chapitre v simulation de champs acoustiques : le logiciel
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Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
Chapitre V
Simulation de champs acoustiques : le logiciel Simul-PA
I) Présentation générale de Simul-PA
1. Introduction
Le logiciel Simul-PA a été développé au Laboratoire Ondes et Acoustique ; ce logiciel résulte
d’une collaboration avec la société R.D.&Tech (Québec), spécialisée dans le Contrôle Non
Destructif et utilisant, entre autres, les techniques ultrasonores. Ce logiciel été développé
d’une part pour les applications du type C.N.D., d’autre part afin de simuler et ainsi mieux
comprendre les expériences réalisées au laboratoire dans le domaine du retournement
temporel des ondes acoustiques.
La version 1.0 du logiciel existe maintenant depuis environ deux ans. La version 2.0 est
désormais disponible au laboratoire ainsi qu’auprès de notre partenaire R.D.&Tech ; cette
version a permis de faire considérablement évoluer le logiciel.
Ce logiciel est en évolution permanente.
On peut résumer de façon très synthétique les potentialités actuelles du logiciel :
• simulation de champs acoustiques émis et reçus par des réseaux de transducteurs,
• propagation des champs acoustiques à travers des interfaces séparant fluides et solides,
• calcul de lois de focalisation,
• déformation de transducteurs en surface de Fermat,
• calcul de champs diffractés,
• calcul d’images rétrodiffusées par des défauts présents dans les matériaux.
Comme tout logiciel, Simul-PA utilise certaines approximations des phénomènes physiques
complexes qui interviennent dans les mécanismes de rayonnement par les transducteurs ou de
147
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réflexion/transmission à travers les interfaces de géométries diverses. Dans ce chapitre, nous
allons présenter les approximations faites ainsi que leurs domaines de validité.
2. Simul-PA dans un environnement réseau
Une innovation importante de la version actuelle de Simul-PA est sa capacité de travailler
dans un environnement réseau, et donc de partager les calculs longs entre plusieurs serveurs
répartis sur un réseau local. Cette fonctionnalité pourrait du reste être étendue entre des
ordinateurs totalement délocalisés par l’intermédiaire de l’Internet.
Le logiciel Simul-PA repose en fait sur une architecture de type client/serveur ; la
communication entre ordinateurs utilise la couche TCP/IP standard de l’Internet.
La version serveur de Simul-PA tourne sur des ordinateurs de type PC ou compatibles sous
Windows 95 ou Windows NT. Cette version serveur est également disponible pour différents
types de stations de travail fonctionnant sous Unix (actuellement, seules les versions HP/Risc
et HP/Cisc sont disponibles).
La version client de Simul-PA tourne sur des ordinateurs de type PC ou compatibles sous
Windows 95 ou Windows NT.
L’architecture générale fonctionne suivant les principes suivants :
• chaque version client du logiciel dispose de son propre noyau de calculs ; elle est donc
capable de tourner de façon parfaitement autonome, ce qui est indispensable pour des
ordinateurs non connectés à un réseau,
• chaque version client du logiciel peut contacter simultanément plusieurs serveurs afin de
répartir les tâches de calcul ; le gain en temps de calcul global peut être particulièrement
appréciable sous certaines conditions :
1. les temps de calcul sont importants par rapport aux temps de transfert des
informations à travers le réseau (ce transfert est source de perte de temps),
2. les serveurs sont de puissants ordinateurs assez disponibles,
3. le réseau local ne véhicule pas un trafic trop important.
Il est bien sûr difficile de contrôler ces différentes conditions ; de façon générale, un calcul
rapide devra être traité localement, et un calcul long pourra être partagé sur le réseau. Le
gain global en temps de calcul dépend du nombre de serveurs, de la puissance de chaque
ordinateur, de sa disponibilité, du trafic sur le réseau, ... En général, le gain en temps de
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calcul augmente avec le nombre de serveurs, mais des phénomènes de saturation peuvent
apparaître lorsque le nombre de serveurs augmente.
• chaque version serveur du logiciel peut gérer plusieurs clients simultanément ; en
l’absence de connexion active, le serveur se contente d’être à l’écoute de toute requête
provenant du réseau ; dès qu’un client est connecté, les calculs sont traités parallèlement à
l’écoute d’autres requêtes possibles provenant du réseau.
Cette architecture client/serveur est illustrée par la figure 1.
Réseau Local TCP/IP
Station de travail Unix
Simul-PA/Serveur
PC/Windows
Simul-PA/Serveur
PC/Windows
Simul-PA/Client
PC/Windows
Simul-PA/Client
Figure 1 : Simul-PA dans un environnement réseau
II) Le réseau de transducteurs Simul-PA est un logiciel initialement développé pour simuler les réseaux de transducteurs
ultrasonores avec les caractéristiques suivantes :
• les éléments du réseau sont généralement de petite taille,
• le réseau utilise des signaux temporels brefs à large bande passante.
L’utilisation de signaux temporels brefs nous impose de travailler dans le domaine temporel.
On peut alors utiliser le formalisme de la diffraction impulsionnelle, mais cette méthode est
peu adaptée au cas d’éléments de petite taille pour lesquels on cherche à calculer le champ
lointain.
149
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C’est dans ce contexte que nous avons développé un certain nombre d’approximations dans le
calcul du champ rayonné par un élément du réseau.
1. Le rayonnement par un élément du réseau
a - Principes généraux
Dans un premier temps, nous allons considérer le cas particulier d’un élément disque plan de
rayon a centré à l’origine de notre système de coordonnées spatiales. Cet élément est supposé
fonctionner en mode piston ; dans l’hypothèse d’un baffle infiniment rigide, le formalisme de
la diffraction impulsionnelle nous permet d’introduire la quantité pour un point
d’observation définie par
(h trr, ))(rr x y z, ,
( )51. ( )h tR
tRc
dx dye
ee e
rr, ,= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟∫∫
12
1π
δdisque
où c représente la vitesse des ondes acoustiques du fluide dans lequel est plongé l’élément
diffractant et est défini par Re ( ) ( )R x x y y ze e e2 2 2 2= − + − + . Cette quantité représente
le potentiel de vitesse diffracté dans le milieu pour une impulsion de vitesse normale
infiniment brève et d’amplitude unité.
(h trr, )
18-20
Le mécanisme de rayonnement acoustique par un élément du réseau peut être schématisé par
une succession de «boîtes noires», systèmes linéaires invariants par translation dans le
temps35 :
Transduction Diffraction
Signal de sortieSignal d’entrée( )e t ( )h trr,
Dans ce diagramme, on a les différentes composantes suivantes :
• le signal d’entrée ( )ϕ t est le signal temporel électronique transmis à l’émetteur ; il peut
s’agir d’une impulsion très brève, ou encore d’un signal temporel long tel que dans les
expériences de retournement temporel,
150
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• le premier filtre décrit le phénomène de transduction, c’est-à-dire l’ensemble des
phénomènes physiques qui transforment le signal électrique d’entrée en une vibration
mécanique de la face avant de l’émetteur (piézo-électricité, ...) ; ce filtre est caractérisé
(entre autres) par la fréquence centrale et la bande passante b de l’émetteur, il est
décrit par sa réponse impulsionnelle
fc w
( )e t autrement appelée réponse impulsionnelle en
émission du capteur (un filtre similaire intervient dans le mécanisme de réception),
• le second filtre décrit la diffraction ou propagation du champ entre l’émetteur et le point
d’observation ; sa réponse impulsionnelle est la fonction ( )h trr, précédemment introduite,
• le signal temporel de sortie correspond au champ diffracté par l’émetteur au point
d’observation rr ; la fonction décrivant un potentiel de vitesse, le signal temporel de
sortie correspond au potentiel de vitesse associé à l’onde acoustique générée par
l’émetteur.
(h trr, )
On a alors les relations suivantes :
( )5 2. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
φ ϕ
ρ∂ϕ∂
r r
r r
r r
r r
,* *
,
,* *
,
t tt
e tt
h t
p tt
t te t
th t
=
= −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
, potentiel de vitesse,
, pression acoustique.
Dans tous les cas, la fonction ( )h trr, obtenue par le formalisme de la diffraction
impulsionnelle est convoluée par la réponse ( )e t caractéristique du mécanisme de
transduction, donc présentant un spectre limité en fréquences. C’est une propriété que nous
pouvons exploiter pour simplifier le calcul.
La difficulté majeure consiste à calculer précisément la fonction ( )h trr, . Dans le cas du disque
ou du rectangle, on peut obtenir une expression analytique ; en revanche les réseaux de
transducteurs utilisent souvent d’autres géométries d’éléments pour lesquelles une telle
expression analytique n’est pas possible. D’autre part, cette formulation n’est pas adaptée au
calcul de la transmission à travers une interface qui sera traitée par l’approximation
géométrique des rayons présentée dans le chapitre précédent.
Une autre difficulté majeure provient des conditions d’utilisation des réseaux de transducteurs
pour les applications de Contrôle Non Destructif : les réseaux sont souvent composés d’un
grand nombre de petits éléments et immergés face aux échantillons à inspecter, à des
distances grandes devant les longueurs d’ondes utilisées. Du point de vue d’un élément du
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réseau, on est donc souvent dans une situation d’élément de petite taille et de calcul de champ
lointain. Dans ces conditions, la fonction ( )h trr, est très brève, ce qui pose des difficultés au
niveau de l’échantillonnage des signaux temporels. En fait, le formalisme impulsionnel n’est
pas très adaptée à notre contexte.
Le principe de base de notre approximation consiste donc à considérer que la fonction ( )h trr,
est tellement brève qu’elle se comporte comme une impulsion ( )δ t , du point de vue de la
réponse à spectre limité en fréquences. Cette approximation revient à considérer
l’élément ponctuel.
( )e t
b - L’approximation en fonction de la fréquence d’échantillonnage
Comme nous venons de le voir, un paramètre important de l’approximation est la durée τ de
la fonction . On introduit les notations suivantes : (h trr, )• R x y z= + +2 2 2 ,
• r x y R= + =2 2 sin .θ
D’après l’expression analytique de la fonction ( )h trr, , on obtient immédiatement les
expressions suivantes de la durée τ :
( )
( ) ( )τ =
+ + − ≤
+ + − + − >
⎧
⎨⎪
⎩⎪
1
1 1
2 2
2 2 2 2
cz a r
zc
r a
cz a r
cz a r r a
, ,
, .
si
si
A partir de cette formule, on peut aisément vérifier que
• ce sont les valeurs r a> qui rendent τ maximale,
• dans l’approximation R a>> , τ peut s’écrire sous la forme simplifiée suivante :
( )
τθ
≈
+≤
>
⎧
⎨⎪
⎩⎪
a rcz
r aac
r a
2
22
, ,
sin , .
si
si
Lors du calcul, tous les signaux sont échantillonnés temporellement avec une fréquence
fixée ; si la durée
fe
τ est inférieure au plus petit pas temporel 1 / , le processus numérique fe
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peut considérer que la fonction se comporte effectivement comme une impulsion (h trr, ) ( )δ t .
On obtient ainsi la condition
( )5 3. a ( )2 8a ze e< min , ,λ λ
où λe est la longueur d’onde associée à la fréquence d’échantillonnage : fe λe ec f= / . La
condition (5.3a) permet d’assurer la validité de l’approximation pour tout angle de tir θ .
Cette condition est relativement contraignante, en particulier si l’on souhaite pouvoir choisir
une fréquence d’échantillonnage assez élevée. On peut toutefois utiliser une condition moins
contraignante si l’on connaît à l’avance l’angle de tir θmax :
( )53. b 2 8a zee<
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟min
sin, .
max
λθ
λ
Les conditions (5.3a) et (5.3b) permettent de limiter le diamètre du disque tout en satisfaisant
l’approximation d’élément ponctuel.
Pour d’autres géométries d’élément, ces conditions peuvent être conservées, à condition de
remplacer 2a par la plus grande dimension de l’élément.
c - Mise en œuvre de l’approximation
Si les conditions de validité de l’approximation indiquées précédemment sont satisfaites, on
peut considérer que la fonction se comporte comme une impulsion infiniment brève de
la forme
(h trr, )
( )5 4. a ( ) ( )h t C tRc
r rr r, ,≈ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟δ
où est une constante de normalisation définie par ( )C rr
( )54. b ( ) ( )C h t dtdx dy
Re e
e
r rr r= =−∞
+∞
∫ ∫∫, .1
2π disque
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Les deux expressions (5.4a) et (5.4b) peuvent être ensuite généralisées au cas d’un élément de
géométrie autre que le disque.
La formule (5.2) donne alors la pression acoustique diffractée sous la forme
( )54. c ( ) ( )( )
p t C e tRc t
tt
r rr r,*
.≈ − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ρ
∂ϕ∂
On constate donc que, hormis la convolution avec la dérivée temporelle de la fonction
d’excitation ( )ϕ t , le champ de pression diffracté reproduit la réponse acousto-électrique en
émission, à un retard (propagation de la source vers l’observateur) et une correction
d’amplitude près.
Il reste maintenant à évaluer le terme correctif ( )C rr . La première méthode consiste à évaluer
directement l’expression donnée par l’équation (5.4b), numériquement ou analytiquement. La
seconde méthode consiste à utiliser le fait que l’élément diffractant est supposé petit devant la
distance R le séparant du point d’observation, de sorte que l’on peut faire le développement
limité suivant :
( )55. a {1 1
1 1 2 12
22
3R Ra x a y b x b y b x y
ee e e e e e≈ + + + + +
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
ordre 0 ordre 1 ordre 2
1 24 34 1 2444 3444,
où les différentes constantes sont données par les formules :
( )55. b a
xR
ay
R
bR
xR
bR
yR
bxy
R
1 2 2 2
1 2
2
2 2 2
2
2 3 41
23
11
23
13
= =
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
, ,
, , .
Ces expressions permettent ainsi d’obtenir un développement au deuxième ordre de la
constante de normalisation en fonction de la position de l’observateur et de la géométrie
de l’élément diffractant considéré.
( )C rr
2. Les différentes géométries d’éléments
Simul-PA supporte différentes géométries d’éléments ; à partir de ces géométries de base, on
verra comment on peut générer d’autres géométries plus complexes.
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L’ordre 0 de la constante de normalisation ( )C rr ne dépend pas de la forme de l’élément, mais
seulement de sa surface. En revanche, les termes d’ordre 1 et 2 diffèrent d’une géométrie à
l’autre.
a - Le disque
Dans le cas d’un disque de rayon a dont le centre est à l’origine des coordonnées spatiales, on
a les résultats suivants :
dxdy a
xdxdy ydxdy
x dxdy y dxdya
xydxdy
disque
disque disque
disque disque disque
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
=
= =
= =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
π
π
2
2 24
0
40
,
,
, .=
On en déduit immédiatement que le terme du premier ordre de la constante de normalisation
est nul et l’on a ( )C rr
( )5 6. a ( ) ( )C
aR
a x y zR
rr ≈ ++ −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
π 2 2 2 2 2
412
8.
b - L’ellipse
Par convention, nous définissons l’ellipse à partir du disque de rayon a dont l’axe suivant la
direction y est dilaté ou compressé d’un facteur K. L’élément elliptique a donc ses deux axes
suivant les directions x et y, ses deux rayons sont a et Ka, son centre est à l’origine des
coordonnées spatiales. On peut alors aisément vérifier les résultats suivants :
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dxdy K a
xdxdy ydxdy
x dxdyK a
y dxdyK a
xydxdy
ellipse
ellipse ellipse
ellipse ellipse ellipse
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
=
= =
= =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
π
π π
2
24
23 4
0
4 40
,
,
, , = .
De même que pour le disque, le terme du premier ordre de la constante de normalisation ( )C rr
est nul et l’on a
( )56. b ( )CK a
RaR
xR
K aR
yR
rr ≈ + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
π 2 2
2
2
2
2 2
2
2
218
31
83
1 .
c - Le rectangle
L’élément rectangulaire a pour dimensions a et b suivant les directions x et y respectivement,
son centre coïncide avec l’origine des coordonnées spatiales. On obtient alors les formules
suivantes :
dxdy ab
xdxdy ydxdy
x dxdya b
y dxdyab
xydxdy
rectangle
rectangle rectangle
rectangle rectangle rectangle
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
=
= =
= =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
,
,
, ,
0
12 1202
32
3
= .
A nouveau, le terme du premier ordre de la constante de normalisation est nul et l’on a ( )C rr
( )56. c ( )CabR
aR
xR
bR
yR
rr ≈ + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥1
243
124
31
2
2
2
2
2
2
2
2 .
d - Le secteur
On définit l’élément sectoriel par la fonction d’ouverture suivante :
156
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( )s x yr r r
,, ,,
=≤ ≤ ≤ ≤⎧
⎨⎩
10
1 2 1 si et sinon,
α α α2
avec x r= cosα et y r= sinα . Le centre du secteur est donné par ses coordonnées
xr r
yr r
c c=+ +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ =
+ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2cos , sin .
α α α α
On peut alors définir la fonction d’ouverture ( )s x y0 , du même élément sectoriel, mais centré
à l’origine des coordonnées spatiales :
( ) ( ) ( ) ( )s x y s x x y y s x y s x x y yc c c0 0, , , , ,= + + = − − c .
Les intégrales à calculer portent sur la fonction d’ouverture ( )s x y0 , . Pour simplifier, on
calcule les intégrales en utilisant la fonction d’ouverture ( )s x y, et on applique le théorème de
translation :
s dxdy sdxdy
xs dxdy xsdxdy x sdxdy
ys dxdy ysdxdy y sdxdy
x s dxdy x sdxdy x xsdxdy x sdxdy
y s dxdy y sdxdy y ysdxdy y sdxdy
xys dxdy xysdxdy y xsdxdy x ysdxdy x y sdxdy
c
c
c c
c c
c c c c
0
0
0
20
2 2
20
2 2
0
2
2
∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫
=
= −
= −
= − +
= − +
= − − +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
,
,
,
,
,
.
L’intérêt d’utiliser la fonction d’ouverture ( )s x y, plutôt que ( )s x y0 , est que les calculs sont
plus simples. Par une simple transformation en coordonnées polaires, on obtient
157
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
( )56. d
( )
( )
( )
sdxdyr r
xsdxdyr r
ysdxdyr r
x sdxdyr r
y sdxdyr r
xysdxdyr r
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
=−
−
=−
−
=−
−
=− −
+−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=− −
−−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=− −
22
12
2 1
23
13
2 1
23
13
1 2
2 24
14
2 1 2 1
2 24
14
2 1 2 1
24
14
1 2
2
3
3
4 22 2
4
4 22 2
4
42 2
α α
α α
α α
α α α α
α α α α
α α
,
sin sin ,
cos cos ,
sin sin,
sin sin,
cos cos4
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ .
Les résultats de la formule (5.6d), associés au théorème de translation précédent, permettent
d’exprimer la constante de normalisation ( )C rr dont le terme du premier ordre n’est plus nul.
e - Le secteur elliptique
Le secteur elliptique est défini de la même façon que le secteur, mais les coordonnées de l’axe
y sont dilatées ou compressées d’un facteur K. Le centre du secteur elliptique est alors donné
par ses coordonnées
xr r
y Kr r
c c=+ +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ =
+ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2cos , sin .
α α α α
On procède de la même façon que pour le secteur ; on obtient alors avant utilisation du
théorème de translation :
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( )56. e
( )
( )
( )
sdxdy Kr r
xsdxdy Kr r
ysdxdy Kr r
x sdxdy Kr r
y sdxdy Kr r
xysdxdy Kr r
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
=−
−
=−
−
=−
−
=− −
+−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=− −
−−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=−
22
12
2 1
23
13
2 1
2 23
13
1 2
2 24
14
2 1 2 1
2 3 24
14
2 1 2 1
2 24
14
2
3
3
4 22 2
4
4 22 2
4
4
α α
α α
α α
α α α α
α α α α
,
sin sin ,
cos cos ,
sin sin,
sin sin,
cos cos.
2 24
1 2α α−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
f - Le triangle
L’élément triangulaire est défini par ses trois sommets ( )A x y1 1, , ( )B x y2 2, e )t , son
centre est (C x y3 3,
xx x x
yy y y
c c=+ +
= =+ +
=1 2 3 1 2 3
30
30, .
On suppose d’autre part que les sommets sont ordonnés de sorte que l’on ait et
introduit la définition suivante :
x x x1 2≤ ≤ 3
( ) ( ) ( )[ ]ε = − + − +Signe .y x x y x x y x x1 2 3 3 1 2 2 3 1−
Ce paramètre permet de distinguer le cas où le point B est situé en dessous du segment AC
(ε = −1) du cas contraire (ε = +1). On peut alors vérifier les résultats suivants :
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Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
( )5 6. f
( )
( )( )
( )( )
( )( )
dxdyx y x y
xdxdy ydxdy
x dxdyx y x y x x x x
y dxdyx y x y y y y y
xydxdyx y x y x y x y x y x y
triangle
triangle triangle
triangle
triangle
triangle
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
=−
= =
=− + +
=− + +
=− + + +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
32
0
4
42 2
8
2 1 1 2
2 2 1 1 2 12
1 2 22
2 2 1 1 2 12
1 2 22
2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2
ε
ε
ε
ε
,
,
,
,
.
Il en résulte que le terme du premier ordre de la constante de normalisation est nul, de
même que pour les disque, ellipse et rectangle.
( )C rr
3. Les éléments de grande taille
On a vu précédemment dans quelles conditions un élément diffractant pouvait être considéré
comme ponctuel ; un élément est considéré de grande taille dès lors qu’il ne satisfait pas les
conditions de validité de l’approximation. Dans ce cas, Simul-PA propose de subdiviser
chaque élément en sous-éléments couplés, de sorte que chaque sous-élément satisfasse les
conditions de validité de l’approximation.
Nous allons présenter brièvement les différents algorithmes de subdivision pour les
différentes géométries d’éléments.
a - Le disque
La subdivision du disque utilise :
• un disque plus petit au centre,
• un ensemble de secteurs recouvrant tout le reste de la surface du disque.
Cette subdivision est illustrée de la façon suivante :
160
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
subdivision
⇒
b - L’ellipse
La subdivision d’une ellipse utilise :
• une ellipse plus petite au centre,
• un ensemble de secteurs elliptiques recouvrant tout le reste de la surface de l’ellipse.
Cette subdivision est illustrée de la façon suivante :
subdivision
⇒
c - Le rectangle
La subdivision d’un rectangle est plus simple puisqu’elle n’utilise que des rectangles plus
petits recouvrant la surface du rectangle initial. Cette subdivision est illustrée de la façon
suivante :
subdivision
⇒
d - Le secteur
161
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
De même que dans le cas du rectangle, la subdivision d’un secteur n’utilise que des secteurs
plus petits recouvrant la surface du secteur initial. Cette subdivision est illustrée de la façon
suivante :
subdivision
⇒
e - Le secteur elliptique
De même que dans les cas du rectangle et du secteur, la subdivision d’un secteur elliptique
n’utilise que des secteurs elliptiques plus petits recouvrant la surface du secteur elliptique
initial. Cette subdivision est illustrée de la façon suivante :
subdivision
⇒
f - Le triangle
La subdivision d’un triangle utilise des triangles plus petits recouvrant la surface du triangle
initial.
La première idée consiste à joindre chaque sommet au milieu du segment opposé, ce qui
permet de subdiviser chaque triangle en 6 sous-triangles élémentaires. Cette méthode conduit
toutefois à une subdivision très inhomogène, fortement dépendante de l’ordre dans lequel sont
faits les calculs. Ce cas de figure est illustré ci-dessous.
subdivision
⇒
162
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
La raison principale d’une telle subdivision provient de triangles très «écrasés» pour lesquels
le rapport entre les plus grande et petite dimensions est grand : de tels triangles ont une
dimension maximale trop grande pour satisfaire la condition de validité de l’approximation, et
un côté très petit qui est malgré tout divisé en deux. Ce phénomène augmente le nombre total
de subdivisions, et conduit à une hétérogénéité du maillage peu souhaitable.
Lorsque Simul-PA rencontre ce genre de situation, la subdivision en 6 sous-triangles est
remplacée par une subdivision en 2 sous-triangles seulement, la subdivision portant sur la
plus grande dimension. Sur l’illustration ci-dessous, on constate immédiatement que le
résultat de cette autre méthode de subdivision (le critère de dimension maximale des sous-
éléments reste inchangé) est meilleur du point de vue
• du nombre total de sous-éléments triangulaires (106 dans le premier cas, 16 dans le
second),
• de l’homogénéité du maillage de la surface du triangle initial.
subdivision
⇒
4. Les géométries dérivées des géométries de base
On a vu précédemment que Simul-PA était capable de subdiviser un élément en sous-
éléments couplés de plus petite taille. En fait, le principe du couplage est beaucoup plus
général puisqu’il permet de coupler en émission et en réception différents éléments d’un
même réseau. D’un point de vue expérimental, cela revient à considérer que tous les éléments
couplés sont raccordés à la même voie électronique d’émission et de réception. Ainsi, Simul-
PA distingue les notions d’élément et de voie électronique, le nombre de voies électroniques
étant inférieur au nombre d’éléments.
Ce type de couplage entre éléments permet alors de définir des géométries d’éléments
dérivées des géométries de base que nous venons de présenter. A ce jour, Simul-PA dispose
de deux géométries dérivées ; ceci n’est naturellement pas figé et pourra évoluer en même
temps que le logiciel lui-même.
163
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
a - L’anneau
L’élément annulaire est simplement composé d’une juxtaposition de secteurs recouvrant la
surface de l’anneau. Le principe de la subdivision est illustré par le diagramme ci-dessous.
subdivision
⇒
b - Le polygone régulier
Le polygone régulier est, quant à lui, composé d’une juxtaposition de triangles ; il est en outre
possible de spécifier un coefficient K de dilatation ou de compression de l’axe y par rapport à
l’axe x. Le principe de la subdivision est illustré par le diagramme ci-dessous.
subdivision (K=1)
⇒
subdivision (K=0,75)
⇒
5. Les paramètres réglables Simul-PA prend en compte de nombreux paramètres réglables dans la définition et le
traitement des réseaux de transducteurs :
164
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
• le nombre d’éléments et le nombre de voies électroniques (ainsi que les couplages si
nécessaire),
• pour chaque élément : sa position, son orientation, ses caractéristiques géométriques,
• la fréquence centrale et la largeur de la bande passante,
• les réponses impulsionnelles en émission et en réception (réponses différentes),
• la fonction temporelle émise,
• les lois de retard imposées en émission et en réception (lois différentes),
• les lois d’amplitudes imposées en émission et en réception (lois différentes),
• les formes temporelles émises indépendamment par chaque voie électronique (simulation
des expériences de retournement temporel).
III) La transmission à travers les interfaces
Les calculs de transmission à travers les interfaces fluide/fluide ou fluide/solide sont effectués
dans le cadre de l’approximation géométrique présentée dans le chapitre précédent. On pourra
s’y reporter pour ce qui est des conditions de validité de cette approximation.
IV) Exemple 1 : calcul du champ proche rayonné par un disque
Le premier exemple qui nous semble intéressant consiste à calculer le champ proche rayonné
par un disque pour deux raisons :
• la théorie de la diffraction impulsionnelle permet de prévoir analytiquement la nature du
champ diffracté,
• la confrontation avec les méthodes approchées de Simul-PA permet de valider les
approximations.
1. Calcul en émission simple
A titre de rappel, le champ impulsionnel diffracté par un disque de rayon a est donné en
potentiel de vitesse par les formules suivantes18-20 :
• c est la vitesse de propagation des ondes acoustiques dans l’eau,
165
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
• r est défini par . r x y2 2= + 2
Premier cas : r a≤
( )57. a ( )h x y z t
ct zc zc c t r a z
r c t zR ct R
R ct
e , , ,
, ,, ,
arccos , ,
, .
=
<≤ ≤
+ − −
−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ < ≤
<
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
0
20
12 2 2 2 2
2 2 2 1 2
2
si si
si
si π
ct R
Second cas : r a>
( )57. b ( )h x y z t
ct Rc c t r a z
r c t zR ct R
R ct
e , , ,
, ,
arccos , ,
, .
=
<+ − −
−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ≤ ≤
<
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
0
20
12 2 2 2 2
2 2 2 1 2
2
si
si
si π
Dans ces deux expressions, et sont respectivement définis par R1 R2
( ) ( )R z a r R z a r12 2
22 2= + − = + + et .
Pour le calcul, nous avons choisi la configuration suivante :
• le réseau émetteur est constitué d’un seul disque plan de diamètre 50 mm, sa fréquence
centrale est 1 MHz et sa bande passante à -6 dB est de 100 %,
• le réseau est immergé dans l’eau et on calcule le champ rayonné dans un plan parallèle au
disque, situé à une distance de 100 mm de l’émetteur,
• la fréquence d’échantillonnage temporel est de 20 MHz, les signaux temporels sont stockés
sur 512 points.
Le champ diffracté correspond au champ proche de l’émetteur, il est donc indispensable de
procéder à la subdivision du disque en sous-éléments de plus petite taille conformément à ce
que nous avons présenté précédemment.
Les figures 2a, 2b, 2c et 2d représentent
• le champ impulsionnel en potentiel de vitesse diffracté par le disque (courbes supérieures
et échelles gauches),
• le champ de pression transitoire (courbes inférieures et échelles droites).
166
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
Sur ces différentes courbes sont superposés les résultats obtenus par Simul-PA d’une part,
l’expression analytique d’autre part. On n’observe aucune différence, à l’exception du cas
particulier r=0 mm pour lequel Simul-PA fait apparaître des fluctuations hautes
fréquences (bruit numérique) ; ces fluctuations disparaissent dès lors que l’on calcule le
champ de pression transitoire (filtrage des hautes fréquences), ce qui est la vraie grandeur
mesurable.
Les figures 2e et 2f représentent les champs diffractés (potentiel de vitesse impulsionnel et
pression transitoire) en fonction de l’espace et du temps, calculés avec Simul-PA. Sur ces
deux figures, on observe clairement les effets classiques suivants18-20 :
• une structure d’onde «plane» dans l’ombre géométrique du disque émetteur,
• les ondes de bords provenant de la limite spatiale du disque diffractant.
65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0 Potentiel de vitesse (impulsionnel)
-35.0
0.0
35.0
70.0
105.0Pression (transitoire)
65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0 Potentiel de vitesse (impulsionnel)
-35.0
0.0
35.0
70.0
105.0Pression (transitoire)
Figure 2a : r=0 mm Figure 2b : r=12,5 mm
65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0 Potentiel de vitesse (impulsionnel)
-15.0
0.0
15.0
30.0
45.0Pression (transitoire)
65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)
-0.5
-0.3
0.0
0.3
0.5 Potentiel de vitesse (impulsionnel)
-5.0
0.0
5.0
10.0
15.0Pression (transitoire)
Figure 2c : r=25 mm Figure 2d : r=37,5 mm
167
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)
-50.0
-25.0
0.0
25.0
50.0 x (mm)
65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)
-50.0
-25.0
0.0
25.0
50.0 x (mm)
Figure 2e : champ impulsionnel Figure 2f : champ transitoire
Temps de calcul : ce paragraphe un peu technique n’est fourni qu’à titre d’information.
L’angle de tir maximal doit prendre en compte
• la coordonnée x = −25 mm correspondant à un bord du disque émetteur,
• la coordonnée x = +50 mm correspondant à la limite de la zone décrite par l’observateur.
Par convention, la dimension maximale acceptable dans l’algorithme de subdivision est
décrite comme un multiple de la longueur d’onde dans le milieu à la fréquence centrale de la
sonde ; tous calculs faits, on obtient une dimension maximale de l’ordre de 0 083, λc et donc
une subdivision du disque initial en 128153 sous-élements !
Pour 101 points d’observation entre − 50 et + 50 mm (figures 2e ou 2f), le temps de calcul
est de l’ordre de 4 minutes (Pentium 200 MHz, 64 Mo RAM, Windows NT 4.0).
2. Calcul en émission/réception
Dans cette deuxième simulation, nous proposons de reprendre le même problème, mais le
champ diffracté par l’émetteur est maintenant reçu par un récepteur identique, situé en face et
dans l’axe, et distant de 100 mm de l’émetteur. A nouveau, cette situation simple permet
d’obtenir l’expression analytique du potentiel de vitesse reçu dont nous rappelons ici
l’expression35,36 :
( )58. ( ) ( )( )h z t
t tc a t t
cac t z
ac
t t t t t t t
t t
er ,
, ,, ,
arccos , ,
, ,
=
<=
−⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ − − − < ≤
<
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
0
22 2
0
12
1
22 2 2 3
212
22 2
1 2
2
si si
si
si
π
168
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
où et sont respectivement définis par t1 t2
tzc
tz a
c1 2
2 24= =
+ et .
Les figures 3a et 3b représentent les signaux temporels reçus en potentiel de vitesse
impulsionnel et pression transitoire respectivement. Sur ces deux figures, les résultats obtenus
par Simul-PA sont superposés avec les expressions analytiques exactes ; il est clair que l’on
ne distingue aucune différence.
65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0 *10
+3
Potentiel de vitesse (Impulsionnel)
65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 90.0Temps (µs)
-60.0
-45.0
-30.0
-15.0
0.0
15.0
30.0 *10
+3
Pression (transitoire)
Figure 3a : potentiel de vitesse impulsionnel Figure 3b : pression transitoire
Temps de calcul : ce paragraphe un peu technique n’est fourni qu’à titre d’information.
L’angle de tir maximal doit prendre en compte
• la coordonnée x = −25 mm correspondant à un bord du disque émetteur,
• la coordonnée x = +25 mm correspondant au bord opposé du disque récepteur.
Tous calculs faits, on obtient ainsi une dimension maximale de l’ordre de 0 125, λc et donc une
subdivision des disques émetteur et récepteur en 56605 sous-élements !
Le temps de calcul est d’environ 16 heures (Pentium 200 MHz, 64 Mo RAM, Windows NT
4.0).
V) Exemple 2 : calcul de lois de focalisation
Les simulations que nous proposons ici consistent à comparer différentes techniques de
focalisation à travers une interface cylindrique (diamètre 180 mm) séparant deux fluides. Pour
169
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
cela, on comparera les résultats obtenus avec trois réseaux similaires présentant les
caractéristiques suivantes :
• les barrettes sont à une dimension, elles sont composées de 15 éléments carrés de 2 mm de
côté, avec une ouverture globale d’environ 34 mm,
• une fréquence centrale de 3 MHz et une bande passante relative à -6 dB de 100 %,
• les caractéristiques acoustiques des deux milieux sont :
1. =1500 m/s et c1 ρ1 =1000 kg/m3 pour l’eau où se trouvent les barrettes,
2. =6000 m/s et c2 ρ2 =4500 kg/m3 pour le second fluide de l’autre côté de l’interface.
• les signaux temporels sont stockés sur 512 points et échantillonnés à une fréquence de 100
MHz.
Dans les trois cas considérés ici, le réseau est situé à 10 mm au-dessus de l’interface et l’on
cherche à focaliser le champ acoustique à une profondeur de 10 mm en dessous de l’interface.
Les différences entre les trois réseaux étudiés sont les suivantes :
• le premier réseau est plan : Simul-PA calcule alors la loi de retards adaptée à la
focalisation souhaitée, puis applique cette loi de retards afin de calculer le champ de
pression acoustique résultant au voisinage de la zone focale désirée,
• le deuxième réseau est préfocalisé en surface de Fermat : Simul-PA calcule alors la
déformation adéquate du réseau, tout en maintenant chaque élément plan, puis calcule le
champ de pression acoustique résultant au voisinage de la zone focale désirée, sans
appliquer de loi de retards (préfocalisation du réseau),
• le troisième réseau est également préfocalisé en surface de Fermat, mais chaque élément
est lui-même déformé géométriquement pour s’adapter au point focal souhaité ; Simul-PA
calcule ensuite le champ de pression acoustique résultant au voisinage de la zone focale
désirée, sans appliquer de loi de retards.
Nous allons voir dans ces exemples que la distinction entre les deuxième et troisième cas est
essentielle dès lors que les éléments du réseau sont d’une taille relativement grande par
rapport aux longueurs d’ondes utilisées.
La figure 4 ci-dessous illustre les conditions de calcul : elle représente une portion de
l’interface cylindrique, le point focal désiré, les deux barrettes plane et préfocalisée, ainsi que
les rayons géométriques joignant les centres des éléments au point focal, conformément à la
loi de Snell-Descartes qui régit la transmission à travers l’interface. Une illustration de la loi
de retards à appliquer en émission est également donnée : sur la figure de gauche, ce sont les
éléments les plus au bord qui doivent tirer en premier, et l’élément central en dernier afin que
170
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
tous les signaux temporels atteignent le point focal au même instant ; sur la figure de droite en
revanche, tous les éléments émettent au même instant puisque la sonde est préfocalisée en
surface de Fermat.
loi de retard
loi de retard
∅ 180 mm 10 mm
point focal
10 mm
ouverture 34 mm
10 mm
10 mm
point focal
ouverture 34 mm
∅ 180 mm
Barrette plane avec loi de retards Barrette préfocalisée sans loi de retards
Figure 4 : illustration de la configuration de calcul
Pour chacun des trois cas présentés, le champ de pression acoustique résultant est calculé
dans un plan focal parallèle aux barrettes.
Les résultats obtenus sont représentés sur la figure 5 :
• les figures de gauche représentent en courbes de niveaux le champ de pression comme
fonction de l’espace et du temps,
• les figures de droite représentent, pour chaque position de l’observateur, la valeur
maximale du signal temporel ; ces valeurs maximales ont préalablement été converties en
dB.
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Temps (µs)
-35.0
-17.5
0.0
17.5
35.0 x (mm)
-35.0 -17.5 0.0 17.5 35.0x (mm)
-45.0
-30.0
-15.0
0.0 Amplitude maximale du signal temporel (dB)
171
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
Figure 5a : barrette plane avec loi de retards en émission
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Temps (µs)
-35.0
-17.5
0.0
17.5
35.0 x (mm)
-35.0 -17.5 0.0 17.5 35.0x (mm)
-45.0
-30.0
-15.0
0.0 Amplitude maximale du signal temporel (dB)
Figure 5b : barrette préfocalisée sans loi de retards en émission, éléments plans
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Temps (µs)
-35.0
-17.5
0.0
17.5
35.0 x (mm)
-35.0 -17.5 0.0 17.5 35.0x (mm)
-45.0
-30.0
-15.0
0.0 Amplitude maximale du signal temporel (dB)
Figure 5c : barrette préfocalisée sans loi de retards en émission, éléments courbes
Observant ces différents résultats, on constate que l’on n’observe pas de différence
significative entre les deux premières barrettes malgré la préfocalisation en surface de Fermat
de la deuxième sonde. Ceci est dû au fait que les éléments sont de relativement grande taille
et cela réduit considérablement le gain lié à la préfocalisation. En revanche, on constate
clairement un maximum de pression au point focal souhaité (ce qui était le but recherché)
avec tout de même un niveau de «bruit» hors-focale (au voisinage de ± 15 mm) assez élevé.
La comparaison avec les résultats présentés sur la figure 5c est sans appel : la préfocalisation
de la sonde, accompagnée d’une déformation géométrique de chaque élément, conduit à une
focalisation d’une excellente qualité.
Un tel résultat est particulièrement important pour les réseaux de transducteurs dont les
éléments sont d’assez grande taille. Il est du reste essentiel de noter que les sondes qui ont été
réalisées pour le laboratoire (sondes préfocalisées en surface de Fermat) ont des éléments de
taille assez grande, mais déformés géométriquement, toujours conformément au principe de la
172
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
surface de Fermat. Cela permet bien entendu de rendre beaucoup plus efficace le mécanisme
de focalisation du champ de pression acoustique.
Une analyse plus fine des deuxième et troisième cas peut nous conduire aux remarques
suivantes :
• dans le deuxième cas, la barrette est préfocalisée en surface de Fermat, mais les éléments
restent plans : cela revient en fait à «échantillonner» la surface de Fermat par des «marches
d’escalier» plus ou moins fines suivant la taille des éléments,
• dans le troisième cas, la barrette est également préfocalisée en surface de Fermat, mais
chaque élément est déformé géométriquement suivant ce même principe : cela revient à
suivre beaucoup plus finement la véritable surface de Fermat adaptée au point focal
souhaité.
Cet effet peut s’interpréter en terme de directivité des éléments du réseau : on sait que les
petits éléments sont très diffractifs alors que les grands éléments sont plus directifs35,36 ; en
revanche les petits éléments posent des problèmes techniques de fabrication d’une part, et
présentent une sensibilité généralement assez pauvre. On peut illustrer ce phénomène par la
figure suivante :
Figure 6a : barrette plane Figure 6b : barrette préfocalisée
Sur la figure 6a, la barrette plane impose l’utilisation d’une loi de retards de sorte que tous les
signaux temporels émis par les différents éléments atteignent le point focal au même instant,
ce qui conduit à l’effet recherché de focalisation. On constate néanmoins que les éléments du
bord sont «obligés» de tirer de côté pour atteindre le point focal, alors que leur efficacité
maximale (en terme de directivité) se situe devant eux, donc en-dehors de la zone focale. Cela
réduit donc l’amplitude du signal temporel au point focal tout en augmentant le niveau de
«bruit» hors focale.
173
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
Sur la figure 6b, on a exactement l’effet inverse : tous les éléments ont leur efficacité
maximale vers le point focal. Cela conduit donc à augmenter l’amplitude du signal temporel
au point focal tout en réduisant le niveau de «bruit» hors focale.
Un tel effet est particulièrement important pour les éléments de grande taille pour lesquels
l’effet de directivité est essentiel.
VI) Exemple 3 : focalisation à travers un prisme
L’exemple suivant provient d’une simulation entreprise par le Professeur G. Selby, EPRI
NDE Center (Charlotte, Etats-Unis) ; il nous paraît particulièrement instructif pour tous les
problèmes de calcul de lois focales. Nous allons voir que les problèmes posés par cette
simulation apparemment simple sont en fait particulièrement délicats. Il aura fallu une
semaine d’expertise au laboratoire pour arriver à donner une explication aux résultats
«étranges» obtenus par G. Selby, que nous tenons à remercier d’avoir accepté que son étude
figure dans ce manuscrit.
1. Présentation générale du problème
Le problème est relativement simple : il consiste en une barrette plane couplée à un milieu
solide (acier) par un coin de plexiglas. La simulation numérique se décompose alors en deux
étapes :
• calcul de la loi focale pour atteindre un point focal donné dans l’acier,
• calcul du champ acoustique résultant au voisinage de la zone focale désirée.
Tous les calculs sont faits en ondes longitudinales seulement. La configuration géométrique
peut être illustrée par la figure 7.
174
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
20 mm
75 mm
125 mm
point focal
barretteloi de retard
acier
interface
Figure 7 : configuration géométrique de la barrette par rapport à l’interface
plane - tracé des rayons permettant d’atteindre le point focal.
Les paramètres physiques des deux milieux sont les suivants :
• =2430 m/s et c1 ρ1 =1270 kg/m3 pour le plexiglas (assimilé à un fluide),
• =5770 m/s, =3150 m/s et cl ct ρ2 =7700 kg/m3 pour l’acier.
2. Description des barrettes utilisées
Les mêmes simulations sont effectuées avec deux barrettes différentes. Chaque barrette
dispose de 16 voies électroniques d’émission/réception, a une ouverture totale d’environ 55
mm, une fréquence centrale de 4,5 MHz et une bande passante à -6 dB de 70 %.
La première barrette est périodique et composée de 32 éléments rectangulaires ; les éléments
sont couplés deux à deux afin de réduire à 16 le nombre de voies électroniques indépendantes.
175
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
La seconde barrette est aléatoire et composée de 24 éléments rectangulaires ; certains
éléments sont couplés deux à deux, de sorte que le nombre total de voies électroniques
indépendantes se réduit à 16. Les deux barrettes ainsi générées sont représentées sur la figure
8. Voie 1
Voie 2
Voie 3
Voie 4
Voie 5
Voie 6
Voie 7
Voie 8
Voie 9
Voie 10
Voie 11
Voie 12
Voie 13
Voie 14
Voie 15
Voie 16
réseau périodique 32 éléments
Voie 1
Voie 3
Voie 5
Voie 7
Voie 9
Voie 11
Voie 13
Voie 15
Voie 2
Voie 4
Voie 6
Voie 8
Voie 10
Voie 12
Voie 14
Voie 16
réseau aléatoire 24 éléments
Figure 8 : représentation des deux barrettes, périodique à 32 éléments et
aléatoire à 24 éléments, avec couplages correspondants (16 voies électroniques).
3. Les résultats obtenus
Les éléments des barrettes étant de grande taille, le calcul de la loi de retards à l’émission
n’est pas évident puisque le résultat dépend du point de référence considéré sur chaque
élément. Cette difficulté est encore accentuée par le couplage entre plusieurs éléments
consécutifs, un seul retard ne pouvant être retenu dans ce cas.
Afin de résoudre ce problème, nous avons préalablement subdivisé chaque élément en sous-
éléments de plus petite taille conformément aux conditions de validité des approximations
mentionnées précédemment. Pour chacune des 16 voies électroniques, on obtient ainsi une
176
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
série de retards à partir desquels on extrait une valeur unique ; cette extraction utilise deux
algorithmes particuliers (parmi d’autres disponibles) :
• calcul du retard moyen,
• calcul du retard minimal.
Le tableau ci-dessous indique pour chacune des deux barrettes les valeurs des retards ainsi
obtenus pour les 16 voies d’émission/réception (en μ s , la précision étant volontairement
limitée à la nanoseconde). Nous donnons également une représentation graphique de ces
retards en fonction du numéro de voie (la courbe épaisse correspond au calcul du retard
minimal).
Barrette 1 (32 éléments) Barrette 2 (24 éléments)
Voie Retard moyen Retard minimal Retard moyen Retard minimal 1 4,380 4,320 4,894 4,935 2 4,144 4,087 4,611 4,581 3 3,901 3,848 4,313 4,369 4 3,65 3,601 4,005 3,979 5 3,392 3,346 3,733 3,799 6 3,127 3,084 3,483 3,461 7 2,853 2,814 3,247 3,312 8 2,570 2,536 2,941 2,922 9 2,280 2,250 2,642 2,705 10 1,981 1,955 2,345 2,330 11 1,673 1,651 1,956 2,094 12 1,357 1,339 1,632 1,621 13 1,032 1,018 1,279 1,358 14 0,697 0,688 0,877 0,871 15 0,353 0,349 0,456 0,582 16 0,000 0,000 0,000 0,000
0 2 4 6 8 10 12 14 16Numéro de voie
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0 Retard à l'émission (µs)
0 2 4 6 8 10 12
4.0
5.0 Retard à l'émission (µs)
3.0
2.0
1.0
14 16Numéro de voie
0.0
177
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
Observant ces résultats préliminaires, on constate
• que les lois de retards diffèrent significativement de la barrette 1 à la barrette 2,
• que les deux algorithmes de calcul diffèrent plus pour la barrette 2 que pour la barrette 1.
Il reste maintenant à comparer les champs acoustiques générés par ces deux barrettes au
voisinage de la zone focale souhaitée. Les calculs sont faits le long d’une droite contenant le
point focal situé à z=125 mm, perpendiculaire à l’interface, entre z=0 mm (position de
l’interface) et z=200 mm. Les figures suivantes représentent l’amplitude du déplacement
associé aux ondes longitudinales dans le solide.
0.00 2.55 5.10 7.65 10.20Temps (µs)
0
25
50
75
100
125
150
175
200 z (mm)
0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00Valeur maximale du signal temporel
Figure 9a : champ rayonné par la barrette 1 (périodique, 32 éléments)
0.00 2.55 5.10 7.65 10.20Temps (µs)
0
25
50
75
100
125
150
175
200 z (mm)
0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00Valeur maximale du signal temporel
Figure 9b : champ rayonné par la barrette 2 (aléatoire, 24 éléments)
La figure 9 ci-dessus représente le champ en fonction de l’espace et du temps sur les graphes
de gauche, en fonction de la profondeur du point d’observation sur les graphes de droite (par
extraction du maximum des signaux temporels correspondants). La flèche indique la position
du point focal désiré. Ces résultats ont été obtenus en appliquant l’algorithme du retard
moyen.
178
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
En observant ces résultats, on constate que la barrette 1 est beaucoup plus efficace que la
barrette 2 en terme de qualité de focalisation. Un tel résultat peut sembler surprenant alors que
les deux barrettes sont relativement proches géométriquement.
0.00 2.55 5.10 7.65 10.20Temps (µs)
0
25
50
75
100
125
150
175
200 z (mm)
0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00Valeur maximale du signal temporel
Figure 10a : champ rayonné par la barrette 1 (périodique, 32 éléments)
0.00 2.55 5.10 7.65 10.20Temps (µs)
0
25
50
75
100
125
150
175
200 z (mm)
0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00Valeur maximale du signal temporel
Figure 10b : champ rayonné par la barrette 2 (aléatoire, 24 éléments)
La figure 10 est identique à la figure 9, mais les résultats ont été obtenus cette fois en
appliquant l’algorithme du retard minimal. On peut alors faire les constatations suivantes :
• les résultats obtenus avec la barrette 1 sont peu modifiés ; cela était prévisible en observant
la grande similitude entre les deux lois de retards,
• en revanche, la qualité de la focalisation avec la barrette 2 devient maintenant très
largement meilleure qu’avec la précédente loi de retards, et même meilleure qu’avec la
barrette 1.
Ces résultats illustrent l’influence du mode de calcul de la loi de retards sur le diagramme de
focalisation résultant ; cette influence est accentuée par les éléments de grande taille ou
l’introduction de couplages entre éléments d’un réseau.
On peut alors se poser les problèmes suivants :
179
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
• pour la barrette 2, le résultat obtenu est meilleur par l’algorithme du retard minimal que par
celui du retard moyen ; pourrait-on trouver un autre algorithme encore meilleur ?
• serait-il possible de déterminer automatiquement la meilleure façon de calculer la loi de
retards, pour une sonde et un point focal fixés ?
4. La simulation par retournement temporel
Afin de donner quelques éléments de réponse aux questions posées ci-dessus, nous proposons
une simulation utilisant le principe de focalisation adaptative par retournement temporel. Pour
cela, la simulation se décompose en deux temps.
a - Première étape : réception par la barrette
Dans un premier temps, on place une cible réfléchissante à la position du point focal souhaité.
Un émetteur ponctuel situé au-dessus de l’interface crée un champ acoustique transmis dans
l’acier ; ce champ incident est réfléchi par la cible, puis il se propage en direction de la
barrette réceptrice. La position exacte de l’émetteur ponctuel est sans importance dans cette
simulation.
Chaque élément de la barrette mesure ainsi un signal temporel spécifique ; l’ensemble des
signaux temporels ainsi obtenus constitue ce que l’on peut appeler la «signature de la cible» à
travers l’interface.
Cette première phase de la simulation est illustrée par la figure ci-dessous.
180
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
20 mm
75 mm
125 mm
cible réfléchissante
barrette réceptrice
acier
interface
émetteur ponctuel
champincident
champréfléchi
Figure 11 : un émetteur ponctuel crée un champ qui est réfléchi par la cible ; la
barrette réceptrice mesure la «signature de la cible» à travers l’interface.
b - Seconde étape : émission par la barrette
Au cours de la seconde étape, l’émetteur ponctuel et la cible réfléchissante sont retirés, et
chaque élément de la barrette émet le retourné temporel du signal qu’il a reçu au cours de la
première étape. On calcule alors le champ acoustique résultant au voisinage de la position de
la cible réfléchissante (ou point focal souhaité).
Il est également possible de conserver le même schéma directeur, avec une variante consistant
à normaliser les différents signaux avant émission, afin de compenser les effets de réfraction
et diffraction du champ lors de la première phase. Cela permet ainsi d’émettre des signaux
ayant tous la même amplitude maximale.
181
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
Les résultats obtenus avec les barrettes 1 et 2 sont représentés sur les figures 12 et 13
respectivement. Chacune de ces figures représente
• les 16 signaux temporels émis par les différentes voies d’émission/réception (avec ou
sans normalisation),
• l’amplitude maximale du champ résultant en fonction de la profondeur z.
6.9 µs
Voie 1
Voie 16
Voie 1
Voie 16
6.9 µsFigure 12a : signaux émis sans
normalisation Figure 12b : signaux émis avec
normalisation
0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00Amplitude maximale du signal temporel
Figure 12c : amplitude maximale du champ en fonction de la profondeur
(la courbe épaisse correspond aux signaux émis avec normalisation)
Observant la figure 12, on peut faire les remarques suivantes :
• l’effet de normalisation des signaux d’émission est important, en particulier pour les
dernières voies de la barrette,
• les signaux émis par les différentes voies durent plus longtemps (on arrive à identifier
jusqu'à 6 périodes) que le signal d’excitation initialement émis (à peine 3 périodes) : cet
effet est dû à la grande taille des éléments de la barrette,
• dans les deux cas, on constate une nette focalisation au voisinage de z=125 mm, ce qui
correspond bien à la position souhaitée pour le point focal,
182
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
• l’effet de focalisation est meilleur lorsque les signaux sont normalisés par amplification
des voies les plus faibles.
Entre 20 et 50 mm, on peut également observer une amplitude assez forte du champ (cette
amplitude était également observable dans les simulations précédentes) ; cet effet peut être
interprété de la façon suivante :
• cette zone correspond à un angle de tir faible par rapport à la direction normale aux
éléments,
• cet effet est accentué par la périodicité spatiale du réseau qui peut induire des déphasages
entre les signaux temporels propres à générer un champ de grande amplitude,
• en revanche, la zone focale correspond à un angle de tir plus élevé, donc peu favorable en
terme de directivité des éléments.
L’amplitude maximale du champ à une profondeur donnée est donc affectée par deux
phénomènes inverses :
• l’effet d’angle de tir, qui favorise la zone 20-50 mm au détriment de la zone focale,
• l’effet de loi de retards (ou signaux temporels émis) qui lui favorise la zone focale.
De même que pour la barrette 1, on peut faire les remarques suivantes :
• l’effet de normalisation des signaux d’émission est important, en particulier pour les
dernières voies de la barrette,
• les signaux émis par les différentes voies durent plus longtemps que le signal d’excitation
initialement émis,
• les différences entre signaux émis par deux voies consécutives sont plus importantes que
pour la première barrette : ceci est dû à la plus grande irrégularité géométrique des
éléments constituant les 16 voies de la barrette,
• dans les deux cas, on constate une nette focalisation au voisinage de z=125 mm, ce qui
correspond bien à la position souhaitée pour le point focal,
• l’effet de focalisation est meilleur lorsque les signaux sont normalisés par amplification
des voies les plus faibles,
• l’effet d’amplitude importante du champ dans la zone 20-50 mm n’apparaît pratiquement
pas ici : en effet, les éléments étant répartis aléatoirement, les différents signaux temporels
se superposent sans relation particulière entre les phases, ce qui évite l’apparition de
grandes amplitudes parasites en dehors de la zone focale.
183
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
6.9 µs
Voie 1
Voie 16
6.9 µs
Voie 1
Voie 16
Figure 13a : signaux émis sans normalisation
Figure 13b : signaux émis avec normalisation
0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00 Amplitude maximale du signal temporel
Figure 13c : amplitude maximale du champ en fonction de la profondeur
(la courbe épaisse correspond aux signaux émis avec normalisation)
Globalement, on constate que l’apprentissage par retournement temporel constitue un bon
compromis pour focaliser le champ acoustique à l’intérieur du milieu solide, y compris dans
le cas d’éléments de grande taille.
Il est essentiel de noter que le calcul de la loi de retards est particulièrement délicat dans ce
genre de situation, et que le retournement temporel apporte une réponse satisfaisante au
problème.
184
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
c - Extraction d’une loi de retards
L’inconvénient majeur de cette solution est qu’elle requiert l’utilisation d’une électronique
programmable voie par voie. Or ce genre d’équipement n’est pas disponible partout, et
présente la caractéristique d’être beaucoup plus coûteux qu’un système plus classique à base
de retards.
C’est pourquoi nous avons utilisé les signaux temporels représentés sur les figures 12b et 13b
pour essayer d’en extraire une loi de retards ; ces lois de retards ont alors été injectées dans le
processus de simulation afin de calculer les champs acoustiques résultants et les comparer
avec ceux obtenus par la méthode complète de retournement temporel.
Là encore, l’extraction d’une loi de retards à partir d’une série de signaux temporels n’est pas
un problème simple et plusieurs méthodes sont possibles. Parmi l’ensemble des solutions
possibles, nous avons testé deux algorithmes différents :
• localisation de l’amplitude maximale du signal (en valeur absolue),
• localisation de l’amplitude maximale de l’inter-corrélation entre voies consécutives.
Le tableau ci-contre indique pour chacune des deux barrettes les valeurs des retards ainsi
obtenus pour les 16 voies d’émission/réception (en μ s ). Nous donnons également une
représentation graphique de ces retards en fonction du numéro de voie (la courbe épaisse
correspond au calcul du retard obtenu par inter-corrélation).
Les retards indiqués dans ce tableau indiquent clairement que les différences entre les deux
méthodes de calcul sont très faibles pour la barrette 1, plus importantes pour la barrette 2.
Les figures 14a et 14b représentent l’amplitude maximale du champ résultant en fonction de
la profondeur, pour les barrettes 1 et 2 respectivement. Les courbes épaisses correspondent au
calcul de la loi de retards par l’algorithme d’inter-corrélation. On peut faire les remarques
suivantes :
• dans les deux cas, la loi de retards obtenue par localisation de l’amplitude maximale des
signaux reçus en provenance de la cible donne un très médiocre résultat : cette méthode de
calcul des retards est assez inadaptée au problème,
• en revanche, la loi de retards calculée par inter-corrélation conduit à une très bonne
focalisation, en particulier pour la barrette 2.
185
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
Barrette 1 (32 éléments) Barrette 2 (24 éléments)
Voie Position du max. Inter-corrélation Position du max. Inter-corrélation1 4,45 4,38 4,88 5,00 2 4,22 4,14 4,50 4,62 3 3,98 3,90 4,30 4,42 4 3,63 3,65 4,00 4,01 5 3,38 3,39 3,72 3,84 6 3,11 3,12 3,48 3,49 7 2,84 2,85 3,24 3,35 8 2,56 2,57 2,83 2,94 9 2,27 2,28 2,63 2,74 10 1,97 1,98 2,34 2,34 11 1,66 1,67 2,10 2,09 12 1,35 1,35 1,63 1,63 13 1,02 1,02 1,27 1,38 14 0,69 0,69 0,88 0,87 15 0,35 0,35 0,46 0,57 16 0,00 0,00 0,00 0,00
0 2 4 6 8 10 12 14 16Numéro de voie
0.0
1.3
2.5
3.8
5.0 Retard à l'émission
0 2 4 6 8 10 12
3.8
5.0 Retard à l'émission (µs)
2.5
1.3
14 16Numéro de voie
0.0
0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00 Amplitude maximale du signal temporel
0 25 50 75 100 125 150 175 200z (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00 Amplitude maximale du signal temporel
Figure 14a : focalisation par loi de retards - barrette 1
Figure 14b : focalisation par loi de retards - barrette 2
186
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
Ces calculs sont intéressants dans la mesure où ils utilisent la technique de retournement
temporel (technique lourde d’un point de vue expérimental) dans le cadre d’un outil de
simulation ; les résultats sont alors exploités pour extraire une loi de retards adaptée au
problème de focalisation à travers le prisme : cette loi peut alors être injectée dans un
dispositif expérimental classique.
Il faut noter toutefois que la focalisation par loi de retards est possible dans ce cas car la
configuration géométrique considérée s’y prête bien. Pour d’autres configurations plus
complexes (deux interfaces planes parallèles par exemple), le problème de la focalisation peut
difficilement se réduire à une seule loi de retards ; dans ce cas, il semble impératif d’utiliser
les techniques de retournement temporel. Le logiciel Simul-PA est actuellement en cours
d’évolution afin de pouvoir simuler ce genre de configurations plus complexes et réaliser des
comparaisons quantitatives entre la méthode des retards et le retournement temporel.
VII) Exemple 4 : Sélection de cible par retournement temporel
Dans ce quatrième exemple, nous simulons une expérience qui a été réalisée au laboratoire.
Le principe consiste à utiliser la technique du retournement temporel afin de sélectionner une
cible particulière parmi plusieurs cibles disposées devant la sonde.
Afin de simuler l’expérience réalisée au laboratoire, nous nous limitons à deux cibles pour
lesquelles nous faisons les hypothèses suivantes :
• elles sont suffisamment espacées afin d’être «résolues» par la sonde : la sonde arrive à
focaliser sur l’une des cibles sans éclairer l’autre (l’espace séparant les deux cibles est plus
grand que la dimension de la tache focale que peut générer la sonde, par retournement
temporel ou toute autre technique),
• chaque cible réfléchit le champ incident en direction de la sonde réceptrice ; en revanche
nous négligeons l’interaction entre les deux cibles,
• une des cibles a un pouvoir réfléchissant supérieur à l’autre (coefficients 1,0 et 0,75).
Pour cette simulation, on utilise une sonde annulaire sectorielle de 121 éléments, sa fréquence
centrale est 3 MHz, son ouverture totale 53 mm. La sonde est placée à 50 mm d’une interface
plane eau/acier, les deux cibles sont distantes de 20 mm et placées à 25 mm sous l’interface.
187
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
En réalité, nous n’avons pas considéré l’acier comme un milieu solide : nous avons préféré
faire les calculs avec un milieu fluide ayant les mêmes vitesse longitudinale et densité que
l’acier.
La configuration géométrique et la sonde utilisée sont représentées sur la figure 15.
53 mm
eauacier
cible 1 (1,0) cible 2 (0,75)20 mm
25 mm
50 mm
53 mm
sonde
12
345
67 8
9
10
11
121314
15
16
17
18
19
2021 22
23
24
25
26
27
28
2930313233
34
35
36
37
38
39
40
4142 43 44 45
46
47
48
49
50
51
52
53
5455
5657585960
61
62
63
64
65
66
67
68
69
7071
72 73 74 7576
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
8788
8990919293
9495
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107108
109110 111 112 113
114115
116
117
118
119
120
121
Figure 15 : configuration géométrique et sonde utilisée
Nous simulons alors la séquence suivante :
• première itération : seul l’élément central émet, le champ réfléchi par les deux cibles est
alors enregistré par la sonde réceptrice (on distingue alors les deux fronts d’ondes
provenant des cibles),
• deuxième itération : les différents éléments émettent les signaux reçus à l’itération
précédente et retournés temporellement ; ensuite, on procède comme précédemment en
enregistrant le champ réfléchi par les deux cibles,
• et ainsi de suite : on réitère le même processus aussi longtemps que souhaité.
A chaque itération, on calcule également le champ acoustique dans le plan parallèle à la sonde
et contenant les deux cibles, afin de mettre en évidence l’effet de focalisation simultanée sur
chacune des cibles.
La seconde cible ayant une réflectivité moindre, on s’attend à progressivement l’éliminer au
cours des itérations, et à ne finalement conserver que la signature de la cible la plus forte.
188
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
On s’intéresse dans un premier temps à l’allure des fronts d’ondes reçus par la sonde aux
diverses itérations. La figure 16 représente ces fronts d’ondes après les itérations 1 et 4.
Figure 16a : fronts d’ondes reçus
après la première itération
Figure 16b : fronts d’ondes reçus
après la quatrième itération
1 21 41 61 81 101 121Numéro de voie
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00 Amplitude maximal du signal reçu
1 21 41 61 81 101 121Numéro de voie
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00 Amplitude maximale du signal reçu
Figure 16c : maximum du signal reçu
après la première itération
Figure 16d : maximum du signal reçu
après la quatrième itération
Observant la figure 16, on peut faire les remarques suivantes :
• la figure 16a met clairement en évidence la présence de deux fronts d’ondes entremêlés,
correspondant à chacune des deux cibles,
• en revanche, sur la figure 16b ne subsiste quasiment plus qu’un seul des deux fronts,
189
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
• la figure 16c illustre particulièrement l’existence des deux fronts d’ondes par la présence
de maximums réguliers
voies 37-38, 65-66, 101-102 (entre autres) pour le front issu de la cible 1, ⇒
voies 25-26, 49-50, 81-82 (entre autres) pour le front issu de la cible 2, ⇒
• les maximums observés aux voies 25-26, 49-50, 81-82 sont également accompagnés d’une
discontinuité ; compte tenu de la numérotation des éléments (figure 15), cet effet est dû au
changement de couronne qui apparaît dans ces différents cas,
• inversement cette discontinuité n’est pas observée aux voies 37-38, 65-66, 101-102 pour
lesquelles on a continuité de la numérotation des éléments à l’intérieur d’une même
couronne,
• sur la figure 16d, on ne voit plus que le front issu de la cible 1 (la plus forte), un maximum
sur deux ayant disparu par rapport à la figure 16c.
Les figures 17a-17d représentent pour chacune des quatre itérations calculées le champ
généré par la sonde suivant la ligne contenant les deux cibles, ainsi que le maximum du signal
temporel en fonction de la position d’observation. Sur ces figures, on observe clairement :
• l’aptitude de la sonde à focaliser simultanément sur les deux cibles à la première itération,
• la tendance à faire disparaître la signature de la cible la plus faible au fur et à mesure des
itérations.
Ces résultats de simulation sont en accord avec les mesures expérimentales réalisées au
laboratoire.1,2
190
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
10.22 7.66
5.112.55
0.00
Temps (µs)
-20-10
010
20
x (mm)
-20 -10 0 10 20x (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00 Amplitude maximale du champ
Figure 17a : première itération
10.22 7.66
5.112.55
0.00
Temps (µs)
-20-10
010
20
x (mm)
-20 -10 0 10 20x (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00 Amplitude maximale du champ
Figure 17b : deuxième itération
10.22 7.66
5.112.55
0.00
Temps (µs)
-20-10
010
20
x (mm)
-20 -10 0 10 20x (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00 Amplitude maximale du champ
Figure 17c : troisième itération
10.22 7.66
5.112.55
0.00
Temps (µs)
-20-10
010
20
x (mm)
-20 -10 0 10 20x (mm)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00 Amplitude maximale du champ
Figure 17d : quatrième itération
191
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
192