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CHAPITRE II :
MODELISATION DE LA GENERATRICE
ASYNCHRONE LINEAIRE
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 11
II.1 INTRODUCTION
La ralisation de la premire machine asynchrone triphas, ct par lingnieur Allemand
Michael Doubrovski, en 1889. Et grce son bon rendement et sa robustesse, son utilisation
est trs large dans lindustrie.
Dans ce chapitre, la modlisation et la simulation de fonctionnement vide et en charge de
machine, prcdemment cites en rgime gnratrice, seront prsentes.
II.2 CONSTITUTION DE LA MACHINE ASYNCHRONE A CAGE
Dfinition
La machine asynchrone est une machine lectrique tournante courant alternatif, qui tourne
une frquence infrieure celle de la frquence de champ tournant [14].
Constitution
La machine asynchrone comporte une partie fixe nomme stator et une partie mobile nomm
rotor. Cest un transformateur champ tournant dont le primaire est le stator et dont le
secondaire mis en court circuit libre de tourner est le rotor.
Stator
Le stator dune machine asynchrone triphas porte un enroulement triphas reparti dans des
encoches du circuit magntique.
Rotor
Il peut tre cage dcureuil ou rotor bobine comme indiqu sur la figure suivante :
Symbole de machine asynchrone Symbole de machine asynchrone
Triphas rotor bobin triphase rotor cage
Figure II.1 Les dfrents symboles de machines asynchrone lectrique.
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 12
II.3 MODELISATION DE LA GENERATRICE EN FONCTIONNEMT LINEAIRE
II.3.1 Hypothses simplificatrices
Nous supposons que le bobinage est reparti de manire a donn une force
lectromotrice (f..m.) sinusodale sil est alimente par des courants sinusodaux
Nous supposons galement que nous travaillons en rgime non satur.
Nous ngligeons le phnomne dhystrsis, les courants Foucault, et leffet de peau.
Ces choix signifient que :
Les inductances propres sont constantes.
Variation sinusodale des inductances mutuelles entre les enroulements statoriques et
rotoriques en fonction de langle lectrique de leur axe magntique
Les enrlements des trois phases statoriques et des trois phases rotoriques dans lespace
peuvent tre reprsents comme montrer sur la figure ci-dessous.
Figure II.2 Reprsentation schmatique de la machine asynchrone [16].
Les phases statoriques sont court-circuite sur elles mmes.
: Langle lectrique entre laxe de la phase A statorique et la phase a rotorique.
II.3.2 Modalisation de la gnratrice asynchrone linaire dans le repre triphas
La loi de faraday permet dcrire :
dt
dRIV
(II.1)
Lquation gnrale de la machine asynchrone cage dcureuil dans un repre triphas
scrit sous la forme.
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 13
Equation de tension au niveau du stator
Dapprt la loi de faraday on crire en gnrale :
sc
sb
sa
sc
sb
sa
s
s
s
sc
b
sa
dt
d
I
I
I
R
R
R
V
V
V
00
00
00
(II.2)
dt
dIRV sabcsabcSsabc
(II.3)
Equation de tension au niveau du rotor
rc
rb
ra
rc
rb
ra
r
r
r
rc
rb
ra
dt
d
I
I
I
R
R
R
r
V
V
00
00
00
(II.4)
dt
dIRV rabcrabcrrabc
0 (II.5)
Les vecteurs V , I et sont les vecteurs tensions, courants et flux de chacune des
armatures. On dfinit les vecteurs ou les paramtres statoriques par lindices s et rotorique
par lindice r avec les indices abc en triphas. Les paramtressR et rR reprsentent
respectivement les rsistances statoriques et rotorique par phase.
Remarque
Le rotor tant en court circuit, ses tensions sont nulles. Chaque flux comporte une interaction
avec les courants de toutes les phases comprise la sienne (notion dinductance propre).
Ecrivons les relations reliant les flux aux courants stators et rotor (la machine est suppose
fonctionnement en rgime linaire).
Equation de flux au niveau du stator
Ecriture matricielle
rc
rb
ra
srsrsr
srsrsr
srsrsr
sc
sb
sa
sss
sss
sss
sc
sb
sa
i
i
i
mmm
mmm
mmm
i
i
i
lmm
mlm
mml
123
312
321
(II.7)
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 14
Donc :
abcrsrsabcssabc IMIL .. (II.8) Equation de flux au niveau de rotor
sabcsrrabcrabcr IMIL .. (II.9)
On pose que:
rrr
rrr
rrr
r
lmm
mlm
mml
L
;
sss
sss
sss
s
lmm
mlm
mml
L
;
123
312
321
rsrsrs
rsrrs
rsrsrs
rs
mmm
mmm
mmm
M
cos3
2cos
3
4cos
3
4coscos
3
2cos
3
4cos
3
2coscos
srrssr MMM
sl rl : Linductance propre dune phase statorique et rotorique.
sm rm : Linductance mutuelle entre deux phases statorique.
srm : Lamplitude de la mutuelle inductance stator-rotor.
sL rL : Les matrices inductance des bobines statorique.
srM : La matrice inductance mutuelle entre le stator et rotor.
srM : Le maximum de linductance mutuelle entre une phase statorique et une phase
rotorique quand les axes des deux enroulements considres concident ce qui donne :
)3
4cos(
)3
2cos(
)cos(
3
2
1
srrs
srrs
srrs
Mm
Mm
Mm
(II.10)
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 15
II.3.2.1 Equation gnrale de la machine
On remplace lquation (II.8) et(II.9) dans lquation (II.5) et(II.3) on obtient :
rabcrrsabcsrrabc
abcrsrsabcsSsabc
ILdt
dRIM
dt
dV
IMdt
dIL
dt
dRV
.
..
(II.11)
Ce systme (II.11) reprsente le modle de la gnratrice en grandeur de phase Coefficient
variable. Lutilisation des transformations pour rendra coefficients constants et facilitera
ainsi sa rsolution.
II.3.3 La transformation de Park
La transformation de PARK est constitue dune transformation triphase biphase suivie
dune rotation. Elle permet de passer du repre (abc) vers le repre ( ) puis ver le repre (d
q), le repre ( ) est toujours fixe par rapport au repre (abc) (figure II.5) par contre la
repre (d q) est mobile. Il forme avec langle ( ) un angle qui appel langle de
transformation de PRRK ou angle PARK si lon note par ( s ) langle de transformation des
grandeurs statorique (respectivement rotorique (r ) il existe une relations qui lie et qui
simplifie les quations et par la mme le modle final. Des repres de la transformation de
PARK des grandeurs statorique et celle des grandeurs rotorique doivent concider pour
simplifie ces quations (figure II.6) ceci ce fait en liant les angles ( s ) et ( r ) par la
relation rs .
Les grandeurs statorique et rotoriques sont transformes :
])][([][ dqSsS XPX ])][([][ dqrsr XPX
Avec :
cossin
sincos)]([
)]([ est la matrice de rotation
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 16
Figure II.3 Le passage par le repre Figure II.4 Le passage par le repre
(abc) repre ( ). ( ) vers le repre (d q).
Conservation
de
la
puissance
instantane
(Park
modifie)
La transformation de Concordia oC conserve la puissance instantane on utilisera cette
transformation pour ralise la transformation de PARK conserve la puissance.
oCP )()(
Avec:
2
3
2
30
2
1
2
12
111
oC
Donc la transformation de Park dfinir comme suit :
2
2
2
2
2
2
3
4sin
3
2sinsin
3
4cos
3
2coscos
3
2P
Symbole : )(P
La transformation inverse :
3
4sin
3
4cos
2
2
3
2sin
3
2cos
2
2
sincos2
2
3
21P
Symbole : 1)( P
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 17
II.3.4 Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire dans le repr diphase
On utilise la transformation de Park pour transformer les variables statorique et rotorique les
variables de tension srabc
V courant srabc
I et les flux srabc
pour obtenir leurs.
Transformation des Variables statoriques
On appliquant la transformation de Park sp sur les variables relles statorique De la
machine sabcV sabcI sabc pour obtenir leurs composantes relatives correspondantes,
sdqoV sdqoI sdqo
Dautre part on a :
sdqossabcsabcssdqo VpVVpV1
(II.12)
sdqossabcsabcssdqo IpIIpI1
(II.13)
sdqossabcsabcssdqo pp 1
(II.14)
s : Labscisse angulaire du rfrentiel arbitraire par rapport laxe de la phase De stator est
donne par la relation suivantes.
t
sss dttt0
)0()()(
(II.15)
)0(s : est la valeur initiale s .
Transformation des Variables rotoriques
Le mme travail pour le rotor
rdqorrabcrabcrrdqo VpVVpV1
(II.16)
sdqorrabcrabcrrdqo IpIIpI1
(II.17)
rdqorrabcrabcrrdqo pp 1 (II.18)
t
rrr dtt0
)0()(
(II.19)
r : Labscisse angulaire du rfrentiel arbitraire par rapport laxe de la phase (a r)
)0(r : La valeur initiale de r
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 18
Equation des tensions au stator
On applique la transformation de PARK au stator sp dans lquation (II-3) Lquation
Devient :
sq
sd
so
sq
sd
so
s
sq
sd
so
s
s
s
sc
sb
so
dt
d
dt
d
I
I
I
R
R
R
V
V
V
010
100
000
00
00
00
(II.20)
Donc en trouve :
.
.
soso s so
sdsd s sd s sq
sq
sq s sq s sd
dV R I
dt
dV R I w
dt
dV R I w
dt
(II.21)
Equation des tensions au rotor
DApprt la transformation de PARK et lquation (II.5) on trouve :
rdr
rq
rqrrq
rqr
rd
rdrrd
ro
rorro
wdt
dIRV
wdt
dIRV
dt
dIRV
.
(II.22)
Pour un systme quilibr composante homopolaire nulle. Si on considre un
rotor bobin au a cage on peut crire
0 rqrdrorcrbra VVVVVV . (II.23)
Equation des flux au stator
On applique la transformation de Park sur lquation (II.7) on obtient
rq
rd
ro
sq
sd
so
s
s
so
sq
sd
so
i
i
i
M
M
i
i
i
L
L
L
00
00
000
00
00
00
(II.24)
Donc les quations des flux au niveau du stator :
0 soro VV
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 19
rqsqssq
rddssd
sososo
MiiL
MiiL
iL
(II.25)
Avec : ssso mlL 2 est linductance cyclique statorique
sss mlL : est inductance cyclique statorique
srMM2
3 : Inductance mutuelle cyclique stator-rotor
Equation des Flux au rotor
La mme mthode pour trouve les quations de flux de rotor
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 00 0
ro ro sor
rd r rd sd
rrq rq sq
i iL
L i M i
ML i i
(II.26)
Donc les quations des flux au niveau du rotor :
ro r ro
rd r rd sd
rq r rq sq
L i
L i Mi
L i Mi
(II.27)
Avec : rrro mlL 2 est linductance cyclique statorique homopolaire
rrr mlL : est linductance cyclique statorique
II.3.4.1 Equations de la machine dans le repre diphas
Introduisant les quations des flux (II.25) et (II.27) dans les quations des tensions
prcdentes (II.21) et (II.22).
sdrrdrrsqrqrrqr
sqrrqrrsdrdrrdr
rdssdssrqsqssqssq
rqssqssrdsdssdssd
MiwiLwidt
dMi
dt
dLIR
MiwiLwidt
dMi
dt
dLIR
MiwiLwidt
dMi
dt
dLIRV
MiwiLwidt
dMi
dt
dLIRV
0
0
(II.28)
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 20
En substituant les flux dans le systme dquations par leurs expressions le systme
dquations des tensions de la machine peut tre crit sous la forme matricielle suivante [1].
rq
rd
sq
sd
r
r
s
s
rq
rd
sq
sd
rrrr
rrrr
ssss
ssss
rq
rd
sq
sd
i
i
i
i
dt
d
LM
LM
ML
ML
i
i
i
i
RLwMw
LwRMw
MwRLw
MwLwR
v
v
v
v
00
00
00
00
.0
0
0.
.0.
(II.29)
Equation dtats
IGVLIdt
d.. 1
(II.30)
rq
rd
sq
sd
v
v
v
v
V
rq
rd
sq
sd
i
i
i
i
I
r
r
s
s
LM
LM
ML
ML
L
00
00
00
00
][
rrrr
rrrr
ssss
ssss
RLwMw
LwRMw
MwRLw
MwLwR
G
.0
0
0.
.0.
srw
II.3.4.2 Equation de couple
id
LdiT
t
e ..2
1
(II.31)
La formule gnrale de couple :
rabc
sabc
rsr
srst
rabcsabcei
i
LM
ML
d
diiT .
2
1
(II.32)
00
dt
Ld
dt
Ld rs srM : est une matrice symtrique
srt
sr MM rabcsrt
sabce iMdt
diT ...
(II.33)
Appliquant la transformation de Park :
rqsdrdsqsre iiiiMT .2
3
(II.34)
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 21
Valeur de couple si la machine est bipolaire p=1 sachant que p est le nombre de paire de pole
si la machine possde plus de deux ples, le couple scrit de la forme suivante [15]:
p1 rqsdrdsqe iiiiMpT .. (II.35)
Autre expression du couple
Il est possible dobtenir dautre expression du couple on utilise les expressions des flux stator
et rotor et les expressions des courants stators et rotors
][ sdsqsqsde iipT (II.36)
][ rqrdrdrqe iipT (II.37)
sdrqsqrdr
e iiL
MpT .
(II.38)
sdrqsqrdsre iiiiMpT ... (II.39)
II.3.4.3 Choix du rfrentiel
Le systme des quations reprsente le modle de la machine asynchrone dans un repre
arbitraire. Le choix dun rfrentiel dpend essentiellement du but de la modalisation et de la
compatibilit avec les autres composantes des systmes tudi [16].
Rfrentiel li au stator
Ce rfrentiel est souvent ncessaire lors des variations importantes de la vitesse de rotation
[16,17].
dt
d
dt
d
dt
d rs 0
rq
rd
sq
sd
r
r
s
s
rq
rd
sq
sd
sr
rr
s
s
rq
rd
sq
sd
i
i
i
i
LM
LM
ML
ML
dt
d
i
i
i
i
RLM
LRM
R
R
v
v
v
v
00
00
00
00
.0.
.0
000
000
Rfrentiels li au rotor
Ce rfrentiel est utilis en cas dune vitesse de rotation constante et les problmes de
rgimes transitoires. IL est caractris par la relation suivante [17]:
-
Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 22
dt
d
dt
d
dt
d sr 0
rq
rd
sq
sd
r
r
s
s
rq
rd
sq
sd
sr
rr
ssss
ssss
rq
rd
sq
sd
i
i
i
i
LM
LM
ML
ML
dt
d
i
i
i
i
RLM
LRM
MwRLw
MwLwR
v
v
v
v
00
00
00
00
0
.0
0..
.0.
Rfrentiel li au champ tournant
Cest le seul rfrentiel qui nintroduit pas de simplification dans les quations de la
machine. Il est trs utilis dans le domaine de la commande des machines asynchrones parce
que dans ce rfrentiel les composantes relatives sont constantes do la simplicit de la
commande [18,19].
ssr
ss g
dt
d
dt
d
Tel que : g est la vitesse de glissement.
rq
rd
sq
sd
r
r
s
s
rq
rd
sq
sd
srss
rsrs
ssss
ssss
rq
rd
sq
sd
i
i
i
i
LM
LM
ML
ML
dt
d
i
i
i
i
RLgMg
LgRMg
MwRLw
MwLwR
v
v
v
v
00
00
00
00
0
0
0..
.0.
II.3.4.4 Modlisation des condensateurs dexcitation
Daprs le schma monophas statorique vide dans le repre (d, q) reprsenter par la figure
(II.15) en peut crire les quations.
Figure II.5 Schmas mono phase dans le reper (d,q).
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Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 23
dsqsqs
qsdsds
VdttIC
V
VdttIC
V
)(1
)(1
(II.40)
II.3.4.5 Rsultat de simulation de model linaire
Figure II.6 Reprsentation des courants et tensions statoriques.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
Temps(s)
Le
s c
ou
ran
ts r
otr
iqu
es (
A)
.
Figure II.7 Reprsentation des courants rotoriques.
Nous remarquons que la tension et le courant statorique et rotorique divergent, cela cause
des hypothses faites au dbut de la modalisation savoir la linarit du circuit magntique
qui nest pas vraie dans la pratique et qui est indispensable au fonctionnement de la machine
asynchrone en mode gnrateur asynchrone.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
Temps(s)
Co
ura
nt
sta
tori
qu
e (
A)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
5
Temps(s)T
en
sio
n s
tato
riq
ue (
V)
-
Chapitre II Modlisation de la gnratrice asynchrone linaire
Modlisation de la gnratrice asynchrone en vue de la production d'nergie olienne 24
II.4. CONCLUSION
Dans ce chapitre nous avons vus comment appliquer la transformation de Park qui permet le
passage dun repre triphas un repre diphas. Grce cette transformation on a obtenu un
modle mathmatique ou un systme dquations de la machine asynchrone linaire qui
savr inutilisable.
Dans ce qui suit, nous allons tudier la gnratrice asynchrone dans le rgime satur dans le
fonctionnement autonome et les problmes lors de son couplage au rseau lectrique.