chapitre 5: les lentilles et les instruments d’optique … + 1 2 =0 =⇒ 1 5 38 4 cm + 1 2 =0...

Chapitre 5 : Les lentilles et les instruments d’optique

Exercices

E1. (a) On a 1 = 133 , 2 = 1 = 10 cm et = −20 cm. En utilisant l’équation 5.2, onobtient

13310 cm

+ 1= 1−133−20 cm =⇒ = −858 cm

Le chat voit le poisson à 858 cm derrière la paroi .

(b) Selon l’équation 5.3, on obtient

= −12

= − (133)(−858 cm)

(1)(10 cm)= 114 =⇒ I = O = (114) (2 cm) = 228 cm

(c) Les données équivalent maintenant à 1 = 1 , 2 = 133 = 15 cm et = 20 cm. En

utilisant l’équation 5.2, on obtient

115 cm

+ 133= 133−1

20 cm=⇒ = −265 cm

Le poisson voit le chat à 265 cm derrière la paroi .

(d) = −12

= − (1)(−265 cm)

(133)(15 cm)= 133

E2. On retrouve dans cet exercice les mêmes conditions qu’à la partie (c) de l’exemple 5.2;

on peut ainsi considérer que le rayon de courbure du dioptre tend vers l’infini. Puisque

1 = 133, 2 = 1 et = −05 m, si l’image est virtuelle, on obtient133+ 1−05 = 0 =⇒ = 0665 m

Le saumon est donc en réalité à 665 cm sous la surface de l’eau .

E3. On donne 2 dioptres de rayon de courbure infini, comme à la partie (c) de l’exemple 5.2.

On considère d’abord le passage de la lumière à travers le premier dioptre séparant le

verre et l’eau. On a ici 1 = 15 2 = 133, 1 = 10 cm et on calcule

1510 cm

+ 1331= 0 =⇒ 1 = −887 cm

Cette image devient l’objet pour le deuxième dioptre. Si l’on considère les 30 cm d’eau

au-dessus du verre, cela se traduit par 1 = 133 2 = 1

2 = (887 cm) + (30 cm) = 3887 cm, et on trouve

1333887 cm

+ 12= 0 =⇒ 2 = −292 cm

La mouche semble se trouver à 292 cm sous le niveau de l’eau .

E4. Pour un dioptre sphérique ( = ±4 cm), la relation entre et est donnée par l’équation5.2, soit 1

+ 2

= 2−1

dans laquelle 1 et 2 sont les indices de l’air (1) et du verre

( = 15)

v5 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 5 : Les lent. et les inst. d’opt. 93

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(a) Si 1 −→ ∞ on a à l’entrée puis à la sortie de la sphère des images produites respecti-

vement en 1 et 2 :

1∞ +

1= −1

= 05

4 cm=⇒ 1 = 3 = 12 cm =⇒ 2 = 2− 1 = −4 cm

2+ 1

2= 1−

=⇒ 15

−4 cm +12= −05−4 cm =⇒ 2 = 200 cm

L’image finale est à 600 cm du centre de la sphère .

(b) Si l’objet est à 20 cm du centre de la sphère, on a 1 = 16 cm. On a à l’entrée puis à la

sortie de la sphère des images produites respectivement en 1 et 2 :

116 cm

+ 151= −1

= 05

4 cm=⇒ 1 = 24 cm =⇒ 2 = 2− 1 = −16 cm

2+ 1

2= 1−

=⇒ 15

−16 cm +12= −05−4 cm =⇒ 2 = 457 cm

L’image finale est à 857 cm du centre de la sphère .

E5. Quelle que soit la position de l’objet devant la tige de verre d’indice = 15 représentée

à la figure 5.44, la lumière doit traverser deux dioptres. La surface convexe constitue le

premier avec un rayon de courbure 1 = = 8 cm. La face plane est le second avec

2 −→ ∞. Pour les deux dioptres, on utilise l’équation 5.2. L’image du premier dioptreest l’objet pour le second, ce qui permet de calculer la position de l’image finale.

(a) Avec l’objet situé à 1 = 24 cm de la surface convexe, on calcule la position de la première

image 1 :

11+

1= −1

1=⇒ 1

24 cm+ 15

1= 05

8 cm=⇒ 1 = 72 cm

Comme elle se situe au-delà de l’extrémité de la tige de verre, cette image devient un

objet virtuel pour ce second dioptre. On calcule ainsi, en respectant les conventions de

signe :

2 = 3− 1 = −48 cmCe qui permet de calculer la position de l’image finale, avec 2 −→∞ :2+ 1

2= 1−

2=⇒ 15

48 cm+ 1

2= 0 =⇒ 2 = 320 cm

L’image finale se trouve à 320 cm de la face plane, dans l’air .

(b) Avec l’objet situé à 1 = 6 cm de la surface convexe, on calcule la position de la première

image 1 :

11+

1= −1

1=⇒ 1

6 cm+ 15

1= 05

8 cm=⇒ 1 = −144 cm

Cette image virtuelle du premier dioptre est un objet réel pour la face plane :

2 = 3− 1 = 384 cm =⇒

94 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 5 : Les lentilles et les instr. d’opt. v5


2+ 1

2= 0 =⇒ 15

384 cm+ 1

2= 0 =⇒ 2 = −256 cm

L’image finale se trouve à 160 cm de la face convexe, dans l’air .

E6. Pour une lentille mince plan-convexe, on cherche la position de l’image en utilisant la

formule

1+ 1

= 1

où 1

= (− 1)

³11− 1

2

´avec = 15

(a) Si l’objet est dans l’air, à l’infini du côté convexe de la lentille, on a 1 = 12 cm et

2 −→∞ de sorte que

1∞ + 1

= (− 1)

³11− 1∞´=⇒ = 1

−1 = 240 cm

(b) Si l’objet est dans l’air, à l’infini du côté plan de la lentille, on a 1 −→∞ et

2 = −12 cm de sorte que1∞ + 1

= (− 1)

³1∞ − 1

2

´=⇒ = −2

−1 = 240 cm

E7. Pour une lentille mince ( = 15), la distance focale s’exprime au moyen de l’équation

5.5.

(a) Si = 16 cm et 1 = 12 cm, on calcule 2 ainsi :

1= (− 1)

³11− 1

2

´=⇒ 1

16 cm= (15− 1)

³1

12 cm− 1

2

´=⇒ 2 = −240 cm

(b) Si = −40 cm et 1 = 12 cm, on calcule 2 ainsi :

1= (− 1)

³11− 1

2

´=⇒ 1

−40 cm = (15− 1)³

112 cm

− 12

´=⇒ 2 = 750 cm

E8. D’après la formule des lentilles minces, on a, en fonction de = 4 m et de O = 2 m,

(a) pour une distance focale = 005 m:

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

005− 14=⇒ = 00506 m

= − = −00127 =⇒ I = O =⇒ |I| = 253 cm

(b) pour une distance focale = 02 m:

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

02− 1

4=⇒ = 0211 m

= − = −00526 =⇒ I = O =⇒ |I| = 105 cm

E9. Cette situation est similaire à celle que décrit la figure 5.30 du manuel. Si l’objet est loin

de la lentille, la lumière en provenance de tous ses points forment des familles de rayons

quasi parallèles entre eux. Pour chaque point et en particulier pour celui qui se trouve au

sommet de l’objet, ces rayons convergent au foyer de la lentille, à une certaine distance

au-dessous de l’axe optique, et l’image réelle y apparaît, comme dans cette figure :



Comme on peut s’en rendre compte en examinant le rayon lumineux qui, en provenance

de l’objet, frappe le centre de la lentille, l’angle que sous-tend l’image par rapport à la

lentille est le même que celui que sous-tend l’objet (O = 2) situé à une grande distance

de la lentille. Dès lors, comme tan =|I |et tan = O

= 2

on arrive à

|I |= 2

=⇒

|I| = 2

On peut aussi suivre le raisonnement suivant : comme = est grand alors, dans l’équa-

tion 5.6a, 1−→ 0 de sorte que = . Selon l’équation 4.9, en rappelant que O = 2,

on a que

= IO= −

=⇒ |I| = O

= 2

(a) Pour les rayons issus de la Lune, on trouve

|I| = 2=

2(174×106)(2)384×108 =⇒ |I| = 181 mm

(b) Pour les rayons issus du Soleil, on trouve

|I| = 2=

2(696×108)(2)15×1011 =⇒ |I| = 186 mm

E10. On donne = 2 m, O = 1 cm et |I| = 5 cm. Comme l’image est réelle, 0 ou

= −5

(a) On calcule la position de l’objet, soit

= − = −5 =⇒ = −

= − 2

−5 = 0400 m

(b) Quant à la distance focale, elle est de

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

04+ 1

2=⇒ = 0333 m

E11. D’après la formule des lentilles minces et avec = 4 et = −16 cm (image virtuelle),

(a) on calcule la position de l’objet, soit



= − = 4 =⇒ = −

= −−16 cm

4= 400 cm

(b) et la distance focale, soit

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

4 cm+ 1−16 cm =⇒ = 533 cm

E12. D’après la formule des lentilles minces et avec = −13et = 6 cm (image réelle),

(a) on calcule la position de l’objet, sot

= − = −1

3=⇒ = −

= −6 cm

−13

= 180 cm

(b) et la distance focale, soit

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

18 cm+ 1

6 cm=⇒ = 450 cm

E13. On donne O = 36 mm. On suppose pour l’instant que la distance objet est supérieure

à la distance focale de la lentille, de sorte que l’image sera renversée comme à la figure

5.15a du manuel. Dans ce cas, la largeur de l’image voulue correspond à I = −2 m. Oncalcule le grandissement linéaire en utilisant sa définition, = I

O= −2

0036= −556.

La distance image étant = 7 m, on calcule la distance objet à partir de l’équation 5.6b :

= − =⇒ = −

= − 7

−556 = 0126 m

On calcule ensuite la distance focale de la lentille du projecteur :

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

0126+ 1

7=⇒ = 0124 m

On note finalement que , bien que ce soit par une très faible distance.

E14. D’après la formule des lentilles minces et avec = 50 mm, on cherche la position de

l’image,

(a) si la position de l’objet est = 2 m, ce qui donne

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

005− 12=⇒ = 00513 m

(b) si la position de l’objet est = 05 m, ce qui donne

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

005− 105

=⇒ = 00556 m

E15. On considère une lentille convergente ( = 15 cm) et le grandissement linéaire || = 2Voici les positions possibles de l’objet :

si = −2 =⇒ = − = 2 =⇒ 1+ 1

2= 1

15 cm=⇒ = 225 cm

ou si = 2 =⇒ = − = −2 =⇒ 1+ 1−2 =

115 cm

=⇒ = 750 cm

L’objet peut donc se trouver à 225 cm ou à 750 cm .

E16. D’après la formule des lentilles minces et avec = −23et = 12 cm,

(a) on calcule la position de l’image, soit



= − = −2

3=⇒ = − = − ¡−2

3

¢(12 cm) = 800 cm

(b) et la distance focale, ce qui donne

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

12 cm+ 1

8 cm=⇒ = 480 cm

E17. La lentille est convergente ( = 35 cm) et la valeur absolue du grandissement linéaire est

fournie (|| = 25). Comme l’objet est réel ( 0), le type d’image permet de déterminerle signe du grandissement à partir de l’équation 5.6b ( = −) :

(a) Si l’image est réelle, 0, le grandissement linéaire est

= −25 =⇒ = − = 25 =⇒ 1+ 1

25= 1

35 cm=⇒ = 490 cm

(b) Si l’image est virtuelle, 0, le grandissement linéaire est

= 25 =⇒ = − = −25 =⇒ 1+ 1−25 =

135 cm

=⇒ = 210 cm

E18. On considère une lentille convergente ( = 20 cm) et le grandissement linéaire || = 04Voici les positions possibles de l’objet :

(a) Si l’image est réelle, 0, et

= −04 =⇒ = − = 04 =⇒ 1+ 1

04= 1

20 cm=⇒ = 700 cm

(b) Si l’image est virtuelle, 0, et

= 04 =⇒ = − = −04 =⇒ 1+ 1−04 =

120 cm

=⇒ = −300 cmE19. Pour une lentille mince biconvexe, on cherche la position de l’image en utilisant la formule

1+ 1

= 1

où 1

= (− 1)

³11− 1

2

´avec = 15.

Si l’objet est situé à = 20 cm de la lentille et que l’on pose 1 = 12 cm et

2 = −16 cm, on peut calculer la position de l’image et ensuite le grandissement linéaire :1

20 cm+ 1

= (15− 1)

³1

12 cm− 1−16 cm

´=⇒ = 436 cm

= − = −436 cm

20 cm= =⇒ = −218

E20. Pour une lentille mince biconcave, on cherche la position de l’image en utilisant la formule

1+ 1

= 1

où 1

= (− 1)

³11− 1

2

´avec = 15.

Si l’objet est situé à = 20 cm de la lentille et que l’on pose 1 = −12 cm et

2 = 16 cm, on peut calculer la position de l’image et ensuite le grandissement linéaire :

120 cm

+ 1= (15− 1)

³1

−12 cm − 116 cm

´=⇒ = −814 cm

= − = −−814 cm

20 cm= =⇒ = 0407

E21. On considère une lentille divergente ( = −20 cm). On cherche la position de l’objet.(a) Si l’image est virtuelle, ce qui implique que 0 et qu’elle est droite, alors le grandis-



sement linéaire est = 02, de sorte que

= − = −02 =⇒ 1+ 1−02 =

1−20 cm =⇒ = 800 cm

(b) Si l’image est réelle, ce qui implique que 0 et qu’elle est droite, alors le grandissement

linéaire est = 15, de sorte que

= − = −15 =⇒ 1+ 1−15 =

1−20 cm =⇒ = −667 cm

E22. On calcule la position de l’image issue de la première lentille (1 = 10 cm) avec

1 = 20 cm :

120 cm

+ 11= 1

10 cm=⇒ 1 = 20 cm

Puisque la seconde lentille (2 = −15 cm) se trouve à 10 cm de la première, on obtient

comme suit la position de l’objet pour cette dernière et la position de l’image résultante :

2 = (10 cm)−1 = −10 cm (objet virtuel) =⇒ 1−10 cm+

12= 1−15 cm =⇒ 2 = 300 cm

E23. On calcule la position de l’image issue de la première lentille (1 = 10 cm) avec

1 = 12 cm :

112 cm

+ 11= 1

10 cm=⇒ 1 = 60 cm

Puisque la seconde lentille (2 = 20 cm) est à 15 cm de la première, on obtient comme

suit la position de l’objet pour cette dernière et la position de l’image résultante :

2 = (15 cm)−1 = −45 cm (objet virtuel) =⇒ 1−45 cm+

12= 1

20 cm=⇒ 2 = 138 cm

E24. On calcule la position de l’image I1 issue de la première lentille (1 = 8 cm) avec

1 = 40 cm :

140 cm

+ 11= 1

8 cm=⇒ 1 = 10 cm =⇒ 1 = − 1

1= −10 cm

40 cm= −0250

Puisque la seconde lentille (2 = 12 cm) est à 20 cm de la première, on obtient comme

suit la position de l’objet pour cette dernière et la position de l’image résultante I2 :

2 = (20 cm)− 1 = 10 cm =⇒ 110 cm

+ 12= 1

12 cm=⇒ 2 = −600 cm

On calcule ensuite le grandissement transversal de la seconde lentille et le grandissement

total :

2 = − 22= −−60 cm

10 cm= 600 =⇒ = 12 = (−0250) (600) =⇒ = −150

Le tracé de deux des rayons principaux donne



E25. Pour la première et la seconde lentille, on a

11+ 1

1= 1

1et 1

2+ 1

2= 1

2, où 2 = −1

puisque les deux lentilles minces sont accolées et que l’image réelle de la première devient

l’objet virtuel de la seconde. On additionne les deux équations pour trouver

11+ 1

1+ 1−1 +

12= 1

1+ 1

2=⇒ 1

1+ 1

2= 1

1+ 1

2

Le côté droit de l’équation peut être assimilé à l’effet d’une seule lentille équivalente de

distance focale . Sa valeur n’est qu’approximative puisqu’on ne peut négliger totalement

l’épaisseur des deux lentilles initiales; donc

1≈ 1

1+ 1

2=⇒ ≈ 12

1+2=⇒ CQFD

E26. D’après l’expression de la distance focale combinée obtenue à l’exercice 25, on trouve

= 121+2

=⇒ 1= 1

1+ 1

2=⇒ 1

14 cm= 1

10 cm+ 1

2=⇒ 2 = −350 cm

E27. On considère une loupe avec les données = 57 cm et = 6 cm.

(a) On calcule ainsi le grossissement angulaire :

= 025= 025

0057= 439

(b) En vertu de la loi des lentilles minces, on obtient ainsi la position de l’image :

1= 1

+ 1

=⇒ 1

6 cm= 1

57 cm+ 1

=⇒ = −114 cm

E28. Pour une lentille convergente ( = 4 cm), on obtient l’image virtuelle ( = −40 cm) d’unobjet ayant O = 1 mm de largeur.

(a) La dimension de l’image donnée par la lentille équivaut à

1= 1

+ 1

=⇒ 1

4 cm= 1

+ 1−40 cm =⇒ = 364 cm

= − = −−40 cm

364 cm= 110 et = I

O=⇒ I = O =⇒ I = 110 mm

(b) Le grossissement angulaire correspond à



= 025= 025

00364= 687

E29. (a) Si l’image donnée par la loupe se trouve au punctum proximum normal ( = −25 cm),la loi des lentilles minces et l’équation du grossissement indiquent que

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

+ 1−025 =⇒ 1

= 1

+ 1

025=⇒

= 025= 025

³1+ 1025

´=⇒ = 1 + 025

=⇒ CQFD

(b) La distance focale correspondant au grossissement angulaire = 24 équivaut à

= 1 + 025= 24 =⇒ 025

= 14 =⇒ = 0179 m

E30. La distance focale d’une loupe est = 10 cm.

(a) On obtient comme suit la position de l’objet qui donne le grossissement angulaire maxi-

mal, ce qui se produit si l’image donnée par la loupe se trouve au punctum proximum

normal ( = −25 cm) :1= 1

+ 1

=⇒ 1

10 cm= 1

+ 1−25 cm =⇒ = 714 cm

(b) On trouve aussi la taille de l’image, connaissant celle de l’objet (O = 2 mm) :

= − = −

³−25 cm714 cm

´= 35 et = I

O=⇒ I = O =⇒ I = 700 mm

(c) Lorsque = , donc = 100 cm

E31. Lorsque l’image finale est à l’infini, l’image donnée par l’objectif coïncide avec le foyer

de l’oculaire. D,après les données ∞ = −400 = 16 cm et ob = 05 cm, la distance

focale de l’oculaire équivaut à

∞ = − ob

025o c

= −400 =⇒ oc = 200 cm

E32. Les distances focales du microscope sont ob = 08 cm et oc = 3 cm.

Comme la distance entre les lentilles est = 175 cm, la longueur optique équivaut à

= − oc − ob = 137 cm. L’image virtuelle finale étant située à oc = −40 cm de

l’oculaire (cette figure est similaire à la figure 5.27), on en déduit que

1oc+ 1

oc= 1

oc=⇒ 1

oc+ 1−40 cm =

13 cm

=⇒ oc = 279 cm

La position de l’image de l’objectif est ob = − oc = 147 cm, et on détermine que

1ob+ 1

ob= 1

ob=⇒ 1

ob+ 1147 cm

= 108 cm

=⇒ ob = 0846 cm

= − obob

25 cmoc

= − 147 cm0846 cm

25 cm279 cm

= −156E33. Les distances focales du microscope sont ob = 06 cm et oc = 24 cm. L’objet est situé

à ob = 0625 cm de l’objectif. On calcule ainsi la position de l’image de l’objectif :

1ob+ 1

ob= 1

ob=⇒ 1

0625 cm+ 1

ob= 1

06 cm=⇒ ob = 15 cm



Si l’image finale est à l’infini, l’image donnée par l’objectif coïncide avec le foyer de

l’oculaire. Puisque oc = oc on a ob = + ob (voir la figure 5.27), et on en déduit que

= ob − ob = 144 cm et = + ob + oc = 174 cm

Le grossissement se calcule alors directement, comme suit

∞ = − ob

25 cmoc

= −144 cm06 cm

25 cm24 cm

= −250E34. L’objectif du télescope astronomique a une distance focale ob = 60 cm. Puisque l’objet

à observer est situé à l’infini, on a ob −→∞ et on déduit la position de l’image produite

par l’objectif :

1ob+ 1

ob= 1

ob=⇒ 1

∞ + 1ob= 1

60 cm=⇒ ob = 60 cm

La distance entre les lentilles est = 65 cm, et, comme = ob + oc on obtient

oc = 5 cm. L’instrument est réglé pour un œil normal au repos, c’est-à-dire un œil dont

le punctum remotum est situé à l’infini, de sorte que l’image finale est située aussi à

l’infini, oc −→∞ ce qui donne, pour la distance focale de l’oculaire

1oc+ 1

oc= 1

oc=⇒ 1

5 cm+ 1∞ = 1

oc=⇒ oc = 500 cm

On en déduit que = ob + oc = ob + oc ou encore que les foyers sont confondus.

On calcule finalement le grossissement angulaire du télescope comme suit

∞ = −oboc= −60 cm

5 cm= −120

E35. On traite cet exercice d’une manière similaire à l’exercice précédent. Si l’image finale

est à l’infini, le grossissement angulaire s’exprime comme le rapport des distances focales

du télescope, qui sont ob = 180 cm, pour le miroir, et oc = 5 cm, pour l’oculaire. On

obtient donc directement :

∞ = −oboc= −180 cm

5 cm= −360

E36. Une lunette de Galilée est réglée pour un œil normal au repos, ce qui signifie que l’image

finale est située à l’infini, oc −→∞ et que les foyers sont confondus, comme à la figure

5.31. Le grossissement angulaire s’exprime alors comme le rapport des distances focales

du télescope, soit ob = 36 cm et oc, qui est inconnue. On déduit ainsi la valeur de oc :

∞ = −oboc

=⇒ 8 cm = 36 cmoc

=⇒ oc = −450 cmE37. On donne ob = 5 m et oc = 10 cm.

(a) On calcule ainsi le grossissement angulaire lorsque l’image finale est située à l’infini :

∞ = −oboc= −500 cm

10 cm= −500



(b) Lorsque l’image finale est située à oc = −40 cm de l’oculaire, on trouve

1oc+ 1

oc= 1

oc=⇒ 1

oc+ 1−40 cm =

110 cm

=⇒ oc = 800 cm

= −oboc= −500 cm

8 cm= −625

E38. La distance entre les lentilles d’un télescope astronomique est = 65 cm. L’image finale

est située à l’infini, de sorte que = ob + oc; puisque le grossissement angulaire est

∞ = −25 on en déduit que = ob + oc = 65 cm et ∞ = −ob

oc= −25 =⇒ 25oc + oc = 65 cm =⇒

oc = 250 cm =⇒ ob = − oc =⇒ ob = 625 cm

E39. Une lunette de Galilée a une longueur = 15 cm et un objectif possédant une distance

focale ob = 20 cm. L’image finale est située à l’infini, de sorte que ob = + |oc|. Onobtient comme suit oc 0 et le grossissement angulaire de la lentille :

oc = − |ob − | = − |(20 cm)− (15 cm)| = −5 cm∞ = −ob

oc= − 20 cm

−5 cm = −400E40. Lorsque l’image finale est à l’infini, le grossissement angulaire du télescope astronomique

s’exprime comme le rapport des distances focales du télescope, qui sont ob = 168 m et

oc = 35 cm, ce qui donne

∞ = −oboc= − 168

0035= −480

E41. Les distances focales du télescope sont ob = 18 m et oc = 11 cm. On trouve le

grossissement angulaire, si l’image finale est située à oc = −40 cm de l’œil, en obtenant

d’abord oc :

1oc+ 1

oc= 1

oc=⇒ 1

oc+ 1−040 =

1011

=⇒ oc = 00863 m =⇒ = −ob

oc= − 18

00863= −209

E42. Une lunette de Galilée possède les distances focales ob = 24 cm et oc = −8 cm. L’objetest situé en ob = 12 m.

(a) Les lentilles sont à une distance = 16 cm l’une de l’autre; on obtient ainsi la position

de l’image finale :

1ob+ 1

ob= 1

ob=⇒ 1

12+ 1

ob= 1

024=⇒ ob = 2449 cm =⇒

oc = − ob = −849 cm =⇒1oc+ 1

oc= 1

oc=⇒ 1

−849 cm +1oc= 1−8 cm =⇒ oc = −139 cm de l’oculaire

(b) Pour que l’image finale soit à l’infini, il faut que la position de l’objet de l’oculaire se



trouve au foyer de l’oculaire, soit oc = oc = −8 cm. Puisque cet objet est l’image del’objectif, on en déduit directement la distance entre les deux lentilles :

= ob + oc = (245 cm) + (−8 cm) = 165 cm

E43. Une prescription corrective de puissance = 28 D requiert une lentille correctrice de

distance focale = 1= 0357 m. Cette lentille agit de telle sorte que l’image virtuelle

( 0) d’un objet situé à = 025m apparaît au punctum proximum de l’œil (PP = −).Ainsi, lorsque la personne enlève ses lunettes, le punctum proximum se trouve à une

distance de

1+ 1

= 1

=⇒ 1

+ 1−PP =

1=⇒ 1

025+ 1−PP =

10357

=⇒ PP = 833 cm

E44 (a) Puisque PP = 15 cm, le punctum proximum ne nécessite pas de correction. Toutefois,

puisque PR = 40 cm, le punctum remotum exige une correction. Avec la lentille correc-

trice, l’objet qui est à l’infini doit paraître situé à = −PR = −40 cm.

Avec −→∞, on obtient la bonne prescription :1+ 1

= 1

=⇒ 1

∞ + 1−40 cm =

1=⇒ = −400 cm

(b) Si la personne conserve toujours ses verres, son punctum proximum change de place.

Sa nouvelle valeur, 0PP est la position d’un objet dont l’image se situe au punctum

proximum initial ( = −PP), donc1+ 1

= 1

=⇒ 1

+ 1−PP =

1=⇒ 1

+ 1−15 cm =

1−40 cm =⇒ 0PP = 240 cm

E45. On donne PP = 40 cm et PR = 4 m.

(a) Avec une première lentille correctrice, l’objet qui est à l’infini doit paraître situé au

punctum remotum, = −PR = −4 m. Comme −→ ∞ on obtient ainsi la puissance

de cette lentille :

1+ 1

= 1

1=⇒ 1

∞ + 1−4 =

11=⇒ 1 = −40 m =⇒ 1 =

11= −0250 D

Le punctum proximum, PP = 40 cm, nécessite aussi une correction, telle que l’image

virtuelle d’un objet situé à = 025 m apparaisse au punctum proximum de l’œil,

= −PP = −040 m. La puissance de cette seconde lentille équivaut à1+ 1

= 1

1=⇒ 1

025+ 1−04 =

12=⇒ 2 = 0667 m =⇒ 2 =

12= 150 D

Les puissances des deux lentilles sont donc de −0250 D et de 150 D .

(b) On a déjà établi l’effet de cette lentille pour la vision de loin et on sait que la personne

voit nettement ce qui est à l’infini. Toutefois, les objets rapprochés ne peuvent se situer



à l’intérieur du punctum proximum ( = −PP), et la valeur minimale de est1+ 1

= 1

1=⇒ 1

+ 1−04 =

1−40 =⇒ = 444 cm

Le domaine de vision nette s’étend donc de 444 cm à l’infini .

(c) On a déjà établi l’effet de cette lentille pour la vision de près et on sait que la personne

voit nettement les points situés au punctum proximum et au-delà. Toutefois, les objets

éloignés ne peuvent se situer au-delà du punctum remotum ( = −PR), et la valeurmaximale de est

1+ 1

= 1

2=⇒ 1

+ 1−4 =

10667

=⇒ = 572 cm

Le domaine de vision nette s’étend donc de 250 cm à 572 cm .

E46. (a) Le punctum proximum, PP = 34 cm, nécessite une correction telle que l’image virtuelle

d’un objet situé à = 025 m apparaisse au punctum proximum de l’œil :

= −PP = −034 mLa puissance de cette lentille est donc de

1+ 1

= 1

=⇒ 1

025+ 1−034 =

1=⇒ = 0944 m =⇒ = 1

= 106 D

(b) Avec une lentille correctrice, l’objet qui est à l’infini doit paraître situé au punctum

remotum, = −PR = −034 m. Comme −→ ∞ on obtient comme suit la puissance

de cette lentille :

1+ 1

= 1

=⇒ 1

∞ + 1−034 =

1=⇒ = −034 m =⇒ = 1

= −294 D

E47. Avec la correction, l’objet qui est l’infini ( −→∞) apparaît au punctum remotum,

= −PP = −2 m. La puissance de la lentille utilisée équivaut à1+ 1

= 1

=⇒ 1

∞ + 1−2 =

1=⇒ = −2 m =⇒ = 1

= −05 D

Avec ces lunettes, un objet situé à = 028 m, la position du punctum remotum avec

lunettes, doît apparaître à la position du punctum proximum de l’œil nu ( = −PP) cequi donne

1+ 1

= 1

=⇒ 1

028+ 1−PP =

1−2 =⇒ PP = 246 cm

E48. Avec les vieilles lunettes de puissance = 15 D, un objet situé à = 040 m, la position

du punctum proximum avec lunettes, doit apparaître à la nouvelle position du punctum

proximum de l’œil nu ( = −PP) On calcule d’abord PP :

1+ 1

= 1

= =⇒ 1

04+ 1−PP = 15 =⇒ PP = 1 m

Avec la nouvelle correction 0 l’image virtuelle d’un objet situé à 0 = 025 m doit



apparaître à la nouvelle position du punctum proximum de l’œil (0 = −PP = −1 m) :10 +

10 =

1 0 =⇒ 1

025+ 1−1 =

1 0 =⇒ 0 = 0333 m =⇒ 0 = 1

0 = 300 D

E49. (a) La personne utilise une lentille divergente de puissance = −2 D pour que l’image d’unobjet placé à l’infini ( −→∞) apparaisse au punctum remotum ( = −PR) :1+ 1

= 1

= =⇒ 1

∞ + 1−PR = −2 =⇒ PR = 500 cm

(b) Le punctum proximum avec lunettes, 0PP correspond à la position d’un objet ( = 0PP)

dont l’image se forme au prunctum proximum sans lunettes ( = −PP = −020 m) :1+ 1

= 1

= =⇒ 1

0PP+ 1−020 = −2 =⇒ 0PP = 333 cm

E50. (a) 150 cm

+ 1−20 cm =

1=⇒ = −333 cm

(b) 150 cm

+ 120 cm

= 1=⇒ = 143 cm

E51. 1+ 1(100 cm)− =

120 cm

=⇒ = 276 cm et 724 cm

E52. (a) = − = 15 et 1

+ 1−15 =

112 cm

=⇒ = 400 cm

(b) = − = −15 et 1

+ 1

15= 1

12 cm=⇒ = 200 cm

E53. On donne O = 18 m et = 55 mm. Comme la distance objet est probablement

supérieure à la distance focale de la lentille, l’image est renversée comme à la figure 5.15a

du manuel. Dans ce cas, la hauteur de l’image voulue correspond à I = −24 mm. Oncalcule le grandissement linéaire en utilisant sa définition, = I

O= −24 mm

1800 mm= − 1

750.

Avec l’équation 5.6b, on établit une relation entre la distance image et la distance objet :

= − =⇒ = − =⇒ =

750

On calcule finalement la distance objet à partir de l’équation 5.6a :

1+ 1

= 1

=⇒ 1

+ 750

= 1

55 mm=⇒ = 418 m

E54. 110 cm

+ 11= 1

12 cm=⇒ 1 = −60 cm =⇒ 2 = 75 cm =⇒

175 cm

+ 12= 1−30 cm =⇒ 2 = −214 cm

= 12 =³− 1

1

´³− 2

2

´=¡−−60 cm

10 cm

¢ ³−−214 cm75 cm

´= 171 =⇒

I = O =⇒ I = 206 cm

E55. (a) 140 cm

+ 11= 1

15 cm=⇒ 1 = 24 cm =⇒ 2 − 14 cm =⇒

1−14 cm +

12= 1−10 cm =⇒ 2 = −350 cm

(b) = 12 =³− 1

1

´³− 2

2

´=¡−24 cm

40 cm

¢ ³−−35 cm−14 cm´= 150

E56. 118 cm

+ 11= 1

10 cm=⇒ 1 = 225 cm =⇒ 2 = 75 cm =⇒

175 cm

+ 12= 1−15 cm =⇒ 2 = −500 cm



= 12 =³− 1

1

´³− 2

2

´=³−225 cm

18 cm

´³−−5 cm75 cm

´=⇒ = −0833

E57. (a) 1+ 1−25 cm =

110 cm

=⇒ = 714 cm

(b) = − = 350

E58. = tan =⇒ = 2 tan (052◦) = 182 cm

E59. (a) ∞ = −obo c= −240 cm

12 cm= −20 =⇒ ∞ =

=⇒ = ∞ = 104◦

(b) ob = 240 cm, alors1oc+ 1−25 cm =

112 cm

=⇒ oc = 811 cm

= −oboc= −296 =⇒ = || = 154◦

E60. 1∞ + 1

−075 =1=⇒ = −075 m =⇒ = 1

= −133 D

E61. 125 cm

+ 1−80 cm =

1= =⇒ = 275 D

E62. (a) Si la loupe est à = 50 cm de l’oeil, alors l’image se forme en = −30 cm si elle se trouveau punctum proximum et en = −70 cm si elle se forme au punctum remotum. Selon

l’équation des lentilles minces, la première valeur de est obtenue pour = 4286 cm et

la seconde pour, = 4667 cm . Si on place l’objet n’importe où entre ces deux positions,

l’image sera nette pour l’observateur. L’intervalle des valeurs possibles pour la position

de l’objet est donc ∆ = 0381 cm .

(b) Par un raisonnement similaire, on calcule que va de 0 cm à 444 cm, donc ∆ = 444 cm .

Problèmes

P1. (a) On donne 1 = 4 cm. On calcule la position de l’image I1 avec 1 = 5 cm :

15 cm

+ 11= 1

4 cm=⇒ 1 = 20 cm =⇒ 1 = − 1

1= −20 cm

5 cm= −4

La seconde lentille (2 = 7 cm) se situe à = 12 cm de la première. On trouve la position

de l’objet 2 et on calcule la position résultante de l’image finale I2 :

2 = − 1 = −8 cm =⇒ 1−8 cm +

12= 1

7 cm=⇒ 2 = 373 cm

On peut ensuite obtenir le grandissement latéral de la seconde lentille et le grandissement

total :

2 = − 22= −373 cm−8 cm = 0467 =⇒ = 12 =⇒ = −187




(b) On reprend les mêmes calculs qu’en (a), mais avec 1 = 12 cm, ce qui donne

112 cm

+ 11= 1

4 cm=⇒ 1 = 6 cm =⇒ 1 = − 1

1= − 6 cm

12 cm= −05

2 = − 1 = 6 cm =⇒ 16 cm

+ 12= 1

7 cm=⇒ 2 = −420 cm

2 = − 22= −−420 cm

6 cm= 7 =⇒ = 12 =⇒ = −350


P2. On donne 1 = 10 cm. On calcule la position de l’image I1 avec 1 = 20 cm :

120 cm

+ 11= 1

10 cm=⇒ 1 = 20 cm =⇒ 1 = − 1

1= −20 cm

20 cm= −1

La seconde lentille (2 = −5 cm) se situe à = 30 cm de la première. On trouve la

position de l’objet 2 et on calcule la position résultante de l’image finale I2 :

2 = − 1 = 10 cm =⇒ 110 cm

+ 12= 1−5 cm =⇒ 2 = −333 cm

On obtient ensuite le grandissement latéral de la seconde lentille et le grandissement

total :

2 = − 22= −−333 cm

10 cm= 0333 =⇒ = 12 =⇒ = −0333




P3. On donne 1 = 10 cm. On calcule la position de l’image I1 avec 1 = 20 cm :

120 cm

+ 11= 1

10 cm=⇒ 1 = 20 cm =⇒ 1 = − 1

1= −20 cm

20 cm= −1

La seconde lentille (2 = −15 cm) se situe à = 12 cm de la première. On trouve la

position de l’objet 2 et on calcule la position résultante de l’image finale I2 :

2 = − 1 = −8 cm =⇒ 1−8 cm +

12= 1−15 cm =⇒ 2 = 171 cm

On obtient ensuite le grandissement latéral de la seconde lentille et le grandissement

total :

2 = − 22= −171 cm−8 cm = 214 =⇒ = 12 =⇒ = −214


P4. (a) On donne 1 = −15 cm. On calcule la position de l’image I1 avec 1 = 25 cm :1

25 cm+ 1

1= 1−15 cm =⇒ 1 = −938 cm =⇒ 1 = − 1

1= −−938 cm

25 cm= 0375

La seconde lentille (2 = 14 cm) se situe à = 12 cm de la première. On trouve la position

de l’objet 2 et on obtient la position résultante de l’image finale I2 :

2 = − 1 = 214 cm =⇒ 1214 cm

+ 12= 1

14 cm=⇒ 2 = 406 cm



(b) Le grandissement latéral de la seconde lentille et le grandissement total s’obtiennent

comme suit

2 = − 22= −406 cm

214 cm= −190 =⇒ = 12 =⇒ = −0711


P5. Une lentille convergente est placée entre une source ponctuelle et un écran séparés par

une distance La lentille est placée à une distance de l’objet, de façon à produire une

image nette telle que = − .

(a) Les positions possibles s’obtiennent au moyen de la formule des lentilles minces :

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

+ 1

− =⇒ 2 −+ = 0 =⇒ =±√2−42

La solution implique deux valeurs pour =⇒ CQFD

(b) La distance entre les deux positions possibles de l’objet équiavaut donc à

∆ = 1 − 2 =+√2−42

− −√2−42

=⇒ ∆ =p ( − 4) =⇒ CQFD

P6. Si et 0 correspondent aux distances de l’objet et de l’image à partir du premier et

deuxième foyer, la formule des lentilles minces s’exprime alors sous la forme newtonienne

avec = + et = + 0 :

1= 1

+ 1

=⇒ 1

= 1

++ 1

+0 =⇒ ( + ) ( + 0) = (2 + + 0) =⇒

f2 + (+ 0) + 0 = 22 + (+ 0) =⇒ 2 = 0 =⇒ CQFD

P7. Un télescope astronomique (ob = 80 cm, oc = 5 cm) permet d’observer un objet ayant

une hauteur O = = 4 cm, situé à ob = 20 m et pour lequel oc = −25 cm.

(a) On doit d’abord calculer oc et ob :

1oc+ 1

oc= 1

oc=⇒ 1

oc+ 1−25 cm =

15 cm

=⇒ oc = 417 cm

1ob+ 1

ob= 1

ob=⇒ 1

20 m+ 1

ob= 1

08 m=⇒ ob = 833 cm



On calcule ensuite le grandissement linéaire, et on obtient ainsi la dimension de l’image

finale :

= oboc =³− ob

ob

´³− oc

oc

´=³− 833 cm2000 cm

´³−−25 cm417 cm

´= −025 =⇒

|I| = |O| = |(−025) (4 cm)| = 100 cm

(b) Selon l’équation 5.15, = −oboc

Mais cette équation n’est valable que si l’objet initial

est à l’infini. Si l’objet n’est pas à l’infini, l’image de l’objectif se situe au-delà du foyer de

cette lentille (ob ob), et l’angle prend une valeur inférieure à celle qui apparaît à la

figure 5.29. En remplaçant ob par ob dans l’équation 5.15, on obtient donc une valeur

représentative du grossissement angulaire du télescope :

= −oboc= −833 cm

417 cm= −200

P8. La source ponctuelle se situe à 1 = 15 cm d’une lentille ( = 10 cm). Du côté opposé, à

10 cm de la lentille, se trouve un miroir plan. On calcule d’abord la position de l’image

après un premier passage à travers la lentille (vers la droite) :

1= 1

1+ 1

1=⇒ 1

10 cm= 1

15 cm+ 1

1=⇒ 1 = 30 cm

L’image se situe à 20 cm derrière le miroir plan. Mais, parce que les rayons sont réfléchis,

l’image du miroir apparaît à 20 cm devant le miroir. Cette image constitue un objet

virtuel pour la lentille et est située à 2 = −10 cm pour le second passage à travers la

lentille (vers la gauche) :

1= 1

2+ 1

2=⇒ 1

10 cm= 1−10 cm +

12=⇒ 2 = 5 cm

L’image finale se trouve à 500 cm de la lentille, entre l’objet initial et la lentille .

P9. Pour un dioptre sphérique ( = −3 cm), la relation entre et est donnée par l’équation5.2, soit 1

+ 2

= 2−1

, où 1 = = 15 et 2 = 1

Compte tenu de la géométrie illustrée à la figure 5.45, on calcule la position de l’image

en considérant le fait que les rayons sortent radialement, sans réfraction :

3 cm

+ 1= 1−−3 cm =⇒ 15

3 cm+ 1

= 1−15−3 cm =⇒ = −300 cm

L’image se superpose à l’objet, au centre de l’hémisphère.

P10. Un faisceau parallèle est produit par une source située à l’infini. Puisqu’on veut maintenir

parallèle le faisceau sortant en modifiant seulement sa largeur, le dispositif optique peut

utiliser deux lentilles dont les foyers sont confondus et dont le grossissement angulaire

s’exprime par ∞ = −21



(a) Si la seconde lentille est convergente, le montage est celui d’une lunette astronomique

(1 = 02 0), comme à la figure 5.29, et il inverse l’image (∞ = −2). Dans untel montage, la distance entre les lentilles est telle que

= + 2 et ∞ = −2= −2 =⇒

2 = 200 située à 300 de la première lentille

(b) Si l’une des lentilles est divergente, le montage est celui d’une lunette de Galilée inversée

(2 01 = 0), comme si la figure 5.31 était inversée. Dans un tel montage, où

l’image reste droite (∞ = 2), la distance entre les lentilles est telle que

= + 2 et ∞ = −2= 2 =⇒

2 = −0500 située à 0500 de la première lentille

P11. Si la lentille convergente est symétrique, on a 1 = 10 cm et 2 = −10 cm. Les indices deréfraction respectifs pour la lumière rouge et la lumière bleue correspondent à R = 158

et à B = 162 On calcule la distance focale avec l’équation 5.4b, dans laquelle 1 = 1 :

1= (− 1)

³11− 1

2

´= (− 1)

³1

10 cm− 1−10 cm

´=⇒ = 5 cm

−1



Si = R = 158 R =5 cm158−1 = 8621 cm, avec = B = 162 B =

5 cm162−1 = 8065 cm;

finalement, ∆ = R − B = 0556 cm .

P12. On exprime le diamètre de la lentille en divisant la distance focale par un nombre

sans dimension = La quantité de lumière qui atteint la pellicule est propor-

tionnelle à l’aire de la lentille, donc proportionnelle au carré du diamètre de la lentilleµ ∝ ∝ 2 =

³

´2¶. On exprime la variation dans la quantité de lumière qui atteint

la pellicule par le rapport 0 donc

0=

µ0

¶2µ

¶2 =⇒ 0= 2

02

(a) Avec = 20 et 0 = 28 on obtient 0=

(20)2

(28)2= 0510 .

(b) Avec = 56 et 0 = 8 on obtient 0=

(56)2

(8)2= 0490 .

P13. Pour une lentille mince remplie d’air (2 = 1) immergée dans l’eau (1 = 133) dont les

rayons de courbure sont 1 = 12 cm et 2 = −16 cm, on calcule la distance focale àl’aide de l’équation 5.4b :

1= (2−1

1)³11− 1

2

´=³1−133133

´³1

12 cm− 1−16 cm

´=⇒ = −276 cm

P14. Soit la figure suivante, similaire à la figure 5.1, et dans laquelle on respecte l’hypothèse

des petits angles :

Le grandissement latéral est défini comme le rapport entre la hauteur de l’image et la

hauteur de l’objet. L’inversion de l’image par rapport à l’objet, comme c’est le cas ici,

implique que ce rapport est négatif. En partant des deux triangles apparaissant dans

cette figure, on peut écrire

= − tan 2 tan 1

(i)

Si les angles sont petits, on a tan ≈ sin et on modifie l’équation (i). On considère



finalement la loi de la réfraction, ce qui donne

= − sin 2 sin 1

=⇒ = −12

=⇒ CQFD



chapitre 5: les lentilles et les instruments d’optique … + 1 2 =0 =⇒ 1 5 38 4 cm + 1 2 =0...

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