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Chapitre 5. Applications linéaires
§1 Applications linéaires.
Soient E ,F deux sous espaces vectoriel. Les applications les plussimples f : E → F sont linéaires.
Definition : f : E → F est linéaire si, pour tout ~u,~v ∈ E et toutλ ∈ R, on a
f (~u + ~v) = f (~u) + f (~v), f (λ~u) = λ · f (~u) .
Exemple : A~u = ~v. On varie ~u dans Rn et on obtient une
application, linéaire.
Théorème. Toute application linéaire s’écrit sous la forme d’un~u 7→ A~u avec un certain choix de A.
Pour retrouver la matrice, il suffit de tester sur la base canonique,puis appliquer linéairement.
On utilise E pour désigner la base canonique (~e1, · · · ,~en) : de Rn.
Voici 4 écritures d’un vecteur ~w dans Rn : ~w =
x1
x2
...xn
= x1~e1+x2~e2+ · · ·+xn~en = (~e1, · · · ,~en)
x1
x2
...xn
= E
x1
x2
...xn
.
On applique f : f (~w) = f (x1~e1 + x2~e2 + · · · + xn~en)par linéarité
=x1f (~e1) + x2f (~e2) + · · ·+ xnf (~en) =
(f (~e1), · · · , f (~en))
x1
x2
...xn
= (f (~e1, · · · ,~en))
x1
x2
...xn
= EA
x1
x2
...xn
.
Géométriquement : on considère f comme une transformation deR
n qui transforme un groupe de points en un autre groupe depoints. Par exemple il transforme un point/droite/plan à un autre.
Exemples
1. f (
(
x
y
)
) =
(
1 00 0
)(
x
y
)
=
(
x
0
)
est la projection
orthogonale du plan sur l’axe des abscisses.
2. f (
(
x
y
)
) = I2
(
x
y
)
+
(
21
)
=
(
x + 2y + 1
)
est une translation du
plan.
3. Soit Rθ =
(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)
. Par calcul :
Rθ
(
r cosφr sinφ
)
=
(
r cos(θ + φ)r sin(θ + φ
)
.
En utilisant les coordonnées polaires du plan on voit que Rθ
represente une rotation d’angle θ (orienté) du plan.
4. Rπ
2
(
x
y
)
=
(
0 −11 0
)(
x
y
)
=
(
−y
x
)
est bien la rotation de
π/2 = 90o dans le sens direct.
5. f (
(
x
y
)
) =
(
1 00 −1
)(
x
y
)
=
(
x
−y
)
est la symétrie par
rapport à l’axe des abscisses.
6. f (
(
x
y
)
) =
(
λ 00 λ
)(
x
y
)
=
(
λx
λy
)
est appelée homothétie de
rapport λ > 0 dans le plan, centrée à l’origine.
7. f (
(
x
y
)
)=
(
2 00 2
)(
x
y
)
+
(
10
)
=
(
2x+12y
)
est une homothétie
de rapport 2, centrée en (−1; 0) (exo).
8. f (
(
x
y
)
) =
(
1 00 λ
)(
x
y
)
=
(
x
λy
)
(avec λ > 0) est appelée
affinité du plan (préservant l’axe des abscisses).
Les 3 formes d’un système linéaire
1. d’un système d’équations
2. de produit matriciel A~x = ~b, ou bien, en représentant A par sescolonnes
(~v1 · · · ~vm)
x1
...xm
=
b1
...bn
.
3. de combinaison linéaire :
x1~v1 + x2~v2 + · · ·+ xm~vm = ~b.
Interprétation du point 2 : Etant donner une matrice A, on
considère l’application linéaire f :
x1
...xm
7→ A
x1
...xm
. Résoudre le
système A~x = ~b revient à déterminer les antécédents de ~b par f .
§2 Image et noyau d’une application linéaire.
Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme
x1
...xm
7→
a11 · · · a1m
......
an1 · · · anm
x1
...xm
= A~x .
§2 Image et noyau d’une application linéaire.
Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme
x1
...xm
7→
a11 · · · a1m
......
an1 · · · anm
x1
...xm
= A~x .
Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l’ensemble des antécédents duvecteur ~0 :
Ker(f ) = {~x | f (~x) = ~0} = {~x | A~x = ~0}
= l’ensemble des solutions du système A~x = ~0 .
Exemple. Soit f
(
x
y
)
= x + y . Quel est le noyau de f ? Et pour
f
(
x
y
)
=
(
1 12 2
)(
x
y
)
?
Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Ker(f )
est un sous espace vectoriel de Rm.
Preuve. Il faut vérifier que pour tout ~u,~v ∈ Ker(f ) et tout λ ∈ R,~u + ~v ∈ Ker(f ) et λ~u ∈ Ker(f ). Ou bien f (~u) = ~0 = f (~v) impliquef (~u + ~v) = ~0 et f (λ~u) = ~0.
Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme
~x =
x1
...xm
7→
a11 · · · a1m
......
an1 · · · anm
x1
...xm
= A~x = f (~x) .
Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Ker(f )
est un sous espace vectoriel de Rm.
Preuve. Il faut vérifier que pour tout ~u,~v ∈ Ker(f ) et tout λ ∈ R,~u + ~v ∈ Ker(f ) et λ~u ∈ Ker(f ). Ou bien f (~u) = ~0 = f (~v) impliquef (~u + ~v) = ~0 et f (λ~u) = ~0.
Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme
~x =
x1
...xm
7→
a11 · · · a1m
......
an1 · · · anm
x1
...xm
= A~x = f (~x) .
L’image de f , noté par Im(f ), est l’ensemble Im(f ) = {f (~x) | ~x ∈ Rm}
Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Ker(f )
est un sous espace vectoriel de Rm.
Preuve. Il faut vérifier que pour tout ~u,~v ∈ Ker(f ) et tout λ ∈ R,~u + ~v ∈ Ker(f ) et λ~u ∈ Ker(f ). Ou bien f (~u) = ~0 = f (~v) impliquef (~u + ~v) = ~0 et f (λ~u) = ~0.
Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme
~x =
x1
...xm
7→
a11 · · · a1m
......
an1 · · · anm
x1
...xm
= A~x = f (~x) .
L’image de f , noté par Im(f ), est l’ensemble Im(f ) = {f (~x) | ~x ∈ Rm}
Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Im(f ) est
un sous espace vectoriel de Rn, de plus Im(f ) = 〈~u1, · · · , ~um〉, où
~uj est la j-ième colonne de A.
Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Ker(f )
est un sous espace vectoriel de Rm.
Preuve. Il faut vérifier que pour tout ~u,~v ∈ Ker(f ) et tout λ ∈ R,~u + ~v ∈ Ker(f ) et λ~u ∈ Ker(f ). Ou bien f (~u) = ~0 = f (~v) impliquef (~u + ~v) = ~0 et f (λ~u) = ~0.
Définition Soit f : Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme
~x =
x1
...xm
7→
a11 · · · a1m
......
an1 · · · anm
x1
...xm
= A~x = f (~x) .
L’image de f , noté par Im(f ), est l’ensemble Im(f ) = {f (~x) | ~x ∈ Rm}
Théorème. Pour toute application linéaire f : Rm → Rn, Im(f ) est
un sous espace vectoriel de Rn, de plus Im(f ) = 〈~u1, · · · , ~um〉, où
~uj est la j-ième colonne de A.
Preuve. Car Im(f ) = 〈f (~e1), · · · , f (~em)〉 et f (~ej ) = ~uj ,j = 1 · · · ,m.
Soit A la matrice de f , Base de Im(f ) et Ker(f )
Comment trouver une base de Ker(f ) et une base Im(f ) ?
Soit A la matrice de f , Base de Im(f ) et Ker(f )
Comment trouver une base de Ker(f ) et une base Im(f ) ? On
échelonneA
Id
B
H, les colonnes non-nulles de B forment une base
de Im(f ), et les colonnes de H sous les colonnes nulles de B
forment une base de Ker(f ). (pourquoi ?)
Exemple. f (~x) =
1 −1 11 0 21 1 3
x
y
z
, donc A =
1 −1 11 0 21 1 3
.
1 −1 11 0 21 1 3
1 0 00 1 00 0 1
C2 C2+C1
−→
C3 C3−C1
1© 0 01 11 2
1 1 −10 1 00 0 1
C3 C3−C2
−→
1© 0 01 1© 01 2 0
1 1 −20 1 −10 0 1
Alors B =??, H =??, une base de Im(f ) ? Une base de Ker(f ) ?Dimension de Im(f ) ? de Im(f ) ?
§3 Matrice et Rang de f
Pour f :
(
x
y
)
7→
x
3x − y
x + 2y
= A
(
x
y
)
, avec A =
§3 Matrice et Rang de f
Pour f :
(
x
y
)
7→
x
3x − y
x + 2y
= A
(
x
y
)
, avec A =
1 03 −11 2
.
On dit aussi que A est la matrice de f dans la base canonique.
§3 Matrice et Rang de f
Pour f :
(
x
y
)
7→
x
3x − y
x + 2y
= A
(
x
y
)
, avec A =
1 03 −11 2
.
On dit aussi que A est la matrice de f dans la base canonique.
On appelle le rang de f , l’entier suivant (les définitions donnent lemême résultat)1. Le rang de la matrice A (ou bien le nombre de pivots)2. La dimension de Im(f )3. Le nombre de vecteurs dans une base de Im(f ).
§3 Matrice et Rang de f
Pour f :
(
x
y
)
7→
x
3x − y
x + 2y
= A
(
x
y
)
, avec A =
1 03 −11 2
.
On dit aussi que A est la matrice de f dans la base canonique.
On appelle le rang de f , l’entier suivant (les définitions donnent lemême résultat)1. Le rang de la matrice A (ou bien le nombre de pivots)2. La dimension de Im(f )3. Le nombre de vecteurs dans une base de Im(f ).
Théorème du rang. Soit f : Rn → Rm linéaire. Alors
dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = n = le nombre de colonnes de A .
Preuve. Lorsqu’on échelonneA
Idà
B
H, on n’a pas changé le nombre
de colonnes. dim(Im(f )) = le nombre de colonnes non-nulles de B ,dim(Ker(f )) = le nombre de colonnes nulles de B .
§4. Composition
Par l’associativité de la multiplication matricielle, A(Bu) = (AB)u.D’où :
Proposition. La composition de deux applications linéaires du planest à nouveau une application linéaire du plan avec :
fA(fA′(u)) = (AA′)u.
Exemples.
1. Par calcul : RθRα = Rθ+α. Interprétation : Deux rotationssuccessives de même centre peuvent être remplacées par unerotation de la somme des deux angles.
2. Par calcul : A =
(
0 −11 0
)
, A2 =
(
−1 00 −1
)
,
A4 = (A2)2 =
(
1 00 1
)
(l’identité).
3. RθR−θ = R−θRθ = R0 = I2. Donc R−θ est la matrice inverse àRθ.
Cas général
Lorsqu’on compose des applications linéaires
Ef
−→ Fg
−→ G
de base BE BF BG
Quelle est la matrice de la composition g ◦ f ?
Théorème de composition. La matrice de g ◦ f est le produitmatricielle de la matrice de g avec celle de f .
Preuve. Nous cherchons une matrice M telle que g ◦ f (BE ) = BGM.
Cas général
Lorsqu’on compose des applications linéaires
Ef
−→ Fg
−→ G
de base BE BF BG
Quelle est la matrice de la composition g ◦ f ?
Théorème de composition. La matrice de g ◦ f est le produitmatricielle de la matrice de g avec celle de f .
Preuve. Nous cherchons une matrice M telle que g ◦ f (BE ) = BGM.
g ◦ f (BE ) = g(f (BE )) = g(BFM(f )) = g(BF )M(f )(
BGM(g))
M(f ) = BG
(
M(g) ·M(f ))
.
Donc M = M(g) · M(f ).
Cas général
Lorsqu’on compose des applications linéaires
Ef
−→ Fg
−→ G
de base BE BF BG
Quelle est la matrice de la composition g ◦ f ?
Théorème de composition. La matrice de g ◦ f est le produitmatricielle de la matrice de g avec celle de f .
Preuve. Nous cherchons une matrice M telle que g ◦ f (BE ) = BGM.
g ◦ f (BE ) = g(f (BE )) = g(BFM(f )) = g(BF )M(f )(
BGM(g))
M(f ) = BG
(
M(g) ·M(f ))
.
Donc M = M(g) · M(f ).
Exemple. Soient f
(
x
y
)
=
(
x + y
y
)
, g
(
x
y
)
=
(
y
x
)
. Calculer
g ◦ f et f ◦ g .
§5 Injectivité, surjectivité, bijectivité
Définition. On dit qu’une application linéaire f : Rn → Rm est
injective si deux vecteurs différents ont des images différents
surjective Si Im(f ) atteint tout l’espace d’arrivée Rm.
bijective (ou bien un automorphisme) si n = m et que f estinversible.
§5 Injectivité, surjectivité, bijectivité
Définition. On dit qu’une application linéaire f : Rn → Rm est
injective si deux vecteurs différents ont des images différents
surjective Si Im(f ) atteint tout l’espace d’arrivée Rm.
bijective (ou bien un automorphisme) si n = m et que f estinversible.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire, de matrice A.
Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. L’echelonnement suivant les colonnes de A ne donne pas decolonne nulle.5. Les vecteurs colonnes de A forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :
Soit f : Rn → Rm une application linéaire, de matrice A.
Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. L’echelonnement suivant les colonnes de A ne donne pas decolonne nulle.5. Les vecteurs colonnes de A forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent
Soit f : Rn → Rm une application linéaire, de matrice A.
Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. L’echelonnement suivant les colonnes de A ne donne pas decolonne nulle.5. Les vecteurs colonnes de A forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de A est m.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire, de matrice A.
Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. L’echelonnement suivant les colonnes de A ne donne pas decolonne nulle.5. Les vecteurs colonnes de A forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de A est m.3. Im(f ) = R
m.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire, de matrice A.
Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. L’echelonnement suivant les colonnes de A ne donne pas decolonne nulle.5. Les vecteurs colonnes de A forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de A est m.3. Im(f ) = R
m.4. Les vecteurs colonnes de A forment une famille génératrice.
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) =
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm =
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11
...am1
=
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11
...am1
= V
a11
...am1
.
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11
...am1
= V
a11
...am1
.
f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11
...am1
= V
a11
...am1
.
f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11
...am1
= V
a11
...am1
.
f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) =
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11
...am1
= V
a11
...am1
.
f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m
......
an1 · · · anm
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11
...am1
= V
a11
...am1
.
f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m
......
an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .
§6. Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11
...am1
= V
a11
...am1
.
f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m
......
an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .
Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
Exemples et exercices
La matrice d’une application linéaire f qu’on avait calculé avant esttout simplement la matrice de f dans la base canonique.
(1) f
(
x
y
)
=
(
x
x + y
)
. Notons E la base canonique de R2. Alors
ME,E(f ) =??.
(2) Soit f : R2 → R2 linéaire telle que f (~e1) = −~e2 et
f (~e2) = ~e1 + 2~e2. Déterminer la matrice de f ainsi que f
(
11
)
.
(3) Soit f : R2 → R2 la projection orthogonale vers la droite
x − y = 0. Représenter graphiquement l’application. Déterminer
f (~e1) puis f (~e2). Déterminer la matrice de f puis f
(
−31
)
.
Déterminer l’image et le noyau de f .
(4) Même exercice avec f la réflexion orthogonale par rapport à ladroite x − y = 0, puis avec la rotation d’angle π/4.