chapitre i integration´ numerique´ - unigehairer/poly/chap1.pdf · integration´ numerique´ ......
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Chapitr e I
Int egration Numerique
Poursescalculsen physiqueet en astronomie,Newton est le premiera utiliser desformulesdequadrature,suivi en celapar sessuccesseursanglais(Cotes1711,Simpson1743). Euler, danssongigantesquetraite (Inst. Calculi Integralis 1768,1769,1770,OperaXI-XIii), met toutesoningeniosite a rechercherdesprimitivesanalytiques.Cependant,denombreusesintegralesresistentencoreet toujoursa l’envahisseur(exemples
���� ��� , � ���� � ); denombreuxcalculsenastronomie(perturbationsdesorbitesplanetaires)contraignentGauss(1814)a intensifierla theoriedesfor-mulesdequadrature.Lesprogrammesqui ont tournesurlespremiersordinateursfurentengrandepartielescalculsd’integrales:cesproblemessontlesplusfacilesa programmer. Pourcettememeraison,nouscommenc¸onsparcesujet.
Probleme. Etantdonneunefonctioncontinuesurun intervalleborne �������������� � ���(0.1)
on chercheacalculerl’int egrale �� ! �#"�����$ (0.2)
Bibliographie sur cechapitre
P.J.Davis & P. Rabinowitz (1975):Methodsof NumericalIntegration.AcademicPress,New York.
G. Evans(1993):PracticalNumericalIntegration.JohnWiley & Sons.[MA 65/336]
V.I. Krylov (1959):PriblizhennoeVychislenieIntegralov. Goz. Izd. Fiz.-Mat. Lit., Moscow. Tra-ductionanglaise:Approximatecalculationof integrals. Macmillan,1962.[MA 65/185]
R. Piessens,E. de Doncker-Kapenga,C.W. Uberhuber& D.K. Kahaner(1983): QUADPACK.A SubroutinePackage for AutomaticIntegration. SpringerSeriesin Comput.Math.,vol. 1. [MA 65/210]
A.H. Stroud(1974):NumericalquadratureandSolutionofOrdinaryDifferentialEquations.Springer.[MA 65/89]
I.1 Formulesdequadratur eet leur ordr e
La plupart desalgorithmesnumeriquesprocedentcommesuit: on subdivise�%�������
en plusieurssous-intervalles(
�'& ��(*)+�-,.)/��0*)1$�$�$2)3�54 &1�) et onutilise le fait que�
� ! �#"���� &4768,9;: (
�=<?>A@�=< ! �#"�����$
(1.1)
2 IntegrationNumerique
�B& ��( �-, ��0 CDCDC � 9 � 9;E , CDCDC �54 &F�
! �#"
FIG. I.1: Unedivisiond’un intervalle ensous-intervalles
De cettemaniere,on estramene au calcul de plusieursintegralespour lesquellesla longueurdel’intervalled’integrationestrelativementpetite.Prenonsunedecesintegralesetnotonsla longueurdel’intervallepar G 9 �H& � 9;E ,JIK� 9 . Un changementdevariablenousdonnealors
�=<L>M@�=< ! �#"���� & G 9
,( ! � 9ONQP G 9 "�� P $
Notonsenfin R P " �H&F ! � 9�NQP G 9 " . Il restealorsa calculeruneapproximationde,( R P "�� P $ (1.2)
Exemples.1. La formuledupoint milieu,( R P "�� PTS R �UWVYX ";$
0 1 22. La formuledu trapeze,
( R P "�� PTS[Z\ R L] " N R ^U " $0 1 2
Cesdeuxformules(pointmilieu et trapeze)sontexactessi R P " estunpolynomededegre _ U.
3. On obtientla formuledeSimpsonsi l’on passeuneparabole(polynomededegreX) par les
troispoints `]A� R L] "�" , ^UWVYXA� R ^UWVYX "^" , �UW� R ^U "�" et si l’on approche
l’int egrale(1.2)parl’aire sousla parabole:,( R P "�� PaSbZc R L] " N/d R �UWVYX " N R ^U " $
0 1 24. La “pulcherrimaet utilissimaregula” deNewton(degre e ) :,
( R P "�� PTS Zf R L] " N eWR ^UWV e " N eWR `XMV e " N R �U " $0 1 2
5. En generalisantcetteidee(passerun polynomededegre g I Upar les g pointsequidistants ih;V8 g I U " � R jh�V8 g I U "�"^" , h.&1]A� $W$�$ � g I U ), onobtientlesformulesdeNewton-Cotes(Newton1676,
Cotes1711). Pour gk_ml lescoefficientsdecesformulessontdonneesdansle tableauI.1. LeurdessinenfigureI.2 montrequelespoids“explosent”au-dela de g &nU=]
. Si on veutaugmenterlaprecision,il vautmieuxraffiner lessubdivisionsen(1.1)qu’augmenterle degre g .Definition 1.1 Uneformuledequadrature a g etagesestdonneepar,
( R P "�� PaS op?: ,� p R rq p ";$ (1.3)
Lesq p sontlesnœudsdela formuledequadratureet les
� p ensontlespoids.
IntegrationNumerique 3
TAB. I.1: FormulesdeNewton-Cotes
g ordre poids� p nom
2 2 Z\ Z\ trapeze
3 4 Zc sc Zc Simpson
4 4 Zf tf tf Zf Newton
5 6 uvxw t \vxw Z \v=w t \v=w uvxw Boole
6 6 Z v\xfxf u�y\=fxf y w\=fxf y w\xf=f u�y\xf=f Z v\xfxf —
7 8 s Zf s w\ Z cf s w
\ uf s w\ u \f s w
\ uf s w\ Z cf s w s Zf s w Weddle
−1 0 10
s = 3
−1 0 10
s = 4
−1 0 10
s = 5
−1 0 10
s = 6
−1 0 10
s = 7
−1 0 1
−1
0
1
2s = 9
−1 0 1
−1
0
1
2s =11
−1 0 1
−1
0
1
2s =13
−1 0 1
−1
0
1
2s =15
−1 0 1
−1
0
1
2s =17
FIG. I.2: DessindespoidsdesformulesdeNewton-Cotes
If therearefour ordinatesat equalintervals, let z bethesumof thefirst andthefourth, { thesumof thesecondandthird, and | the interval betweenthefirst andthe fourth ; then... theareabetweenthefirst andthefourthordinateswill be }�z�~��D{���|��D� .
(I. Newton,Methodus, publ.1711,cite d’apresH.H. Goldstine,p. 76)
Definition 1.2 On dit quel’ordre dela formuledequadrature (1.3)est � , si la formuleestexactepour touslespolynomesdedegre _�� I U
, c.-a-d.,,( R P "�� P & op?: ,
� p R `q p " pour �2�W�'R�_�� I U $(1.4)
On voit quelesformulesdu point milieu et du trapezesontd’ordreX. La formuledeNewton-
Cotesa g etagesaunordre �k��g (pardefinition).
4 IntegrationNumerique
Theoreme1.3 La formuledequadrature(1.3)a un ordre � si et seulementsi
op�: ,� p q^� 68,p & U
� pour � &�UW�WXA� $�$�$ � � $ (1.5)
Demonstration. La necessite de (1.5) estuneconsequencede (1.4) si l’on poseR P " & P � 68, .Pourenmontrerla suffisance,on utilise le fait qu’un polynomededegre � I U
estunecombinai-sonlineairede
UW� P � $�$W$ � P�� 68, et quel’int egrale,( R P "�� P ainsi quel’expression op?: , � p R `q p " sont
lineairesen R .
En fixant lesnœudsq , � $�$W$ ��q
o (distincts),la condition(1.5)avec � & g estun systemelineairepour
� , � $�$�$ �W�o U U $W$�$ U
q , q 0 $W$�$ qo...
......q o
68,, q o68,0 $W$�$ q o
68,o
� ,� 0...�o
&UUWVYX...U=V g
$(1.6)
Commela matricedans(1.6)estinversible(matricedeVandermonde),la resolutiondecesystemenousdonneuneformuledequadratured’ordre �k��g .
Si l’on verifie lesconditions(1.5)pourla formuledeSimpson,on fait uneobservationinteres-sante.Par definition, il estevidentquela condition(1.5) estsatisfaite pour � &�UW�WXA� e , maisonremarquequ’elle satisfait aussi(1.5)pour � & d :
Zc C ]�� N sc C Z\ � N�Zc C U^��& ZsZc C ]�� N sc C Z\ � N Zc C U^��& y\ s
�& Zy$
Elle estdoncd’ordre d . Par consequent,elle n’est passeulementexactepour despolynomesdedegre 2 maisaussipourdespolynomesdedegre e . Ceciestunepropriete generaled’uneformulesymetrique.
] q , q 0 q � q � q�� Umeme
� p
FIG. I.3: Coefficientsetnœudsd’uneformuledequadraturesymetrique
Theoreme1.4 Uneformuledequadrature symetrique(c.-a-d.q p &�U I q
oE ,�6 p , � p &��
oE ,�6 p pour
touth; voir la fig. I.3) a toujours un ordre pair. C.-a-d., si elle estexactepour lespolynomesde
degre _ X=� I X, elle estautomatiquementexactepour lespolynomesdedegre
XW� I U.
Demonstration. ChaquepolynomededegreX=� I U
peutetreecrit sousla forme
R P " &1 C P I UWVYX " 0�¡a68, N R , P "ou R , P " est de degre _ XW� I X
. Il suffit alors de montrerqu’uneformulesymetriqueestexactepour
P I UWVYX " 0�¡a68,. A
causedela symetriedecettefonction,la valeurexactevaut,( P I UWVYX " 0�¡a68, � P &¢] $
q p qoE ,�6 p£D¤j¥ P
P I UWVYX " 0�¡a68,
Pouruneformuledequadraturesymetriqueona� p rq p I UWVYX " 0�¡a68, N �
oE ,�6 p rq
oE ,�6 p I UWVYX " 0�¡a68, &F] .
Donc,l’approximationnumeriquede,( P I UWVYX " 0�¡a68, � P estegalementzero.
IntegrationNumerique 5
I.2 Etude de l’err eur
Afin d’etudierl’erreurcommiseenapprochantl’int egraleparuneformuledequadrature,commen-consparuneexperiencenumerique:
Prenonsunefonction ! �#"
, definiesur�%�������
, divisonsl’intervalle enplusieurssous-intervallesequidistants( G &b `� I � " V�¦
) et appliquonsuneformuledequadraturedu paragrapheprecedent.Ensuite,etudionsl’erreur (enechellelogarithmique)
§�¨©¨ &�� ª �#"����kI
4768,9;: ( G op�: ,
� p ! � 9-N q p G " (2.1)
en fonction de fe (nombred’evaluationsde la fonction ! �#"
; on a fe&«¦ C g I U " N U
pourNewton-Cotes).Le nombre fe representeunemesurepour le travail (proportionnelau tempsdecalculsurun ordinateur).La fig. I.4 montrelesresultats(pour
¦�&bUW�=XA� d �W¬M�AU=A� e XA� $�$�$ ) obtenusparlesformulesdeNewton-Cotespourlesdeuxintegrales:
�(/®W¯M° �#" ��±³² °^´Hµ �#"�"���� et
0(¶®=¯M° �#"�����$
10−12
10−9
10−6
10−3
100
101 102 10310−12
10−9
10−6
10−3
100
101 102 103
fe
erreur
fe
erreur
trapeze(ordreX)
Simpson(ordre d )Newton (ordre d )
Boole(ordre)g &F (ordre)
Weddle(ordre¬)
FIG. I.4: L’erreurenfonctiondu travail fepourlesformulesdeNewton-Cotes
En etudiantlesresultatsdela fig. I.4, nousconstatonsque:
· le nombredechiffresexacts,donneparIQ¸ ¯ � ,¹( §�¨º¨ " , dependlineairementde
¸ ¯ � ,¹( fe" ;· la pentedechaquedroiteestI � (ou � estl’ordre dela formule);· pourun travail equivalent,lesformulesavecun ordreeleveontunemeilleureprecision.
Explication desr esultatsde la fig. I.4.Etudionsd’abordl’erreur faitesurun sous-intervalledelongueurG
» ` ¼� ��( � G " &��½ EM¾� ½ ! �#"�����I G op?: ,
� p ! ��( N q p G "& G
,( ª ��( NQP G "�� P I op?: ,
� p ! ��( N q p G " $(2.2)
6 IntegrationNumerique
En supposant
suffisammentdifferentiable,on peutremplacer ! ��( N¿P G " et
! ��( N q p G " par lesseriesdeTaylor (developpeesautourde
��(), eton obtientainsi
» ` ¼� ��( � G " & ��À (G � E
,�ÂÁ
,( P � � P I op?: ,
� p q �p Jà ��Ä ��(�"
& G � E,
� ÁU
� N UI op?: ,
� p q �p Jà � Ä ��(D" N�Å G � E0 " (2.3)
(ici, on a bien suppose que la formule de quadratureait l’ordre � maispasl’ordre � N U). La
constante F& U� Á
U� N U
I op?: ,� p q �p (2.4)
s’appelleconstantedel’erreur. Supposonsque G soit petit demanierea cequele terme Å G � E0 "
dans(2.3)soit negligeableparrapportauterme G � E
, à � Ä ��(D" , alorson obtient
§�¨©¨ &4768,9;: (
» ` ¼� � 9 � G " S G �4768,9;: ( G
à � Ä � 9 " S G ��� à � Ä �#"���� &1 G � à �
68, Ä r� "#I Ã � 68, Ä `� " $
Cetteformulenouspermetdemieuxcomprendrelesresultatsdela fig. I.4. Comme§�¨©¨ S , C G �et fe S 0 V G , nousavons
¸ ¯ � ,¹( §�¨º¨ " S ¸ ¯ � ,¹( r ,^" N � C ¸ ¯ � ,¹( G " S ÇÆ�È g P I � C ¸ ¯ � ,¹( fe";$Cecimontrela dependancelineaireentrelesquantites
¸ ¯ � ,¹( §�¨©¨ " et¸ ¯ � ,¹( fe" , et aussile fait que
la pentesoitdeI � .
Estimation rigour eusede l’err eur.Notrebut suivantestdetrouver uneformuleexactedel’erreur d’uneformuledequadrature.Unetelleestimationnouspermettradedemontrerdestheoremesdeconvergenceetassureraunecertaineprecisiondu resultatnumerique.
Theoreme2.1 Consideronsuneformuledequadratured’ordre � etunentier É satisfaisantÉk_¶� .Si Ê��� ��( � ��( N G ��� � �
est É fois continumentdifferentiable, l’erreur (2.2)verifie
» r ¼� ��( � G " & G�Ë E, ,( ¦ Ë
iÌ " Ã Ë Ä ��( N Ì G "�� Ì (2.5)
ou¦Ë iÌ "
, le noyaudePeano,estdonnepar
¦Ë jÌ " & ^U I Ì " Ë
É ÁI op?: ,
� p `q p I Ì " Ë68,E É I U " Á ou
rÍ " Ë68,E �H& rÍ " Ë
68,siÍÏÎ1]
,]siÍ _ ] .
Demonstration. Nousintroduisonsla seriedeTaylor avecreste1
! ��( NÐP G " & Ë68,9;: (
P G " 9Ñ Á Òà 9 Ä ��(D" N G ËÓ( P I Ì " Ë
68, É I U " Á JÃ Ë Ä ��( N Ì G "�� Ì (2.6)
dansla formule(2.2)pour» r Ô� ��( � G " . En utilisantÓ( P I Ì " Ë
68,R jÌ "�� ÌÏ&
,( P I Ì " Ë
68,E R iÌ "�� Ì1voir le paragrapheIII.7 du livre deE. Hairer& G. Wanner(1995),Analysisby Its History. UndergraduateTexts
in Mathematics,Springer.
IntegrationNumerique 7
et le fait quela partiepolynomialede (2.6) ne donnepasde contribution a l’erreur (a causede����É ), nousobtenons
» ` ¼� ��( � G " & G�Ë E, ,(
,( P I Ì " Ë
68,E É I U " Á � P I op?: ,� p rq p I Ì " Ë
68,E É I U " Á Ã Ë Ä ��( N Ì G "�� Ì $
Uneevaluationdel’int egraleinterieuredonnele resultat.
Theoreme2.2(Propri etesdu noyaudePeano) Consideronsuneformuledequadratured’ordre� et unnombre É satisfaisant
U _�ÉÕ_¶� . Alors,ona:
a)¦kÖË iÌ " & I ¦
Ë68, iÌ "
pour ÉÕ� X (pourÌ¿�&�q p si É &1X );
b)¦Ë �U " &F]
pour É×� Usiq p _ U
(h.&ØUW� $�$W$ � g );
c)¦Ë `] " &¢]
pour ÉÕ� X siq p � ] (
h.&�UW� $W$�$ � g );d)
,( ¦ � jÌ "�� ÌÊ& ZÙAÚ ZÙaÛ Z
I op�: ,� p q �p &�
(constantedel’erreur (2.4));
e)¦ , iÌ "
estlineaire par morceaux,depenteI U
et avecdessautsdehauteur� p auxpoints
q p(hT&�UW� $�$�$ � g ).
0 1
q , q 0 q � q �� ,I � 0 � � � �
FIG. I.5: Le noyaudePeanoÜ , }¹Ý5� d’uneformuledequadrature
LesnoyauxdePeanopourla formuledu point milieu sont
¦ , iÌ " & I ÌsiÌ ) UWVºX
U I ÌsiÌ � UWVYX ¦ 0 iÌ " & Ì 0 VYX
siÌ _ UWVºX
^U I Ì " 0 VYXsiÌ � UWVºX
(voir la fig. I.6). Pourla formuledeNewton-Cotes( g &FÞ ), ils sontdessinesdansla fig. I.7.
¦ , iÌ " ¦ 0 jÌ "
FIG. I.6: NoyauxdePeanopourla formuledu pointmilieu
Graceauresultatdu theoremeprecedent,on peutfacilementestimerl’erreur pour l’intervalleentier
�%�ß�W�à�. Pourunedivisionarbitraire(equidistanteounon; G 9 & � 9;E ,8I�� 9 ), notonsl’erreurpar
§�¨©¨ &�� ! �#"�����I
4768,9;: ( G 9+op?: ,
� p ! � 9ON q p G 9 "�$ (2.7)
8 IntegrationNumerique
¦ , iÌ " ¦ 0 jÌ " ¦ � iÌ "
¦ � iÌ " ¦á�� jÌ " ¦ãâ� iÌ "
FIG. I.7: NoyauxdePeanopourla formuledeNewton-Cotesavec äaå ¥
Theoreme2.3 Soit Ð�7�%��������� � � É fois continumentdifferentiableet soit l’ordre de la formule
dequadrature egala � (����É ). Alors, l’erreur (2.7)admetl’estimation
æ §�¨º¨ æ _çG Ë C r� I � " C,( æ ¦
Ë iÌ " æ � Ì C!èÕé ±�Âêºë �Wì ��í æ JÃ Ë Ä �#" æ (2.8)
ou G & èÕé ± 9 G 9 .Demonstration. La formule(2.5)donne
æ » ` ¼� ��( � G " æ _�G�Ë E, ,( æ ¦
Ë jÌ " æ C æ Ã Ë Ä ��( N Ì G " æ � Ì
_�G Ë E, ,( æ ¦
Ë jÌ " æ � Ì C è×é ±�Âê©ë ��½�ì ��½ EM¾ í æ ÒÃ Ë Ä �#" æ $
Commel’erreur (2.7)estla sommedeserreurssurlessous-intervallesdela division,on obtient
æ §�¨©¨ æ _4768,9;: (
æ » ` ¼� � 9 � G 9 " æ _4a68,9;: ( G�Ë E
,9_�G�Ë C G 9
C ,( æ ¦
Ë iÌ " æ � Ì C è×é ±�Âêºë �=<�ì �=<?>A@ í æ Ã Ë Ä �#" æ
_ è×é ±�Âê©ë ��ì ��í æ ÒÃ Ë Ä �#" æ
cequi montrel’assertion(2.8),car4a68,9�: ( G 9 &F� I � .
Exemples.Pourla formuledupoint milieu, on a
æ §�¨©¨ æ _�G0 C r� I � " C Z\ s
Cîè×é ±�Âêºë �Wì ��í æ Ö Ö �#" æ%ï
pourla formuledu trapeze
æ §�¨©¨ æ _�G0 C r� I � " C ZZ \
Cîè×é ±�Âêºë �Wì ��í æ Ö Ö �#" æ%ï
pourla formuledeSimpson
æ §�¨º¨ æ _�G � C `� I � " C Z\xf=fxw C!è×é ±�Âê©ë �Wì ��í æ Jà � Ä �#" æï
IntegrationNumerique 9
pourla formuledeNewton-Cotes( g &1Þ )æ §�¨©¨ æ _�G
â C r� I � " C ZZ v t y t cxwC!è×é ±�Âê©ë ��ì ��í æ ÒÃ
â Ä �#" æ $
Le calculde,( æ ¦ � iÌ " æ � Ì pourcesformulesn’estpasdifficile. Consideronsparexemplela for-
mule de Newton-Cotes( g &«Þ). On constateque
¦áâß iÌ "ne changepasde signesur
�%]A�MU=�(voir
fig. I.7) et onutilise la propriete (d) du theoreme2.2.Cecidonne,( æ ¦áâ� jÌ " æ � ÌÏ& ,
( ¦áâA iÌ "�� Ì & Zc Ú ZuI t \v=w Z
sâN Z \vxw Z\
âN t \vxw ts
âN uv=w U
â & ZZ v t y t cxw$
I.3 Formulesd’un ordr esuperieur
Aber Gausshat in den Gottinger Commentariengezeigt,dassman durch schicklicheWahlder Abscissen,fur welchedie Ordinatenberechnetwerden,denGradder Naherungauf dasDoppeltetreibenkann ; ... Die grosseEinfachheitund Eleganzder GaussischenResultate,lassteineneinfachenWeg vermuten. (Jacobi1826,CrelleJ. 1, p. 302)
Si l’on fixe les nœudsq , � $�$�$ ��q
o (distincts), il existe une formule de quadrature r� p �Wq p " unique,
ayantun ordre �ð�Øg . On obtientlespoids� p soit par la resolutiondu systemelineaire(1.6),soit
parla formuledel’exercice1.
Question.Y a-t-il unchoix desq p permettantd’avoir un ordresuperieur?
Theoreme3.1 Soit r� p ��q p " op?: , uneformuledequadratured’ordre �k�çg etsoit
ñ P " &� P I q ,^" C $W$�$ C P I qo"�$
(3.1)
Alors, l’ordreest ��g N � si et seulementsi,( ñ P " R P "�� P &F] pour toutpolynomeR P " dedegre _ � I U
. (3.2)
Demonstration. Soit ! P " unpolynomededegre _�g N � I U
. L’id ee,dueaJacobi(1826),estdediviser
! P " parñ P " et d’ecrire
ª P " sousla forme
! P " & ñ P " R P " N ¨ P "
ou deg ¨ _òg I Uet deg R1_ � I U
. Alors, l’int egraleexacteet l’approximationnumeriquesatisfont ,
( ! P "�� P &,( ñ P " R P "�� P-N
,( ¨ P "�� P
op?: ,� p ª rq p " & op?: ,
� p ñ rq p "&1] R rq p " N op�: ,
� p ¨ `q p ";$
Commela formule de quadratureest exactepour ¨ P " (l’ordre est �òg par hypothese),elle estexactepour
! P " si et seulementsi,( ñ P " R P "�� P &F] .
10 IntegrationNumerique
Exemple3.2 Pourqu’uneformuledequadraturea g & e etagesait un ordre � d , il fautque
]B& ,( P I q ,�" P I q 0�" P I q � "�� P & Z
sI `q , N q 0 N q � " Z
tN rq , q 0 N q , q � N q 0 q � " Z\ I q , q 0 q � �
cequi estequivalenta q � &UWV d I rq , N q 0�" V e N q , q 0 VYXU=V e I rq , N q 0D" VYX N q , q 0 $
Exemple3.3 Continuonsl’ etudedeformulesdequadraturea g & e etageset essayonsdedeter-minerles
q , ��q 0 ��q � pourquel’ordre soit � &F . Par le theoreme3.1,il fautque
q , q 0 q � I Z\ `q , q 0 N q , q � N q 0 q � " NØZt rq , N q 0 N q � " & Z
sZ\ q , q 0 q � I Zt `q , q 0 N q , q � N q 0 q � " NØZ
s rq , N q 0 N q � " & Z
yZtq , q 0 q � I Z
s `q , q 0 N q , q � N q 0 q � " N Z
y rq , N q 0 N q � " & Zc
(3.3)
Cesystemeestnon lineaireenq , ��q 0 ��q � et paraıt difficile a resoudre.Par contre,il estlineaireenÍ , &1q , N q 0 N q � , Í 0 &Fq , q 0 N q , q � N q 0 q � et
Í � &Fq , q 0 q � , qui sontlescoefficientsdupolynome
ñ P " & P I q ,�" P I q 0�" P I q � " & P � I Í , P 0 N Í 0 P I Í � $Enresolvantle systeme(3.3)pour
Í , ��Í 0 ��Í � , onobtientÍ , & e VYX , Í 0 & e VYÞ et
Í � &ØUWVYXY], etdonc
ñ P " & P � I t\ P0 N ty
P I Z\xw & P I Z\ P I yîóô Z yZ w P I y Û
ô Z yZ w$
Parchance,le polynomeñ P " nepossedequedesracinesreelles.Ellessonttoutesdansl’intervalle `]M�AU "
, cequenousconvient. Aveclespoids� p , obtenuespar le systemelineaire(1.6),nousavons
donctrouveuneformuledequadratured’ordre � &1 avecseulementg & e etages:,( R P "�� PKS yZ f R yîó
ô Z yZ w N fZ f R Z\ N yZ f R y Û
ô Z yZ w$
Theoreme3.4 Si � estl’ordred’uneformuledequadrature a g etages,alors
�õ_ X g $ (3.4)
Demonstration. Supposons,par l’absurde,quel’ordre satisfasse�K� X g N U. Alors, l’int egrale
dans(3.2)estnullepourtoutpolynomeR P " dedegre _�g . Cecicontreditle fait que,( ñ P " ñ P "�� P &
,( P I q ,�" 0 C $�$�$ C P I q o
" 0 � P Î1] $
I.4 Polynomesorthogonauxde Legendre
Pourconstruireuneformuledequadratured’ordreX g avec g & d �WÞA� $�$W$ , on peutenprincipefaire
le memecalcul quedansl’exemple3.3. Toutefois,l’approcheavec les polynomesde Legendresimplifielescalculs,fournit desformulessimplespour
ñ P " etdonnebeaucoupdecomprehensionpourlesformulesdequadratured’un ordreoptimal.
IntegrationNumerique 11
Pourrendrelesformulesplussimples(etsymetriques),nousfaisonsle changementdevariableÌÊ&FX P I Uqui transformel’intervalle
�%]A�MU=�pour P enl’intervalle
� I U=�AU=�pour
Ì.
Probleme.Trouver, pourchaqueentierpositif É , unpolynome ö Ë jÌ "
dedegre É tel que,68, ö Ë
jÌ " R jÌ "�� ÌÊ&1] si deg R�_�É I U $(4.1)
On sait que les fonctions ÷Çø et ùYø , introduitesdansl’analysepar Legendre,sontd’un tres-grandsecoursdansplusieurstheoriesimportantes,enparticulierdansla theoriedel’attractiondesspheroıdesetdanscelledela figuredesplanetes; ...
(O. Bonnet,J.d.math.vol. 17,1852,p. 265)
Cespolynomesont ete introduitsen 1785par Legendreet sontd’une importancedepassantlargementles formulesde quadrature(voir citation). On lesappellepolynomesorthogonauxcarú ö Ë
� ö 9àû &¢] pour É �& Ñ , ou ú ¼� R û &,68, ! iÌ " R iÌ "�� Ì
est un produit scalairesur l’espacevectoriel despolynomesa coefficients reels. Le polynomeö o `X P I U "
jouerale role deñ P " dansles theoreme3.1 pour les formulesdequadratured’ordre
� &1X g .Theoreme4.1(formule de Rodrigues) Lepolynomesö Ë
jÌ ", definipar
ö Ë jÌ " & U
X Ë C É Á� Ë� Ì Ë
iÌ 0 I U " Ë � (4.2)
satisfaitla condition(4.1). La constante(demormalisation)estchoisiepour avoir ö Ë ^U " &�U
.
Demonstration. Soit R jÌ " un polynomededegre _�É I U. Il suffit demontrerquele polynome,
defini par(4.2),satisfaitú ö Ë� R û &1] . Plusieursintegrationsparpartiesdonnent
ú ö Ë� R û &ü
Ë,68,
� Ë� Ì Ë jÌ 0 I U " Ë C R jÌ "�� Ì
&� Ë� Ë68,
� Ì Ë68, iÌ 0 I U " Ë C R iÌ "
,68,
&F]I
Ë,68,
� Ë68,
� Ì Ë68, jÌ 0 I U " Ë C R Ö iÌ "�� Ì
& $�$�$ & I U " Ë C Ë,68, iÌ 0 I U " Ë C R Ã Ë Ä jÌ "�� ÌÊ&F]A�
car R Ã Ë Ä jÌ " &F] , cequi demontrel’affirmation(4.1).En considerant la serie de Taylor de
ª iÌ " & jÌ I U " Ë R jÌ " autourdeÌý& U
, on voit que Ã Ë Ä �U " V É Á & R ^U " . Cecinouspermetd’evaluerla deriveedans(4.2)aupointÌÊ&ØU
.
Lespremiersdecespolynomessont
ö ( jÌ " &ØUW� ö , jÌ " &/Ì2� ö 0 iÌ " & t\ Ì0 I Z\ � ö � iÌ " & y\ Ì � I t\ Ì
ö � jÌ " & t yf Ì � I t wf Ì0 N t f � ö �A iÌ " & c tf Ì
� I u wf Ì � NØZ yf Ì $ (4.3)
Ils sontdessinesdansla fig. I.8 et sontalternativementdesfonctionspaireset impaires:
ö Ë iÌ " & ö Ë
I Ì "si É estpair
ö Ë iÌ " & I ö Ë
I Ì "si É estimpair.
(4.4)
12 IntegrationNumerique
ö , iÌ "
ö 0 jÌ "
ö � iÌ " ö � jÌ " ö �� iÌ "
ö , jÌ " � ö 0 iÌ " � $�$W$ � ö � ( jÌ "
FIG. I.8: PolynomesdeLegendre
Theoreme4.2 Touteslesracinesde ö Ë iÌ "
sontreelles,simplesetdansl’intervalle ouvert I U=�AU "
.
I U Ì , Ì 0 Uö Ë iÌ " R iÌ "
Demonstration. NotonsparÌ , � $�$�$ �^ÌWþ
les racinesde ö Ë
jÌ "qui sontreelles,dans
I UW�AU "et ou ö Ë
iÌ "changedesigne.Le but estdemontrer
& É . Sup-posons,parl’absurde,que
) É . Avecle polynomeR iÌ " &Ø iÌ I Ì ,�" C $�$�$ C iÌ I ÌWþ "
dedegre ¨ ) É , on a
]õ�& ,68, ö Ë
jÌ " R jÌ "nechangepas
designesur }�ÿ������D�
� ÌÏ& ú ö Ë� R û &1]A�
d’ou la contradiction.
Theoreme4.3(formule de r ecurrence) LespolynomesdeLegendresatisfontpour ÉÕ� U É N U " ö Ë E
, iÌ " & LX É N U " Ì ö Ë jÌ "�I É ö Ë
68, iÌ "�$(4.5)
Demonstration. Si onmultiplie ö Ë iÌ "
parÌ
, onobtientunpolynomededegre É N U qui possedelesmemespuissancesde
Ìque ö Ë E
, iÌ ". On peutdoncsoustraire,avecun facteur
�bienchoisi,pour
fairedisparaıtre le termeÌ Ë E
,. Le prochainterme,
Ì Ë68,
, estelimineparunmultiplede ö Ë68, iÌ "
; letermesuivant
Ì Ë6 �
parunmultiplede ö Ë6 � jÌ " etc.Doncon peutecrire
Ì ö Ë iÌ " &ü� C ö Ë E
, jÌ " N � C ö Ë68, iÌ " N q C ö Ë
6 � iÌ " N � C ö Ë6 �� iÌ " N $�$W$a$ (4.6)
Grandesurprise: tousles coefficientsq,� � $W$�$
sontnuls ! Pourvoir cela,multiplions l’ equation(4.6)par ö Ë
6 � iÌ " et integronsle tout deI U
aU. Par orthogonalite, touslestermesvont s’annuler,
p.ex., ,68, Ì ö Ë
jÌ " C ö Ë6 � iÌ "�� Ì�&
,68, ö Ë
jÌ " C Ì C ö Ë6 � iÌ "
R iÌ "� ÌÊ&F]A�
sauf le terme,68, ö Ë
6 � iÌ "�" 0 � ÌÊÎ1] , etq
doit etrezero.La memechoses’appliquea�, § etc.
En comparantdans(4.6) le coefficientdeÌ Ë E
,avecle termedominantde(4.2),on trouve
�Ç& � Û Z\ � Û Z et enposantP &�U, on trouve
�a&ØU I �'& �\ � Û Z$
IntegrationNumerique 13
I.5 Formulesdequadratur edeGauss
Dansceparagraphe,nousconstruisonsdesformulesdequadratureayantunordre� &FX g . Avec
ñ P " &F C ö o LX P I U " �
(5.1)
ou ö o jÌ "
estle polynomedeLegendrededegre g , nousavons,( ö o
`X P I U " R LX P I U "�� P & Z\,68, ö o
iÌ " R iÌ "�� ÌÏ&1] si �¼�W�'Rõ_�g I U $
Touteslesracinesde ö o `X P I U " sontreellesetsitueesdansl’intervalleouvert
`]A�MU "(theoreme4.2).
Alors, le theoreme3.1nousdonnele resultatsuivant.
Theoreme5.1(Gauss1814) Pour chaqueentier positif g , il existe une formule de quadratureuniquea g etagesd’ordre � &¢X g . Elle estdonneepar:q , � $�$�$ ��q
o sontlesracinesde ö o `X P I U "
;� , � $�$W$ ���o sontdonnespar (1.6).
Pourdepetitesvaleursde g , lesformulesdeGausssontfacilesaobtenir:il suffit decalculerlesracinesde(4.3)et deresoudrele systeme(1.6) tout enexploitant la symetriedela formule. Pourg�_ Þ , on obtientainsi:
g &ØU7� ,( R P "�� P¿S R Z\ (formuledu pointmilieu)
g &FX �,( R P "�� P¿S Z\ R Z\ I
ôtc N Z\ R Z\ N
ôtc
g & e �,( R P "�� P¿S yZ f R Z\ I
ô Z yZ w N fZ f R Z\ N yZ f R Z\ N
ô Z yZ wg & d �
,( R P "�� P¿S�� R Z\ I� N� Ö R Z\ I�� Ö N� Ö R Z\ N � Ö N� R Z\ N �
g &FÞ �,( R P "�� P¿S � R Z\ I� N�� Ö R Z\ I� Ö N c s\x\ y R
Z\ N�� Ö R Z\ N Ö N�� R Z\ N
� & Z\ Z y Û \ôt wt y� � Ö & Z\ Z yîó \
ôt wt y� � & Z
sI ô
t wu \� � Ö & Z
sN ô
t wu \�
& Z\ t y Û \ôu wc t� Ö & Z\ t yîó \
ôu wc t� � & t \=\ ó Z t
ôu wZ fxw=w� � Ö & t \x\ Û Z t
ôu wZ f=wxw$
Experience numerique. Apres avoir trouve de formules optimales,nous sommesinteressesrefairelescalculspourlesintegrales
�( ®W¯M° �#" ��±³² °�´ µ �#"�"���� et0( ®=¯M° �#"��D� dela figureI.4. Les
resultatscorrespondantspeuventetreadmiresenfigureI.9 ; ils montrentuneclaireamelioration.
Calcul descoeffcientspour � grandSi g estgrand(disonsg*� U=]
), le calculexactdesracinesde ö o iÌ "
n’estpastoujourspossibleet laresolutionexactedu systeme(1.6)peutposerdesproblemes.Decrivonsalorsleurcalculpratique.
Calcul denœuds.En utilisantla formulederecurrence(4.5),on peutfacilementcalculerla valeurde ö o
jÌ "pour un
Ìdonne. Le calcul desracines� , � $W$�$ � � o du polynome ö o
iÌ "peutalors etre
fait par bissection(voir exercice12), et on obtientles nœudsde la formulede Gaussa l’aide deq p &� �U N � p " VYX .
14 IntegrationNumerique
10−12
10−9
10−6
10−3
100
101 102 10310−12
10−9
10−6
10−3
100
101 102 103
fe
erreur
fe
erreur
Gauss( g &�U, � &1X )
Gauss( g &1X , � & d )Gauss( g & e , � &1 )
Gauss( g & d , � &¢¬ )Gauss( g &¢Þ , � &�U=]
)Weddle( g & l , � &F¬ )
FIG. I.9: L’erreurenfonctiondutravail fepourlesformulesdeGauss(entraitill essontrepeteslesresultatspourWeddledela figureI.4)
Calcul depoids.Au lieu deresoudrele systeme(1.6),onpeutaussiutiliser la formuleexplicite
� p & U �U I �
0p " ö Öo � p "^"
0 & U I �0p
g 0 ö o68, � p "^"
0 � (5.2)
qui estdonneesansdemonstration(voir M. Abramowitz & I.A. Stegun,Handbookof MathematicalFunctions,page887).La deuxiemeidentitede(5.2)estuneconsequencedel’exercice11.
Formules deLobattoUn avantagede la formule de Simpsonest le fait que
q , & ]etqo& U
. Le nœudpourqo&òU
coıncideavecle nœudpourq , &F]
du passuivant. En mettantcesvaleursensemble,on peutainsifaireunepetiteeconomie.
Probleme.Trouverdesformulesdequadratured’ordremaximala conditionqueq , &1]
etqo&ØU
.
La reponse,duea R. Lobatto(1852),et redecouverteparR. Radau(1880),est: onposeñ P " & ö o `X P I U "#I ö o
6Y0 LX P I U " �(5.3)
et on prend pourq , � $�$W$ ��q
o les racinesde ce polynome. Commeñ P " est orthogonala tout
polynomede degre g I e , nousobtenonsune formule de quadratured’ordreX g I X
. A causede ö o
^U " & Uet de ö o
I U " & I U " o , on auratoujoursñ `] " & ñ �U " &�]
. Lesracinesrestantsdeñ P " sontreelles,simpleset a l’int erieurde `]M�AU "
. Pourprouverceci,on adaptela demonstrationdu theoreme4.2.Nousavonsalors:
Theoreme5.2 Pour chaqueentier g×� Xil existeuneformuledequadrature a g noeudsd’ordreX g I X satisfaisant
q , &1]etqo&�U
.
Descasparticulierssontla formuledu trapeze( g &¢X ) et la formuledeSimpson( g & e ). Pourg & d et g &FÞ , on obtient,
( R P "�� P¿S ZZ \ R `] " N yZ \ R Z\ I
ôyZ w N yZ \ R Z\ N
ôyZ w N ZZ \ R
�U "(ordre
),
( R P "�� P¿S Z\xw R `] " N s vZ fxw R Z\ Iô \ ZZ s
N Z cs y R
Z\ N s vZ f=w R Z\ Nô \ ZZ s
N Z\=w R �U " (ordre¬)$
UnecomparaisondesformulesdeGaussetdeLobatto(dumemeordre)montreunelegeresuperio-rite desformulesdeGauss.
IntegrationNumerique 15
I.6 Un programmeadaptatif – TEGRAL
Posons-nousle problemed’ecrireun programmeFUNCTIONTEGRAL ( FCN,A, B, TOL )
qui, pour unefonction 1� �%��������� � �
donnee,calculela valeurde�� ª �#"���� a uneprecision
relativedeTOL. Si l’on fixe la formuledequadrature(parexemplela formuledeGaussd’ordre e ]avec g & U=Þ
), il faut trouver unedivision � &��A��& ��(�)ç�-,B)m$W$�$ª) �54 &m���de l’intervalle r����� "
afin quel’approximationnumerique���
satisfasse
��� I �� ! �#"���� _ TOL
C �� æ ! �#" æ ����$ (6.1)
Pourunefonction
nechangeantpasde signesur r����� "
, la condition(6.1) signifie que l’erreurrelativeestborneeparTOL. On a mis la valeurabsoluesousl’int egralededroitepour eviterdesennuisdansle casou
�� ! �#"���� esttrespetit ou nul.
Pourecrireun tel programme,on estconfronteauxdeuxproblemessuivants:· choixdela divisionpourque(6.1)soit satisfait;· estimationdel’erreur��� I �� ! �#"��D� .
Determination de la divisionPourun sous-intervalle
��( � ��( N G " de r����� "
, on saitcalculerlesvaleurs
res ��( � ��( N G " & G op?: ,
� p ! ��( N q p G " � (6.2)
resabs ��( � ��( N G " & G op?: ,
� p æ ! ��( N q p G " æ $ (6.3)
Supposons,pourle moment,qu’on connaisseaussiuneestimationdel’erreur
err ��( � ��( N G " S res
��( � ��( N G "#I��½ EM¾��½ ! �#"��D��$
(6.4)
L’algorithmepourtrouverunedivisionconvenableestle suivant:
i) on calculeres r����� "
, resabs r����� "
et err `����� "
. Siæerr
`����� " æ _ TOLCresabs
r����� " �onaccepteres
r����� "commeapproximationde
�� ª �#"���� et onarretele calcul;sinonii) on subdivise
`��W� "endeuxsous-intervalles
� , &� r���A r� N � " VYX " et� 0 &� ^ r� N � " VYXA�W� " et on
calculeres r� ,^"
, resabs r� ,�"
, err `� ,^"
et res `� 0�"
, resabs `� 0D"
, err r� 0W"
. On pose¦ &ýX
et onregardesi 4
9;: ,æerr
r� 9 " æ _ TOLC 49;: , resabs
r� 9 " $ (6.5)
Si (6.5)estverifie,onaccepteres `� ,^" N res
`� 0�"commeapproximationde
�� ! �#"���� ; sinoniii) onpose
¦�� &�¦ N U etonsubdivisel’intervalle ou l’erreurestmaximale(disons�Ë ) endeux
sous-intervallesequidistantsqu’on denotepar�Ë et
� 4 E , . Ensuite,on calculeres, resabseterr pourcesdeuxintervalles.Si (6.5)estverifie,onarretele calculeton accepte4
9;: , res r� 9 " S
�� ! �#"���� (6.6)
commeapproximationdel’int egrale;sinonon repetela partie(iii) decetalgorithme.
16 IntegrationNumerique
Estimation de l’err eur (6.4)Malheureusement,les formulespour l’erreur, obtenuesdansle paragrapheI.2, ne sontpastresutiles pour un programmegeneral, car on ne connaıt que tres rarementla � eme derivee de lafonction
! �#"(dansnotresituation� & e ] ).
L’id eeestd’appliquerunedeuxiemeformuledequadrature � p � q p " op?: , etd’utiliser la difference
dedeuxapproximationsnumeriquescommeestimationdel’erreurdumoinsbonresultat.Pourquele travail supplementairesoit negligeable,on supposeg _Øg et on reprendlesmemesevaluationsde
, c.-a-d.,on supposeq p &�q p pour tous
h. Une telle formulede quadratures’appelleformule
emboıtee, si pouraumoinsun indiceh
ona� p �&1� p .
Remarque. Si r� p ��q p " op?: , est une formule de quadratured’ordre � � g , l’ordre d’une formule
emboıteeest � _Øg I U. Ceresultatdecouledu fait que,pouruneformuledequadratured’ordre
��g , lespoids� p sontuniquementdeterminesparsesnœuds
q p .Pourla formuledeGauss( g &�U=ÞA� � & e ] ), onobtientuneformuleemboıtee
� p �Wq p " op?: , d’ordreU d en enlevant le point milieuq��Ð& UWVYX
(voir fig. I.10), c.-a-d., on pose���Q&�]
. L’expressioncalculable
ERR1� & G op?: ,
� p ! ��( N q p G "#I G op?: ,� p ! ��( N q p G " S , G
, �(6.7)
estuneapproximationdel’erreur dela formuleemboıtee,car
ERR1& G op?: ,
� p ª ��( N q p G "#I��½ EM¾� ½ ! �#"��D�
&F G �, N¶Å G �
0 "N ��½ EM¾
� ½ ! �#"��D��I G op?: ,� p ! ��( N q p G "
&F G, � N�ŠG
, â "$
Pour le programmeTEGRAL, on considere encoreune deuxiemeformule emboıteequi a pournœuds
�Aq 0 ��q � ��q�âD��q ,¹( ��q ,¹0 ��q , � � etunordre
(voir la fig. I.10). Ondenotelespoidsdecetteformule
dequadraturepar� p eton definit
ERR2� & G op?: ,
� p ª ��( N q p G "#I G op?: ,� p ! ��( N q p G " S 0 G�� $ (6.8)
0 1.5
formuledeGauss,ordre e ]formuleemboıtee,ordre
U dformuleemboıtee,ordre
FIG. I.10: FormuledeGausset sesformulesemboıtees
Il y a plusieurspossibilitespourdefinir err ��( � ��( N G " :
· err ��( � ��( N G " �H& ERR1; cetteestimationest trop pessimiste.En general, la formule de
Gaussdonneunresultatlargementmeilleurquela formuleemboıteed’ordreU d .· dansle programmeTEGRAL, onachoisi l’approximation
err ��( � ��( N G " �H& ERR1
C ERR1
ERR2
0 � S G, � C G
, �G �
0S G �
,
cequi donnedebonsresultats.
IntegrationNumerique 17
FIG. I.11: DivisionchoisieparTEGRAL pour �8} � �Jå"!.~$#&% '5}��)(+*�#�} £D¤j£D£ !D} �Oÿ-, £ � 0 ��� sur }�� £ ����� £ �
Exemples1) Si l’on appliquele programmeTEGRAL avecTOL
&�U=] 68,¹(a la fonctiondela fig. I.1, onobtient
le resultatavecuneerreurdeX $ ] C U=] 68, �
. La divisionchoisieestdonneedansla fig. I.11.
2) Appliquonsle memeprogrammea la fonction
! �#" &/. � C ¸ ¯ � � sur L]A�AU " �
(6.9)
qui a une singularite au point]
dansla derivee. Les divisions successives de l’intervalle parl’algorithme sontpresenteesdansla fig. I.12. On voit que l’intervalle ou l’erreur estmaximaleesttoujourscelui qui esttout a gauche.Leserreurssontdonneesdansle tableauI.2. La conver-genceesttreslenteet on sedemandes’il n’y a pasdepossibilited’accelererla convergencedelasuite
�10 4 �.
TAB. I.2: ResultatdeTEGRAL pour(6.9)
¦ 0 4 §�¨©¨ 4 &20 4 I ,( ª �#"���� §�¨©¨ 4 V §�¨º¨ 4a68,U I ] $ dYdMd MXM]Y]�U= d43 ÞMM] d ] I ] $ U l C U=]
6Y( �—X I ] $ dYdMd Þ�U eYe ] 3 XMÞ 3 X d e I ] $ M¬ 3 C U=] 6Y( � ] $ e 3 X
e I ] $ dYdMdMd l UYU 3 X l UxÞMÞM¬M] 3 I ] $ XM l C U=]6Y( � ] $ e ¬M¬d I ] $ dYdMdMd Þ d l ÞM]MXMXY d4343 ¬ I ] $ U=] e C U=]6Y( � ] $ e ¬MÞÞ I ] $ dYdMdMdMd ¬ e ¬M¬�U 3 ¬ 3 X 3 X I ] $ e 3Md C U=]6Y( � ] $ e ¬ e I ] $ dYdMdMdMd Þ 3MdMd ¬ lYl XMX l ] I ] $ U=ÞM] C U=] 6Y( � ] $ e ¬M]C CDCDC CDCDC CDCDC
X�U I ] $ dYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYd43 MÞ l I ] $ ÞMX�U C U=] 68,¹0 ] $ e MXMX I ] $ dYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYd e ÞM] I ] $ U 3 U C U=] 68,¹0 ] $ e M
FIG. I.12: DivisionchoisieparTEGRAL pour(6.9)
18 IntegrationNumerique
I.7 L’epsilon-algorithme
Etantdonneeunesuite�10 ( �50 , �50 0 � $�$�$ �
qui converge lentementvers la valeur0
. Le but estdetrouveruneautresuiteavecla memelimite, maisqui convergeplusrapidement.
Souvent,on peutobserverquela suitesatisfait
0 ø E ,JI 0 S�6 C 70 ø I 0 " �(7.1)
ou defacon equivalente 0 ø S 0 N C 6 ø $ (7.2)
Parexemple,la suite0 ø du tableauI.2 satisfait approximativement(7.1)avec 6 &F] $ e M . Un autre
exemplefrequentestdonne par la methodedesapproximationssuccessives0 ø E , & R 70 ø " pour
calculerun pointfixede R �#" , c.-a-d.un0
satisfaisant0Ð& R 70 " . Si R estdifferentiable,
0 ø E ,#I 0Ð& R 70 ø "#I R 70 " S R Ö 80 " C 70 ø I 0 "�$Ceciest(7.1)avec 6 & R Ö� 80 " .Le procede 9 \
d’Aitk en (1926)L’id eeestderemplacer“ S ” par“
&” dans(7.2)etdecalculer6 �W et
0detroisformulesconsecutives.
Avecla notation� 0 ø � &/0 ø E ,#I 0 ø (differencefinie)
�(7.3)
on obtientalors
� 0 ø &F 6 ø 6 I U " � � 0 ø E , &F 6 ø E , 6 I U " � �0 0 ø &F 6 ø 6 I U " 0 �
ou �0 0 ø & � � 0 ø " & � 0 ø E ,³I � 0 ø &/0 ø E 0ªI X10 ø E , N 0 ø estla deuxiemedifferencefinie. On
endeduitque 0Q&/0 ø E ,JI 6 ø E , &20 ø E ,#I � 0 ø C � 0 ø E ,�0 0 ø
$(7.4)
Si (7.2)n’estpassatisfait exactement,la valeurde0
dans(7.4)vadependredeÈ
. Onobtientainsiuneautresuite
�10JÖø � definiepar(procede �0
d’Aitk en)
0 Öø &/0 ø E ,JI � 0 ø C � 0 ø E ,�0 0 ø
�(7.5)
qui, engeneral,convergeplusrapidementvers0
quela suiteoriginale�10 ø � .
Exemple.Pourla suite�10 ø � du tableauI.2, le resultatestdonnedansle tableauI.3.
TAB. I.3: Accelerationdela convergencepour�10 ø � du tableauI.2
È 0 ø 0 Öø 0 Ö ÖøU I ] $ dYdMd MXM]Y]�U= d43 ÞMM] d ] I ] $ dMdMdMdMd eMlMe ]MÞY] d XM¬ l d I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdX I ] $ dYdMd Þ�U eYe ] 3 XMÞ 3 X d e I ] $ dMdMdMdMdYd X�U 343 XM¬ d e 3 l I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMde I ] $ dYdMdMd l UYU 3 X l UxÞMÞM¬M] 3 I ] $ dMdMdMdMdYd eMl X 3 MM�U e 3 I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdd I ] $ dYdMdMd Þ d l ÞM]MXMXY d4343 ¬ I ] $ dMdMdMdMdYdMd X�U d M] l ¬ l ¬ I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdÞ I ] $ dYdMdMdMd ¬ e ¬M¬�U 3 ¬ 3 X 3 X I ] $ dMdMdMdMdYdMd e 3:3 e ]M]MÞYX I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMd I ] $ dYdMdMdMd Þ 3MdMd ¬ lYl XMX l ] I ] $ dMdMdMdMdYdMdMd XM]8UMU=¬M¬MXYÞ I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMd
IntegrationNumerique 19
L’epsilon-algorithmePourgeneraliserl’id eed’Aitk en,onconsidereunesuite
�10 ø � pourlaquelleonsuppose,aulieu de(7.2), 0 ø S 0 N , C 6 ø , N 0 C 6 ø0 $ (7.6)
Cettefois, on aÞ
parametresa determiner. Alors, on prendÞ
formulesconsecutivesde (7.6),on supposeegalite, et on calcule
0J�� , � 6 , �� 0 � 6 0 . La valeurde0
ainsi obtenueestdenoteepar0 Ö Öø . Shanks(1955)a fait cecalculet il a trouve la formule(nousajoutonsuneformulesemblablepour
0 Öø )
0 Öø &�2��;
0 ø 0 ø E ,0 ø E , 0 ø E 0�0 0 ø
� 0 Ö Öø &�2��;
0 ø 0 ø E , 0 ø E 00 ø E , 0 ø E 0 0 ø E �0 ø E 0 0 ø E � 0 ø E ��¼��; �
0 0 ø �0 0 ø E ,
�0 0 ø E , �
0 0 ø E 0
(sansdemonstration).Mais, pour un calcul numerique,cesformulesne sontpastrespratiques.Wynn(1956)a trouveuneformulebeaucoupplussimple:
Theoreme7.1( -algorithme) Etantdonneela suite
�10 ( �50 , �50 0 � $�$�$ �. Si l’on definit
à ø ÄË par
à ø Ä68, &¢]A� à ø Ä( &/0 ø � à ø ÄË E, & à ø E , Ä
Ë68, N U
à ø E , ÄË
I à ø ÄË� Ék� ]M��È � ]A� (7.7)
alors, à ø Ä0 &20 Öø , à ø Ä� &<0 Ö Öø , à ø Äâ &/0 Ö Ö Öø � $�$�$ .
La demonstrationde à ø Ä0 &/0 Öø sefait parun simplecalculde
à ø Ä,et de
à ø Ä0:
à ø Ä, &¢] N U0 ø E ,JI 0 ø
& U� 0 ø
� Ã ø Ä0 &20 ø E , N
UU� 0 ø E ,
I U� 0 ø
&/0 ø E , N � 0 ø C � 0 ø E ,� 0 ø I � 0 ø E ,
&/0 Öø $
Le casgeneralestmoinsevidentet estdonnesansdemonstration.Touslesdetails(demonstrationet autresproprietes)sontdonnesdansun livredeBrezinski2.
Exemple. Pourla suite0 ø &
øp?: ,
I U " p?E ,h �
(7.8)
qui converge vers¸ ¯ � `X " , les erreursde
à ø ÄË� É & ]A�WXA� d �WA� $W$�$ sont donneesdansla fig. I.13.
L’ameliorationdela convergenceparl’ -algorithmesevoit clairement.
2C. Brezinski (1977): Acceleration de la Convergenceen AnalyseNumerique. LectureNotesin Mathematics,Nr. 584,Springer-Verlag.[MA 00.04/3584]
20 IntegrationNumerique
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1210−15
10−12
10−9
10−6
10−3
100
É &1]
É &1X
É & dÉ &¢
É &¢¬É &ØU=]
É &�U=XÉ &�U d
FIG. I.13: Erreurde = Ã ø ÄË enfonctionde > pourla suite(7.8); les lignespointilleesindiquentquele memenombredes ? 9 estutilise.
I.8 Exercices
1. Soit }�@ p ��A p � op?: , uneformuledequadratured’ordre B3ä . Montrerque
@ p å,(DC p } �Ò�1E�� ou C p } � ��å o9�: ,9GF:Mp
} �'ÿDA 9 �}�A p ÿDA 9 �
¤
2. Si lesnœudsd’uneformuledequadraturesatisfontA p å"�JÿHA oE ,�6 p (pourtousI ) etsi la formuleaun
ordreJKB3ä , alorson anecessairement@ p å"@ oE ,�6 p , c’est-a-direla formuleestsymetrique.
3. Soient une paraboleet une droite se coupantcommesur lepetit dessin. Utiliser la regle de Simpsonpour montrerque(Archimede,283–212av. J.-C.)
aire} parabole�Jå st aire} triangle� ¤ L � E �0 @4. CalculerlesformulesdeNewton-Cotespour
}�A p �#å3} £ ���D�D����!D�D�����D��� }�A p �#å+} £ ���D�G,M��!D�G,M���D�G,M���Â�etdeterminerl’ordre decesformulesdequadrature.Indication.Lescalculssesimplifientenutilisantl’exercice2.
5. Calculerla constanted’erreurpourla formuledeSimpsonetdeNewton. Expliquerpourquoi,malgrele fait quela methodedeNewton possedeuneconstanted’erreurpluspetite,la methodedeSimpsonestmeilleuresi on comparel’erreur avecle travail fe (voir la fig. I.4).
6. CalculerlesnoyauxdePeanoÜ Ë }¹Ý5� ( NkåO����! ) pour la regledu trapezeet lesdessiner. RemarquerunerelationaveclespolynomesdeBernoulli et la formuled’Euler-Maclaurin.3
7. Montrerque,pouruneformuledequadraturesymetrique,lesnoyauxdePeanosatisfont
Ü Ë }��îÿõÝ5�Jå3}�ÿP�D� Ë Ü Ë }¹Ý5� ¤3Hairer& Wanner, Analysisby Its History, UndergraduateTexts in Mathematics,Springer, 2ndprinting 1997.
IntegrationNumerique 21
8. CalculerlesnoyauxdePeanoÜ Ë }¹Ý5� ( N åQ����!������+, ) pourla formuledeSimpson.Lesdessiner. Est-ceque Ü � }¹Ý5� changedesignesurl’intervalle R £ ���GS ?
9. Soit J l’ordre d’uneformuledequadratureetsupposonsquele noyaudePeanoÜ � }¹Ý5� nechangepasdesignesur R £ ���GS . Montrerqu’avecun TVUÏ} � ( �+� ( ~DWß�
��½ EM¾� ½ �8} � �1EX� ÿDW op?: , @ p �8} �
( ~YA p WÔ�#å W � E,
J[Z�
J*~Y� ÿ op�: , @ p A �p � à � Ä } T�� ¤
10. (FormuledeRadau).DeterminerA 0 ��@ , ��@ 0 dansla formuledequadrature,(\ } ];�1EX]_^"@ , \ } £ �5~D@ 0 \ }�A 0 �
afinquesonordresoitmaximal.Resultat. A 0 å`!D�D� , @ , å"�D�G, , @ 0 å+�D�G, et JBå+� .
11. PourlespolynomesdeLegendre demontrerla formule
}��îÿõÝ0��a ÖË }¹Ý5�#å3ÿ�NWÝ�a Ë }¹Ý5�5~DN1a Ë
68, }¹Ý5� ¤ (8.1)
Indication. Ecrirele polynome }�� ÿ'Ý 0 ��a ÖË }¹Ý5�M~bNWÝ�a Ë }¹Ý5� sousformed’unecombinaisonlineairedea Ë E
, }¹Ý5����a Ë68, }¹Ý5��� ¤�¤�¤ commedansla demonstrationdu theoreme4.3.
12. Calculerlesracinesdu polynomedeLegendrea , � }¹Ý5� enutilisantla methodedebissection.
(a) Localiserlesracinesencalculanta , � } I^�G>�� pour IOå £ ����� ¤�¤�¤ �+> et avecun > grand;(b) Si R L ��@7S estun intervalle avec a¼øß} L �dcea¼øß}�@;�gf £
alors
10 CENTR=(A+B)/2.D0PC=P(N,CENTR)IF (CENTR.EQ.A.OR.CENTR.EQ.B) GOTO 40IF (PA*PC.LT.0.D0) THEN
B=CENTRPB=PC
ELSEA=CENTRPA=PC
END IFGOTO 10
40 CONTINUE
Pourecrirela FUNCTION P(N,X) qui calculela valeurdela fonction a Ë }¹Ý5� , utiliser la for-mulederecurrence(4.5)et a ( }¹Ý5�#åQ� , a , }¹Ý5��å Ý .
13. Calculerla constanted’erreur h o pourla formuledeGaussavec ä nœudsd’ordre !Dä .Indication. h o estl’erreur de la formulequandelle estappliqueea un polynomededegre !Dä de laforme ]
0o �D}�!DäW��Z�~ ¤�¤�¤ . Essayerijc�}�a o }�!G]Aÿk�D��� 0 , etutiliser la formulederecurrencedel’exercice11
pourevaluer,68, a o }¹Ý5�
0E�Ý . Le resultatest
h o å}�älZj� �
}�!Däª~D�D��}�!DälZj� �¤
14. MontrerquepourlesformulesdequadraturedeGauss(ordre J å�!Dä ) le noyaudePeanoÜ 0 o }¹Ý5� nechangepasdesigne.Indication.Faireunedemonstrationparl’absurdeet utiliser le theoremedeRolle.
22 IntegrationNumerique
15. SoientA à o Ä, ��A à o Ä0 � ¤�¤�¤ ��A à o Äo lesnœudsdela formuledequadraturedeGaussd’ordre !Dä et A à oE , Ä, ��A à o
E , Ä0,¤�¤�¤
, A à oE , ÄoE , ceuxdela formuled’ordre !Däª~D! . Montrerqu’onaalors
£ fQA Ã oE , Ä, f"A Ã o Ä, fQA Ã o
E , Ä0 f"A à o Ä0 f ¤�¤�¤ f"A à o Äo f"A à oE , ÄoE , f"� ¤
Indication. Procederpar recurrenceenutilisant le fait quesi a o }¹Ý5��å£, alors a o
68, }¹Ý5� et a oE , }¹Ý5�
sontdesigneoppose (voir formule(4.6)).
16. (Formulesde Radau). Montrer qu’il existe uneuniqueformule de quadratured’ordre !Dä ÿ�� quisatisfait A o å"� .Indication.Utiliser m¶} ]��#å"hPn�>�ä�]ocÂ}�a o } �Ò��ÿDa o
68, } � ��� .17. Consideronsuneformule de quadratured’ordre JpBq� satisfaisant
£sr A p r � . Montrer que,pourtoutefonction �st�R L ��@7Souwv | integrableausensdeRiemann,on a�
� �8} �Ò�1E�� ÿ49;: ( W 9 op?: , @ p �8} � 9 ~A p W 9 � ÿ�u £
lorsqueWBåQxVyGz 9 W 9 tendverszero.Indication.Pourun I fixe, l’expression
49;: ( W 9 �8} � 9 ~DA p W 9 � estunesommedeRiemann.
18. Soit �st{v |`u|v | , donnepar
�8} �Ò�#å L ( ~¡
Ë :, } L Ë (+*�#W}�Nl�Ò��~D@ Ë #&% ' }�Nl� ����� L Ë ��@ Ë Ubv | ¤
(a) Quelleestla valeurexactede
0�}( �8} � �1E�� ?(b) Appliquerla regledutrapezea
0�}( �8} � �1EX� avec W'å"!G~���Ü . A partirdequellevaleurde Ü , leresultatestexacte?
(c) Appliqueruneformuledequadratured’ordrepluseleve (parexemplecelledeGaussd’ordre6,voir exemple3.3)et repondeza la memequestionquesous(b).
(d) Quelleformuledequadratureproposez-vouspourl’int egrationnumeriqued’unefonctionper-iodique?
19. Consideronsla suite �G�¼ø[� donneepar �2ø E , å��2øã~D�îÿb�0ø ��!��o� ( å £ .
(a) Quelleestsalimite?(b) Appliquerl’algorithme �
0d’Aitk enpouraccelererla convergence.
(c) En utilisant � ( �+� , � ¤�¤�¤ �+� �comparerl’erreur dessuitesobtenuesavecou sans�
0d’Aitk en.
20. Consideronsunesuite ��?�ø[� qui satisfait
}�?�ø E , ÿD?#�#å��Møß}�?�øáÿD?#� avec �YøBÿdu�� et �b�åQ� ¤a) Montrer quela suite ��? Öø � , donneepar le procede �
0d’Aitk en converge plus vite vers ? quela
suiteoriginale,c.-a-d.,
? Öø ÿ??�ø ÿ? ÿ�u £
pour >Ïÿdu�� ¤
b) Donnerunesuitedivergente��?ßøM� pourlaquellela suite ��? Öø � converge.Indication.Noussavonsque �V?�ø å+} �Yø*ÿD�D��}�?�ø*ÿD?#� , trouver uneformulesimilairepour �
0?�ø .