ? Non !

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Stratgies pures


101/131

joueur B

Joueur A


(U,R) est-il un quilibre de Nash ? Non !

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Stratgies pures


102/131

joueur B

joueur A


(U,R) est-il un quilibre de Nash ? Non !(D,L) est-il un quilibre de Nash ? Non !

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Stratgies pures


103/131

joueur B

joueur A


(U,R) est-il un quilibre de Nash ? Non !(D,L) est-il un quilibre de Nash ? Non !(D,R) est-il un quilibre de Nash ? Non !

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Stratgies pures


104/131

joueur B

Joueur A

Donc le jeu na pas dquilibre de Nash.

En revanche, ce jeu peut avoir des quilibresde Nash en stratgies mixtes.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Stratgies mixtes


105/131

Au lieu de choisir de manire exclusiveentre Up ou Down, le joueur A peut

attribuer chaque stratgie des

probabilits (

U,1-

U) cest dire que lejoueur A jouera Up avec la prob. U et

Down avec la prob. 1-U.

Le joueur A fait un mix de stratgies pures.

La distribution de probabilit (U,1-U) est la

stratgie mixte du joueur A.

Stratgies mixtes


106/131

De mme, le joueur B peut choisir unedistribution de probabilit : (L,1-L) cest

dire que le joueur B jouera Left avec la

prob. L

et Right avec la prob. 1-L.

Stratgies mixtes


107/131

joueur A(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,U

D,1-U

L,L R,1-L

joueur B

Stratgies mixtes


108/131

joueur A

Si B joue Left son esprance de gain sera :

2 5 1 U U( )

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,U

D,1-U

L,L R,1-L

joueur B

Stratgies mixtes


109/131

joueur A

Si B joue Left son esprance de gains sera :

Si B joue Right son esprance de gains sera:2 5 1 U U( ).4 2 1 U U( ).

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,U

D,1-U

L,L R,1-L

joueur B


110/131

Stratgies mixtes


111/131

joueur A

2 5 1 4 2 1 U U U U ( ) ( )Si alorsB jouera seulement Right. Mais, il nexistepas dquilibre de Nash o B jouera toujoursRight.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,U

D,1-U

L,L R,1-L

joueur B

Stratgies mixtes


112/131

Joueur A

Donc, pour quil existe un quilibre de

Nash, B doit tre indiffrent entre jouer Leftou Right; i.e. :2 5 1 4 2 1

3 5

U U U UU

( ) ( )/ .

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

L,L R,1-L

5

3

52

Joueur B

Stratgies mixtes


113/131

joueur A

Si A joue Up son esprance de gains sera :

.)1(01 LLL

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-L

U,

D,

5

3

52

joueur B

Stratgies mixtes


114/131

joueur A

Si A joue Up son esprance de gain sera :

).1(3)1(30 LLL

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-L

U,

D,

5

3

52

.)1(01 LLL

joueur B

Si A joue Down, son esprance de gain sera :

Stratgies mixtes


115/131

Joueur A

L L3 1( )si Alors A jouera toujours Up.Mais il nexiste pas dquilibre de Nash ou AJouera toujours Up.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-LU,

D,

5

3

52

joueur B

Stratgies mixtes


116/131

joueur A

If

Down. Mais il nexiste pas dquilibre deNash ou A jouera toujours Down.

L L3 1( ) Alors A jouera toujours

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-LU,

D,

5

3

52

joueur B

Stratgies mixtes


117/131

joueur A

Donc, pour quil existe un quilibre de Nash

A doit tre indiffrent entre jouer Up ouDown : L L3 1( )

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-LU,

D,

5

3

52

joueur B

Stratgies mixtes


118/131

joueur A

Donc, pour quil existe un quilibre de Nash,

A doit tre indiffrent entre Up et Down :i.e. L L L 3 1 3 4( ) / .

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-LU,

D,

5

3

52

joueur B

Stratgies mixtes


119/131

joueur A

Donc, pour quil existe un quilibre de Nash,

A doit tre indiffrent entre Up et Down :i.e. L L L 3 1 3 4( ) / .

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L, R,

U,

D,

5

3

52

4

3

4

1

Joueur B

Stratgies mixtes


120/131

joueur B

joueur A

Donc, le seul quilibre de Nash du jeu existe

si A a une stratgie mixte (3/5, 2/5) et Ba une stratgie mixte (3/4, 1/4).

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

5

3

52

L, R,43

4

1

Stratgies mixtes


121/131

joueur B

joueur A

Les gains seront (1,2) avec la proba :

35

34

920

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

L, R,43

4

1

5

3

52

9/20

Stratgies mixtes


122/131

joueur B

Joueur A

Les gains seront (0,4) avec la proba :

35

14

320

(0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

L, R,43

4

1

5

3

52

(1,2)9/20 3/20

Stratgies mixtes


123/131

joueur B

joueur A

Les gains seront (0,5) avec proba :

25

34

620

(0,4)

(0,5)

U,

D,

L, R,43

4

1

5

3

52

(1,2)9/20 3/20

6/20 (3,2)


124/131

Stratgies mixtes


125/131

joueur B

joueur A

Les gains esprs de A pour lquilibre de Nash sont :

19

200

3

200

6

203

2

20

3

4 .

(0,4)U,

D,

L, R,43

4

1

5

3

52

(1,2)9/20 3/20

(0,5) (3,2)6/20 2/20

Stratgies mixtes


126/131

joueur B

joueur A

29

204

3

205

6

202

2

20

16

5 .

(0,4)U,

D,

L, R,43

4

1

5

3

52

(1,2)9/20 3/20

(0,5) (3,2)6/20 2/20

Les gains esprs de B pour lquilibre de Nash sont :


127/131


128/131

La rationalit en question

Le jeu de lultimatum


129/131

Deux individus doivent se partager ungain (x).

Le 1erfait une offre de partage au 2me.

Le 1er(1-x) ; le 2me (x). Le 2me accepte ou refuse.

Si le 2me refuse, personne ne gagne.

Le jeu du concours de beaut


130/131

Chaque tudiant doit se munir dun bout de

papier et doit crire un nombre entre [0 et100].

Le vainqueur du jeu: ltudiant ayant crit lenombre le plus proche de la moiti de la

moyenne de tous les nombres choisis. Le vainqueur du jeu gagne une tablette de

chocolat. En cas dgalit, partage des gains. Le jeu est rpt plusieurs fois.

Le jeu du concours de beaut


131/131

Un seul quilibre de Nash.

Mthode de la dominance itre.

Les capacits cognitives sont limites.

Le rsultat thorique est trs peu observ

A part pour des tudiants dous enmathmatiques

chap8_theorie des jeux

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