1

Chapitre 3 : Propriétés du Noyau atomiqueI. Noyaux stables

1) Masse du noyau et Energie de Liaison

2) Ligne de Stabilité

II. Généralités sur le noyau

1. Hamiltonien nucléaire

2. Formule de Bethe et Weizsäcker

III. Modèle de la goutte Liquide

1. Terme de volume

2. Terme de Surface

3. Terme coulombien

IV. Modèle du gaz de Fermi

1. Energie de Fermi et puits de potentiel nucléaire

2. Energie cinétique totale

3. Terme d’asymétrie en (N-Z)2

V. Termes Quantiques Correctifs

1. Terme d’appariement

2. Terme d’énergie de couche

2

Technique de mesure de la masse nucléaire

• La masse peut être déterminée soit par spectroscopie nucléaire, en mesurant le bilan d'énergie d'une réaction nucléaire ou d’une décroissance radioactive,

• soit par spectrométrie de masse :

qBpR

RVmqVBBVqF =⇒=⇒∧=

2rrr

3

Énergie de liaison des noyaux

4

drip-line proton

drip-line neutron

Rouge beta +

Bleu beta –

Jaune alpha

vert fission spontanée

β +

β -

αligne Z = N

La carte des noyaux et la ligne de stabilité

5

II L’énergie de liaison du noyau

• Formule empirique de Bethe et Weizsäcker - 1935 :

• Les différents termes font intervenir des effets :– de volume : aV ~ 15-16 MeV– de surface : aS ~ 17 MeV– d’énergie coulombienne : aC ~ 0,7 MeV– d’asymétrie : aA ~ 23,6 MeV : Gaz de Fermi quantique– d’appariement : δ ~ 12 A-1/2 MeV : effets quantiques– c.c. : termes correctifs pour des couches pleines , nb magiques

ccA

ZNaAZZaAaAaZAB .

0)()1(),(

2

A31C32

SV +⎩⎨⎧±

+−

−−

−−=δ

Goutte liquide

6

2) Terme de surface

• Les nucléons de surface sont moins liés (moins de voisins) que ceux du centre. La correction à apporter est de la forme :

3220

2310 44 ArRSArR ππ ==⇒= 32ABs −∝Δ

III Modèle de la Goutte liquide

1) Terme de Volume Si chaque nucléon interagit avec tous les autres, on a A(A-1)/2 combinaisons donc :

Or B/A ~ cte : Force nucléaire de courte portée, saturation de cette force.

AABAAAB ∝⇒

−∝ 2~

2)1(

7

3) Terme d’énergie coulombienne

• En assimilant le noyau à une sphère uniformément chargée de rayon R, on peut calculer l’énergie coulombienne emmagasinée. L’énergie potentielle d’une couronne d’épaisseur dr (de charge dq) autour d’une sphère de rayon r est donnée par :

52

00

42

0

3

0

2

154

34

344

14)(

RdrrE

rrdrrrVdqdE

R

p

p

ρεπρ

επ

ρππε

ρπ

==

×=×=

∫

..0

)(),(2

A32

SV ccA

ZNaAaAaZAB +⎩⎨⎧±

+−

−−=δ

31

2

C AZa −

8

Terme d’énergie coulombienne (suite)

• En considérant une distribution de charge sphérique et uniforme :

• En introduisant la constante de structure fine et le rayon du nucléon : R

ZeRR

ZeER

Zep

14

)(53

)34()(

154

34 0

25

622

2

03 πεπε

ππ

ρ ==⇒=

31

2

310

2

310

0

2

53

14

AZa

ArcZE

ArRc

eCp ==⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

= hh

απε

α

MeVfm

fmMeVr

caC 7.0)(2.1

)/(197137

153

53

0

===hα

On remplace Z2par Z(Z-1) pour la distribution de protons

9

IV Modèle du gaz de Fermi

•Premier essai d’incorporer la Mécanique Quantique

•Hypothèse: l’interaction d’un nucléon avec les autres est représentée par un potentiel attractif constant limité au volume du noyau

•Les p et N sont libres mais confinés dans un puits de potentiel sphérique

•Le puits des neutron est plus profond, les p subissent la répulsion de Coulomb

•Chaque état d’énergie peut être occupé par 2 nucléons identiques (fermions)

•Les états d’énergie des n et p sont au même niveau. Ceci est soutenu par l’observation expérimentale que l’énergiede liaison du dernier nucléon est indep. de sa charge. De plus, les noyaux plus lourds ne pourraient pas être stables; n p.

Fig. extraite du Povh

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Modèle du gaz de Fermi

• On considère N fermions identiques dans un volume V. La probabilitéd’occupation d’un état d’énergie cinétique E est donnée par :

• Les particules remplissent des états jusqu’au niveau d’énergie dit de Fermi: Ef• On montre que le volume élémentaire dans l’espace des phases occupé par un

nucléon est h3.

• Le nombre de nucléons contenus dans un volume V avec une énergie comprise entre p et p+dp est :

• Le facteur 2 est du au spin de la particule : nucléon est un fermion de spin 1/2

kTEE F

eEob −

+=

1

1)(Pr1

EF E

T=0

3

242h

dppVdn π⋅⋅=

T

11

1) Energie de Fermi

• Le nombre total de fermions (protons ou neutrons) dans le volume V est :

• On en déduit l’énergie de Fermi :

• Pour le volume nucléaire, on peut écrire :

Si pour N=Z :

31

0 3

2

0

32

42 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

⋅⋅== ∫∫ Vol

Nhph

dppVoldnN F

pp FF

ππ

32222 322 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

VolN

mmpE FN

Fπh

ArRVol 30

3

34

34 ππ ==

MeVrmc

cAN

mrEF

33~8

92.19402

1978

92

)(4

92

32

2

232

20

2

232

20

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

πππ hh

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2) Energie cinétique des nucléons

• Si on calcule l’énergie cinétique totale des nucléons d’un système nucléaire (A=Z+N) :

)(422

)(2

)()()(

3

2)(

0

2

)(

0

2

ZTdph

pVmp

ZTdnmpZTNTAT

np

n

np

n

F

F

+⋅

⋅⋅=

+=+=

∫

∫π

)()(53)( ZTnNEAT F +=

)(

)2(3

153)(

)2()2(2

54

)()2(54)(

54)(

23

3225

33

2325

253

53

ZTN

VmN

EZTNNmVE

ZTEmhmVZTp

hmVAT

n

Fn

F

Fnn

Fn

+=+=

+=+=

hh πππ

ππ

Fait légèrement différemment en cours

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Energie cinétique des nucléons (suite)

• De même pour les protons :

• Où on a considère que les masses des nucléons étaient identiques. Soit un gaz de N+Z=A fermions dégénérés.

• On en déduit l’énergie cinétique par nucléon :

[ ]

F

FF

AEAT

pZEnNEZTNTAT

53~)(

)()(53)()()( +=+=

MeVA

AEAAT F 20

53)(

≈≈

si Z = N

14

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

⇒−=−=

AAZ

AAAN

ANZNε

εεε

12

12

)(21

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

3535

11103)(

AAAEAT F

εε

3) Terme d’asymétrie neutrons-protons

[ ])()(53)( pZEnNEAT P

FnF +=

• On effectue un développement au second ordre en ε:

• On minimise l’énergie cinétique pour les noyaux A dont Z=N. L’écart par rapport à ce minimum est :

• Ce terme est important chez les noyaux lourd (excès en neutrons N≠Z). Pour les noyaux légers, on a en général Z=N.

AZNEAE

AAEAT FFF

22 )(31

53

9102

103~)( −

+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ε

AZNEATAT FNZNZ

2)(31~)()( −

− =≠

Détail du DL Pas fait en

cours voir TD

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Remarque

• Le terme d’énergie cinétique ne contient que la moitié du terme d’asymétrie puisque :

• L’autre partie est à trouver dans la maximisation de l’énergie potentiel de liaison.

MeVaMeVE aF 6.23~que alors11~31

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V Termes Correctifs

1) Terme d’appariement

• Le terme d’appariement (« pairing ») distingue les noyaux possédant un proton ou un neutron isolé. L’appariement contribue à la cohésion du noyau.

• Les noyaux les plus stables (avec +δ) auront un nombre pair de protons et de neutrons (Pair -Pair). Lorsqu’un nucléon est isolé, A impair (Pair-Impair) on perd une partie de cette énergie : δ=0. Si les deux sont isolés (Impair-Impair) le terme d’appariement devient négatif (-δ).

• Masse atomique

Noyaux A Impairs : une seule parabole de masse.Noyaux A Pairs : 2 paraboles de masse, celle des Pair-pair en dessous de

celle des impairs-impairsEcart de 2 δ entre les 2 paraboles. Par exemple, pour A =136, 2 δ = 2 MeV

MeVA 2112 −⋅±=δ

δmcbZaZBmZAmmZM nnepat ++=−−++= 2)()(

..0

)(),(2

A31

2

C32

SV ccA

ZNaAZaAaAaZAB +

⎩⎨⎧±

+−

−−−=δ

17

Paraboles de masse

A (impair)= 135A (pair) = 136

2 paraboles dans le cas de A pair

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2) Energie de couche

• On observe une surstabilité de noyaux avec des nombres dit « magique » de proton ou de neutrons : N, Z = 2(He), 8(O), 20(Ca), 28(Ni), 50(Sn), 82(Pb), 126.

• Le diagramme représente l’énergie de séparation du dernier nucléon en fonction du nombre de neutrons pour des noyaux stables (comparaison théorie-expérience).

Sexp > Sthéo

• Sauts en énergie de séparation (ici du neutron) analogues aux grands potentiels d’ionisation des gazes rares: existence d’états d’énergie remplies en couches dans le noyau. La différence des couches « magiques » vient des différences des potentiels: EM (noyau, autres e-) pour l’ e- de l’atome, potentiel moyen nucléaire pour les protons et neutrons du noyau.

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RadioactivitéI Loi de décroissance radioactive

1) Probabilité de désintégration radioactive. Activité

λ est la constante de désintégration, qui est la proba. par unité de temps qu’un noyau se désintègre. Elle a la même valeur pour tous les noyaux de l’espèce donnée, et est indépendante du temps.

On appelle activité le nombre de désintégrations par unité de temps d ’un échantillon donné

Unités: dans le SI , Becquerel (Bq) : une désintégration par seconde

1 Ci = 3,7 1010 Bq , 1 Ci correspond à l’activité d’un g de Radium 226, de T ½ = 1622 ans, l = 1,42 10-11 s-1

)()( tNtNdtd λ=− tNtN λ−= e)0()(

tt eAeNdt

tdNtA λλλ −− ==−= 00)()(

20

2) Période et Vie moyenne

• Période T: temps pour que la moitié des noyaux présents se désintègre

• La vie moyenne τ

Un individu de 70 kg a une activité de 8000 Bq dont 5000 sont dus au 40 K dans les os.

• Dans un processus radioactif, plus l’énergie disponible est grande, plus la désexcitation s’effectue rapidement. Par exemple, dans les desinteg. Alpha (on y reviendra), qui se fait par effet tunnel, les temps varient sur des ordres de grandeur

232 Th 228 Ra + α , Q = 4,08 MeV, T1/2 = 1,4 10 10 ans224 Th 220 Ra + α , Q = 7,31 MeV, T1/2 = 1 sec

On a Log T ~ a + b / sqrt Q

• Les désintégrations beta se font par Interaction faible. • n p + e- + ν T ½ = 898 sec, Q β = 782 keV

μ+ e+ + νe + νμ T ½ = 2,2 10 -6 s

• Les désintégrations par I forte sont très rapides ~10 -24 s

λλ /2ln,2/ 00 == − TeNN T

2ln1

0

0 T

dte

dtte

t

t

===∫

∫∞ −

∞−

λτ

λ

λ