Chapitre III

Chapitre IIIMthodes numriques et prsentation du code "FLUENT"

Chapitre IIIMthodes numriques et prsentation du code "FLUENT" III.1 IntroductionLe passage dun problme aux drives partielles continu un problme discret sappuie sur les mthodes classiques danalyse numrique. On distingue trois grandes mthodes pour formuler un problme continu sous forme discrte, la mthode des diffrences finies, des lments finis et des volumes finis. La mthode utilise par le code "FLUENT" est celle des volumes finis.Le poste de travail utilis pour ces simulations est un ordinateur (Windows XP) dot dun microprocesseur Pentium 4HT avec une frquence dhorloge de 3 GHz et de 1 Go de mmoire vive.III.1.1 Mthodes des diffrences finiesCest la mthode la plus ancienne, le principe fondamental de cette mthode consiste au domaine d'tude un maillage en nuds dont la finesse permet de donner une approximation des contours du domaine. Ensuite, en appliquant le dveloppement dans chaque nud du maillage, ce qui permet d'obtenir un nombre d'quation algbrique gale au nombre des valeurs dinconnues des grandeurs tudies.

III.1.2 Mthodes des lments finis

La mthode consiste mailler lespace en rgions lmentaires dans lesquelles on reprsente la grandeur recherche par une approximation polynomiale. Le maillage peut tre constitu de triangles ou de rectangles aux sommets desquels on recherche des volumes de linconnue en supposant que, dans ce domaine, linconnue varie linairement en fonction des coordonnes. Une telle mthode ncessite donc de mailler tout lespace tudi. Elle conduit des tailles importantes en mmoire des calculateurs et des temps de calcul longs qui ncessitent souvent des stations de travail pour la rsolution des problmes industriels.III.1.3 Mthodes des volumes finisLa mthode des volumes finis est caractrise par son avantage satisfaire la conservation de masse, de quantit de mouvement et dnergie dans tous les volumes finis ainsi que dans tout le domaine de calcul. Elle facilite la linarisation des termes non linaires dans les quations de conservation tel que le terme source par exemple. La mthode consiste partager le domaine de calcul en plusieurs volumes, o chaque volume entoure un nud.III.2 Maillage

Le code de calcul "FLUENT" dans sa version 6.2 traites plusieurs types de maillages structurs, non-structurs ou hybrides. Un maillage structur est gnralement compos de mailles quadrilatrales en deux dimensions (2D ou maillage surfacique) et hexadriques en trois dimensions (3D ou maillage volumique), tandis quun maillage non-structur va tre compos de mailles quadrilatrales ou triangulaires en 2D et hexadriques ou ttradriques en 3D. Dans un maillage hybride les mailles proches des parois sont des quadrilatres en 2D et des hexadres en 3D et les mailles du reste du domaine sont des triangles en 2D et des ttradres en 3D. En proche paroi, il est ncessaire davoir des mailles les plus petites possibles pour bien modliser les coulements cet endroit, cette particularit est dautant plus importante en rgime turbulent, on lappelle (linflation). En 3D, les mailles qui font les liaisons entre les hexadres et les ttradres sont des prismes ou des pyramides. La figure III.1 reprsente les diffrents types de maillage utilis par notre code.

III.2.1 Qualit du maillage

Avant de poursuivre et de simuler des coulements avec un maillage, il est ncessaire de sassurer de sa qualit. Ce dernier joue un rle important dans la prcision et la stabilit du calcul numrique.

Sous "GAMBIT", la mesure de lobliquit quiangle est normalise comme suit [12] :

(III.1)o :

: le plus grand angle de la face ou de la cellule. : le plus petit angle de la face ou de la cellule.

: angle dune face ou cellule parfaitement rgulire (60 pour un triangle), (90 pour un carr). Notons que par dfinition

Pour que le maillage soit bien prcis il est souhaitable de prend en considration la variation de tailles entre deux cellules adjacentes nexcde pas 20%. Le maillage doit tre ralis de sorte minimiser la diffusion de lerreur numrique.III.2.2 Indpendance du maillage

Il est tout dabord important de rappeler que le maillage peut tre modifi dans la phase de simulation laide du code "FLUENT". On peut par exemple, faire une adaptation de maillage laide de loption (adapt), selon divers critres permettant de dfinir des rgions lintrieur du domaine de calcul. Ladaptation nest toutefois permise que sur la base dune premire solution pour lcoulement. Lindpendance du maillage a t ralise en utilisant un raffinement de solution adaptatif, puisque des cellules peuvent tre rajoutes l o elles sont ncessaires dans la grille aprs obtention des rsultats de simulation. Le maillage initial a t adapt en mettant plus de cellules dans les rgions o le gradient de vitesse est plus lev quun niveau choisi. Ce processus a t rpt jusqu ce que les rsultats soient devenus indpendants du maillage. En effet, il existe une manire pratique dans "FLUENT", qui consiste en la surveillance de la valeur moyenne de certaines variables. Quand cette valeur cesse de changer, on cesse les itrations sans devoir attendre jusqu la convergence itrative, on adapte ensuite le maillage et on relance les itrations. La solution peut tre considre indpendante du maillage quand la valeur moyenne cesse de changer entre les adaptations [15].III.2.3 Traitement prs des paroisDans le code de calcul "FLUENT", il existe deux approches pour modliser lcoulement prs des parois (figure III.2), lune se base sur des formules semi empirique dites fonction de paroi pour lier la couche compltement turbulente et la paroi sans compte tenir les autres couches, lautre consiste raffiner le maillage de tel sorte que la distance entre le premier nud et la paroi soit infrieur lpaisseur de la couche visqueuse.III.3 Prsentation du code de calculIl existe un certain nombre de codes industriels, aux mailleurs performants, permettant la prdiction dcoulements de fluides (FLUENT, CFX, PHOENICS, STAR-CD, TRIO, FEMLAB, CFD-ACE, FLOTRAN, N3S, CFDS-FLOW3D ).

Le code de calcul "FLUENT" est commercialis par le groupe FLUENT. Ce groupe est actuellement lun des ples de comptence en mcanique des fluides numrique les plus importants. Il dveloppe et commercialise une solution complte sous forme de logiciels de CFD (Computational Fluid Dynamics) gnralistes qui simule tous les coulements fluides, compressibles ou incompressibles, impliquant des phnomnes physiques complexes tels que la turbulence, le transfert thermique, les ractions chimiques, les coulements multiphasiques pour toute lindustrie. Les produits et services proposs par le groupe "FLUENT" aident les ingnieurs dvelopper leurs produits, optimiser leur conception et rduire leurs risques.

Ce code est largement utilis dans lindustrie aronautique, automobile et offre une interface sophistique qui facilite son utilisation. Le logiciel "FLUENT" modlise par la mthode des volumes finis des coulements trs varis dans des configurations plus ou moins complexes. Il est compos, comme tout logiciel de type CFD, de trois lments cls qui sont : le pr-processeur, le solveur et le post-processeur. Nous dtaillons ci-dessous ces trois lments.

III.3.1 Pr - processeur "GAMBIT"Il permet lutilisateur de construire la gomtrie du domaine de calcul et de subdiviser ce dernier en petits volumes de contrle ou cellules de calcul. Lensemble de ces volumes lmentaires constitue le maillage. La dfinition des conditions aux limites appropries, au niveau des cellules qui concident ou touchent la frontire du domaine de calcul, se fait galement ce niveau.III.3.2 Solveur "FLUENT"Pour des fluides incompressibles, les calculs se font en pression relative. La mthode utilise est la mthode des volumes finis. Cette mthode lavantage dtre conservatrice, cest--dire que tout le flux sortant dun volume de contrle entre dans les volumes voisins. Les tapes de calcul dans le solveur sont les suivantes :

Intgration des quations continues sur chaque volume de contrle. Le thorme dOstrogradski est utilis pour transformer certaines intgrales de volume en intgrales de surface, Discrtisation en espace et en temps (pour les coulements non permanents) des quations : substitution des drives partielles par des approximations en diffrences finies ; transformation du systme dquations en systme algbrique, Rsolution du systme algbrique par un processus itratif ; utilisation dun algorithme pour corriger la pression et les composantes de la vitesse afin dassurer la conservation de la masse.III.3.3 Post-processeur "FLUENT"Le Post-processeur permet de visualiser les diffrents rsultats lcran (champs de vitesse, champs de temprature, ligne de courant etc.).III.4 Mthode de rsolution des quations de transport

III.4.1 Schma de discrtisation

Notre code emploie la mthode des volumes finis pour la rsolution des systmes dquations utiliss pour modliser les mouvements des fluides. En fait, avec la mthode des volumes finis, un problme physique donn est rsolu suivant trois principales tapes :

Division du domaine de calcul en volumes de contrle via un maillage (voir figure IV.4), Intgration des quations sur chaque volume de contrle afin de les transformer en quations algbriques,

Rsolution des quations ainsi discrtises.Ces quations sont mises sous la forme gnrale suivante :

(III.2)

o reprsente une grandeur intensive telle que ou selon le modle de turbulence utilis. est un coefficient de diffusion et un terme de source dont les expressions respectives dpendent du modle de turbulence choisi. Sous cette forme gnrale, tous les termes non-convectifs ou non-diffusifs sont inclus dans le terme source

La figure III.4 reprsente la discrtisation en volumes finis des quations de transport. Les diffrentes grandeurs de lcoulement sont calcules au centre de chaque volume de contrle, aux point P, E, O, N et S. lintgration de lquation III.2 dans un volume de contrle fait intervenir les valeurs, ainsi que les flux de diffusion et de conservation et de convection de ces grandeurs aux frontires du volume de contrle. Ainsi, pour le calcul des grandeurs au point P, leurs valeurs aux interfaces e, o, n et s sont galement ncessaires. Plusieurs mthodes dinterpolation peuvent alors tre utilises connaissant leurs valeurs au centre des volumes de contrle adjacents.

Les schmas dinterpolation employs dans les codes CFD sont en gnral bass sur la mthode de diffrences finies. Cette mthode applique des volumes de contrle est dcrite par nombre dauteurs comme Patankar [36] et Roache [38]. Des tudes doctorales comme celles de Buchmann [7] et Theodosiu [44] prsentent galement le dtail des diffrents schmas dinterpolation utiliss dans les codes CFD. Dans ce paragraphe, laccent est plutt mis sur les critres prendre en compte pour assurer la fois la stabilit et la bonne prcision des rsultats CFD.

On note ainsi que bien quune approximation par diffrences finies centres des termes de diffusion au deuxime ordre soit adapte la majorit des problmes, cette technique ne donne pas de rsultats satisfaisants en ce qui concerne les termes convectifs. En effet, la mthode des diffrences centres ne prend pas correctement en compte la direction de lcoulement. La figure III.5 permet dillustrer ce dfaut majeur.Les valeurs dune entit aux interfaces e et o sont dtermines par une approximation linaire laide des expressions suivantes :

(III.3)

(III.4)Sur la base de ces deux dernires expressions, on peut noter que les points situs en amont et aval ont le mme poids pour le calcul des valeurs linterface quelle que soit la vitesse de lcoulement. Mais il peut exister un fort transport de la gauche vers la droite (ou inversement) de linterface. Dans un tel cas, cette formulation nest plus valable parce quelle peut gnrer des instabilits numriques quand le transport travers une face dun volume de contrle est prpondrant par rapport la diffusion. Le nombre de Peclet de maille permet cet effet de quantifier limportance relative des phnomnes convectifs et diffusifs :

(III.5)o sont considrs constants le long de .On a ainsi pu constater que lorsque le nombre de Peclet de maille construit sur la dimension du maillage et de la vitesse linterface est suprieur 2, la discrtisation centre des termes convectifs, en rgime permanent, conduit des instabilits numriques [23]. Pour viter ces instabilits numriques, des approximations dcentres sont proposes. Les changes diffusifs sont modliss de la mme faon que dans le schma diffrences centres. En revanche, les changes convectifs nont lieu que de lamont vers laval de lcoulement. Ce schma amont (upwind) est prcis au premier ordre sur la base dun dveloppement de Taylor. Il est inconditionnellement stable du point de vue numrique mais susceptible dintroduire une diffusion numrique artificielle pouvant affecter la prcision du calcul Launder [24].Pour viter que la prcision du calcul ne soit affecte par les effets de la diffusion numrique, on peut raffiner le maillage et/ou aligner le maillage sur lcoulement. Malheureusement, le raffinement du maillage reste limit par la puissance de calcul des ordinateurs. De plus, lalignement du maillage sur lcoulement nest possible quavec un coulement simple dont la direction principale peut tre aligne au maillage. En effet, lorsque que les coulements sont complexes, il est difficile daligner le maillage sur le mouvement. Il faut donc recourir des mthodes de discrtisation spatiale dordre plus lev pour rduire la diffusion numrique. Ainsi, des schmas dordre 3 et plus ont t proposs mais limplmentation des conditions limites sest avre difficile raliser. Ces derniers schmas sont en outre peu stables. Un compromis satisfaisant entre la stabilit et la prcision du calcul prdominant convectif a t trouv avec les approximations amont (upwind) au second ordre [48].On peut citer galement le schma dordre suprieur, QUICK, propos par Leonard [27] et qui a t utilis dans ltude doctorale de Lepers [29]. Ce dernier a pu noter que compar un schma amont (upwind) au deuxime ordre, le schma Quick namliore pas beaucoup la prcision des rsultats numriques.

Pour notre tude, le schma dinterpolation QUICK (Quadratic Upwind Interpolation [28]) est utilis. Ce schma calcule la valeur linterface dune grandeur, en fonction de ses valeurs au centre des volumes de contrle adjacents et de volumes plus loigns en amont de linterface considre.III.4.2 Choix de la mthode de couplage Pression-Vitesse

Trois algorithmes sont disponibles dans le logiciel de calcul:

SIMPLE: le plus robuste. SIMPLEC: il donne une convergence plus rapide pour les problmes simples.

PISO: il est utile pour des problmes des coulements instables.

Lalgorithme choisit dans notre tude est lalgorithme SIMPLE [36]. A linitialisation du calcul, un champ de pression fix a priori est introduit dans lquation de bilan de la quantit de mouvement, permettant de calculer un premier champ de vitesse. La combinaison des quations de bilan de masse et de quantit de mouvement permet ensuite de corriger ces premiers champs de pression et de vitesse. Les autres quations de transports sont ensuite rsolues et le champ de pression corrig est utilis pour initialiser le calcul litration suivante. Cette succession dopration est rpte jusqu ce que les critres de convergences soient atteints.III.4.2.1 Algorithme SIMPLELa discrtisation dune quation de transport diffusion sur un volume de contrle par la mthode des volumes finis fait intervenir les valeurs des vitesses aux interfaces des volumes (Ue, Uw, Un, Us). Il est donc intressant de calculer ces vitesses directement sur les interfaces (sans avoir effectuer dinterpolations). Dautre part, la discrtisation de lquation de continuit et du gradient de pression avec lutilisation dune interpolation linaire peut induire des erreurs importantes du fait quune rpartition de pression ou de vitesse en "damier" est vue comme un champ uniforme. Pour contourner ces difficults on prfre utiliser des grilles dcales "staggered grid". Une grille principale est construite sur laquelle on calcule la pression, la temprature et la concentration. Deux grilles dcales vers la droite et vers le haut respectivement sont utilises pour le calcul des vitesses horizontale et verticale.Lalgorithme SIMPLE, acronyme pour Semi-Implicit Method for Pressure Linked-Equations permet de rsoudre le systme dquations discrtises. Cet algorithme stipule lexistence dune relation entre les vitesses corriges et les pressions corriges, en vue de vrifier lquation de conservation de la masse.

Le schma reprsentatif de ce processus itratif est le suivant :

u et v sont les deux composantes du vecteur vitesse, p reprsente la pression, est dfini par : est une correction.III.5 Rsolution numriqueIII.5.1 Paramtre de contrle de la convergence

La faon dobtenir une solution converge est un des lments essentiels de prdiction dcoulement au moyen des codes CFD. Le code "FLUENT" propose diffrentes techniques pour acclrer le processus de convergence est augmente si une bonne estimation de la solution est donne comme condition initiale. Nous avons recours plusieurs techniques dcrites ci-dessous :

III.5.1.1 Critre de convergenceLa rsolution numrique des problmes de type CFD ncessite un processus itratif. Pour apprcier la convergence du processus itratif, des critres de convergence doivent tre pris en compte. Ainsi, la convergence du processus itratif est dtermine par le concept de rsidu.

Aprs ltape de discrtisation, lquation de conservation dune variable donne sur une cellule de centre P peut sexprimer comme suit :

(III.6)o : et reprsentent les contribution convectives et diffusives, lindice nb est li aux centre de cellules adjacentes. b reprsente la contribution de partie constante du terme source

Le rsidu normalis a alors pour expression :

(III.7)

Ces expressions des rsidus sont valables pour toutes les grandeurs sauf la pression, dans le cas de cette grandeur, le rsidu est dtermin partir de lquation de continuit :

(III.8)

III.5.1.2 Sous-relaxation

A cause de la non linarit des quations rsolues, il est possible, pour attnuer les fluctuations de la solution, de rduire les variations des variables dune itration une autre en introduisent une sous-relaxation. Il nexiste pas des rgles gnrales concernant des meilleures valeurs des coefficients de sous-relaxation, mais il existe des recommandations pour chacune des grandeurs, gnralement bas sur des connaissances empiriques.

III.6 tapes de rsolution du problmeLes principales tapes utilises dans notre simulation sont les suivantes :

1. Dtermination du domaine de calcul (construction de la gomtrie).2. Discrtisation du domaine de calcul (maillage).3. Identification des conditions aux limites.4. Choix du modle mathmatique.5. Choix de lalgorithme de solution.6. Solution du modle mathmatique.7. Visualisation et interprtation des rsultats.

III.7 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons labor les hypothses considres dans notre travail. Nous avons ainsi, dfini les mthodes numriques dune part, et la prsentation du code de calcul dautre part.Dans le chapitre suivant, nous allons prsenter les dernires tapes de notre processus CFD, savoir le calcul numrique de la solution, la visualisation des rsultats et la validation.Correction des pressions et des vitesses

Rsolution de l'quation de correction de la pression

( partir de l'quation de conservation de la masse)

Rsolution des quations discrtises

de la quantit de mouvement

Hypothse de dpart: EMBED Equation.DSMT4

Proprits physiques du fluide

Approche du traitement prs des parois

Approche de la fonction de paroi

Rgion compltement

turbulente

Couche Proche de la paroi

FLUENT

Figure III.5 : Schma unidimensionnel illustrant un volume lmentaire entourant un noeud P

Figure III.3 : Structure de base du code "FLUENT"

Solveur

Modle physique.

Proprits matrielles.

Calcul.

Post-processeur

Analyser et visualiser les rsultats.

Figure III.4 : Volume de contrle pour la rsolution en volumes finis

Figure III.1 : Types de maillage utilis par "FLUENT"[12]

Pr -processeur

Prparation de la gomtrie.

Gnration du maillage.

Conditions limites.

x

GAMBIT

P

FLUENT

o

e

O

j

+

E

Si UO L 0, Ue L 0

_

i

y

o

P

x

e

n

s

O

S

N

Figure III.6 : Schma reprsentatif de l'algorithme SIMPLE

Figure III.2 : Traitement prs des parois dans le "FLUENT" [14]

Si UO l 0, Ue l 0

EMBED Equation.DSMT4

E

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

Oui

Non

EMBED Equation.DSMT4

Convergence

FIN

Rsolution des autres quations

de transport (turbulence,)

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