chapitre 1 rdm

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Résistance des matériaux

Cours de tronc commun

02/04/2013 Résistance des matériaux 1

Mouna [email protected]

Campus centre Résistance des matériaux

• La résistance des matériaux est la mécaniquedes solides déformables. Elle permet de :

• Caractériser les matériaux ;

• Dimensionner une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ;

• Déterminer la déformation d’une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ;

• Déterminer les efforts maximums que peut supporter une pièce.

Résistance des matériaux 02/04/2013 2

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Sous une charge identique les deux poutres n’offrent pas la même résistance.Il y a alors d’autres caractéristiques autres que l’aire de la section à connaitre.

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Plan


1. Rappels de statique

2. Hypothèses de la Résistance des Matériaux

3. Caractéristiques mécaniques des matériaux

4. Traction – Compression

5. Cisaillement simple

6. Torsion pure

7. Flexion pure

8. Flexion simple

9. Sollicitations composées

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Chapitre 1

Rappels de statique

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Énoncé avec lesforces et les moments

• La force : Un représentant du vecteur force est caractérisé par 4 éléments :

• la direction : orientation de la force

• le sens : vers où la force agit

• la norme : grandeur de la force, elle est mesurée en (N)

• le point d'application : endroit où la force s'exerce


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Énoncé avec lesforces et les moments

• Le moment d'une force:– Le moment d'une force F s'exerçant au point P par rapport

au pivot , est le vecteur:


.

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Principe des actionsmutuelles

• Deux ressorts , de masses négligeables D1 et D2, sont enéquilibre . Il existe deux forces de contact qui ont des valeursidentiques :


•Ces vecteurs forces ontles mêmes valeurs et ligned'action (la droite D1D2)mais leur sens est opposé. Onnote :

:

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Principe fondamental de la statique

• Si un système de solides est en équilibre, alors la somme desactions mécaniques extérieures à ce solide ou ce système est nulle.

• Solide ou système de solides : ensemble de 1 à plusieurs solides aumoins assemblés deux à deux

• Équilibre : le solide n’est pas en mouvement par rapport à unsystème Galiléen

• Actions mécaniques extérieures : qui dit extérieures, dit intérieureset dit forcement frontière entre les deux milieux c’est ce que l’onva appeler la frontière d’isolement.


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Principe fondamental de la statique


• Un système (S) est en équilibre si :

• Autre écriture :

0

0 )(

/ MF

ext

extM

FéquilibreenS

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Les appuis usuels


x

y

.z

Appui simple Articulation Encastrement A B

C

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Structure isostatiques et hyperstatiques


• Pour une structure plane, les équations sont au nombre de 3.Soit R le nombre des inconnues des réactions d’appui d’unestructure plane chargée dans son plan.

• Si R =3, les équations de la statique permettent de déterminer les réactions d’appui structure isostatique extérieurement.

• Si R>3, le nombre des équations d’équilibre est insuffisant pour permettre le détermination des réactions d’appui. La structure est hyperstatique d’ordre R-3.

• Si R<3, l’équilibre de la structure ne peut être assuré .la structure est instable il s’agit d’un mécanisme.

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Campus centre Application


Exercice 1: Calculer les réactions d’appui de la poutre

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Campus centre Application


Exercice 2: Calculer les réactions d’appui de la poutre

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Chapitre 2

Hypothèse de la RDM

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Campus centre Hypothèses de la RDM

• Matériau:

– Homogène

– Isotrope :

– Elastique linéaire :

• Les hypothèses fondamentales de le rdm

– Principe de Saint Venant

– Hypothèse de Bernoulli

– Conditions aux limites



Résistance des matériaux 02/04/2013

Les solides:

En RDM, les solides étudiés portent le nom de poutres.

Par définition, une poutre est un solide engendré par une surface plane (S) dont le

centre de gravité G décrit une courbe ( (la ligne moyenne), (S) restant

perpendiculaire à ( .

très long / à ses dimensions

transversales,

( rectiligne ou à très faible

courbure,

section constante (S) ou lentement

variable.

18

Campus centre Hypothèses de la RDM Les matériaux :

Les matériaux utilisés doivent être :

homogènes : mêmes propriétés mécaniques en tout point,

isotropes : en un même point, mêmes propriétés mécaniques dans

toutes les directions (non vérifié pour le bois, les matériaux

composites…).

Les déformations:

Les déformations doivent être :

petites réversibles,

lentes à chaque instant le corps peut être considéré

comme étant en équilibre statique.


02/04/2013 Résistance des matériaux

Les déformations:

Hypothèse de SAINT VENANT

Les résultats obtenus par un calcul de RdM sur une poutre

ne sont valables qu’à une distance suffisamment éloignée de

la région d’application des actions mécaniques extérieures

concentrées et des liaisons


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02/04/2013 Résistance des matériaux

Les déformations:

Hypothèse de BERNOUILLI

Les sections droites planes et perpendiculaires à la ligne moyenne,

restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après

déformation.


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Campus centre Hypothèses de la RDM Les déformations:

Principe de SUPERPOSITION

La déformation (ou la contrainte) en un point M de la poutre due à

plusieurs actions mécaniques extérieures est égale à la somme des

déformations (ou des contraintes) dues à chaque action

mécanique extérieure prise isolément.

Intérêt: ramener un système composé (complexe) à une somme

de systèmes simples.


Campus centre Hypothèses de la RDM Conditions aux limites :


Efforts extérieurs : Les efforts extérieurs qui s’appliquent au modèle poutre sont principalement de deux types.

•concentrées,•réparties de façon continue.

Liaisons : Les liaisons que l’on rencontre sont les liaisons classiques

x

y

.z

Appui simple Articulation Encastrement A B

C

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• On aborde deux notions fondamentales pour la RdM :

• le torseur des efforts intérieurs ;

• la notion de contrainte.

Torseur des efforts intérieursnotions contraintes


Torseur des efforts intérieurs

• On considère une poutre (E) composée de deux parties:

• La séparation est une coupure au point G par un planperpendiculaire de section (S):


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E1 E2G

y

x

z

(S)

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1)Expression du torseur des efforts intérieurs

Equilibre de l’aval (E2):

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1)Expression du torseur des efforts intérieurs

Equilibre de l’amant (E1):

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1)Expression du torseur des efforts intérieursBilan et règle de calcul et synthèse:

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2) Composantes du torseur de section:Dans le repère local le torseur des efforts intérieurs est exprimé par :

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3) Les sollicitations élémentaires :

Nature des sollicitations Forces de cohésion

Tractionou

CompressionN

Cisaillement simple T

Torsion simple Mt

Flexion pure Mf

Flexion simple T+Mf

Flexion composée N+T+Mf02/04/2013 Résistance des matériaux

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Chapitre 3

Caractéristiques mécaniques des

matériaux

Caractéristiques mécaniques des matériaux

• Le torseur de cohésion ne représente qu’une visionglobale sur la section droite de toutes les actionsmécaniques qui s’appliquent localement en chaquepoint de la surface.

• Ces actions mécaniques locales sont réparties surtoute la surface suivant une loi à priori inconnue. Pourles représenter, considérons un point M de la surface S.

• Autour de ce point M on considère un petit élémentde surface dS de normale .


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Notion de contraintes

• En RdM les efforts intérieurs exercés sur dS sont une densitésurfacique d’efforts ou densité de force par unité de surface.Cette densité surfacique d’effort est caractérisée par levecteur contrainte:


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Les actions mécaniques qui s’exercent sur la surface dS sont

donc :

Soient :

un point M,

un élément de surface S appartenant à S,

le vecteur normal à S en M,

la résultante en M des forces de cohésion appliquées à S.

n

f

I.1 Contrainte en un point M

Elle caractérise les actions mécaniques de cohésion qui existent entre

les grains de matière.

M

La contrainte au point M est définie par :

dS

fd

ΔS

fΔC lim

0ΔSM

Force de cohésion en M par unité de

surface

Notion de contraintesCampus centre

02/04/2013 34Résistance des matériaux

I.1 Contrainte en un point M

La contrainte est homogène à une pression. L’unité employée est le

mégapascal noté MPa.

Rappel: 1 MPa = 1 N/mm² = 106 Pa = 106 N/m²

Contrainte normale – contrainte tangentielle

La contrainte au point M peut s’écrire :

MM

MC

contrainte normale

=

projection de sur

MC

n

contrainte tangentielle

=

projection de sur

MC

t

On peut aussi écrire :

tn MM

..C M

M et M valeurs algébriques

Notion de contraintesCampus centre


I.2 Déformations

Elles résultent des charges appliquées sur le solide et varient en

fonction de leur intensité. Elles sont mises en évidence par la variation

des dimensions du solide, et peuvent être élastiques ou plastiques.

L’élasticité caractérise l'aptitude qu'a un matériau à reprendre sa forme

et ses dimensions initiales après avoir été déformé (un ressort chargé

normalement a un comportement élastique).

Un matériau qui ne reprend pas sa forme et ses dimensions initiales

après avoir été déformé est dit plastique (la pâte à modeler a un

comportement plastique).


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Notion de contraintes

Essai de traction

L’essai de traction permet, à lui seul, de

définir les caractéristiques mécaniques

courantes des matériaux. Les résultats

issus de cet essai, permettent de prévoir

le comportement d’une pièce sollicitée

en Cisaillement, Traction / Compression

et Flexion.


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Comportement mécanique

Comportement mécanique

Mesures effectuées

Les deux points A et B sont situés sur l’éprouvette.

L0 : Longueur initiale de l’éprouvette au repos (sans charge).

L : Longueur de l’éprouvette mesurée sous charge F.

F : Force exercée par la machine d’essai sur l’éprouvette.

00

0

L

L

L

LLLa déformation longitudinale est notée et vaut :


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Résultats (matériau ductile)

On peut tracer la courbe des déformations en fonction des contraintes

(ici cas d’un acier doux : loi de comportement élastoplastique avec

écrouissage)

Apparition de la striction

Zone élastique : loi de Hooke : = E.

Avec E, le module de Young (en MPa)

limite de ruptureen traction

limite d’élasticité

allongement à la rupture

R


Comportement mécaniqueCampus centre

Résultats (matériau fragile)

Exemples: béton, fonte, verre…

limite de rupture en traction

limite de rupture en compression


Comportement mécaniqueCampus centre

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