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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
Chapitre III
Focalisation à travers une interface fluide/fluide
I) Introduction
Notations diverses :
• c1, c , 2 ρ1 et ρ2 sont les vitesses de propagation et densités des milieux fluides 1 et 2, • et cij ρij sont des coefficients sans dimension définis par c c cij i j= / et ρ ρ ρij i j= / , les
indices i et j valant 1 ou 2,
• de même que dans le chapitre précédent, f, f x et f y sont les fréquences temporelle et spatiales, duales du temps t et des coordonnées x et y par transformations de Fourier,
• si est une fonction quelconque de l'espace et du temps, (u x y z t, , , ) )(~ , , ,u x y z f désigne sa transformée de Fourier sur t, sa transformée de Fourier spatiale sur x et y, et
sa transformée de Fourier à 3 dimensions sur x, y et t. (U f f z tx y, , , )
)(~ , , ,U f f z fx y
Dans cette partie, nous allons reprendre l’étude des miroirs plans, mais cette fois en présence
d’une interface séparant deux fluides. Ce cas de figure est très important pour nous, en
particulier dans le cadre des applications en contrôle non destructif pour lesquelles on cherche
en général à focaliser à l’intérieur d’un matériau, la sonde étant elle immergée dans l’eau. Le
véritable problème d’un point de vue expérimental consisterait à étudier le cas d’une interface
entre un fluide et un matériau solide. Par souci de simplification, nous nous limitons ici au cas
d’une interface entre deux fluides.
En raison du contraste d’impédances acoustiques entre les deux fluides, le champ généré par
la source initiale est partiellement réfléchi et transmis au niveau de l’interface. Ce phénomène
s’accompagne d’une distorsion spatiale et temporelle des fronts d’ondes. La focalisation
adaptative dans cette situation suppose donc que l’on tienne compte de ces distorsions.
Nous présentons dans un premier temps la théorie du retournement temporel du champ en
transmission : la source et le miroir sont localisés de part et d’autre de l’interface (c’est le cas
le plus courant en contrôle non destructif). Ensuite, nous étudions le même problème, mais en
réflexion cette fois : la source et le miroir sont alors localisés du même côté de l’interface.
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
Dans la troisième partie, nous travaillons simultanément en modes réflexion et transmission
avec deux miroirs plans, situés de part et d’autre de la source et de l’interface, synchronisés
en temps. Enfin, nous présentons quelques résultats numériques.
Cette étude va permettre de mettre en évidence l’influence de l’interface entre les deux fluides
sur la qualité de la focalisation au voisinage de la source initiale. Nous verrons en particulier
que l’influence de l’interface est beaucoup plus importante en mode transmission qu’en mode
réflexion.
La configuration géométrique considérée est illustrée par la figure 1. La source initiale est
localisée dans le milieu fluide 1 à l’origine de notre système de coordonnées spatiales.
L’interface entre les deux milieux est située en z h= > 0 . Les deux miroirs à retournement
temporel, MRT1 et MRT2, sont respectivement dans les milieux 1 et 2 en z Z= 2
axe x
axe y
axe z
Sourceactive
Milieu fluide 2( )ρ 2 2,c
Milieu fluide 1( )ρ1 1,c
rn2
rn1
interface planesituée en z=h
MRT 2, situé enz z= 2
MRT 1, situé enz z= 1
Figure 1 : géométrie du problème étudié.
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
II) Retournement temporel du champ transmis seulement
De même que dans les deux chapitres précédents, le processus est en deux temps.
1. Emission par la source active
Lors de la première phase, le miroir fonctionne en mode réception et mesure le champ créé
par la source ponctuelle. Les deux milieux de part et d’autre de l’interface étant fluides, les
champs acoustiques qui se propagent sont des grandeurs scalaires. Le champ de pression
incident créé par la source, , satisfait l’équation des ondes dans le domaine
temporel(p x y z ti , , , )
4,25 :
( )31. ( ) ( ) ( ) ( ) (∇ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = −2
12
2
21c t
p x y z t t x y zi∂∂
φ δ δ δ, , , ,)
où ( )φ t est la fonction qui décrit les fluctuations temporelles de l’excitation de la source. De même que dans les deux chapitres précédents, cette fonction est supposée causale et définie
uniquement à l’intérieur d’un intervalle de temps [ ]0,Tφ : ( ) [ ]φ φt t= ∀ ∉0 0, , T)
.
Il est important de noter que désigne le champ incident créé par la source, et non
le champ de pression total dans le milieu 1. (p x y z ti , , ,
La solution à l’équation (3.1) est une onde sphérique divergente, classiquement donnée par4,25
( )32. a ( )p x y z tR
t Rci
, , , = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
14 1π
φ
où R x y z= + +2 2 2 . La transformée de Fourier de cette équation (pour les fréquences
positives) nous donne le champ incident en régime monochromatique :
( )32. b ( ) ( ) ( )~ , , , exp / ~ .p x y z fR
j fR c fi =1
42 1ππ φ
Pour calculer les champs réfléchi et transmis, nous utilisons une décomposition du champ
incident en ondes planes monochromatiques. Cette décomposition résulte de la transformée de
Fourier à deux dimensions de l’équation (3.2b) sur les coordonnées x et y. Le champ incident
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
( )~ , , ,p x y z fi est une fonction à symétrie radiale qui ne dépend que r x y= +2 2
)y2
, de sorte que
a également la même symétrie et ne dépend que de défini par
. D’autre part, la transformée de Fourier sur x et y se réduit à une transformée
de Hankel, le noyau de la transformation étant une fonction de Bessel d’ordre 0
(~ , , ,P f f z fi x y frf f fr x
2 2= +21-24 :
( )33. a ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
~ , , ,exp / ~
exp ~ ,
P f f z fj fR c f
RrJ rf dr
j j z f
i x y r=
=
+∞
∫22
42
2
100
11
ππ φπ
π
νν φ
où ν1 est donné par la relation
( )33. b ν π12
12 2
12 2
12
1
2= ×− <
− >
⎧⎨⎪
⎩⎪
f c f f f cj f f c f f c
r r
r r
/ ,/ , /
si si
/ ,.
)
Les équations (3.3a) et (3.3b) supposent que la fréquence f est positive ; pour les fréquences
négatives, ces deux équations doivent être modifiées afin d’assurer l’hermicité de la fonction
par rapport à f.(~ , , ,P f f z fi x y 21,25
Comme on l’a vu dans le chapitre précédent, ν1 peut être réel ou imaginaire pur. Les valeurs
réelles de ν1 correspondent aux composantes propagatives du champ incident, et les valeurs
purement imaginaires aux composantes évanescentes dont l’amplitude décroît
exponentiellement avec z . Bien que ν1 soit une fonction des fréquences f, et , cette
dépendance ne sera pas écrite de façon explicite.
f x f y
Dans la portion d’espace située entre la source et l’interface, 0 <
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
où ν 2 est défini de la même façon que ν1 , en remplaçant par . est le coefficient de
réflexion pour une onde incidente dans le milieu 1, le coefficient de transmission du
milieu 1 vers le milieu 2 ; leurs expressions en fonction des fréquences f, et et des
vitesses et densités des deux fluides sont données dans l’annexe.
c1 c2 R11T12
f x f y25
Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment intervenait l’effet de taille finie du miroir
dans le formalisme en fréquences spatiales. Nous avons également démontré qu’au-delà d’une
certaine taille, le miroir se comportait comme s’il était de taille infinie. C’est pourquoi nous
supposons dès maintenant que notre miroir est de taille infinie, ce qui va simplifier tous les
développements mathématiques à venir.
Dans ces conditions, l’opération de retournement temporel se réduit à une conjugaison
complexe dans l’espace dual des fréquences.
2. Réémission par le miroir
Comme on peut le voir sur la figure 1, la normale au miroir rn2 est orientée vers les z
croissants, de sorte que l’opérateur de dérivée normale se réduit à une dérivation par rapport à
la variable z.
Utilisant les mêmes notations que dans le chapitre précédent, les sources secondaires créées
par le miroir 2 sont données par les expressions suivantes :
( )35. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
~ , , , exp ~ ,
~ , , , exp ~ .
** * *
*
** * *
Σ
Σ
1 21
12 2 2
0 22
112 2 2
2
2
f f Z f j T j Z f
f f Z f T j Z f
x y
x y
= −
= −
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
νν φ
νν
ν φ
( )~ , , ,Σ1 2f f Z fx y et ( )~ , , ,Σ0 2f f Z fx y décrivent le champ de pression et sa dérivée normale imposées par le miroir lors de la seconde phase de réémission. Ces nouvelles conditions aux
limites conduisent à un champ de pression qui se propage devant le miroir dans le milieu 2 en
direction de l’interface. Ce nouveau champ incident est alors partiellement réfléchi et
transmis, de même que lors de la première phase du processus.
De même que dans le chapitre précédent, nous allons maintenant étudier l’influence des
conditions de rayonnement imposées au niveau du miroir.
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
a - Premier cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment rigide
Dans ce cas, le champ diffracté par le miroir, ( ) ( )~ , , ,P f f z fd x y1 , ne dépend que du terme source et peut s’écrire sous la forme (~ , , ,Σ0 2f f Z fx y )
( )36. a ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , expP f f z f f f Z f j j Z zd x y x y1 0 22
2 22 2= ×Σ
νν .−
z
Dans cette expression, le terme j j Z/ exp[ ( )]2 2 2 2ν ν − correspond à la décomposition en
ondes planes monochromatiques de la fonction de Green de l’espace libre du milieu 2,
évaluée pour une source en et un observateur en z. Z2
Le champ de pression donné par l’équation (3.6a) est maintenant incident dans le milieu 2, il
génère ainsi un champ transmis, ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y1 , que l’on peut écrire au voisinage de la position de la source initiale sous la forme suivante :
( )36. b ( ) ( ) ( ) ( ) (~ , , , ~ , , , exp expP f f z f j f f Z f j Z T j zrt x y x y12
0 2 2 2 21= −νν νΣ ),1
où est le coefficient de transmission du milieu 2 vers le milieu 1 ; son expression est
donnée dans l’annexe.
T21
Si l’on remplace dans l’équation (3.6b) ( )~ , , ,Σ0 2f f Z fx y par son expression donnée en (3.5), on obtient l’expression finale suivante :
( )36. c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , exp ~ exp .* **
*P f f z f j j z f T T j Zrt x y1
11
2
221 12 2 2
2
2= − − ×
νν φ ν
νν
Terme 1 Terme 21 24444 34444 1 2444 3444
Dans l’équation (3.6c), on note que le champ de pression recréé au voisinage de la position de
la source initiale peut se décomposer comme le produit de deux termes :
• le premier terme, ( ) ( ) ( )− −j j z/ exp f~* *2 1 1ν ν φ , n’est autre que le complexe conjugué du champ créé par la source lors de la première étape (du moins pour ν1 réel) ; ce premier
terme ne dépend ni de l’interface, ni de la condition de rayonnement imposée au niveau du
miroir,
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
• le second terme, ( ) ( )ν ν ν2 2 21 12 2 2 2* */ expT T j Z , est un terme correctif qui tient compte de la condition de baffle infiniment rigide et des effets de transmission à travers l’interface.
Dans le cas particulier , c c2 1= ρ ρ2 = 1
c
c
, les équations données dans l’annexe se réduisent à
, de sorte que l’on retrouve l’expression établie dans le chapitre précédent pour
un unique milieu fluide homogène.
T T21 12 1= =
Dans le chapitre précédent, nous avons vu que les composantes propagatives du champ
( ), étaient correctement reconstruites par retournement temporel, alors que les
composantes évanescentes ( ) étaient perdues dès lors que la distance entre la source
initiale et le miroir était grande devant la longueur d’onde
f fr < / 1f fr > / 1
λ1 1= c f/ . Cette perte des
composantes évanescentes conduit à un spectre angulaire plus étroit, et donc à un diagramme
de focalisation plus large.
Cet effet perdure dans la configuration actuelle décrite par l’équation (3.6c) puisque ν1
apparaît toujours sous la forme d’une fonction exponentielle.
En revanche, on observe que ν 2 apparaît également sous cette même forme. La présence de
ce terme accentue l’effet de troncature dans l’espace dual des fréquences spatiales (en fait dès
que l’on a ). f f cr > / 2Globalement, la perte des composantes évanescentes apparaît dès lors que l’on a
. Cela est dû au fait que le champ doit se propager dans les deux milieux,
aussi bien lors de la première phase (de la source vers l’interface dans le milieu 1, de
l’interface vers le miroir récepteur dans le milieu 2) que lors de la seconde phase (du miroir
émetteur vers l’interface dans le milieu 2, de l’interface vers le point d’observation dans le
milieu 1). Or, chaque propagation s’accompagne de cet effet de perte des composantes
évancescentes en raison de la diffraction.
(f f c cr > / max ,1 2 )
Considérons à titre d’exemple un rapport de vitesses c c2 1 2/ = . Les résultats du chapitre
précédent nous permettent d’attendre une résolution radiale limitée à la demi-longueur d’onde
λ1 2/ . Dans la configuration à deux milieux fluides en mode transmission, il résulte des
remarques précédentes que l’on ne peut pas attendre une résolution meilleure que 2 fois la
résolution limite λ1 2/ . C’est donc en fait le plus rapide des deux milieux qui impose la
résolution maximale à laquelle on peut s’attendre.
Il va de soi que tout ce qui précède repose sur le fait que les composantes évanescentes sont
effectivement perdues, et donc que les distances source/interface et interface/miroir sont
grandes devant les longueurs d’ondes des milieux considérés. Dans le cas contraire, il
convient d’être plus prudent dans les conclusions que l’on peut tirer de ces résultats.
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
b - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment mou
Dans ce cas, le champ diffracté par le miroir, ( ) ( )~ , , ,P f f z fd x y2 , ne dépend que du terme source et peut s’écrire sous la forme (~ , , ,Σ1 2f f Z fx y )
( )37. a ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , expP f f z f f f Z f zj
j z zd x y x ys
sz Zs
21 2
222 2
2
= − × −=
Σ∂∂ ν
ν
.
Dans cette expression, le terme ( )( )∂ ∂ ν ν/ / exp[ (z j j z zs 2 2 2 − )]s correspond à la décomposition en ondes planes monochromatiques de la dérivée normale (par rapport à rn2 )
de la fonction de Green de l’espace libre du milieu 2, évaluée pour une source en et un
observateur en z.
Z2
Le champ de pression donné par l’équation (3.7a) est maintenant incident dans le milieu 2, il
génère ainsi un champ transmis, ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y2 , que l’on peut écrire au voisinage de la position de la source initiale sous la forme suivante :
( )37. b ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , ~ , , , exp expP f f z f f f Z f j Z T j zrt x y x y2 1 2 2 2 21= −Σ ν ν .1
Si l’on remplace dans l’équation (3.7b) ( )~ , , ,Σ1 2f f Z fx y par son expression donnée en (3.5), on obtient l’expression finale suivante :
( )37. c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , exp ~ exp .* * *P f f z f j j z f T T j Zrt x y21
1 21 12 22
2= − − ×
νν φ ν
Terme 1 Terme 21 24444 34444 1 2444 3444
2
De même que dans le cas précédent, le champ de pression recréé au voisinage de la position
de la source initiale se décompose comme le produit de deux termes. Le premier terme est
inchangé, il correspond donc toujours au complexe conjugué du champ créé par la source
active (si ν1 est réel) et il ne dépend ni de l’interface ni des conditions de rayonnement au
niveau du miroir. Quant au second terme, il ne diffère que par le coefficient , présent
dans (3.6c) et absent dans (3.7c). Or ce coefficient vaut +1 ou
ν ν2* / 2
−1 suivant que l’on considère
les composantes propagatives ou évanescentes dans le milieu 2. Par conséquent,
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y1 et ( ) (~ , , ,P f f z frt x y2 ) sont identiques lorsque le champ est propagatif dans le milieu 2, opposés lorsqu’il est évanescent. Un effet identique a été observé dans le chapitre
précédent.
Dans le cas particulier c c , 2 1= ρ ρ2 = 1 , on vérifie que l’on retrouve les expressions obtenues
dans le chapitre précédent.
c - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment mou
Avec l’hypothèse des miroirs de dimension infinie, la solution obtenue dans ce cas au chapitre
précédent se réduit à la demi-somme des solutions des cas 1 et 2. Ce résultat est une
conséquence du formalisme de la diffraction, et n’est donc pas affecté par la présence ou non
d’une interface devant le miroir. La conclusion demeure donc valable dans le contexte actuel :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , ~ , , ,P f f z f P f f z f P f f z frt x y rt x y rt x y3 1 212= + .
)
)
d - Quatrième cas : conditions mixtes
Ce cas est similaire au premier cas (baffle infiniment rigide), à condition de remplacer
par . On obtient après quelques calculs l’expression : ( )~ , , ,Σ0 2f f Z fx y (~ , , ,Σ1 2f f Z fx y
(38. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , exp ~ exp .* * *P f f z f j j z f j T T j Zrt x y41
12
21 12 2 22
2= − − ×
νν φ
νν
Terme 1 Terme 21 24444 34444 1 2444 3444
Le principe de la décomposition de la solution en deux termes distincts demeure valable dans
ce cas.
e - Conclusions
Globalement, on peut tirer de cette étude les conclusions suivantes :
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
• les résultats sont très similaires à ceux obtenus dans le chapitre précédent pour un miroir
dans un fluide homogène,
• en mode transmission, les champs se propagent dans les deux milieux ; c’est donc le fluide
le plus rapide qui impose la résolution radiale dans le processus de focalisation,
• l’influence de l’interface apparaît par le produit des coefficients de transmission ; il est
prévisible que ce terme altère le diagramme de focalisation par retournement temporel,
• pour les modes propagatifs dans le milieu 2 où se trouve le miroir, le champ reconstruit ne
dépend pas de la position du miroir. Z2
III) Retournement temporel du champ réfléchi seulement
Nous considérons maintenant le même problème, mais en mode réflexion. Nous utilisons
donc le miroir 1 situé en . z Z=
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
2. Réémission par le miroir
Pour calculer le champ de pression réémis par le miroir, nous adoptons la même démarche
que ci-dessus.
a - Premier cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment rigide
Le champ diffracté par le miroir, ( ) ( )~ , , ,P f f z fd x y1 , peut s’écrire sous la forme
( )310. a ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , expP f f z f f f Z f j j z Zd x y x y1 0 11
1 12 2= ×Σ
νν .−
Ce champ de pression est maintenant incident dans le milieu 1 et le champ total au voisinage
de la position de la source initiale résulte de la superposition des composantes incidente et
réfléchie. On a donc
( )310. b ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
~ , , , ~ , , , exp
exp exp .
P f f z f j f f Z f j Z
j z R j z
rt x y x y1
10 1 1
1 11 1
= −
+ −ν
ν
ν ν
Σ 1 ×
Si l’on remplace dans l’équation (3.10b) ( )~ , , ,Σ0 1f f Z fx y par son expression donnée en (3.9), on obtient l’expression finale suivante :
( )310. c ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
~ , , , exp ~
exp exp .
*
*
P f f z f j j Z f
R j z R j
rt x y1
11 1
2
11 1 11 1
21
= − − ×
+ + −ν
ν φ
ν ν z
Cette expression du champ de pression recréé au voisinage de la position de la source initiale
comporte quatre termes avec un coefficient commun ( ) ( ) ( )− −j j Z/ exp f~ *2 1 1 12
ν ν φ :
• : le champ s’est propagé de la source vers le miroir (phase 1), puis du miroir
vers l’observateur (phase 2) ; ce cas est illustré par le diagramme (exp j zν 1 )
D[i] source MRT
phase 1, puis MRT observateur
phase 2→ →1 244 344 1 24444 34444
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
• : le champ s’est propagé de la source vers le miroir (phase 1), puis du
miroir vers l’observateur après réflexion par l’interface (phase 2) : (R j11 1exp − ν )z
)z
D[ii] source MRT
phase 1, puis MRT interface observateur
phase 2→ → →1 244 344 1 2444444 3444444
• : le champ s’est propagé de la source vers le miroir après réflexion par
l’interface (phase 1), puis du miroir vers l’observateur (phase 2) : (R j11 1* exp ν
D[iii] source interface MRT
phase 1, puis MRT observateur
phase 2→ → →1 244444 344444 1 24444 34444
• (R j112
1exp − ν )z : le champ s’est propagé de la source vers le miroir après réflexion par l’interface (phase 1), puis du miroir vers l’observateur après réflexion également (phase
2) :
D[iv] source interface MRT
phase 1, puis MRT interface observateur
phase 2→ → → →1 244444 344444 1 2444444 3444444
Vue la forme du diagramme D[i], le champ se propage de la source vers le miroir, puis du
miroir vers l’observateur : en fait, tout se passe comme s’il n’y avait pas d’interface. D’autre
part, la séquence des évènements est bien inversée entre les deux phases du processus.
Cette inversion dans la séquence des évènements est également observable sur le diagramme
D[iv], mais pas sur les diagrammes D[ii] et D[iii].
Dans l’équation (3.10c), on observe que ν 2 apparaît uniquement dans l’expression du
coefficient de réflexion ; en particulier, seul R11 ν1 apparaît sous la forme d’une fonction
exponentielle. Par conséquent, le renforcement de la perte des composantes évanescentes
induite par le milieu 2 observé en transmission n’existe plus en réflexion. Ce résultat peut se
comprendre en observant qu’aucun des diagrammes D[i], D[ii], D[iii] ou D[iv] n’inclut de
propagation dans le milieu 2.
En revanche, le résultat final est sensible à la présence du milieu 2 par l’intermédiaire du
coefficient de réflexion qui tient compte du contraste d’impédances acoustiques.
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
Dans le cas particulier , c c2 1= ρ ρ2 1= , on a R11 0= , de sorte que (3.10c) se réduit à
l’expression établie dans le chapitre précédent pour un seul milieu fluide homogène, à la
direction de propagation près.
b - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment mou
Le champ diffracté par le miroir, ( ) ( )~ , , ,P f f z fd x y2 , peut s’écrire sous la forme
( )311. a ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , expP f f z f f f Z f zj
j z zd x y x ys
sz Zs
21 1
112 2
1
= − ×−
−=
Σ∂
∂ νν
.
De même que dans le cas précédent, le champ total au voisinage de la position de la source
initiale s’écrit
( )311. b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , exp exp exp .P f f z f f f Z f j Z j z R j zrt x y x y2 1 1 1 1 1 11= − × +Σ ν ν 1− ν
Si l’on remplace dans l’équation (3.11b) ( )~ , , ,Σ1 1f f Z fx y par son expression donnée en (3.9), on obtient l’expression finale suivante :
( )311. c ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
~ , , , exp ~
exp exp .
**
*
P f f z f j j Z f
R j z R j
rt x y2
11 1
2
11 1 11 1
21
= − − ×
+ + −ν
ν φ
ν ν z
A nouveau, la seule différence entre ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y1 et ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y2 réside dans le coefficient qui est changé en (− j / 2 1ν ) ( )− j / *2 1ν . Par conséquent, ces deux solutions sont identiques (modes propagatifs dans le milieu 1) ou opposées (modes évanescents).
A nouveau dans le cas particulier c c2 1= , ρ ρ2 1= , on retrouve les expressions obtenues dans
le chapitre précédent.
c - Troisième cas : le miroir se comporte en espace libre
Dans ce cas, l’expression
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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , ~ , , ,P f f z f P f f z f P f f z frt x y rt x y rt x y3 1 212= +
est toujours valable.
d - Quatrième cas : conditions mixtes
On reprend le formalisme utilisé pour le baffle infiniment rigide en remplaçant
par ; on obtient ainsi ( )~ , , ,Σ0 2f f Z fx y (~ , , ,Σ1 2f f Z fx y )
( )312. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
~ , , , exp ~
exp exp .
*
*
P f f z f j Z f
R j z R j
rt x y4
12 1 1
2
11 1 11 1
121
= − ×
+ + −ν
ν φ
ν ν z
2
2
e - Conclusions
En comparant les modes réflexion et transmission, on peut faire les remarques suivantes :
• en mode transmission, les champs se propagent dans les deux milieux, c’est donc le plus
rapide qui impose la meilleure résolution radiale possible,
• en mode réflexion, les champs ne se propagent que dans le milieu où se trouvent la source
et le miroir, c’est donc ce milieu qui impose seul la meilleure résolution radiale possible,
• dans le cas , on peut s’attendre à obtenir des diagrammes de focalisation similaires
en mode réflexion ou transmission (dimension de la zone focale),
c c1 >
• dans le cas inverse , on peut en revanche s’attendre à obtenir une tache focale plus
large en mode transmission qu’en mode réflexion,
c c1 <
• en mode réflexion, la reconstruction des composantes propagatives du champ ne dépend
pas de la position du miroir. Z1
104
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
IV) Retournement temporel des champs réfléchi et transmis
Nous utilisons maintenant les deux miroirs simultanément, synchronisés en temps. Par
linéarité, le champ total reconstruit au voisinage de la position de la source initiale résulte de
la somme des expressions obtenues en modes transmission et réflexion.
Dans un premier temps, nous considérons le cas du baffle infiniment rigide. Partant des
équations (3.6c) et (3.10c), on obtient après réorganisation des différents termes l’expression
suivante :
( )313.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
~ , , , ~ exp exp
exp exp
exp ,
*
*
*
**
P f f z f j f C j z R C j z
R C j z R C j z
T T C j z
rt x y1
11 1 11 1 1
11 1 1 112
1 1
1 2
1 221 12 2 1
2= −
⎡
⎣⎢ + −
+ +
+ −⎤
⎦⎥
νφ ν ν
ν νν νν ν
ν
−
avec ( )C j1 1Z2
= −exp ν ( )1 et C j Z2 2 22
= exp ν .
Dans le cas général, on ne peut pas simplifier cette expression. En revanche, si , et h
sont grands comparés aux longueurs d’ondes
Z1 Z2λ 1 et λ 2 , on peut considérer que l’influence des
composantes évanescentes est négligeable en raison de leur décroissance exponentielle. Dans
ces conditions, l’équation (3.13) peut se simplifier suivant les valeurs des fréquences spatiales
et comparées aux fréquences de coupure et . f x f y f c/ 1 f c/ 2
Premier cas : ν1 et ν 2 sont imaginaires purs
ce cas correspond à des modes évanescents dans les deux milieux, soit ;
on a alors et , soit finalement ( )f f c cr > / min ,1 2
C1 0≈ C2 0≈
( )314. ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y1 0≈ .
Deuxième cas : ν1 est réel et ν 2 imaginaire pur
ce cas correspond à des modes propagatifs dans le milieu 1 et évanescents dans le milieu 2 (si
et ) ; on a alors c c2 > 1 / 1f c f f cr/ 2 < < C1 1= et C2 0≈ , soit finalement
105
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
( )315. a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ exp exp*P f f z f j f j z R j zrt x y11
1 112
12≈ − + − +
νφ ν ν T.C.
où le terme correctif est ( ) ( )T.C.= − +R j z R j11 1 11 1exp exp*ν ν z . Ce terme correctif provient des diagrammes D[ii] et D[iii] pour lesquels l’inversion des
séquences entre les deux étapes du processus n’est pas satisfaite.
Ecrivant ν μ2 = j 2 avec μ2 réel, le coefficient de réflexion devient R11
( )315. b ( )R jj
j h11 1 12 21 12 2
12=−+
ν ρ μν ρ μ
νexp ,
de sorte que l’on a R112 1= , soit finalement
( )315. c ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , cos ~ .*P f f z f j z j frt x y11
112
≈−
+−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ν
νν
φT.C.
Il est intéressant de noter que le premier terme de l’équation (3.15c) est identique à celui
obtenu avec un unique milieu fluide homogène et deux miroirs de part et d’autre de la source ;
d’autre part, ce résultat provient du miroir 1 seulement puisque C2 0≈ .
Troisième cas : ν1 est imaginaire pur et ν 2 réel
ce cas correspond à des modes évanescents dans le milieu 1 et propagatifs dans le milieu 2 (si
et ) ; on a alors c c2 < 1 / 2f c f f cr/ 1 < < C1 0≈ et C2 1= , soit finalement
( )316. a ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , ~ exp .* *P f f z f j f T T C j zrt x y11
21 12 2 12≈ −
νφ ν
Ecrivant ν μ1 = j 1 avec μ1 réel, on a
( )316. b ( ) ( )T T j h21 121 2
12 22
21 12 1
4 2* exp .=+
−μ ν
ρ ν ρ μμ
Puisque h est supposé grand devant la longueur d’onde λ 1 , on a ( )exp − ≈2 1μ h 0
.
et donc
( )316. c ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y1 0≈
106
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
Quatrième cas : ν1 et ν 2 sont réels
ce cas correspond à des modes propagatifs dans les deux milieux, soit ;
on a alors , soit finalement ( )f f c cr > / max ,1 2
C C1 2 1= =
( )317. a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ exp exp .* *P f f z f j f j z R T T j zrt x y11
1 112
21 12 12= − + + − +
νφ ν ν T.C.
A partir des expressions des différents coefficients de réflexion et transmission données dans
l’annexe, on vérifie aisément la relation R T T112
21 12 1+ =* , soit encore
( )317. b ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , cos ~ .*P f f z f j z j frt x y11
112
≈−
+−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ν
νν
φT.C.
Cette expression est identique à l’équation (3.15c), mais le résultat provient cette fois de la
contribution des deux miroirs, et non plus du seul miroir 1.
On peut vérifier que les équations (3.14), (3.15c), (3.16c) et (3.17b) restent inchangées dans le
cas du baffle parfaitement mou ou de l’espace libre.
Dans le cas des conditions mixtes, nous donnons ici simplement les formules finales :
Premier cas : ν1 et ν 2 sont imaginaires purs
( )318. ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y4 0≈ .
Deuxième cas : ν1 est réel et ν 2 imaginaire pur
( )319. ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , cos ~ .*P f f z f z frt x y412 1
12
1 12
≈ +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ν
νν
φT.C.
Troisième cas : ν1 est imaginaire pur et ν 2 réel
( )320. ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y4 0≈ .
107
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
Quatrième cas : ν1 et ν 2 sont réels
( )321. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ , , ,~
exp exp .*
*P f f z ff
j z R T T j zrt x y4
12 1 11
2 1
221 12 12
≈ + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ − +
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
φν
ν νν
ν T.C.
V) Résultats numériques
Nous avons mis au point un programme de calcul du champ de pression synthétisé au
voisinage de la position de la source initiale. Dans tout ce qui suit, le champ de pression en
calculé dans le plan z = 0 , parallèle à l’interface et contenant la source. Pour chaque point de
calcul, on représente la valeur maximale du signal temporel observé. Toutes les amplitudes
maximales sont converties en dB dans le domaine [ ]−40 dB, 0 dB .
Les calculs sont faits dans le domaine temporel avec des signaux de 512 points et une
fréquence d’échantillonnage de 20 Mhz. Pour chaque point d’observation, le champ
reconstruit est d’abord calculé dans l’espace dual des fréquences, puis on calcule une
transformée de Fourier inverse pour obtenir le signal temporel observé. De même que dans le
chapitre précédent, la fonction temporelle d’excitation de la source initiale ( )φ t est constituée d’une trame sinusoïdale avec une enveloppe gaussienne. La fréquence centrale est 1 Mhz et la
bande passante relative, calculée à dB, est de 100 %. −6
Le domaine spatial de calcul se situe entre −15 et +15 mm avec 129 points, ce qui correspond
à un pas de 0,23 mm. Pour toutes les simulations faites, cette valeur restera petite comparée
aux longueurs d’ondes dans les milieux 1 et 2 calculées pour la fréquence centrale de la
fonction d’excitation (les vitesses des deux milieux sont 6000 m/s ou 1500 m/s, les longueurs
d’ondes correspondantes à 1 Mhz sont donc 6 mm et 1,5 mm). Cela assure la cohérence entre
les différents échantillonnages intervenant dans les simulations.
L’interface est située à h=15 mm et les miroirs en Z1 20= − mm et mm,
respectivement. Les miroirs sont carrés, identiques ; leur fonction d’ouverture vaut 1
si , 0 sinon. Les deux paramètres
Z2 20= +
(o x y, )][x y l r, ,∈ ε ε ε l et ε r permettent de modifier la dimension
des miroirs, ainsi que leurs positions relatives par rapport à la source.
108
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
Sur les différentes figures, les courbes seront titrées Tn ou Rn : T et R correspondent aux
modes transmission (MRT 2) et réflexion (MRT 1) respectivement, n est le numéro de la
configuration de calcul conformément à la table 1.
Si cela n’est pas explicitement indiqué dans le texte, la condition de rayonnement utilisée lors
du calcul correspond au cas d’un baffle infiniment rigide.
Configuration ε l ε r c1 ρ1 c2 ρ2 Rayonnement
1 −∞ +∞ 6000 4500 1500 1000 cas 1 2 −∞ +∞ 1500 1000 6000 4500 cas 1
3 -40 40 6000 4500 1500 1000 cas 1
4 -20 20 6000 4500 1500 1000 cas 1
5 -10 10 6000 4500 1500 1000 cas 1
6 -10 30 6000 4500 1500 1000 cas 1
7 0 40 6000 4500 1500 1000 cas 1
8 10 50 6000 4500 1500 1000 cas 1
9 -40 40 6000 4500 1500 1000 cas 4
10 (h=1 mm) −∞ +∞ 6000 4500 1500 1000 cas 1 11 (h=0,5 mm) −∞ +∞ 6000 4500 1500 1000 cas 1 12 (h=0,1 mm) −∞ +∞ 6000 4500 1500 1000 cas 1
Table 1 : valeurs des paramètres de calcul du champ créé par retournement temporel en mode
transmission et réflexion ; les vitesses et sont en m/s, les densités c1 c2 ρ1 et ρ 2 en kg/m3,
les dimensions des miroirs ε l et ε r en mm.
109
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
Dans un premier temps, nous avons étudié l’influence des impédances acoustiques des deux
milieux en utilisant des miroirs de taille infinie. Les paramètres de calcul sont donnés dans la
table 1, ils correspondent aux configurations 1 et 2.
Les résultats obtenus, présentés sur la figure 2, font clairement apparaître un effet de
focalisation du champ sur la position de la source initiale. Si l’on compare les courbes T1 et
T2, on observe qu’elles ont des comportements très similaires (dimension de la zone focale)
malgré le fait que le rapport des vitesses ait été inversé. Ce résultat s’explique par le fait que
la perte des composantes évanescentes est liée à ( )max ,c c1 2 . En revanche, la courbe R2 met en évidence une zone focale beaucoup plus étroite que la courbe R1, elle-même très proche de
T1 et T2. Cette figure illustre bien le fait qu’en mode réflexion, la dimension de la zone focale
est imposée par . c1
-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)
-40.0
-30.0
-20.0
-10.0
0.0 Amplitude maximale (dB)
(T1)
(T2)
(R1)(R2)
Figure 2 : champ de pression obtenu en mode transmission (MRT 2) et réflexion
(MRT 1) ; influence du rapport d’impédances entre les deux milieux.
Nous avons ensuite étudié l’influence de la taille du miroir sur la qualité de focalisation. Les
paramètres de calculs correspondent aux configurations 1, 3, 4 et 5. Les figures 3 et 4
montrent les résultats obtenus en mode transmission et réflexion, respectivement.
Sur ces deux figures, on observe que le diagramme de focalisation devient de plus en plus
étroit autour de l’origine au fur et à mesure que la taille du miroir augmente. On observe
110
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
également une réduction du niveau de bruit en dehors de la zone focale. Ces résultats sont en
accord avec ceux observés dans le chapitre précédent.
On n’observe pas de différences significatives entre un miroir de dimension 80 mm et un
miroir de dimension infinie : lorsque l’on augmente la taille du miroir, le diagramme de
focalisation tend vers le diagramme optimal résultant d’un miroir infini.
Les figures 5 et 6 ont été obtenues en maintenant constante la dimension des miroirs, mais en
modifiant leur position relative par rapport à la source. Ce sont donc les paramètres ε l et ε r
qui sont modifiés conformément aux configurations 4, 6, 7 et 8 de la table 1.
On observe que la taille de la zone focale augmente avec l’excentrement des miroirs par
rapport à la source. On observe également une perte de symétrie du diagramme de
focalisation. Un tel résultat est assez intuitif : l’efficacité optimale dans le processus de
focalisation adaptative sera atteint pour une cible localisée en face de la sonde ; plus
l’excentrement sera important, plus il sera délicat d’atteindre effectivement la cible tout en
maintenant une bonne qualité de focalisation.
Enfin, nous avons étudié l’influence des conditions de rayonnement lors de la phase de
réémission par les miroirs. Nous avons retenu les configurations 3 et 9, les résultats sont
représentés sur la figure 7. Dans tous les cas, on observe l’effet de focalisation sur la source
initiale, avec une taille de la zone focale assez constante entre les différents calculs faits. En
revanche, on constate que les conditions mixtes génèrent un niveau de signal hors zone focale
plus important que dans le cas du baffle infiniment rigide : cette observation est en accord
avec ce que l’on a pu observer dans le chapitre précédent.
111
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)
-40.0
-30.0
-20.0
-10.0
0.0 Amplitude maximale (dB)
(T1)(T3)(T4)
(T5)
Figure 3 : champ de pression obtenu en mode transmission (MRT 2) ; influence
de la taille du miroir.
-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)
-40.0
-30.0
-20.0
-10.0
0.0 Amplitude maximale (dB)
(R1) (R3)
(R4)
(R5)
Figure 4 : champ de pression obtenu en mode réflexion (MRT 1) ; influence de la
taille du miroir.
112
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)
-40.0
-30.0
-20.0
-10.0
0.0 Amplitude maximale (dB)
(T6)(T4)
(T7)(T8)
Figure 5 : champ de pression obtenu en mode transmission (MRT 2) ; influence
de la position relative du miroir par rapport à la source initiale.
-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)
-40.0
-30.0
-20.0
-10.0
0.0 Amplitude maximale (dB)
(R4)
(R6)(R7)
(R8)
Figure 6 : champ de pression obtenu en mode réflexion (MRT 1) ; influence de la
position relative du miroir par rapport à la source initiale.
113
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)
-40.0
-30.0
-20.0
-10.0
0.0 Amplitude maximale (dB)
(T3)
(R3)
(T9)
(R9)
Figure 7 : champ de pression obtenu en mode transmission (MRT 2) et réflexion
(MRT 1) ; influence de la condition de rayonnement.
VI) Hyperfocalisation à travers l’interface
Nous avons vu précédemment que l’allure du champ reconstruit par retournement temporel
était lié à la troncature des composantes évanescentes, correspondant à des incidences au-delà
des angles critiques de réflexion totale. Or, cette troncature n’est pas brutale, mais obéit à une
loi exponentiellement décroissante.
Partant de cette remarque, il semble intéressant d’étudier ce qui se passe lorsque la source est
située très près de l’interface : dans ce cas en effet, on peut s’attendre à ce que la troncature
des composantes évanescentes ne soit pas totale, ce qui doit se traduire par une tache focale
plus étroite.
Nous avons repris les paramètres de la configuration 1, en modifiant seulement la position de
la source par rapport à l’interface. On suppose également que la source active est située dans
le milieu le plus rapide, afin de mettre en évidence l’effet d’hyperfocalisation.
La fréquence centrale du signal d’excitation de la source initiale étant de 1 Mhz, la longueur
d’onde correspondante est de 6 mm. En fait, si on se limite à la partie du spectre au-delà de -6
114
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
dB, avec une bande passante de 100 % symétrique autour de 1 Mhz, notre signal couvre un
domaine de longueurs d’onde entre 4 mm (hautes fréquences) et 12 mm (basses fréquences)
environ. Les caractéristiques des calculs effectués sont données par les configurations T10,
T11 et T12 de la table I ; les distances entre la source et l’interface sont respectivement 1, 0,5
et 0,1 mm.
Les figures 8a à 8h représentent les champs de pression générés au voisinage de la position de
la source initiale en représentation 3D et en courbes de niveaux, pour les configurations T1
(configuration de référence), T10, T11 et T12. Toutes les données ont été préalablement
converties en dB.
Sur la figure 8b, on remarque que le champ est essentiellement composé de deux fronts
d’onde symétriques et linéaires, dont la pente correspond précisément à la vitesse des ondes
dans le milieu 1, à savoir 6000 m/s.
Sur la figure 8d, on retrouve toujours ces deux fronts d’onde, mais ils sont atténués. En
revanche, on voit apparaître deux nouveaux fronts, également symétriques et linéaires, dont la
pente correspond à la vitesse des ondes dans le milieu 2, à savoir 1500 m/s.
Sur la figure 8f, le phénomène précédent est encore accentué : les fronts de pente 6000 m/s
sont encore atténués, alors que les deux fronts de pente 1500 m/s sont amplifiés.
Enfin, sur la figure 8h ne subsistent quasiment plus que les deux fronts de pente 1500 m/s.
La figure 8i représente, pour ces différentes configurations, le maximum du signal temporel
observé en chaque position de l’observateur. Cette figure montre que le champ est bien
focalisé sur la position de la source initiale, mais elle montre également comment la
dimension de la tache focale diminue avec la distance entre la source et l’interface. La
reconstruction des composantes propagatives des champs ne dépendant pas de cette distance,
cette figure montre en fait l’influence des composantes évanescentes dans le milieu 1 dans un
mode d’hyperfocalisation.
115
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
26.0 19.5
13.06.5
0.0
Temps (µs)
-15.0-7.5
0.07.5
15.0
x (mm)
0.0 6.5 13.0 19.5 26.0Temps (µs)
-15.0
-7.5
0.0
7.5
15.0 x (mm)
Figure 8a : configuration T1 Figure 8b : configuration T1
26.0 19.5
13.06.5
0.0
Temps (µs)
-15.0-7.5
0.07.5
15.0
x (mm)
0.0 6.5 13.0 19.5 26.0Temps (µs)
-15.0
-7.5
0.0
7.5
15.0 x (mm)
Figure 8c : configuration T10 Figure 8d : configuration T10
26.0 19.5
13.06.5
0.0
Temps (µs)
-15.0-7.5
0.07.5
15.0
x (mm)
0.0 6.5 13.0 19.5 26.0Temps (µs)
-15.0
-7.5
0.0
7.5
15.0 x (mm)
Figure 8e : configuration T11 Figure 8f : configuration T11
26.0 19.5
13.06.5
0.0
Temps (µs)
-15.0-7.5
0.07.5
15.0
x (mm)
0.0 6.5 13.0 19.5 26.0Temps (µs)
-15.0
-7.5
0.0
7.5
15.0 x (mm)
Figure 8g : configuration T12 Figure 8h : configuration T12
116
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)
-60.0
-48.0
-36.0
-24.0
-12.0
0.0 Amplitude maximale (dB)
(T1)
(T10)(T11) (T12)
Figure 8i : champ de pression obtenu en mode transmission (MRT 2) ; influence
de la distance source/interface.
VII) Le schéma intuitif de Stokes
L’idée de l’invariance par renversement du temps en présence d’une interface plane séparant
deux milieux fluides a été décrite par Stokes par le schéma intuitif suivant :
Milieu 1
Milieu 2
Milieu 1
Milieu 2
1
R11
T12
Milieu 1
Milieu 2
R11
T12
R T T112
12 21+ = 1
( )R R T11 22 12+ = 0
Diagramme I Diagramme II
117
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
Dans le diagramme I, on envoie une onde incidente d’amplitude 1 et on récupère des ondes
réfléchie et transmise d’amplitudes et T . R11 12Dans le diagramme II, on envoie deux ondes incidentes se propageant dans les milieux 1 et 2
d’amplitudes et respectivement ; on récupère ainsi une onde dans le milieu 1 et une
onde dans le milieu 2 dont les amplitudes sont, par linéarité, et ,
respectivement. Or, une rapide analyse des coefficients de réflexion et transmission permet de
vérifier les deux relations suivantes :
R11 T12R T T11
212 21+ R T R T11 12 22 12+
R T T
R T R T112
12 21
11 12 22 12
10
+ =+ =
⎧⎨⎩
,.
A partir de là, il est tentant d’en conclure que le diagramme II n’est autre que le retourné
temporel du diagramme I, et donc d’en conclure la validité du principe d’invariance par
renversement du temps dans ce type de situation.
En fait, cette invariance n’est pas universelle. En particulier, la perte des composantes
évanescentes affecte la qualité de focalisation sur la source initiale : cet effet n’est pas pris en
compte par l’approche intuitive décrite par Stockes.
Compte tenu des résultats présentés dans ce chapitre, on peut finalement conclure que le
principe d’invariance par renversement du temps est valable dès lors qu’il n’existe pas
d’ondes évanescentes, ni dans le milieu 1 ni dans le milieu 2.
118
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
Annexe : Calcul des coefficients de réflexion et transmission
On considère une onde plane incidente dans le milieu 1 d’amplitude pour laquelle le
champ de pression s’écrit
Ai
( )322. ( ) ( )~ , , , expP f f z f A j zi x y i= ν 1 ,
où ν 1 est défini par l’équation (3.3b).
L’interaction de cette onde incidente avec l’interface située dans le plan conduit à la
génération d’une onde réfléchie dans le milieu 1 et d’une onde transmise dans le milieu 2 ; ces
deux ondes sont écrites d’une façon similaire à l’équation (3.22) :
z h=
25,28-30
( )323. ( ) ( )( ) ( )~ , , , exp~ , , , exp ,P f f z f A j zP f f z f A j z
r x y r
t x y t
= −
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
νν
1
2
,
où et sont les amplitudes des composantes réfléchie et transmise, et Ar At ν 2 est défini de la
même façon que ν 1 en remplaçant par . c1 c2
Les conditions aux limites à satisfaire dans le plan de l’interface sont :
• la continuité de la pression acoustique,
• la continuité de la composante normale du vecteur déplacement.
Il résulte alors des équations de base de l’acoustique que les conditions aux limites peuvent
s’écrire sous la forme suivante :4,25,28-30
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )[ ]~ , , , ~ , , , ~ , , , ,
~ , , , ~ , , , ~ , , ,
P f f z h f P f f z h f P f f z h f
zP f f z f P f f z f
zP f f z f
i x y r x y t x y
i x y r x yz h
t x yz h
= + = = =
+ =
⎧
⎨⎪
⎩⎪ = =
1 1
1 2ρ∂∂ ρ
∂∂
.
Remplaçant dans cette relation ( )~ , , ,P f f z fi x y , ( )~ , , ,P f f z fr x y et ( )~ , , ,P f f z ft x y par leurs expressions données par les équations (3.22) et (3.23), on obtient un système linéaire de deux
équations à deux inconnues et . La résolution de ce système nous conduit à exprimer
les amplitudes réfléchie et transmise en fonction de l’amplitude incidente ,
Ar AtAi
119
-
Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide
A R AA T A
r i
t i
==
⎧⎨⎩
11
12
,,
où (coefficient de réflexion pour une onde incidente dans le milieu 1) et (coefficient
de transmission du milieu 1 vers le milieu 2) sont donnés par les formules suivantes :
R11 T12
( )324. ( )
( )[ ]R j
T j
111 12 2
1 12 21
121
1 12 21 2
2
2
=−+
=+
−
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
ν ρ νν ρ ν
ν
νν ρ ν
ν ν
exp ,
exp .
h
h
Si l’on considère maintenant le même problème, mais pour une onde plane incidente dans le
milieu 2, on peut de la même façon définir les coefficients et . Par symétrie, il suffit
de repartir de l’équation (3.24), puis
R22 T21
• d’intervertir les vitesses c et et les densités 1 c2 ρ1 et ρ 2 ,
• d’inverser le sens de propagation des différentes ondes,
de sorte que l’on obtient
( )325. ( )
( )[ ]
R j
T j
222 21 1
2 21 12
212
2 21 11 2
2
2
=−+
−
=+
−
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
ν ρ νν ρ ν
ν
νν ρ ν
ν ν
exp ,
exp .
h
h
120
I) IntroductionII) Retournement temporel du champ transmis seulement1. Emission par la source active2. Réémission par le miroira - Premier cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment rigideb - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment mouc - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment moud - Quatrième cas : conditions mixtese - Conclusions
III) Retournement temporel du champ réfléchi seulement1. Emission par la source active2. Réémission par le miroira - Premier cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment rigide b - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment mouc - Troisième cas : le miroir se comporte en espace libred - Quatrième cas : conditions mixtese - Conclusions
IV) Retournement temporel des champs réfléchi et transmisV) Résultats numériquesVI) Hyperfocalisation à travers l’interfaceVII) Le schéma intuitif de Stokes Annexe : Calcul des coefficients de réflexion et transmission
/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False
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