chapitre i : statique du solide
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CHAPITRE I : STATIQUE DU SOLIDE
4. Bilan de forces
3.2. Forces concentrées forces réparties notion de centre de masse⇒
3.3. Forces d’action forces de réaction
3.1. Forces extérieures forces intérieures
2. Conditions d’équilibre d’un solide
1. Définitions : force, solide, corps libre, diagramme du corps libre
3. Isostaticité
2
3.3.3. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’appuis
A. Cas d’un système plan : par exemple, une poutre
3.3. Forces d’action forces de réaction
3
Poutres
• 1 dimension > les 2 autres• Transmet tous les efforts• Peut être chargée entre ses extrémités
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Poutres
http://i-structures.epfl.ch/cours/poutres_f.php
Gare routière de Coire, Arch. R. Brosi e Obristund Partner, 1993
École primaire de Riva San Vitale, Arch. A. Galfetti, 1972
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3.3.3. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’appuis
A. Cas d’un système plan : par exemple, une poutre
a) Encastrement
x
y
3 degrés de liberté empêchés r = 3 « composantes » de réaction d’appui
)3( =+ rl
A
0=l
zAA
yAxAA
z
yx LLL
1
11
Γ=Γ
+=
A
LAy
LAx ΓAz
3=r
A.1. Types d’appuis
3.3. Forces d’action forces de réaction
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Source: Studer et Frey, Introduction à l’analyse des structures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1999
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b) Articulation ou rotule ( = appui fixe = appui double)
A θ
x
y A
1=l
A LAx
LAy
yAxAA yx LLL 11 +=
2=r
2 degrés de liberté empêchés r = 2 composantes de réaction d’appui
)3( =+ rl
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Source: Studer et Frey, Introduction à l’analyse des structures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1999
9
Source: Viaduc de Verrières sur l’A75, http://www.structurae.info.fr
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Source: http://labogc.egletons.unilim.fr/TEMP/MERLE/HTML/techniq.htm
Articulation en pied de béquille (à modéliser sous la forme d’une rotule 2D)
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c) Rouleau ( = appui mobile = appui simple = appui à dilatation)
A θ A
x O
A
2=l
x
y
A
LAy
yAA yLL 1=
1=r
1 degré de liberté empêché r = 1 composante de réaction d’appui
)3( =+ rl
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Source: Studer et Frey, Introduction à l’analyse des structures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1999
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d) Encastrement à glissière
O x
A
A
1=l
x
y
A
LAy
ΓAz
2=r
zAA
yAA
z
yLL
1
1
Γ=Γ
=
2 degrés de liberté empêchés r = 2 composantes de réaction d’appui
)3( =+ rl
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Appuis réels 2D• Appuis réels non idéaux dû:
• au frottement,• à la rouille• au jeu• à l’encombrement spatial
Source: Studer & Frey
Rotule ou rouleau?
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A.2. Isostaticité
toutes les inconnues
( paramètres déterminant la position d’équilibre + composantes de réaction de liaison)
peuvent être déterminées par les conditions d’équilibre
⇔
Système isostatique
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! liaisons inadéquates système non isostatique⇒ B A C
Ex. :
B A B A
systèmes isostatiques
B A
système hypostatique
B A BA C
systèmes hyperstatiques
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Exemple 1 (1)
A B C M
q
L/2 L/2 L/2L/4 L/4
F
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A B C M
qL/2
L/2 L/2 L/2
F
Ax
AyBy
x
y
L/2
Exemple 1 (2)
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Exemple 1 (3)
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Exercice 2P
A B
L L
21
Exercice 3
P
A B
L L
22
Exercice 4p [N/m]
A
B
L/2 dL/2
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Exercice 5p[N/m]
A
B
L/2 dL/2
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DCL
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? Réactions d’appui
à l’encastrement en A L
F
L/2 C
M
A B
L/2
x
y L
F
L/2 C
M
A B
L/2
LAx
LAy
ΓAz
MFL
FL
L
zA
A
A
y
x
−=Γ
=
=
2
0
Exercice 6
261.5 m 2 m
A B
20 Nm
100 N
C
60° 45°
1.5 m
LA
LCx
LCy
N 8.3
N 6.55N 1.111
≈
−≈
≈
y
x
C
C
A
L
LL
x
y
? Réactions d’appui
en A et en C
1.5 m 2 m
A B
20 Nm
100 N
C
30°
45°
1.5 m
Exercice 7
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B. Cas d’un système spatial
Types d’appuis et isostaticité (généralisation)
Solide libre : 0 ; 6 == rl
Solide lié : 60 <≤ l
• 1 degré de liberté empêché par une liaison en un point A
1 « composante » de réaction d ’appui
• 2 degrés de liberté empêchés par une liaison en un point A
2 « composantes » de réaction d ’appui
etc...
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CHAPITRE I : STATIQUE DU SOLIDE
4. Bilan de forces
3.2. Forces concentrées forces réparties notion de centre de masse⇒
3.3. Forces d’action forces de réaction
3.1. Forces extérieures forces intérieures
2. Conditions d’équilibre d’un solide
1. Définitions : force, solide, corps libre, diagramme du corps libre
3. Isostaticité
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• Elément déformable (entorse au domaine d’étude des corps rigides)
Sources: (1) www.flatever.com ; (2) inconnue; (3) www.horlogerie-suisse.com
(1) Ressort hélicoïdal (2) Ressort lame (3) Ressort spiralé (montre)
3.3.4. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’un ressort
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l0
A B
∆l >0
F
l0
A B
∆l >0
l0
A B
∆l < 0
l0
A B
∆l < 0
l0
A B
∆l >0
-F F
F -F
3.3.4. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’un ressort
Force de rappel d’un ressort
B
lo
A
l0
A B
∆l < 0
F
B
lo
A
lo = longueur libre
du ressort
∆l = élongation
du ressort= force de rappel
du ressort
F
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B
lo
A
l0
A B
∆l < 0
F
(b) : ressort dur
(c) : ressort mou
(a)(b)
(c)
F
∆l
(a) : ressort linéaire kF =⇔ ∆l
k = constante de rappel du ressort linéaire
(= raideur du ressort linéaire)
Ox
O x
xO
Force de rappel d’un ressort linéaire, si x = élongation du ressort :
( pour suffisamment petit ) x
N.B. : un ressort linéaire est caractérisé par sa longueur libre lo et par sa constante de rappel k
xkxF 1 −=
F
l0
A B
∆l >0
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? long. libres des ressorts BC et DE
N200=BDT
mg = 200N ; k1 = 4kN/m ; k2 = 6kN/m
BC = BD = DE = DH = 1m
m B
C
D
E
A120°
120°
150°
45°
H
(1)
(2)
Exemple
B 120°120°
120° FBC
TBD
200N
D
45° 30°
FDE TDH
TBD
lo1 = 0.95m m98.0≈lo2
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θ
B
A
mg
LAy
c(π/2 -θ)
G
Rem. : Couple de rappel d’un ressort spiral linéaire
zc 1 θ∆−=Γ= moment du couple de rappel du ressort spiralΓ
c = coefficient de torsion du ressort spiral
∆θ = déflexion angulaire du solide sous l’action du ressortoù
c
θ
B
A
Exemple cposition libre du ressort
1z équilibre
θθ sin )2π( AGmgc =−
⇔
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Exemples de ressorts spirale
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Synthèse 2D(1)
Source: Meriam & Kraige
37Source: Meriam & Kraige
Synthèse 2D(2)
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Classification des appuis 3D (1)
Source: Guide de la construction mécanique, Ed. Delagrave
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Classification des appuis 3D (2)
Source: Guide de la construction mécanique, Ed. Delagrave