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Chapitre 4: Caractérisation des systèmes
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Performances d ’un système asserviComportement d ’un « bon » système asservi :
– après un changement de consigne ou une perturbation, la mesure doit atteindre la consigne, le plus rapidement possible et sans oscillations intempestives
3 notions fondamentales à caractériser :– la précision statique (la mesure doit atteindre la consigne)
– la rapidité (le plus rapidement possible)
– la stabilité (sans oscillations intempestives)
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Nécessité d ’une caractérisation
A partir de la connaissance de la FT ou d ’essais expérimentaux, il s ’agit de déterminer certaines grandeurs représentatives des performances du système asservi.
2 approches peuvent être utilisées :– temporelle– fréquentielle
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4.1 Approche temporelle
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Principe
– Si le système ne comporte pas d ’intégration, 2 types de réponse sont possibles :
Systèmet
e(t) Ae(t) y(t) ?
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (secs)
Am
plit
ude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Time (secs)
Am
plit
ude
Réponse apériodique
Réponse oscillatoire amortie
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Réponse temporelle
– La réponse peut être décomposée en deux parties :
t
y(t)
Régime
transitoire
Régime
permanent
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Le gain statique - détermination temporelle
– Le gain K caractérise le régime permanent :
t
y(t)
t
e(t)
ey
e
yK
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Caractérisation du régime transitoire
– Attention à la détermination de tr et tD1 et D1 :
t
y(t)105 %
100 %95 %
trtD1
Ici D1 = 8 %
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4. 2 Approche fréquentielle
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Approche fréquentielleOn s ’intéresse :
– au rapport d ’amplitude (le gain) : – au déphasage : entre les signaux d ’entrée-sortie en fonction de la pulsation :
Le gain et le déphasage sont respectivement le module et l ’argument du nombre complexe H(j) correspondant à la FT H(p) :
)()()()( )( jYXejH j
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Diagrammes
Dans l ’approche fréquentielle, on utilise 2
types de diagramme :
– diagramme de Bode :)()()( jejH
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Diagramme de Bode
2 courbes :– G, le module de H, exprimé en dB en fonction de – , le déphasage, exprimé en degré en fonction de
10-1
100
101
-40
-20
0
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-1
100
101
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
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La bande passanteBande passante, B, domaine fréquentiel à l ’intérieur duquel
le module de H reste compris entre 2 bornes :
La pulsation correspondant à l ’atténuation de - 3 dB est appelée pulsation de coupure, c
plus la bande passante est élevée, plus le système est rapide
dBKGKouK
HK dBdB 3)(2
)(
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4.3 Systèmes du premier ordre
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Remarque préalableMathématiquement, un système du 1er ordre est
régit par une équation différentielle du 1er ordre :
)t(ea)t(ybdt
dyb 001
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3.2.1 Systèmes du premier ordrede type K/(1+Tp)
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Fonction de transfertSystème régit par une équation différentielle du 1er ordre sur
la sortie :
Exemple : filtre RC
– K : gain statique– T : constante de temps
)()( 010 tybdt
dybtea
Tp
KpH
1)(
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Réponse à un échelon
Echelon d ’amplitude A : )1()( TteAKty
ppH
31
2)(:Exemple
0 2 4 6 8 10 12 14 160
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (secs)
Am
plit
ude
résonancedepas
3Ttr Régime permanent Transitoire
rt
0t,A)t(e
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Diagramme de Bode
10-2
10-1
100
101
-40
-20
0
20
Frequency (rad/sec)G
ain
dB
10-2
10-1
100
101
-30
-60
-90
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
2 asymptotes qui se coupent pour = 1/T = c
-20 dB / décade
Le déphasage évolue entre 0 et - 90°
(c) = - 45°
33,0131
2)(
Tw
ppH c
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4.2.2 Autres systèmes du premier ordre
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Système de type K(1+Tp)
Les systèmes de ce type ne représentent pas des systèmes
physiques ; ils correspondent à des filtres ou des
correcteurs. Dans ce contexte, ils ne sont pas utilisés seuls.
Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer
les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus
pour K/(1+Tp)
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Système intégrateurEquation différentielle :
Exemple :
Système « instable »
Système de type 1 (une intégrale)
1/pVitesse axe moteur
Position axe moteur
t
e(t) A
t
y(t) At
dt
dybtea 10 )(
p
KpH )(
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Système intégrateurDiagramme de Bode :
– pente -20 dB/décade
– déphasage = -90°
10-1
100
101
-20
0
20
40
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-1
100
101
-91
-90
-89
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
pp
KpH
2)(
Gain statique en dB dB02.6)2(log20 10 dBK
Gain statique K
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Système intégrateur
Diagramme de Nyquist
-1 -0.5 0 0.5 1-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
7
Real Axis
Ima
g A
xis
Demi-droite sur l ’axe imaginaire négatif 0
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Système dérivateur
Equation différentielle :
Exemple : Génératrice tachymétrique
– Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus pour K/p. De même pour Nyquist : demi-droite sur l ’axe imaginaire positif.
)(01 tybdt
dea
K pPosition arbre Tension génératrice
pKpH )(
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3.3 Systèmes du deuxième ordre
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Forme généraleSystème régit par une équation différentielle du 2ème ordre sur
la sortie :
Exemple : partie mécanique d ’un galvanomètre• : angle de déviation• J : moment d ’inertie• k : coefficient de raideur du ressort• f : coefficient de frottement• : couple exercé sur le galvanomètre
)()( 012
2
20 tybdt
dyb
dt
ydbtea
kdt
df
dt
dJt
2
2
)(
0 10 20
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Fonction de Transfert• K : gain statique
• n : pulsation propre non amortie
• Z : facteur d ’amortissement
121
)(2
2
pZ
p
KpH
nn
Selon Z, le dénominateur admet :• 2 racines réelles, c ’est un système apériodique
• 2 racines complexes conjuguées, c ’est un système résonant
)1(4 2
2 Z
n
1Z
1Z
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3.3.1 Réponse temporelle
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Réponse indicielle
)(1)( btat eety
2 comportements distincts selon Z :
1:amortireoscillatoiSystème Z1:eapériodiquSystème Z
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (secs)
Am
plit
ude
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (secs)
Am
plit
ude
)sin(1)( d
ctety
*- {
}--
Mode non oscillatoire
Mode oscillatoire
amorti
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Système apériodiqueProduit de 2 systèmes du 1er ordre :
Réponse à un échelon d ’amplitude A :
Temps de réponse :
)(
11)( 21
2121
TtTt eTeTTT
AKty
Régime permanent Transitoire
)1)(1()(
21 pTpT
KpH
nr
ZtZ
25.6:aon,2pour
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Pseudo-pulsationPseudo-pulsation
Système oscillatoire amorti
Echelon d ’amplitude A :
Temps de réponse :
Amplitude et temps du 1er dépassement :
)cosArc1sin(1
11)( 2
2ZtZe
ZAKty n
tZ n
Régime permanent Transitoire
nr Z
tZ3
:aon,7.0pour
211 100(%) Z
Z
eD
211
Zt
n
D
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Réponse indicielle en fonction de Z
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Time (secs)
Am
plit
ude
5,4,3,2,1,7.0,5.0,3.0,1.0
,1
,1
Z
K
n
Il n ’existe pas de relation simple pour exprimer le temps de réponse tr. Il est minimum pour Z = 0.7
Z < 0.7 0.7 1 >2
tr 3/Zn 3/n 5/n 6.25Z/n
Z = 0.1
Z = 5
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Réponse indicielle en fonction de n
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (secs)
Am
plit
ude
3.0
3,1,3.0
,1
Z
K
n
Plus la pulsation est grande, plus le système est rapide
n = 1 n = 0.3
n = 3
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La tangente à l ’origine
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time (secs)
Am
plit
ude
1er ordre : tangente verticale 2ème ordre : tangente horizontale
ppH
71
1)(
)51)(41(
1)(
pppH
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3.3.2 Réponse fréquentielle
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Grandeurs caractéristiques
221 Znr
Pulsation de coupure
Pulsation de résonance
Facteur de résonance
222 )21(121 ZZnc
)12
1log(20
2ZZM dB
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10-2
10-1
100
101
-50
0
50
Frequency (rad/sec)G
ain
dB
10-2
10-1
100
101
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Diagramme de BodeSystème apériodique
2 asymptotes qui se coupent pour = n
les asymptotes sont toujours « sur » la courbe
- 40 dB/décade
Le déphasage évolue entre 0 et - 180°
(n) = - 90°
)81)(21(
5
11016
5)(
2 pppppH
n
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Diagramme de BodeSystème oscillatoire amorti
10-1
100
101
-20
0
20
Frequency (rad/sec)G
ain
dB
10-1
100
101
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
2 asymptotes qui se coupent pour = n
- 40 dB/décade
Le déphasage évolue entre 0 et - 180°
(n) = - 90°
13.025.0
5)(
2
pppH
n
r
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Diagramme de Bode fonction de Z
10-2
10-1
100
101
102
-100
-50
0
50
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-2
10-1
100
101
102
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Z = 0.1
5,2,1,7.0,3.0,1.0
1
5
Z
K
n
Z = 5
Z = 0.1Z = 5
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Diagramme de Bode fonction de n
10-2
10-1
100
101
-40
-20
0
20
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-2
10-1
100
101
-90
-180
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg3.0
3,1,3.0
5
Z
K
n
n = 0.3
n = 1
n = 3
n = 3n = 0.3
n = 1
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Diagramme de Nyquist
-10 -5 0 5 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Real Axis
Ima
g A
xis
Limite de résonance
13.025.0
5)(
2
pppH
)81)(21(
5)(
pppH
Apériodique :
Oscillatoire amorti :
Tangente horizontale pour
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Diagr. de Nyquist fonct. de Z et n
-15 -10 -5 0 5 10 15-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Real Axis
Ima
g A
xis
2,1,7.0,3.0,1.0
1
5
Z
K
n
Z = 0.1
Z = 0.3
À Z et K constants, le tracé ne change en fonction de n