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5 . 2 , 5 . 3 , 5 . 5 , 5 . 6 e t 5 . 7 ( M o d u l e B 3 )

L a m e s u r e

Math 11 A

ESN – 2017-2018

A3 : Trigonométrie

Rappel : Lois du sinus

Contrairement aux rapports trigonométriques de base qui ne fonctionnent que pour les triangles rectangles, la loi du sinus fonctionne pour TOUS les triangles.

Pour utiliser la loi du sinus, nous devons avoir un côté et un angle correspondant que l’on connais. Si nous n’avons pas cette condition, nous ne pouvons PAS utiliser la loi du sinus.

a

sin A= b

sin B= c

sin C ou sin A

a=sin B

b=sin C

c

On utilise seulement deux des trois rapports (fractions) afin qu’il y ait seulement un inconnu.

Ex 1 : Dans le ABC, a = 12 cm, B = 60 et C = 45. Résous.

Module B3 (30311A) La mesure 1

Ex 2 : Dans le PQR, P = 105,2, p = 23,2 cm et r = 18,5 cm . Résous.


Découvre : Loi du cosinus

On utilise la loi du cosinus quand on ne peut pas utiliser la loi du sinus. Il y a deux situations possibles dans un triangle quelconque :

on connais 3 côté et aucun angle (on veut trouver l’un des angles) on connait un angle qui se trouve entre deux côtés connus.

Loi du cosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Important : Pour trouver un angle, il faut connaître les 3 côtés.

Ex 1 : Calcul la longueur du côté c.


Ex 2 : Trouve la mesure de l’angle A.

Exercices

Partie A : loi des sinus

Trouve la longueur du côté indiqué, au dixième près, pour les numéros 1 et 2.

1. 2.


3. Dans le ABC, B = 38,20 , C = 65,60 et b = 54 cm. Trouve la longueur du côté c (Dessine le triangle avant tout)

4. Dans le GHK, G = 44,10 , k = 9,5 cm et H = 29,40. Trouve la longueur du côté h. (Dessine le triangle avant tout)

5.


Résous le triangle suivant (trouve tout ce qui manque).

6. NilÀ Thèbes, il y a deux musées du même côté du Nil. Ces musées se trouvent sur la rive du fleuve et sont distants de 1 600 m. De l’autre côté du fleuve, il y a un quai pour les deux traversiers qui emmènent les touristes jusqu’aux musées. Voici les angles formés par la rive et les droites tracées depuis les musées jusqu’au quai, Q.

Quelle distance sépare chaque musée du quai, au mètre près ?

7. ArpentageUne des nombreuses tâches des arpenteurs est de déterminer l’aire d’un lot de terrain. Un champ a la forme d’un triangle. Appelle ce triangle ABC. Un arpenteur calcule que le côté AB mesure 620 m de long. À l’aide d’un théodolite, il calcule que A mesure 56,80 et que B mesure 60,40. Trouve le périmètre du champ, au mètre près.


Partie B : loi des cosinus

Trouve la longueur manquante, au dixième d’unité près, pour les numéros 8 et 9.

8.

9.

10. Dans le PQR, p = 15,3 m, q = 18,2 m et R = 700. Trouve r. (Dessine le triangle avant tout)


11. GolfAu club de golf de Fisherville, la plus courte distance entre le tee et le huitième trou est de 348 m. Au premier coup, Mario frappe la balle et la fait atterrir à 195 m du tee. Toutefois, il coupe sa balle et la droite qui relie le tee et la balle forme un angle de 12 0

avec la droite qui relie le tee et le trou. Après ce premier coup, quelle est la distance entre le trou et la balle, au mètre près ?


12. TriathlonLes trios épreuves d’un triathlon sont la notation, le cyclisme et la course, dans cet ordre. Les distances de chaque épreuve peuvent varier. Dans le triathlon tenu chaque année à Hawaii, les concurrents nagent dans l’océan, parcourent 112 km à bicyclette, puis courent sur une distance de 41,8 km. Dans le diagramme ci-dessous, D représente le départ de l’épreuve de natation et A, l’arrivée. Un arpenteur a utilisé les dimensions indiquées pour déterminer la distance DA d’un bord à l’autre de la baie.

Trouve la distance que les athlètes parcourent à la nage lors du triathlon d’Hawaii, au mètre près.


B3 : L’aire totale et le volume d’un cône

Explore : L’aire totale

AT = Aire de la base (cercle) + Aire du contour

AT = r2 + rg

ATTENTION: Pour certains problèmes, tu ne connais pas la génératrice, tu dois

alors la trouver en utilisant le théorème de Pythagore.

Ex 1:


Ex 2:

Explore : Le volume

V = r 2 h 3

ATTENTION: Pour certains problèmes, tu ne connais pas la hauteur, tu dois

alors la trouver en utilisant le théorème de Pythagore.

Ex 1:


Ex 2:

Exercices

1. Calcule l’aire totale, au centimètre carré près.

a) b) c)


2. Calcule le volume, au mètres ou centimètres carré près.

a) b)

3. Quel volume de liquide contient un verre en forme de cône renversé, dont le diamètre de l’ouverture mesure 10 cm et la hauteur 12,5 cm ?

4. Les gobelets en papier d’une fontaine sont coniques. Le rayon de chacun d’eux est de 3 cm, et la hauteur de 6 cm. Détermine la quantité de papier, au centimètre carré près, nécessaire pour faire un gobelet.


5. Le volume d’un cône est de 12 560 cm3. Si le diamètre de la base de ce cône mesure 40cm, trouve la mesure de la hauteur.


B3 : L’aire totale et le volume d’une sphère

Explore : L’Aire totale

AT = 4 r2

Ex. 1

Ex. 2

Explore : Le volume


V = 4 r 3 3

Ex. 1:


Exercices1. Détermine le volume. Au besoin, arrondis à l’unité carrée.

a) b) c)

2. Détermine le volume. Au besoin, arrondis à l’unité carrée.

a) b)


3. Détermine la quantité de papier afin de recouvrir l’hémisphère (moitié d’une sphère), au centimètre carré près.

4. Quel est le volume de l’hémisphère du numéro précédent, au centimètre cube près ?

5. Une balle de golf est une sphère d’un diamètre de 40 mm. Quelle est son aire totale, au millimètre carré près ?

6. Quel volume de cire faut-il utiliser pour fabriquer une chandelle en forme de demi-pamplemousse dont le diamètre mesure 15 cm ?

7. Quelle est l’aire d’une orange de 8 cm de diamètre ?


8. Quel est le coût de la peinture qui permet de recouvrir une sphère de 55 cm de rayon, si 4 litres coûtent 25$ et si un litre de peinture recouvre approximativement 10 m2 ?

9. Un réservoir de propane est constitué d'un corps cylindrique et d'extrémités hémisphériques.

Le réservoir doit être recouvert de deux couches de peinture.

a) Quelle quantité de peinture aura-t-on besoin?

b) Un contenant de peinture couvre 25m2 et coûte 24,95$. Quel sera le coût total en incluant la taxe de vente de 15%.?

10. Quelle quantité de cuir faut-il pour recouvrir cette balle de baseball?


11. Quelle quantité de déchets cette poubelle peut-elle contenir? Au besoin, arrondis ta réponse à l’unité près.

12. Détermine l’aire totale de chaque solide composé. Au besoin, arrondis à l’unité carrée.

a) (prisme + pyramide) b) (cylindre + cône)


13. Détermine le volume du solide composé. Au besoin, arrondis à l’unité cubique.

(cône surmonté d’une demi-sphère)

14. Détermine le volume de ciment requis pour fabriquer cette section de tuyau, au dixième de mètre cube près.


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