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CHAPITRE 2
Élasticité
Équations d’équilibre
Équations de compatibilité géométrique
Champs de contrainte et Fonctions d’Airy
Applications
Équations d’équilibre
DCL
Équations d’Équilibre
Fx=0
Fy=0
0dxdyFdxdyy
dxdyy
dydx
0dxdyFdxdyy
dydxx
dxdy
yxy
xyy
yxyy
xxy
xyx
xxyx
Fx
Fy
Équations d’équilibre 2D et 3D
0
0
yxyy
xxyx
Fxy
Fyx
x
xyx
xy
yx
yx
y
y
0
0
0
zyzxzz
yyzxyy
xxzxyx
Fzxz
Fzxy
Fzyx
Conditions aux rives
Forces de surface en 2D
A/R
A/R
A/R
zz
yy
xx
A/R
A/R
yy
xx
m
m
yyxy
xyxx
Forces de surface en 3D
x
y
x x xy xz
y xy y yz
z xz yz z
m n
m n
m n
Équation de compatibilité
z
w= z
z
u
x
w= xz
z
v
y
w= yz
x
u= x
y
v= y
x
v
y
u= xy
yxxy xyyx
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
yx
u
x
u
yyx
2
3
2
2
2
2
xy
v
y
v
xxy
yx
v
yx
u
x
v
y
u
yx=
yxxy
2
3
2
322
État plan de déformation
yxxy xyyx
2
2
2
2
2
)(E zyxx 1
)(E zxyy 1
01
)(E yxzz
Gxy
xy
yxx E 1
1 2
xyy E 1
1 2
xyxy
xy E
)(
G
12
yx
)(x
)(y
xyxyyx
2
2
2
2
2
211
y
F
x
F
yxyx
yxyxxy
2
2
2
22
2
0
0
yxyy
xxyx
Fxy
Fyx
22xy xyx x x
x 2
2 2y xy y xy y
y 2
F F 0
x x y x x y x
F F 0
y y x y y x y
Compatibilité
Équilibre
d’où
État plan de déformation (suite)
y
F
x
F
yxyx yxyxxy
2
2
2
22
2
y
F
x
F
yx
yxyx 1
12
2
2
2
yx
)(x
)(y
xyxyyx
2
2
2
2
2
211
Équation de Compatibilité Géométrique
Équilibre
Compatibilité
02
2
2
2
yxyxEn l’absence des forces
volumiques
État plan de contrainte
yxxy xyyx
2
2
2
2
2
)(E zyxx 1
)(E zxyy 1
)(E yxzz 1
Gxy
xy
0
0
yxyy
xxyx
Fxy
Fyx
Compatibilité
Équilibre
yxx E
1
xyy E
1
yxyxz E
1
xyxy
xy E
)(
G
12
y
F
x
F
yxyx
yx 12
2
2
2
Équation de Compatibilité Géométrique
02
2
2
2
yxyx
En l’absence des
forces volumiques
Champs de contrainte (fonctions d’Airy)
Équation de Compatibilité Géométrique
champ de contrainte, (x,y) tel que les conditions aux rives sont satisfaites
Et en fonction de (x,y)
2
2
y x
2
2
x y
yx xy
2
024
4
22
4
4
4
yyxx
02
2
2
2
yxyx
04
Équation biharmonique
Champs de contrainte (suite)
222
222 22
yc
xybxa
222
2
cy
x
222
2
ax
y
22
2
byx
xy
C’est une plaque soumise à
1- Contrainte normale cte suivant x
2- Contrainte normale cte suivant y
3- Contrainte de cisaillement cte suivant xy
Champs de contrainte (suite)
C’est le cas d’une poutre en flexion pure
contrainte normale suivant x
varie linéairement avec y
332323333 y
6
dxy
2
cyx
2
bx
6
a
ydxcy
x 3323
2
ybxax
y 3323
2
333
2
cxbyx
xy
0333 cba
siyd x 3
0 y
0 xy
Champs de contrainte (suite)
Aucun intérêt pratique
443422434444 1262612
ye
xyd
yxc
yxb
xa
2444
242
42
2 y)ac(xydxcy
x
244
242
42
ycxybxax
y
244
2442
22
2y
dxycx
b
yx xy
Champs de contrainte (suite)
C’est un cas hypothétique
2444
242
42
2 y)ac(xydxcy
x
244
242
42
ycxybxax
y
244
2442
22
2y
dxycx
b
yx xy
xyd x 4
0 y
24
2y
d xy
0
0
44
44
ec
ba
443422434444 1262612
ye
xyd
yxc
yxb
xa
22
4cd xy 22
4cd xy Lcd x 4
L
c
c
22
4cd xy
22
4cd xy
O x
y
Champs de contrainte (suite)
xyd x 4
0 y
)yc(d
xy224
2
344 6
xyd
xycd 24
2 2
xycd
xyd 2434
24 26
xydy
x 42
4
2
02
4
2
x
y
24244
2
22c
dy
d
yx xy
22
4cd xy 22
4cd xy Lcd x 4
L
c
c
O x
y
Champs de contrainte (suite)
C’est le cas d’une poutre encastrée avec charge concentrée a son extrémité
xyd x 4
0 y
)yc(d
xy224
2
I
Pxy
I
My x
Théorie de la flexion des poutres
Théorie de l’élasticité P
y
x
343
2cddyP
c
cxy
33
3
2
12
21c
cI
22
2
1
21 yc
ycycQ
1
I
PQ
It
VQ xy
2243
224
3
232
32yc
d
c
yc½dc xy
xyd
c
xydc x 43
43
32
32
Coordonnées polaires
sinry
cosrx
x
ytan
yxr
1
222
r
sin
r
y
x
cosr
x
x
r
2
r
cos
r
x
y
sinr
y
y
r
2
y
y
x
x
r
r
cos
rsin
yry
r
y
r
sin
rcos
xrx
r
x
Coordonnées polaires (suite)
Équations d’équilibre
0 = F + r
r
+ r
0 = F + r
r +
r
rr
rrrr
21
1
2
2
2
11
rrr
r
2
2
r
rrrrr r
111 2
2
champ de contrainte, (r,) tel que les conditions aux rives sont satisfaites
FrF
Coordonnées polaires (suite)
Équation de compatibilité
r
v
u
r
r
v
r
u
v
r
r
u
r
r
1
1
rrrr
rrrrrrrr 2
2
2
2
22
2 11121
2
2
22
2
2
2
2
22 11
rrrryx
011 2
2
2
22
2224
rrrr
0
12
22
dr
d
rdr
d rrr
Déformation
Pour les problèmes axisymétriques 2D
or
0d
d
Plaque avec trou centrale
Équations des contraintes en
2o1 y
2
)cos(rsinr oo
2142
2221
Contraintes loin du trou
(transformation de la contrainte o)
2
2
2
11
rrr
r
2
2
r
rrrrr r
111 2
2
champ de contrainte, (r,)
0d
d
Plaque avec trou centrale (suite)
)cos(r o
214
21
champ de contrainte, (r,)
011
dr
dfr
dr
d
rdr
dr
dr
d
r
0grdr
d
r
1
dr
dr
dr
d
r
1
dr
dr 2
33
3
21 22 cosgf
rlnrararlnaaf 24
2321
28
47
265
rararaag
011 2
2
2
22
2224
rrrr
011
12
2
2
22
2
122
14
rrrr
011
22
2
2
22
2
222
24
rrrr
)r(gget)r(ff
02cos(...)(...)24
Plaque avec trou centrale (suite)
2sin2cosr
a2
r
a6ra6a2
2cosr
a6ra12a2
r
aa2)rln23(a
2cosr
a4
r
a6a2
r
aa2)rln21(a
25
482
76r
482
7622
34
25
48
622
34r
Conditions aux rives
trouduloincellespardonnéessontressionsexpLes
aetadoncetfiniesvaleursdesontesintcontralesrà 00 74
0
0
r
r
brà
brà
2 2 4o o
r 2 2 4
2 4o o
2 4
2 4o
r 2 4
b b b 1 1 4 3 cos2
2 r 2 r r
b b 1 1 3 cos2
2 r 2 r
b b 1 2 3 sin 2
2 r r
Finalement
Plaque avec trou centrale (suite)
Contraintes en fonction de (r,)
bwPour 4
Concentration de contrainte
on 3
4
ontmax ,K 233
)(exp42,2 érimentalKt
omax 3
Théorie
érimentalexp
Chargement avec force concentréeCompression d’un bout en pointe
0d
d
sin Prc
r
coscP r
2
0
0 r
Équations des contraintes en
2
2
2r r
1
rr
1
2
2
r
rrrrr r
111 2
2
champ de contrainte, (r,)
d coscPrd cosdF cosP r 0
2
042
Conditions aux rives
)sin2 r(2
cosP2 r
0 0 r
) sin2(2
c
1
; 0 r
Chargement avec force concentréeFlexion d’un bout en pointe
0d
d
11 sin cFr
r
coscF r
12
0
0 r
Équations des contraintes en
2
2
2
11
rrr
r
2
2
r
rrrrr r
111 2
2
champ de contrainte, (r,)
Conditions aux rives
) sin2r(2
sinF r
2 0 0 r
) sin2(2
c
1
12
2
12
112
2
1 2
d coscFrd cosdF cosF r
; 0 r
Chargement avec force concentréeForce concentrée sur une surface plane
) sin2r(2
cosP r
2
0 0 r
r
cosP r
2
0 0 r
Solution pour
compression d’un
bout en pointe
2
0 0 r
d
P r
2
d
rcos
) sin2r(2
sinF r
2
0 0 r
r
sinF r
2
0 0 r
Solution pour
flexion d’un
bout en pointe
2
Si F est perpendiculaire à P on obtient
Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées cartésiennes
Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées cartésiennes
Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées cartésiennes
Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées polaires
Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées polaires
Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées polaires
Champs de contrainte de quelques cas connusen état plan coordonnées polaires
Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées polaires
Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées polaires