chapter 04 statistics of brittle fracture

27
Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture 254413 Introduction to Contact Mechanics Assistant Professor Thongchai Fongsamootr Mechanical Engineering Department, Chiangmai University

Upload: grid-g

Post on 12-Nov-2014

289 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

Chapter 04Statistics of Brittle Fracture

254413 Introduction to Contact Mechanics

Assistant Professor Thongchai FongsamootrMechanical Engineering Department, Chiangmai University

Page 2: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.1 บทนำ��

• ก�รแตกหั�กของวั�สดุ�เปร�ะนำ��นำจะเก�ดุข��นำเนำ��องจ�กก�รมี�รอยแตกข��นำ ในำขณะท��ชิ้��นำง�นำร�บแรงดุ�ง ต�มีเกณฑ์$ของ

Griffith

2

2

E

c

cK I

Page 3: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.2 Basic Statistics

• ถ้&�ก��หันำดุใหั& X เป'นำค่)�ต�วัแปรท��ส�)มีมี� ต�วัอย)�งเชิ้)นำ X อ�จจะเป'นำจ��นำวันำของก�รออกหั�วัจ�กก�รโยนำเหัร�ยญ

• จ�กแต)ละค่)�ของ X จะมี�ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&เท)�ก�บ

• ต�วัอย)�งเชิ้)นำ P(X=1) อ�จใหั&ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รโยนำออกหั�วั 1 ค่ร��ง ในำก�รโยนำเหัร�ยญ 2 ค่ร��ง ไดุ&เป'นำ f(x)

ท��เร�ยกวั)� probability function

xfxXP

ร.ปท�� 4.2.1 ร.ปท�� 4.2.2

Page 4: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.2 Basic Statistics

• ผลรวัมีของค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ท��งหัมีดุเท)�ก�บ

• โดุยท��

• ส��หัร�บฟั1งก$ชิ้��นำต)อเนำ��องจะไดุ&วั)�

xFxXP

x

u

ufxF

dxxfbxaPb

a

ร.ปท�� 4.2.3

Page 5: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.2 Basic Statistics

• และผลรวัมีของค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&เท)�ก�บ

xx

duufufxFxXP

Page 6: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.1 Strength and failure probability• พิ�จ�รณ�โซ่)ท��ประกอบ n ข&อโซ่) ร�บนำ���หันำ�ก W

• จ�กก�รใหั&ภ�ระท��ใหั&เก�ดุค่วั�มีเค่&นำ a ในำแต)ละข&อโซ่)• ถ้&�ใหั& Tensile strength ของแต)ละข&อโซ่)เป'นำต�วัแปร

แบบต)อเนำ��อง S โดุยท��มี�ค่)�อย.)ระหัวั)�ง – ถ้�ง • แต)ในำแง)ค่วั�มีเป'นำจร�งข&อโซ่)จะเก�ดุก�รเส�ยหั�ยในำขณะท��ร �บ

แรงดุ�ง จ�งพิ�จ�รณ�เฉพิ�ะ S>0

• หัร�อในำแง)ถ้.กต&องมี�กข��นำ S > u

ร.ปท�� 4.3.1

Page 7: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.1 Strength and failure probability• โอก�สท��แต)ละข&อโซ่)จะมี�ค่)� Tensile Stress S นำ&อยกวั)�

a จะส�มี�รถ้หั�ไดุ&จ�ก

• ถ้&� a เป'นำค่วั�มีเค่&นำท��กระท�� อะไรค่�อค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รเส�ยหั�ยของโซ่)?

0

dfF

aSPF 0

Page 8: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.1 Strength and failure probability• ถ้&�โซ่)มี�จ��นำวันำ n ข&อโซ่) ดุ�งนำ��นำโซ่)จะเส�ยหั�ยเมี��อ มี�ข&อโซ่)ใดุ

ข&อหันำ��งมี�ค่)� Strength > a

• ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รเส�ยหั�ยจะมี�ค่)�เท)�ก�บ

• และค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ท��ไมี)เก�ดุก�รเส�ยหั�ยจะมี�ค่)�เท)�ก�บ

• และค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ท��ไมี)เก�ดุก�รเส�ยหั�ยรวัมี

a

dfSPF aa

0

0

as FP 1

nanaaaas FFFFFP 11111 321

Page 9: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.1 Strength and failure probability• ดุ�งนำ��นำค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รท��โซ่)จะเก�ดุก�รเส�ยหั�ยจ�งมี�ค่)�

เท)�ก�บ

• อะไรค่�อค่)� F()? Weibull ไดุ&เสนำอผลรวัมีของค่วั�มีเป'นำไปไดุ&เท)�ก�บ

• โดุยท�� u o และ m เป'นำค่)�ต�วัแปรท��ปร�บเปล��ยนำไดุ&

naf FP 11

m

o

uaF

exp1

Page 10: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.1 Strength and failure probability

• u เป'นำระดุ�บค่วั�มีเค่&นำท��ก�รเส�ยหั�ยไมี)เค่ยเก�ดุข��นำ• o เป'นำต�วัชิ้��วั�ดุของสเกลของค่วั�มีแข6งแรง และ • m เป'นำต�วัแสดุงก�รกระจ�ยของค่วั�มีแข6งแรง

• แทนำสมีก�รท�� 4.3.1f ลงในำสมีก�รท�� 4.3.1e จะไดุ&วั)�

• หัร�อ

m

o

uaf nP

exp1

m

o

uaf LP

exp1

Page 11: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.2 The Weibull parameters

• ต�วัแปร u เป'นำค่)�ค่วั�มีแข6งแรงต���ส�ดุ ถ้&�ท�กข&อโซ่)มี�ค่)�ค่วั�มีแข6งแรงมี�กกวั)�นำ�� จะไดุ&วั)�ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�ร

อย.)รอดุในำก�รร�บค่วั�มีเค่&นำ a มี�ค่)�เท)�ก�บ 1• ต�วัแปร m เร�ยกวั)� Weibull modulus ซ่��งถ้&� m มี�ค่)�

ส.งแสดุงวั)�ก�รกระจ�ยของค่วั�มีเค่&นำแค่บ • ต�วัอย)�งเชิ้)นำ ถ้&� m -> จะไดุ&วั)�ท�กข&อโซ่)มี�ค่)�ค่วั�มีแข6ง

แรงเท)�ก�นำท�กข&อ • ค่)อนำข&�งย�กในำก�รใหั&ค่��จ��ก�ดุค่วั�มีของค่)� o

Page 12: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.2 The Weibull parameters

• Weibull: “o is that stress which for the unit of volume gives the probability of rupture

S=0.63”

• Davidge: “o is a normalized parameter of no physical significance...”

• Matthewson: “o gives the scale of strength

ร.ปท�� 4.3.2

Page 13: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.3 Weibull Statistics

4.3.2 The Weibull parameters• ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&รวัมีไดุ&จ�กก�รรวัมีค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&

ท��งหัมีดุ • ส��หัร�บกรณ�ท�� n=1 จะไดุ&วั)�

• ซ่��งเมี��อนำ��มี�พิล6อตระหัวั)�ง f() ก�บ a จะไดุ&ดุ�งร.ปท�� 4.3.2

m

o

ua

m

o

ua

o

mf

exp

1

Page 14: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.1 Weibull probability function• เมี��อพิ�จ�รณ�พิ��นำท��ของวั�ตถ้�เปร�ะ A ซ่��งประกอบดุ&วัย da

เอล�เมีนำต$• โดุยท��

– แต)ละเอล�เมีนำต$ da มี�ค่)�ค่วั�มีแข6งแรงในำก�รแรงดุ�ง– ก�รแตกหั�กของชิ้��นำง�นำเป'นำผลจ�กค่วั�มีเค่&นำดุ�งท��กระท��เมี��อมี�

พิ��นำท��ใดุมี�ก�รเส�ยหั�ยเก�ดุข��นำ– ก�รเส�ยหั�ยของเอล�เมีนำต$เมี��อมี�รอยแตกท��มี�ขนำ�ดุใหัญ)กวั)�ขนำ�ดุ

วั�กฤต�ต�มีหัล�กก�รของ Griffith

• ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รเส�ยหั�ยของแต)ละเอล�เมีนำต$ท��ร �บค่วั�มีเค่&นำ a ซ่��งจะส�มีพิ�นำธ์$ก�บค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของเอล�

เมีนำต$ท��มี�รอยแตกขนำ�ดุใหัญ)กวั)�ขนำ�ดุวั�กฤต�

Page 15: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.1 Weibull probability function• The weibull probability functions จะส�มี�รถ้

เข�ยนำไดุ&ดุ�งนำ��

• โดุยท�� เป'นำค่)�ค่วั�มีหันำ�แนำ)นำของรอยแตก• ในำกรณ�ท��วัไปค่)�ค่วั�มีเค่&นำอ�จจะมี�ค่)�ไมี)ค่งท��ตลอดุท��งพิ��นำท��

A ดุ�งนำ��นำจะส�มี�รถ้เข�ยนำสมีก�รใหัมี)ไดุ&เป'นำ

m

o

uaf AP

exp1

A m

o

uaf daP

0

exp1

Page 16: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.1 Weibull probability function• ถ้&�รวัมีผลของ เข&�ไปในำเทอมีของ F() จะไดุ&วั)�

• โดุยท��

• บ�งค่ร��งก6จะเข�ยนำเป'นำ

m

uaf AP

*exp1

m

o1

*

*

1

k muaf kAP exp1

Page 17: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.2 Determine the Weibull parameter• โดุยท��วัไป Weibull parameter นำ��นำส�มี�รถ้หั�ไดุ&จ�ก

ก�รทดุสอบ

• จ�กนำ��นำ take ln ท��งสองข&�ง สองค่ร��ง จะไดุ&วั)�

m

ua

f

AP *

exp1

1

*lnln

1

1lnln

ua

f

mAP

Page 18: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.2 Determine the Weibull parameter

• ถ้&�ก��หันำดุใหั& u = 0 จะไดุ&วั)�

• เมี��อพิล6อตระหัวั)�ง ln ln (1/(1-Pf)) ก�บ ln a จะใหั&ค่)�ของ m และ *

*lnln

1

1lnln

a

f

mAP

*lnlnln mAm a

Page 19: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.2 Determine the Weibull parameter

• ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ของก�รเส�ยหั�ย Pf ค่�อค่)�อ�ตร�ส)วันำของชิ้��นำง�นำท��เก�ดุก�รเส�ยหั�ยต)อจ��นำวันำท��งหัมีดุ

• ต�ร�งท�� 4.4.1 แสดุงค่)� weibull parameter

ต�ร�งท�� 4.4.1

Page 20: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.3 Effect of biaxial stresses• โดุยท��วัไปชิ้��นำง�นำท��ร �บแรงแนำวัเดุ�ยวัจะมี�ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&

ต)อก�รเส�ยหั�ยต���กวั)�ชิ้��นำง�นำท��ร �บแรงสองแนำวั• ในำกรณ�ของ biaxial stress ค่)�ค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�ท��มี�มี

ต)�งๆ จะไดุ&วั)�

• โดุยท�� ค่�อมี�มีของรอยแตกท��ท��ก�รค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��มี�กท��ส�ดุ

• Weibull นำ��นำต&องก�รลดุค่วั�มีเค่&นำหัล�กใหั&เหัล�อเพิ�ยงค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�เพิ�ยงอ�นำเดุ�ยวัส��หัร�บแต)ละแนำวัของ

รอยแตก

2

22

1 sincos

Page 21: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.3 Effect of biaxial stresses• The correction ของ risk function B จะมี�ค่)�เท)�ก�บ

• เป'นำมี�มีระหัวั)�งค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�ก�บแนำวัแกนำ • ในำกรณ�ของ x = y และ m = 3 จะไดุ&วั)�

2

0

22

21

121 sincoscos2

ddkBmm

32.3exp1 kPf

Page 22: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.3 Effect of biaxial stresses• ค่)� weibull parameter (m และ k) นำ��นำส�มี�รถ้หั�ไดุ&

จ�กก�รทดุสอบ ดุ�งนำ��นำค่)� biaxial correction factor นำ��นำจะต&องหั�ในำล�กษณะกล�บก�นำ (reverse direction)

• Beason ไดุ&ก��หันำดุใหั& C(x,y) เป'นำ stress correction factor ส��หัร�บกรณ� biaxial ท��จ�ดุต)�งๆ• จ�ดุท��มี�ค่)� Principal stress เท)�ก�นำนำ��นำ จะมี�ค่)�

C(x,y)=1

• ดุ�งนำ��นำ max จะมี�ค่)�เท)�ก�บ principal stress

• Beason ไดุ&ก��หันำดุไวั&วั)�

mmdnyxC

1

2

0

22 sincos2

,

Page 23: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.3 Effect of biaxial stresses

• โดุยท�� n ค่�ออ�ตร�ส)วันำระหัวั)�งค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��นำ&อยท��ส�ดุก�บค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��มี�กท��ส�ดุ

• ส��หัร�บ upper limit /2 นำ��นำใชิ้&ก�บกรณ�ท��ค่)�ค่วั�มีเค่&นำหัล�กท��งสองเป'นำค่วั�มีเค่&นำดุ�ง

• ถ้&�ต�วัใดุต�วัหันำ��งเป'นำค่วั�มีเค่&นำกดุ upper limit จะเท)�ก�บ

m

mdnyxC

1

2

0

22 sincos2

,

2

1

min

max1tan

Page 24: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.3 Effect of biaxial stresses• จะเหั6นำวั)� C(x,y) จะมี�ค่)�ลดุลงเมี��อค่)� n เพิ��มีข��นำ

ต�ร�งท�� 4.4.2

Page 25: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.4 Determining the probability of delayed failure

• จ�กบทท��แล&วัจะเหั6นำวั)�ขนำ�ดุรอยแตกวั�กฤต�นำ��นำส�มี�รถ้หั�ไดุ&จ�กค่)� KIC

• โดุยท��ค่)� KIC มี�ค่)�ข��นำอย.)ก�บ a และ c• ดุ�งนำ��นำในำกรณ�ค่)� KIC จ�งเป'นำค่)�ท��แสดุงถ้�งก�รเส�ยหั�ยของ

วั�สดุ�ท��ร �บ a

• ส��หัร�บค่วั�มีเค่&นำกระท�� sa ค่)�ค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รเส�ยหั�ย Pf ของพิ��นำท�� A ท��มี�รอยแตกขนำ�ดุใหัญ)กวั)�ขนำ�ดุวั�กฤต�

ท��ใหั&เก�ดุก�รเส�ยหั�ย• อย)�งไรก6ต�มี ก�รขย�ยต�วัของรอยแตกก6ย�งส�มี�รถ้เก�ดุ

ข��นำไดุ&ถ้&�สภ�วัะแวัดุล&อมีส)งเสร�มี

Page 26: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.4 Determining the probability of delayed failure

• ซ่��งจะท��ใหั&รอยแตกท��มี�ขนำ�ดุนำ&อยกวั)�ขนำ�ดุวั�กฤต�มี�ก�รขย�ยต�วัจนำถ้�งขนำ�ดุวั�กฤต�ไดุ&

• ดุ�งนำ��นำก�รเส�ยหั�ยในำเวัล� tf ท�� a จ��เป'นำท��จะต&องรวัมีค่วั�มีเป'นำไปไดุ&ในำก�รท��รอยแตกจะขย�ยต�วัไปจนำขนำ�ดุ

วั�กฤต�ดุ&วัย• จ�กสมีก�รท�� 4.4.1e ส�มี�รถ้เข�ยนำไดุ&ใหัมี)เป'นำ

mef kAP exp1

Page 27: Chapter 04 Statistics of Brittle Fracture

4.4 The strength of brittle solids

4.4.4 Determining the probability of delayed failure

• ในำก�รขนำ�ดุของค่วั�มีเค่&นำเท�ยบเท)�จะส�มี�รถ้หั�ไดุ&ต�มีวั�ธ์�ท�ไดุ&แสดุงในำบทท�� 3

• equivalent stress ค่วัรมี�ค่)�เท)�ไร– ค่��นำวันำค่)� cu จ�กสมีก�รท�� 3.5c

– ค่��นำวัณค่)� ci จ�กสมีก�รท�� 3.5b

– ถ้&� ci มี�กกวั)� cu แสดุงวั)� equivalent stress = p (สมีก�รท�� 3.5a) แต)ถ้&� ci นำ&อยกวั)� cu equivalent stress = u