chapter 1: basic concept in the analysis of statically … · 2013-08-25 · 1.2...

บทท 1 บทนา

หนาท 1-1

บทท บทนา Introduction

1

เนอหา 1.1 ความรทตองการ 1.2 พฤตกรรมโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต: ขอดและขอดอย 1.3 การจาแนกชนดโครงสราง 1.4 สมการสมดลแรง 1.5 อนดเทอรมเนทเชงแรง 1.6 อนดเทอรมเนทเชงการเคลอนท 1.7 โครงสรางไรเสถยรภาพ 1.8 เงอนไขความสอดคลองทางการเคลอนท 1.9 ความสมพนธระหวางแรง-การเคลอนท 1.10 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต วตถประสงค - เขาใจพฤตกรรมของโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท - รความแตกตางของการวเคราะหโครงสรางแบบดเทอรมเนท และอนดเทอรมเนท

1.1 ความรทตองการ กระบวนวชา 251312 การวเคราะหโครงสราง จะเปนการวเคราะหโครงสรางเพอหาผลตอบสนองเนองจากผลของแรงกระทาตอโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต (Statically Indeterminate structures) โดยจาเปนตองอาศยความรทไดศกษาผานมา ดงน การพจารณาเสถยรภาพของโครงสราง และการคานวณดกรของความเปนอนดเทอรมเนททาง

สถต (Degree of static indeterminacy, DI) การคานวณหาแรงปฏกรยา และแรงภายใน โดยอาศยระบบสมการสมดลของแรง (equilibrium

equation) การรางรปการโกง และคานวณระยะการโกง (deflections) โดยอาศยวธตางๆ ไดแก

คานคอนจเกต (Conjugate beam) งานเสมอน (Virtual work) อนๆ


หนาท 1-2

ทฤษฎท 2 ของคาสตเกลยโน การวเคราะหคานตอเนองและคานทมการยดรงโดยวธความลาดชน-การโกง (slope-deflection

method) และวธการกระจายโมเมนตดด (moment distribution) การเขยนเสนอนฟลเอนซ (Influence lines) สาหรบโครงสรางแบบดเทอรมเนททางสถต การแกสมการระบบเชงเสน และ สมการเชงเมตรกซ

ตารางท 1.1 แสดงเนอหาทจะเรยน และความรทตองการในแตละบท บทท หวขอทเรยน เนอหาทเปนพนฐานทตองการ

1 บทนา การพจารณาเสถยรภาพของโครงสราง และการคานวณดกรความเปนอนดเทอรมเนททางสถต การคานวณหาแรงปฏกรยา และแรงภายใน โดยระบบสมการสมดลของแรง

2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง

การรางรปการโกง และคานวณระยะการโกง ทฤษฎท 2 ของคาสตเกลยโน

3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต

การเขยนเสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบดเทอรมเนททางสถต, การหาระยะโกงดวยวธคานคอนจเกต

4 การวเคราะหโครงสรางโดยวธความลาดชน-การโกงตว

การวเคราะหคานตอเนองและคานทมการยดรงโดยวธความลาดชน-การโกงตว

5 การวเคราะหโครงสรางโดยวธการกระจายโมเมนตดด

การวเคราะหคานตอเนองและคานทมการยดรงโดยการกระจายโมเมนตดด

6 การวเคราะหโครงสรางโดยวธเมตรกซความแขง

การแกสมการระบบเชงเสน และ สมการเชงเมตรกซ

7 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน

การหาความเคนดด การวเคราะหหนาตด การหาแกนสะเทน

1.2 พฤตกรรมโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต: ขอดและขอดอย พจารณาคาน ก และ คาน ข ซงเปนคานดเทอรมเนททางสถต และอนดเทอรมเนททางสถตตามลาดบ โดยคานทงสองรบนาหนกบรรทกเหมอนกน มขนาดหนาตด ระยะชวงพาดเทากน และมคณสมบตวสดเหมอนกน สามารถเปรยบเทยบไดดงน ขอด 1. คานแบบอนดเทอรมเนททางสถตมความแขง (Stiffness) สงกวา


หนาท 1-3

จากรปท 1.2 หากเปรยบเทยบระยะแอนตว คาน ข จะเกดระยะแอนตวนอยกวาคาน ก หรอมความแขง (Stiffness) สงกวานนเอง 2. คานแบบอนดเทอรมเนททางสถตจะเกดความเคนตากวา

จากรปท 1.2 หากเปรยบเทยบโมเมนตดดสงสดทเกดขน จะเหนวา คาโมเมนตดดทมากทสดของคาน ข จะนอยกวาคาน ก 3. การกระจายแรงเมอเกดสภาวะนาหนกกระทามากกวาปกต ในกรณเกดแรงกระทามากกวาปกต เชน การเกดแผนดนไหว โครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตจะมการถายภาระนาหนกกระทาไปสสวนอนหากจดรองรบอนไดโดยไมเกดการพง ทลาย จากรปท 1.3 หากจดรองรบ B ไมสามารถรบนาหนกได นาหนกทเหลอจะถายไปสจดรองรบ A กบ C โดยคานยงคงมเสถยรภาพ สาหรบกรณคาน ก จะเกดการพงทลายทนท ขอดอย 1. เกดความเคนเนองจากการเคลอนทของจดรองรบ สาหรบแบบอนดเทอรมเนททางสถต เชน คานทมจดรองรบมาก หากเกดการทรดตวจะดงรงใหคานตกตามไปดวย และเกดความเคนเพมขน จากรปท 1.4 หากจดรองรบ B เกดการเปลยนตาแหนงจะรงใหคานลงไปได และจะเกดความเคนเพมขนสาหรบคาน ข (สงเกตไดวาคานมการดดโคง) แตจะไมมความเคนสาหรบคาน ก 2. เกดความเคนเนองจากการเปลยนอณหภม และการประกอบชนสวนผดพลาด การเปลยนแปลงอณหภมทาใหชนสวนโครงสรางเกดการยด-หด หากมการยดรง จะทาใหการยด-หดไมสามารถเกดขนไดอยางอสระ และจะเกดความเคนขนได จากรปท 1.5 เมอมการยด-หด หากจดรองรบ B มสภาพยดรง จะทาใหเกดแรงตานการยดรง และเกดความเคนในวสด คาน ก คาน ข

การแอนตวของคานดเทอรมเนททางสถต

การแอนตวของคานอนดเทอรมเนททางสถต

รปไดอะกรมของโมเมนตดด รปไดอะกรมของโมเมนตดด

รปท 1.2 เปรยบเทยบคานแบบดเทอรมเนททางสถต และอนดเทอรมเนททางสถตรบนาหนก


หนาท 1-4

จดตอหมนไดภายใน (internal hinge)

คานยงคงมเสถยรภาพทางสถต

จดตอหมนไดภายใน (internal hinge)

คานไมมเสถยรภาพทางสถต คาน ก ดเทอรมเนททางสถต คาน ข อนดเทอรมเนททางสถต

รปท 1.3 การรกษาเสถยรภาพเมอการรบภาระเกนกาลงของจดรองรบ

จดตอหมนไดภายใน (internal hinge) คาน ก ดเทอรมเนททางสถต คาน ข อนดเทอรมเนททางสถต

รปท 1.4 ความเคนทเกดขนมจดรองรบมการเปลยนตาแหนง คาน ก ดเทอรมเนททางสถต คาน ข อนดเทอรมเนททางสถต

รปท 1.5 ความเคนทเกดขนมจดรองรบมการยด-หด


หนาท 1-5

1.3 การจาแนกชนดโครงสราง ในธรรมชาตโครงสรางทกรปแบบทใชสาหรบถายนาหนกจากจดหนงไปยงอกจดหนงจะเปนรปทรง 3 มต โดยหลกการแลว ในการวเคราะหอาจจาลองเปนโครงสรางยดหยน 3 มตและแกปญหาระบบสมการตางๆ เพอใหไดการตอบสนองของโครงสรางเนองจากแรงกระทา อยางไรกตาม การวเคราะหแบบ 3 มตจะมความยาก และใชเวลาในการวเคราะหมาก หลายๆกรณ โครงสราง จะมคณลกษณะของรปทรงและแรงกระทาทสามารถทาการวเคราะหใน 2 มต ซงจะทาใหลดความยงยากและลดเวลาทใชในการวเคราะหลงมาก รปแบบโครงสรางสวนใหญทใชในการรบนาหนกไดแก คาน (beams) โครงถกในระนาบ (plane truss) โครงถก 3 มต (space truss) โครงขอแขงระนาบ (plane frame) โครงขอแขง 3 มต (space frame) ชนสวนโคง (arches) เคเบล (cables) โครงสรางแผนบาง (plates และ shells) เปนตน ดงรปท 1.6 โครงสรางแตละชนดจะมลกษณะในการรบแรงแตกตางกนออกไป

โครงสราง 2 มต และ 3 มต รปท 1.6 (ก)


หนาท 1-6

รปท 1.6 (ข) รปแบบโครงสรางทวไป

รป 1.6 รปแบบโครงสรางตางๆ คาน คอ โครงสรางองคประกอบอยางงายทใชงานอยางกวางขวางเพอรองรบนาหนกกระทา รปรางคานอาจเปนคานตรงหรอคานโคง ดงแสดงในรป. 1.7 (ก) เปนจดรองรบหมนได (hinged) ทางดานซาย และ เปนจดรองรบเลอนได (roller) ทางปลายดานขวา โดยปกต แรงกระทาจะสมมตใหกระทาบนคานในระนาบแกนสมมาตรของหนาตดคาน คานอาจมจดรองรบทงสองจดหรอมากกวานนตามทปรากฏในรป 1.7 (ข) บางทคานอาจโคงในระนาบตามทปรากฏในรป 1.7(ค) คานแบกรบนาหนกโดยการกระจายไปในระนาบเดยวกนโดยไมทาใหเกดการบดหากคานทมแกนสมมาตร โดยทวไปความเคนภายในหนาตดของคานจะเกดจาก โมเมนตดด แรงเฉอน และแรงตามแนวแกน


หนาท 1-7

โครงสรางแบบระนาบโครงถก (plane trusses) (ดงรปท 1.8 (ก) (ข), (ค)) เปนโครงสรางทพบเหนไดทวไปในโครงสรางทมชวงพาดยาว เชน สะพาน หลงคาโรงงาน เปนตน โครงสรางประเภทน จะประกอบขนจากชนสวนยอยเชอมตอเขาดวยกนดวยจดยดหมนได (hinges) ใหมลกษณะเปนรปรางแบบโครงสามเหลยม (triangulated patterns) ชนสวนแตละชนจะรบเพยงแรงตามแนวแกนและแรงจะมขนาดคงทตลอดความยาวของชนสวนนน ๆ จดรองรบของโครงสรางจะเปนแบบหมนได (hinged) sหรอไมกแบบเลอนได (roller) แมวาในการกอสรางจรง จดเชอมตอของชนสวนมกจะทาใหยดแนนโดยวธการเชอม อยางไรกตาม การวเคราะหจะคดใหมลกษณะเปนจดตอหมนได โดยความคลาดเคลอนทเกดนนมเพยงเลกนอยจนสามารถละเลยได สาหรบโครงถก 3 มต (space truss) (ดงรปท 1.8 (ง)) เมอมแรงกระทา ชนสวนอาจเคลอนออกในทก ๆ ทศทาง

รปท 1.7 คานแบบตางๆ

(ก) คานธรรมดา

(ข) คานตอเนอง

(ค) คานโคง


หนาท 1-8

(ก) Pratt Truss

(ข) Warren Truss

(ค) Double Warren Truss

รปท 1.8 โครงถกแบบตางๆ

(ง) Space Truss


หนาท 1-9

โครงขอแขงระนาบ (plane frames) ประกอบจากชนสวนประเภทคานและเสา และยดใหแนนทจดเชอมตอตามทปรากฏในรป. 1.9 (ก). แรงภายในทเกดขนบนหนาตดใดๆของชนสวน คอ โมเมนตดด แรงเฉอน และแรงตามแนวแกน สาหรบโครงขอแขง 3 มต (space frames) (ดงรปท 1.9 (ข)) ชนสวนจะวางเอยงตวในทศทางใดๆ

ครงขอแขงรปท 1.9 โ 1.4 สมการสมดลแรง

พจารณากรณ หนงสอวางอยบนโตะทไมมความฝดบนพนผว หากมแรงตามแนวนอน F1 ดงรปท 1.10 (ก) หนงสอจะเคลอนทในทศทางของแรงทกระทา แตหากใหแรงกระทาตงฉากกบหนงสอ ดงรปท 1.10 (ข) หนงสอจะอยในตาแหนงเดม เนองจากในกรณน ผลรวมเวกเตอรของแรงทงหมดทกระทากบหนงสอมคาเปน ศนย เมอวตถเคลอนท นวตนไดอธบายโดยอาศยกฏของทสองทเปนทรจกใน กฏของการเคลอนท ตามสมการเวกเตอร อาจเขยนไดดงน

(1.1)

n

lii maF


หนาท 1-10

รปท 1.10(ก)

รปท 1.10(ข)

รปท 1.10 เงอนไขสมดลแรงของวตถ

ซง คอ เวกเตอรรวมแรงกระทาภายนอกทกระทากบวตถ m คอ มวลรวมของวตถ และ a คอ เวกเตอรความเรง แตหากวตถอยในภาวะสมดลทไมมการเคลอนท คาในทางขวาของสมการตองเทากบศนย นอกจากนน ผลรวมเวกเตอรทงหมดของโมเมนตภายนอกตองมคาเทากบศนยดวย 0M ดงนน หนงสอทวางอยบนโตะรบแรงภายนอกตามทปรากฏในรป1.10 (ข) จะอยในสภาพสมดลสถต สมการสมดลนนเปนไปตาม กฏขอทสองของนวตน สาหรบเวกเตอรแรงกระทาใน 3 มตจะสามารถแตกเปนเวกเตอรทตงฉากในสามแกน ไดแก X, Y และ Z (Cartesian) ในสภาวะสมดล ผลรวมของเวกเตอรแรงรวมทงโมเมนตจะมคาเปนศนย ดงน

li

iFn

(1.2) 0 ;0;0 zyx FFF

(1.3) ;0;0 zyx MMM 0

เมอพจารณาโครงสรางซงอยในระนาบ xy โดยแรงกระทาเฉพาะในทศ x และ y และโมเมนตภายนอกกระทาบนโครงสรางรอบแกน z เงอนไขของสมดลสถต สามารถอธบายเปนสมการไดดงน


หนาท 1-11

(1.4) 0;0;0 zyx MFF

โดยอาศยสามสมการทกลาวขางตน จะสามารถหาแรงปฏกรยาทจดรองรบในคานดงปรากฏในรป. 1.11 ได และจะประเมนผลลพธของความเครยดภายในหนาตดคานตอจากนได หากจานวนของปฏกรยาทไมทราบคามากกวาจานวนของสมการสมดล (เชนในกรณของคานทปรากฏในรปท 1.12) จะไมสามารถจะหาแรงปฏกรยาโดยอาศยเฉพาะสมการสมดล โครงสรางดงกลาว เปนทรจกกนวาเปนโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท (statically indeterminate) ในกรณดงกลาว การวเคราะหตองการสมการเพมเตม (compatibility equations) นอกเหนอจากสมการสมดลทมอย

รปท 1.11 คานดเทอรมเนท

รปท 1.12 คานอนดเทอรมเนท 1.5 อนดเทอรมเนทเชงแรง วตถประสงคของการวเคราะหโครงสรางนนเพอหาแรงปฏกรยาภายนอก รปรางทผดรปไป และความเคนภายในโครงสราง หากสามารถหาผลลพธเหลานนโดยใชแคสมการสมดลแลวโครงสรางนนเปนทรจกกนวาเปนโครงสรางแบบดเทอมเนท (determinate) อยางไรกตาม โครงสรางโดยทวไปมกจะไม


หนาท 1-12

สามารถทจะคานวณหาแรงปฏกรยาหรอความเคนภายในโดยใชเพยงแคสมการสมดลเทานน เรยกโครงประเภทนวา โครงสรางแบบอนดเทอนมเนท (indeterminate) หรอ เปนโครงสรางทไมทราบคาแรง ในโครงสรางดงกลาว อาจไมทราบคาแรงภายใน (Internal indeterminate) หรอภายนอก (External indeterminate) หรอทงสองแบบกได โครงสรางจะเปน externally indeterminate หากจานวนของปฏกรยามมากเกนจานวนสมการสมดล ดงเชนคานทปรากฏในรปท 1.13 (ก) และ (ข) มแรงปฏกรยาสแรงในขณะทมสมการสมดลเพยงสามสมการ ดงนนคานในรปท 1.13 (ก) และ (ข) เปน externally indeterminate ดกรท 1 เชนเดยวกบคานและเฟรมดงแสดงในรปท 1.13 (ค) และ (ง) ซงเปน externally indeterminate ดกรท 3

พจารณาโครงถก (trusses) ทปรากฏในรปท 1.14 (ก) และ (ข). ในโครงสรางเหลานแรงปฏกรยาอาจหาไดตามสมการสมดล อยางไรกตามชนสวนของแรงไมสามารถพจารณาตามหลกสถตศาสตรไดเพยงอยางเดยว ในรปท 1.14 (ก) หากชนสวนหนงในแนวทแยงถกลบออก (ตด) จากโครงสรางแลวแรงในชนสวนทเหลอนนจะสามารถคานวณไดตามสมการสมดล ดงนนโครงสรางทปรากฏ

รปท 1.13 โครงสรางแบบ Externally Statically

(ก)

(ข)

(ค)

(ง)


หนาท 1-13

ในรปท 1.14 (ก) และ (ข) จงเปนโครงสรางแบบ internally indeterminate ดกรทหนง โครงถก (truss) และ โครงขอแขง (frame) ในรปท 1.15 (ก) และ (ข) เปนโครงสรางแบบ internally-externally indeterminate

โครงสรางอนดเทอรมเนทเชงแรงแบบภายใน

(ก) Plane Truss

(ข) Space Truss

รปท 1.14


หนาท 1-14

จากทผานมา ไดกาหนดในระดบของอนดเทอรมเนท (Degree of indeterminacy) โดยวธการพจารณารปทรง แตวธการดงกลาวจะทาไดลาบากขนเมอจานวนชนสวนของโครงสรางเพม โดยจาเปนตองสรางสมการในการคานวณ พจารณาโครงสราง truss ทมชนสวนจานวน m (1 ชนม 1 แรงตามแนวแกน) และจานวนขอตอ j ใหจานวนของแรงปฏกรยาทไมรในโครงสรางคอ r รวมจานวนแรงทไมทราบคาทงหมดคอ m + r เมอพจารณาแตละจดตอ 1 ตาแหนงใดๆ จะสามารถเขยนสมการสมดลแรง

ไดสองสมการ ไดแก และ 0xF 0yF ดงนน จานวนสมการสมดลทงหมดจากจานวนจดตอจะมอย 2j สมการ หากนาจานวนสมการมาเทยบกบจานวนแรงไมทราบคา โดยเมอ rmj 2 โครงสราง ดงกลาวจะเปนโครงสรางชนด statically determinate เนองจากจานวนแรงทไมทราบคานนเทากบจานวนของสมการสมดลทสามารถนามาใช สาหรบการคานวณหา Degree of indeterminacy จะสามารถหาไดจาก

(1.5) ตอจากน จะสามารถเขยนสมการเพอคานวณ ระดบของอนดเทอรมเนท (Degree of indeterminacy) อยางงาย ๆ สาหรบกรณโครงถก 3 มต (space truss) หรอ โครงขอแขงระนาบ (plane

(ก) Plane Truss

(ข) Plane Frame

รปท 1.15 โครงสรางอนดเทอรมเนทเชงแรงแบบภายนอกและภายใน

jrmi 2


หนาท 1-15

frame) และ โครงขอแขง 3 มต (space frame) ดงตวอยางเชน กรณ โครงขอแขงระนาบ (plane frame) แสดงดงรปท 1.16(ค) มชนสวน 15 ชน (1 ชน ม 1 แรงตามแนวแกน 1 แรงเฉอน และ 1 โมเมนตดด รวมเปน 3 แรง) มจดตอ 12 จด (1 จดยดแขงมสมการสมดลแรง 3 สมการ) และ 9 แรงปฏกรยา ดงนน เมอเทยบจานวนแรงทไมทราบคา กบ จานวนของสมการสมดล จะคานวณได ระดบของอนดเทอรมเนท (Degree of indeterminacy) ของโครงสรางคอ

183129315 i (1.6)

(ก) Continuous Beam

(ข) Plane Frame

(ค) Plane Frame

โครงสรางอนดเทอรมเนทเชงแรง รปท 1.16


หนาท 1-16

1.6 อนดเทอรมเนทเชงการเคลอนท เมอโครงสรางรบแรงกระทา จดตอตางๆจะเกดการเคลอนทในรปแบบของการเปลยนตาแหนง (Translation) และ การหมน (Rotation) ในการวเคราะหโดยวธการเคลอนทนน การเคลอนทของจดตอจะพจารณาใหเปนคาทไมทราบ (Unknown quantities) พจารณาคานยนมจดรองรบหมนไดทปลาย (Propped cantilever beam) ดงปรากฏในรปท 1.12 (ก). โดยทวไป ความแขงตามแนวแกนของคานนนคอนขางมากเทยบกบความแขงดด ดงนนการเปลยนแปลงทเกดขนตามยาวของคานนนอาจจะละเลยไมตองนามาคดได การเคลอนทตรงจดรองรบทยดแนนนนมคาเปนศนย ดงนน มเพยงคาของมมทบดไปทตาแหนง B เทานน ทยงไมทราบวาจะเกดขนเทาไหรเมอมแรงกระทา และคามมหมนน เรยกวาเปน kinematic indeterminacy ของโครงสราง สาหรบคานทถกยดไวทงสองขาง จะเปนโครงสรางแบบ kinematically determinate แตหากพจารณาปรมาณแรงทไมทราบคา กจะเปนโครงสรางแบบ statically indeterminate ระดบสามดกร โดยคานธรรมดาทวไปและคานยนนนเปน kinematically indeterminate ระดบสองดกร

(ก) Propped Cantilever Beam

(ข) Cantilever Beam

(ค) Simply Supported Beam

โครงสรางอนดเทอรมเนทเชงการเคลอนท รปท 1.17


หนาท 1-17

การเคลอนทของจดตอในแตละทศทางตางๆทเกดขนนนจะเปนการรกษาอสระตอกน จานวนทศทางของการเคลอนทของจดตอทอสระนนเรยกวา ระดบดกรอนดเทอรมเนทของการเคลอนท (degree of kinematic indeterminacy) หรอจานวนดกรแหงความเปนอสระ (degree of freedom) ในโครงขอแขงสราง (frame) ดงแสดงในรปท 1.18 จดตอ B และ C มคาความอสระ 3 degree of freedom อยางไร

กตาม หากไมคดการเปลยนแปลงของชนสวนตามแนวแกน 41 uu และคาการเคลอนทในทศทาง

และ จะสามารถสมมตใหมคาเปนศนย ได ดงนน โครงสรางจะมการเคลอนทของจดตอ 3 ทศทางทอสระดงแสดงทรป 1.18 นนคอ การหมนทจดตอ B และ C และการเคลอนทในแนวราบอก 1 ทศทาง

2u

4u

ครงขอแขงโรปท 1.18


หนาท 1-18

1.7 โครงสรางไรเสถยรภาพ คานซงมจดรองรบชนดเลอนได (roller) ทปลายทงสองขาง (ดงรปท 1.19 ) จะสามารถอยในสภาวะสมดลถาแรงลพธของแรงกระทาอยในแนวดง แตหากเปนแรงกระทาโดยทวไป คานจะไมอยในสภาวะสมดล เมอมระบบของแรงซงผลลพธมทศในแนวราบกระทากบคาน โครงสรางจะเคลอนทเปนกอนแขง (rigid body) โครงสรางดงกลาวจะอยในสภาพทเรยกวา kinematically unstable structure

รปท 1.19 โครงสรางไรเสถยรภาพ


หนาท 1-19

ในโครงสรางภายใตแรงกระทาใดๆ นอกจากจะตองสอดคลองกบเงอนไขสมดลของแรงแลว โครงสรางยงตองเปนไปตามเงอนไขความสอดคลอง โดยกลาวไดวา โครงสรางจะเกดการเคลอนทและการหมนอยางตอเนองผานโครงสรางและความสอดคลองตามธรรมชาตของจดรองรบ ตวอยางเชน จดรองรบแบบยดแนนนนมคาการเคลอนทและความชนเปนศนย

พจารณา สปรง ทมความยดหยนเปนลกษณะเสนตรงดงแสดงในรปท 1.20 หากดาเนนการทดสอบอยางงาย ดงน กาหนดแรง P1 ณ ตาแหนงปลายของสปรง และ กาหนดใหการเคลอนทเปน u1

1.8 เงอนไขความสอดคลองทางการเคลอนท

1.9 ความสมพนธระหวางแรง-การเคลอนท

รปท 1.20 ความสมพนธระหวางแรง-การเคลอนท

P P P


หนาท 1-20

จากนน เพมขนาดแรงเปน P และเกดการเคลอนท u จากนน ลองทาซาโดยเปลยนคาแรง P P P2 2 1 2 3 Pn ผลลพธทแสดงในลกษณะของกราฟไดแสดงไวดงรปขางตนน ซงแรงกระทาแสดงอยบนแกน y และการเคลอนทนนอยบนแกน x ความชนของกราฟนนคอคา stiffness ของสปรงและใหเปน k คานวณไดดงน

(1.7) kuP

คา stiffness ของสปรงนนอาจจะนยามวาเปน ขนาดของแรงในหนาตดของสปรงททาใหเกดการเคลอนท เทากบ หนง คา stiffness มหนวยเปน แรงตอสวนทยดออก สวนกลบของคา stiffness คอคา flexibility โดยใหสญลกษณเปน a และมหนวยเปน ระยะการเคลอนทตอแรง

ka

1

(1.8) สมการ (1.8) อาจเขยนใหมดงน

aPPk

u 1 (1.9) kuP

ความสมพนธดงกลาวเปนความสมพนธของสปรงในชวงยดหยน สาหรบตวอยาง คานอยางงาย

มแรงกระทาแบบจดทตาแหนงกลางชวงคาน คาการโกงตวทตาแหนงกลางคานเขยนเปนสมการไดดงน

(1.10) uL

EI

3

48orP

EI

PLu

3

48

คา stiffness ของโครงสราง คอ ขนาดแรงททาใหเกดการเคลอนท 1 หนวย ดงนน คาของ stiffness ของคานมคาเทากบ

3

48

L

EIk

(1.11)

ดงตวอยางทสอง พจารณาคานยนทรบแรงกระทาเปนจด P คานจะเกดการโกงลงเทากบ u คานวณไดดงน

(1.12) ZZEI

PL

3

3

u


หนาท 1-21

สาหรบคานทมหนาตดคงท ยาว L ,Young’s modulus E และ moment of inertia การโกงตวนนเปนสดสวนโดยตรงกบขนาดแรงกระทาดงสมการ 1.13 เขยนไดดงน

zzI

(1.13) aPu

zzEI

La

3

3

ซง a คอ สมประสทธความยดหยน และ โดยทวไปกาหนดให คอสมประสทธ

ความยดหยนซง I คอแรงหนงหนวยกระทาท j ดงนน คา stiffnessของคานคอ

ija

311

11

31

L

EI

ak

(1.14)

1.10

การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต

วตถแขงเกรงใดๆ ทรบแรงกระทา จะตองสอดคลองสมการพนฐาน 3 ประการ ดงทไดกลาวขางตน ดงน 1. สมการสมดลของแรง (Equilibrium equations) 2. ความสอดคลองทางการเคลอนท(Compatibility conditions) 3. ความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนตาแหนง (Force-displacement relations) ตวอยางท 1 และ 2 แสดงการวเคราะหโครงขอหมนแบบดเทอรมเนททางสถต และอนดเทอรมเนททางสถต ตามลาดบ จะเหนวา การวเคราะหหาแรงในโครงขอหมนแบบดเทอรมเนททางสถตจะสามารถทาไดโดยอาศยเพยงสมการสมดลของแรงอยางเดยว ในขณะทการหาแรงในโครงขอหมนแบบอนดเทอรมเนททางสถตจะตองอาศยสมการความสอดคลองทางการเคลอนท และความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนตาแหนง เขารวมดวย


หนาท 1-22

ตวอยางท 1 การคานวณหาแรงในโครงขอหมนแบบดเทอรมเนททางสถต

EA = คงท = 20,000 k

โครงขอหมนทเกดการเปลยนรปรางเนองจาก

1. พจารณาสมดลของแรงทจด A ACABACABx FFFFF 06.06.0;0 (1) 05008.08.0;0 ACABy FFF (2) แทนคา ใน (2) ได ABAC FF

.5.312 kFF ACAB

ตวอยางท 2 การคานวณหาแรงในโครงขอหมนแบบอนดเทอรมเนททางสถต

EA = คงท = 20,000 k โครงขอหมนทเกดการ

เปลยนรปรางเนองจาก


หนาท 1-23

1. พจารณาสมดลของแรง 06.06.0;0 ACABx FFF หรอ (1) ACAB FF

05008.08.0;0 ADACABy FFFF (2) แทนคา จาก (1) ใน (2) ได ABAC FF

(3) 5006.1 ADAB FF

2. พจารณาความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility conditions) ADACAB 8.0 (4) 3. พจารณาความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนตาแหนง

20000

20 ABABAB

AB

F

AE

LF

20000

20 ACACAC

AC

F

AE

LF (5)

20000

16 ADADAD

AD

F

AE

LF

แทนคาการเปลยนตาแหนงในสมการ (5) ในสมการ (4) จะได (6) ADACAB FFF 64.0

จากสมการ (3)และ (6) จะได

kFF ACAB 09.158 และ 247.02 k ADF

บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง

หนาท 2-1

บทท การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง

Analysis of Indeterminate Structures by The Method of

Consistent Deformations 2

เนอหา 2.1 บทนา 2.2 หลกการซอนทบ (Superposition) 2.3 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง (Method of Consistent Deformations) 2.4 การวเคราะหปญหาการเคลอนทของจดรองรบ การเปลยนแปลงอณหภม และการสรางชนสวนผดพลาด 2.5 วธงานทนอยทสด (Method of Least Work) วตถประสงค - เขาใจหลกการ และสามารถวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง

2.1 บทนา ในบทน จะไดกลาวถงการวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง (Method of Consistent Deformations) ซงถอเปนวธการวเคราะหแบบวธแรง (Method of Force) วธหนง

เปนทเขาใจดวา โครงสรางแบบอนดเทอรมเนทนน จะมจานวนการยดรงมากเกนไป (เกนวาทตองการใหเกดเสถยรภาพ) หรอ กลาวไดวา จานวนแรงกระทาโดยแรงปฏกรยามมากกวาจานวนสมการสมดลแรง ดงนน การวเคราะหจงจาเปนตองคานวณหาแรงปฏกรยาทเกนกอน (Redundants) หลงจากนนจงทาการคานวณหาแรงทเหลอโดยสมการสมดลแรง

ในการหาขนาดและทศทาง ของแรงปฏกรยาทเกน จะพจารณาแรงกระทาตอโครงสรางออกเปน 2 ชดคอ (1) โครงสรางหลก (Primary structure) รบแรงกระทาภายนอก และ (2) โครงสรางหลกรบแรงปฏกรยาทเกน แลวนาผลของแรงกระทามาทาการซอนทบ (Super-position) ดงแสดงในรปท 2.1 โดยการซอนทบจะตองมเงอนไขททาใหการเปลยนรปราง (Deformations) มความสอดคลองกบการเปลยนรปรางของโครงสรางเดม เรยกสมการเงอนไขการซอนทบนวา สมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equations)


หนาท 2-2

2.2 หลกการซอนทบ

หลกการซอนทบ (Superposition) กลาววา “ ผลตอบสนองของโครงสรางเนองจากแรงกระทาหลายแรงพรอมกน เทากบ ผลรวมของผลตอบสนองของโครงสรางเนองจากแรงกระทาเดยวตางๆ” โดยทโครงสรางจะตอง (1) มระยะการเปลยนตาแนงนอยมาก และ (2) ประกอบดวยวสดอลาสตกเชงเสน รปท 2.2 แสดงการรวมกนของผลตอบสนองเนองจากแรงกระทา

การเปลยนรปรางเดม การเปลยนรปราง

เนองจากแรงภายนอก = +

เนองจากแรงสวนเกน*

โครงสรางยงคงมเสถยรภาพแรงสวนเกน คอ แรงปฏกรยาทเกดจากการยดรงของจดรองรบ โดยหากไมมการยดรงน *

การเปลยนรปราง

รปท 2.1 การรวมกนของการเปลยนแปลงรปรางเพอใหสอดคลองกบการเปลยนแปลงรปรางเดม

รปท 2.2 การรวมกนของผลตอบสนองเนองจากแรงกระทา


หนาท 2-3

2.3 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความสอดคลองของการเปลยน รปราง

พจารณาคานยนทปลายมจดรองรบหมนได (Propped cantilever beam) ดงแสดงในรปท 2.3 (ก) ซงเปนคานทมคา DI=1 หรอคานทมจานวนจดยดรงสวนเกน (Redundant) เทากบ 1 หากเลอก Cy เปนแรงสวนเกน (Redundant) การวเคราะหจะเรมจากการหาขนาดแรง C โดย แบงเปน 2 ชดคอ y

ชดท1 การวเคราะหคานหลกรบแรงภายนอก P = 32 k ชดท2 การวเคราะหคานหลกรบแรงสวนเกน C y

โครงสรางเดมม =0 C

(ก) คานแบบอนดเทอรมเนททางสถตททาการวเคราะห

ชดท1 การวเคราะหคานหลกรบแรงภายนอก

+

=

Cชดท2 การวเคราะหคานหลกรบแรงสวนเกน y


หนาท 2-4

(ข) การซอนทบ (Superposition) โดยเงอนไขการซอนทบนนจะตองทาให การขจดในแนวดงทจดรองรบ C เทากบ 0

kC

C

Cf

Y

Y

YCCCOC

10

03.03.0

0

(ค) สมการความคลองจองตอเนองของการขจด ในแนวดงทจด C และการหาคา C y

รปท 2.3 การวเคราะหหาแรงสวนเกน (Redundant) C y

จากนน จะนาผลการวเคราะหทง 2 ชดมาทาการซอนทบ ดงรปท 2.3 (ข) โดยมเงอนไขการขจด

ในแนวดงทจดรองรบ C เทากบ 0 หรอจะไดสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equation) ดงรปท 2.3(ค) ทาใหสามารถแกสมการไดแรงสวนเกน C เปนคาตอบ จากนนจงแทนคา Cy y กลบเพอหาขนาดแรงปฏกรยาอนๆอก 3 คา โดยอาศยสมการสมดลของแรง 3 สมการตอไป จากรปท 2.3 สามารถสงเกตไดวา เงอนไขการซอนทบจะสอดคลองกบการเลอกแรงสวนเกน นนคอ เงอนไขการซอนทบคอ =0 และสาหรบในการวเคราะหโครงสรางรบแรง CyC จะทาการวเคราะหโดยใชแรง 1 หนวย แลวทาการคณผลตอบสนองดวยขนาดของแรง C (นนคอ fy cc เปนระยะแอนตวเนองจากแรง 1 หนวย ดงนน ระยะแอนตวเนองจากแรง C C จะมคาเทากบ f ) y cc y

2.3.1 เครองหมายและสญลกษณ (Notations and Sign Convention)

• สญลกษณ

2.3.2 ลาดบขนตอนการคานวณ

x

yบวก ตามแกน x-y

1

f12f22

21

1O2O

R1

11 21

R2

1222

01 02

x


x


1

f12f22

21 21

1O2O1O2O

R1

11 21

R1

11 21

R2

1222

R2

12

R2

1222

01 02 ตวหอยท 1 คอ ตาแหนงของคานทเกดระยะแอนตว ตวหอยท 2 คอ ตาแหนงของคานทเปนแรงกระทา

= ระยะแอนตวของโครงสรางหลกรบแรงภายนอกทจด 1 1O

12f

12

1

1O

12f

12

1

= ระยะแอนตวของโครงสรางหลกทจด 1

รบแรงสวนเกนทจด 2 = ระยะแอนตวของโครงสรางอนดเทอรมเนททจด 1

= ระยะแอนตวของโครงสรางหลกทจด 1

รบแรงหนงหนวยทจด 2

• ระบบเครองหมาย


หนาท 2-5

ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต (Degree of static indeterminacy)

21DI = 2Redunda

ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน (Redundants) เพอจาลองโครงสรางหลกรบแรงภายนอก (primary structure) จะเหนวา เลอก R1 และ R2 (2 ตว) และทาการปลดเพอจาลองเปนโครงสรางหลก (primary structure) ซงเปนโครงสรางแบบดเทอรมเนททางสถต (Statically determinate structure) ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equation) (ทจด 1 และ 2 จะมระยะแอนตวในแนวดงเทากบ ศนย) ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมดในขนตอนท 3 ขนตอน 5: แกปญหาระบบสมการพรอมกน (simultaneous equations) เพอหาแรงสวนเกน R1 และ R2 ออกมา

ทจด 1 11O1211

11O1211 21 RfRf

ทจด 2 22O2221

22O2221 21 RfRf

2

1

2O

1O

2221

1211

2

1

R

R

ff

ff

ทจด 1

ทจด 2

หรอ

เขยนในรปของ matrix

1O 2O

R1

R2

=+

+

21

01 02

11111 Rf12121 Rf

21212 Rf22222 Rf

1O 2O

R1

R2

=+

+

21

01 02

11111 Rf12121 Rf

21212 Rf22222 Rf

ขอสงเกต: กรณไมมการทรดตวของ Support ท1 และ 2 คา และ จะเทากบ ศนย1 2

nt = 201 02

21 21DI = 2

01 02 Redundant = 2

แรงสวนเกนคอR และ R2 1

กรณไมมการทรดตวของจดรองรบ ท 1 และ 2 เงอนไขการซอนทบจะได เทากบ ศนย 2 และ 1

2O22212 ffR

1O

1

1211-1 ffR

ขอสงเกต ทศทางของ R1 นนถกสมมต หากการค

1O

1

1211-1 ffR

ขอสงเกต และ R2 านวณออกมา

เปนบวกกแสดงวาทสมมตนนถกตอง 2O22212 ffR

ทศทางของ R1 นนถกสมมต หากการค

และ R2 านวณออกมา

เปนบวกกแสดงวาทสมมตนนถกตอง


หนาท 2-6

ขนตอน 6: นาคา แรงสวนเกน R และ R1 2 ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยาทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง (Equilibrium equations)

• กรณโครงสรางทมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต เทากบ n จะตองทาการวเคราะหโดยมจานวนแรงสวนเกน n คาพรอมกบการแกระบบสมการเชงเสน n สมการ ดงแสดง

2 1

2R2R

Reaction (redundants)

nnOnnnn

n

n

Rn

R

R

fff

fff

fff

.

.

.

.

.

.2

1

.....

.

.

.

.

.

.

.....

....

2

1

2O

1O

21

22221

11211

Flex

Actual displacements ORf

Displacements at es

ibility stiffnessredundant forcการเปลยนตาแหนง

เนองจากแรง 1 หนวย การเปลยนตาแหนงเนองจากแรงภายนอก

เงอนไขการซอนทบแรงปฏกรยาสวนเกน

ตวอยาง 1 จากโครงสรางในรป 2.3 (ก) วเคราะหหาแรงปฏกรยาโดยเลอกโมเมนตดด MA เปน แรงสวนเกน (Redundants) ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน (Redundants) เพอจาลองโครงสรางหลกรบแรงภายนอก

และปลดการยดรงโมเมนตดดทจด A ออก เลอก MA

ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equation) (ทจด A จะมความชน เทากบ ศนย)


หนาท 2-7

A คานหลกรบแรงสวนเกน M

คานอนดเทอรมเนททางสถต

คานหลกรบแรงภายนอก

สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด A คอ 0 AAAAOA Mf (1)

ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1)

EI

PLAO 16

2

(EI

Lf AA 3

ทศตามเขม) และ (ทศทวนเขม)

ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน M A


หนาท 2-8

ftkPL

M

MEI

L

EI

PL

A

A

12016

20323

16

3

0316

2

ผลการคานวณเปน “บวก” แสดงวา มทศเดยวกบแรงหนงหนวย คอ ทวนเขม AM

ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน MA ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยาทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง (Equilibrium equations)

= 0 k

= 22 k = 120 k-ft

= 10 k

จากตวอยางท 1 และรปท 2.3 จะเหนวา เงอนไขการซอนทบจะขนอยกบการเลอกแรงสวนเกนในการวเคราะหซงจะทาใหการเปลยนตาแหนงของโครงสรางหลกเปลยนไป และเงอนไขการซอนทบเพอสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equation) กจะแตกตางกนไปดวย


หนาท 2-9

ตวอยาง 2 วเคราะหหาไดอะแกรมแรงเฉอน และแรงดดของคานตอเนอง

ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน

และปลดแรงสวนเกนออก เลอก By

ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ทจด B จะมระยะแอนแนวดง เทากบ ศนย) คานอนดเทอรมเนททางสถต คานหลกรบแรงภายนอก คานหลกรบแรงสวนเกน

สมการความคลองจองตอเนองของการขจด ทจด B คอ 0

yBBBOB Bf (1)


หนาท 2-10


)(/125

)(125,28

3

3

EI

kNmkNf

EI

mkN

BB

BO

ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน By

)(225

0125125,28

kNB

BEIEI

y

y

ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน B ทไดแทนกลบ แลวหาแรงปฏกรยา ทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง y

(Equilibrium equations)

ไดอะแกรมแรงเฉอน (kN)

ไดอะแกรมโมเมนตดด (kN-m)

ดงแสดงในตวอยางท 1 และ 2 แรงสวนเกนทเลอกเปนแรงปฏกรยา (แรงภายนอก) แตอยางไรกตาม การวเคราะหสามารถเลอกแรงสวนเกนเปนแรงภายใน หรอ โมเมนตดดภายในได หากโครงสรางหลกทไดเปนโครงสรางทมความเสถยร และ ดเทอรมเนท ดงแสดงในตวอยางท 3


หนาท 2-11

ตวอยาง 3 วเคราะหหาแรงปฏกรยา

10 m 5 m 5 m B

A

20 kN/m 80 kN

C E = 200 GPa I = 700(106) mm4


เลอก M และปลดการยดรงโดยใสจดตอหมนไดภายในทจด B B

ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ทจด B จะคาความแตกตางของความลาดชน เทากบ ศนย)

10 m 5 m 5 m

A B

C

80 kN 20 kN/m

A

B

C

=

BO,R

BO,L BO

A

B

C

fBB,R

fBB,L fBB

1 kN-m

+

140 kN 240 kN

0.2 kN 0.1 kN 0.1 kN

100 kN

20 kN/m 80 kN

BO=BO,R + BO,L

MB fBB=fBB,R + fBB,L

สมการความคลองจองตอเนองของการขจด ทจด B คอ BO+ fBB MB = 0


หนาท 2-12

ขนตอน 4: คานวณหา และ f , , fBO,R BO,L BB,R BB,L ในขนตอนท 3 (การคานวณหาคาความลาดชนโดยวธงานเสมอน (Virtual work) หรอ วธคานคอนจเกต)

EIf

EIf

EIEI

RBBLBB

RBOLBO

33.333.3

33.133333.833

,,

,,

ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน MB

kNM

MEIEI

B

B

325

033.333.333.13333.833

คาแรงทไดตดลบ แสดงวามทศตรงขามกบโมเมนตดดหนงหนวย ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน MB ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยา ทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง (Equilibrium equations) หรอพจารณาการซอนทบในขนตอนท 3 จะได

)(5.107)325(1.0140

)(305)325)(2.0(240

)(5.67)325(1.0100

0

kNR

kNR

kNR

H

C

B

A

A

นอกจากการวเคราะหคานอนดเทอรมเนททางสถตแลว วธความสอดคลองของการเปลยนรปราง ยงสามารถนาไปวเคราะหโครงขอหมน (Trusses) และ โครงขอแขง (Frames) ไดอก โดยทยงคงรปแบบและขนตอนการวเคราะหดงทไดกระทาในการวเคราะหคานดงเดม ซงจะไดแสดงในตวอยางตอไปน


หนาท 2-13

ตวอยาง 4 วเคราะหหาแรงภายในชนสวนโครงขอหมน

ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1

ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน และปลดการยดรง D ออก เลอก Dx x

ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ทจด D จะมระยะเลอนแนวราบ เทากบ ศนย)

โครงขอหมนอนดเทอรมเนททางสถตแบบภายนอก

+

=

โครงขอหมนหลกรบแรงภายนอก (Fo)

หลก Fo ในตารางการวเคราะห) ( โครงขอหมนหลกรบแรงสวนเกน D

ในตารางการวเคราะห) D(หลก u x


หนาท 2-14

สมการความคลองจองตอเนองของการขจด คอ 0 xDDDO Df (1)


)(/120

)(/6.493,5 3

E

inf

E

ink

DD

DO

ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน (D ) x

0/120/6.493,5 3

xD

E

in

E

ink

)(78.45 kDx เครองหมายลบ แสดงวาแรงมทศตรงขามกบแรงหนงหนวย ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน (Dx) ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยา ทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง (Equilibrium equations) หรอพจารณาการซอนทบในขนตอนท 3 (หลกสดทายในตารางการวเคราะห) จะได ตารางการวเคราะห

แรงภายในชนสวนทไดจากการวเคราะห


หนาท 2-15

ตวอยาง 5 วเคราะหหาแรงภายในชนสวนโครงขอหมน

AE = คงท

ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1 (แบบภายใน)

ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกนภายใน เลอกปลดการยดรงภายในระหวาง EC โดยตดชนสวน EC ทาใหไมมการรงระหวางจด E และ C (อาจปลดชน BF กได) ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (คาเปลยนแปลงความยาวสมพทธของชนสวน EC เทากบ ศนย) โครงขอหมนอนดเทอรมเนททาง

สถตแบบภายใน =

0, CECECECEO Ff (1)

โครงขอหมนหลกรบแรงภายนอก (Fo)

หลก Fo ในตารางการวเคราะห) CE

โครงขอหมนหลกรบแรงสวนเกน Fหลก u(

CE

ในตารางการวเคราะห)

FCE

(

+


หนาท 2-16


AE

ftf

AE

ftk

CECE

CEO

68.103

116,1

,

3

ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน (F ) CE

068.103116,1 3

CEF

AE

ft

AE

ftk

kFCE 76.10 เครองหมายบวก แสดงวาแรงมทศเดยวกนกบแรงหนงหนวย (แรงดง) ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน (FCE ) ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยา ทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง (Equilibrium equations) หรอพจารณาการซอนทบในขนตอนท 3 (หลกสดทายในตารางการวเคราะห) จะได แรงภายในชนสวนทไดจากการวเคราะห


หนาท 2-17

จากตวอยางการวเคราะหโครงขอหมน (ตวอยางท 4 และ 5) จะเหนวา แรงสวนเกนจะเปนแรงปฏกรยาทจดรองรบหากโครงขอหมนมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถตภายนอก และ แรงสวนเกน (Redundants) จะเปนแรงภายใน (การตดชนสวนภายใน) หากโครงขอหมนมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถตภายใน

ตวอยาง 6 วเคราะหหาแรงปฏกรยาของโครงขอแขงดงรป

คงท EI =


) เลอกปลดการยดรง (Ax

ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ทจด A จะมระยะเลอนแนวราบ เทากบ ศนย)

โครงขอแขงอนดเทอรมเนททางสถต 1 ดกร


หนาท 2-18

0 xAAAO Af (1)

โครงขอแขงหลกรบแรงภายนอก

โครงขอแขงหลกรบแรงสวนเกน Ax

= +


EI

ftf

EI

ftk

AA

AO

3

3

67.666,6

500,67

ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน Ax

067.666,6500,67 33

xA

EI

ft

EI

ftk

)(13.10 kAx เครองหมายบวก แสดงวาแรงมทศเดยวกนกบแรงหนงหนวย ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน Ax ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยาทเหลอโดยสมการสมดลแรง (Equilibrium equations)

จากตวอยางท 1 ถง 6 จะเหนวา เปนการวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตอนดบเดยว หากมโครงสรางมคาดกรของความเปนอนดเทอรมเนท เทากบ n สมการความคลองจองตอเนองของการขจดจะตองม n สมการ เพอเพยงพอทจะนามาหาแรงสวนเกนจานวน n แรงได ดง


หนาท 2-19

แสดงในตวอยางท 7 อยางไรกตาม หากระดบคาอนดเทอรมเนท มากกวา 2 มกจะเปลยนวธการคานวณเปน วธการเคลอนตว (Displacement methods) แทนซงจะไดกลาวตอไปในบทท 4, 5 และ 6

ตวอยางท 7 วเคราะหหาไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดดของคานตอเนอง ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 2 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน

เลอกแรงสวนเกดเปน By และ Cy ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ม 2 เงอนไขคอ ทจด B และ C จะมระยะแอนแนวดง เทากบ ศนย)

=

+


y คานหลกรบแรงสวนเกน B

คานอนดเทอรมเนททางสถต 2 ดกร

y คานหลกรบแรงสวนเกน C


หนาท 2-20

สมการความคลองจองตอเนองของการขจด เงอนไขท B

0 yBCyBBBO CfBf (1) เงอนไขท C

0 yCCyCBCO CfBf (2) ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1) และ (2)

EI

ftff

EI

ftff

EI

ftk

CBBC

CCBB

COBO

3

3

3

11.111,3

56.555,3

33.333,293

(จากกฏของแมกเวล (Maxwell’s law))

ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน B และ Cy y

056.555,311.111,333.333,293

011.111,356.555,333.333,293

yy

yy

CEI

BEIEI

CEI

BEIEI

)(44 kCB YY เครองหมายบวก แสดงวาแรงมทศเดยวกนกบแรงหนงหนวย

ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน B และ Cy y ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยาทเหลอโดยใช สมการสมดลแรง (Equilibrium equations)


หนาท 2-21

2.4 การวเคราะหปญหาการเคลอนทของจดรองรบ การเปลยนแปลงอณหภม และการสราง

ในบทกอนหนา การวเคราะหจะสมมตใหจดรองรบไมมการเคลอนทตามเงอนไขเรมตน เชน จดรองรบชนดยดแนน (Fixed support) จะไมเกดการหมน และไมเกดการเคลอนทในแนวตงและแนวราบ หรอ จดรองรบแบบหมนไดแบบ Pinned support จะหมนไดแตไมเกดการเคลอนทในแนวตงและแนวราบ เปนตน นอกจากนยงพจารณาใหอณหภมไมมการเปลยนแปลง ซงเปนผลตอการเปลยนแปลงความยาวของชนสวนโครงสรางได ทงน เนองจาก การเคลอนทของจดรองรบ หรอ การเปลยนแปลงความยาวของชนสวนในโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทจะทาใหเกดหนวยแรงขน ในขณะทหากเปนโครงสรางแบบดเทอรมเนทจะไมเกด เนองจากโครงสรางโดยทงหมดจะเคลอนทไปพรอมๆกนเปนกอนแขง (Rigid body) ดงทไดกลาวในบทท 1

พจารณาคานตอเนอง ดงรปท 2.4 เมอจดรองรบ B และ C มการทรดลงเลกนอยขนาด B และ C ตามลาดบ ในการวเคราะห จะกาหนดให By และ Cy เปนแรงสวนเกน ในการวเคราะหเพอคานวณหาแรงสวนเกน จะทาคลายกบตวอยางท 7 ยกเวนเพยงกาหนดใหเงอนไขการซอนทบการเปลยนตาแหนงทจด B และ C ตองมขนาดเทากบระยะทรดของจดทงสองตามลาดบ ดงแสดงในสมการ ดานลางน เงอนไขท B

ByBCyBBBO CfBf เงอนไขท C

CyCCyCBCO CfBf


หนาท 2-22





รปท 2.4 การวเคราะหกรณจดรองรบทรด


หนาท 2-23

ตวอยางท 8 ใหวเคราะหหาแรงปฏกรยาของคานตอเนอง ทฐานรองรบ B มการทรดตวลง 5 มม.

กาหนดให E เทากบ 200 กกะปาสคล และ I เทากบ 410-4 ม4.

(ก) คานตอเนองเกดการทรดตวทฐาน B

(ข) คานหลกรบแรงหนงหนวยท B

(ค) คานหลกรบแรงหนงหนวยท C


เลอก R และR หรอทาใหคานยน ABC เปนคานหลก Primary structure B C

ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด


หนาท 2-24

ม 2 เงอนไขคอ ทจด B และ C จะมระยะแอนแนวดง เทากบ B = -5 มม. เปนลบเนองจาก

เคลอนทลง และ = 0 มม.ตามลาดบ C

เงอนไขท B

B = BO + fBBRB + fBCRC สมการ (1) เงอนไขท C

C = CO + fCBRB + fCCRC สมการ (2)

โดยท BO CO เปนระยะขจดของคานหลกเนองจากแรงภายนอก และมคาเทากบศนยเนองจากไมมแรงภายนอกกระทา และ fij เปน ระยะขจดของคานหลกเนองจากแรงสวนเกนเทากบ 1 กโลนวตน ซงไมเกยวของกบการทรดตวของฐานรองรบ ดงรป (ข) และ (ค) ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1) และ (2)

-0.005 = 0 + (125/3EI)RB + (625/6EI)RC 0 = 0 + (625/6EI)RB + (1000/3EI)RC ขนตอน 5: แกสมการในขนตอน 4 เพอหาแรงสวนเกน

แทนคา E = (200)(10 และ I=(4)(106 2 -4 ) kN/m ) m2 ลงในสมการขนตอน 4 และแกสมการขางตนจะไดวา

RB = -43.885 kN (ทศลง) และ R = 13.71 kN (ทศขน) C

ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน (R และ RB C) ทไดแทนกลบเขาไป และคานวณแรงปฏกรยาของโครงสราง ทเหลอโดยสมการ Equilibrium 0;0 CBAy RRRF จะได

RA = = 30.175 kN (ทศขน) ;0 AM

MA = 82.325 kN (ทวนเขม)


หนาท 2-25

จากตวอยางทวเคราะหนแสดงใหเหนวา โครงสรางทไมมแรงภายนอกกระทาเลย แตเมอเกดการทรดตวทจดรองรบจะทาใหเกดแรงปฏกรยาทจดรองรบตางๆ ทาใหเกดแรงเฉอน และโมเมนตดด หรอหนวยแรงเพมขนในชนสวน ซงเปนลกษณะของโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท ตวอยางท 9ใหวเคราะหหาแรงปฏกรยาของคานตอเนอง หากฐานรองรบ A มการทรดตวลง 27.5 มม. ฐานรองรบ B มการทรดตวลง 47.5 มม. ฐานรองรบ C มการทรดตวลง 22 มม. และฐานรองรบ D มการทรดตวลง 10 มม. กาหนดให E เทากบ 200 กกะปาสคล และ I เทากบ 3000 มม4.

500 kN

10 m

D C B A

7.5 m 7.5 m 10 m

22 mm

A

500 kN

47.5 mm

10 mm B C D

C = 7 mm

เสนคอรดตอเชอมฐานรองรบของโครงสรางหลก

B = 25 mm

27.5 mm

7.5 m 10 m 7.5 m 10 m



หนาท 2-26

เลอก RB และRC ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ม 2 เงอนไขคอ ทจด B และ C จะมระยะแอนแนวดง เทากบ B และ C ตามลาดบ) เนองจากจด A จด B จด C และจด D ของคานตอเนอง มการทรดตวลง ดงนนการทรดตวสมพทธของจด B เทยบกบเสนคอรดหรอเสนตรงตอเชอมฐานรองรบ A และฐานรองรบ D ของคานหลก มคาเทากบ 47.5 – [ 10 + ( 27.5 – 10 )(25/35) ] = 25 มม. และการทรดตวสมพทธของจด C เทยบกบเสนคอรดตอเชอมฐานรองรบ A และฐานรองรบ D ของคานหลกมคาเทากบ 7 มม. ดงแสดงในรป นนคอ B = -0.025 ม. และ C = -0.007 ม. (เครองหมายลบแสดงทศทางลง) สมการความคลองจองตอเนองของการขจด คอ เงอนไขท B

B = BO + fBBRB + fBCRC

เงอนไขท C

C = CO + fCBRB + fCCRC

เนองจาก BO CO และ fij เปนระยะขจดของคานหลกเนองจากแรงภายนอกและระยะขจดของคานหลกเนองจากแรงสวนเกนเทากบ 1 กโลนวตน ซงไมเกยวของกบการทรดตวของฐานรองรบ ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1) และ (2)

341,185/EI + (595.1/EI)RB + (488.4/EI)RC = -0.025 341,185/EI + (488.4/EI)RB + (488.4/EI)RC = -0.007

ขนตอน 5: แกสมการในขนตอน 4 เพอหาแรงสวนเกน

แทนคา EI = (200)(106)(3,000)(10-6) = 6(105) kN-m2 ลงในสมการขนตอน 4 จะได

0.569 + 9.918(10-4)RB + 8.140(10-4)RC = -0.025


หนาท 2-27

0.569 + 8.140(10-4)RB + 9.918(10-4)RC = -0.007

แกสมการขางตนจะไดวา

RB = -374.6 kN (ทศลง) และ R = -273.3 kN (ทศลง) C

ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน (R และ RB C) ทไดแทนกลบเขาไป และคานวณแรงปฏกรยาของโครงสราง อาศยหลกการวางซอนทบกนของแรงจะได

RA = 250 + (-0.714)(-374.6) + (-0.286)(-273.3) = 595.6 หรอ R = 595.6 kN (ทศขน) A

RD = 250 + (-0.286)(-374.6) + (-0.714)(-273.3) = 552.3 หรอ R = 552.3 kN (ทศขน) D

แรงปฏกรยาของโครงสรางแสดงดงรปดานลาง

500 kN

595.6 kN

A B C D

374.6 kN 273.3 kN 552.3 kN

0 kN

แรงปฏกรยาของโครงสราง

ตวอยางท 10 จงวเคราะหหาแรงในสปรงทรองรบทปลาย B ของคานยนดงรป EI = constant

L

Spring flexibility=f

w

C

B A


หนาท 2-28


เลอกปลดการยดรงแรงในสปรง XB ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ทจด B จะมระยะแอนแนวดง เทากบ ) B

w

BB Xf

B A

=

คานอนดเทอรมเนททางสถต C

w B

A

EI

wLBO 8

4


+

B EI

LfBB 3

3

1

BX A

คานหลกรบแรงสวนเกน XB


หนาท 2-29

BBBBBO Xf (1) ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1)

EI

wLBO 8

4

EI

LfBB 3

3

และ

BB Xf ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน X B

BB XfXEI

L

EI

wL

38

34

)()/3(1

1

8

33

LfEI

wLX B เครองหมายบวก แสดงวาแรงมทศเดยวกนกบแรงหนงหนวย

2.5 วธงานทนอยทสด (Method of Least Work)

วธงานทนอยทสดเปนวธแรงทอาศยทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโนในการสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจดแทน ทจะอาศยหลกการการวางซอนทบกนของการขจดดงเชนวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง วธงานทนอยทสดนโดยปกตแลวจะเหมาะสาหรบการวเคราะหโครงสรางซงประกอบไปดวยชนสวนรบแรงตามแนวแกนและชนสวนรบแรงดด ยกตวอยางเชน โครงสรางซงประกอบจากคานและโครงขอหมน หรอโครงสรางทประกอบจากคานและเคเบล เปนตน วธงานทนอยทสดนจะไมสามารถใชไดในกรณทโครงสรางมการทรดตวของฐานรองรบ โครงสรางทตองรบการเปลยนแปลงของอณหภมและโครงสรางทมการเปลยนรปเนองจากความผดพลาดจากการประกอบ

w

A

RB

B C

LAB LBC

รปท 2.5 คานอนดเทอรมเนททางสถต


หนาท 2-30

พจารณาคานอนดเทอรมเนททางสถตในรปท 2.5 ซงไมมการทรดตวของฐานรองรบ หากเลอกแรงปฏกรยาในแนวดง ณ จด B (RB) เปนแรงสวนเกน และใหแรงสวนเกนนเปนแรงทไมรคาทกระทาตอคานจะไดวา พลงงานความเครยดของโครงสรางสามารถเขยนใหอยในรปของแรงภายนอกทรคา w และแรงทไมรคา R ดงน B

Wi = f ( w , RB ) (2.1) จากทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโน จะไดวาคาเดอรเวทฟของพลงงานความเครยดเทยบกบแรงมคาเทากบระยะขจดของแรงนนและมทศเดยวกบทศของแรงนน และเนองจากฐานรองรบ B ไมมการทรดตวจะได

0

B

i

R

W

(2.2)

สมการท (2.2) เปนสมการความคลองจองตอเนองของการขจดสาหรบวเคราะหหาแรงปฏกรยา R B

ในกรณทโครงสรางมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถตเทากบ n พลงงานความเครยด

ของโครงสรางในรปของแรงภายนอกทรคา w และแรงสวนเกน X ทไมรคาจะเปน ,…, X1 n

Wi = f ( w, X1,…, Xn ) (2.3)

อาศยหลกการของงานทนอยทสดสาหรบแรงสวนเกนแตละตวจะได

0...

2

n

ii

B

i

X

W

X

W

R

W

(2.4)

เนองจากสมการท (2.2) และสมการท (2.4) เปนสมการเดอรเวทฟของพลงงานความเครยดเทยบกบแรงสวนเกนมคาเทากบศนย ดงนนสมการดงกลาวแสดงใหเหนวาแรงสวนเกนจะตองมคาททาใหพลงงานความเครยดทงหมดในโครงสรางมคานอยทสดหรอมากทสด อยางไรกตามพลงงานความเครยดสาหรบโครงสรางอลาสตกแบบเสนตรงนนจะไมมคามากทสด ทงนเนองจากพลงงานความเครยดจะเพมขนเมอแรงสวนเกนมคาเพมขน ดงนนคาทแทจรงของแรงสวนเกนททาใหโครงสรางสมดลและสอดคลองกบฐานรองรบจะตองทาใหโครงสรางมพลงงานความเครยดทนอยทสด ซงคอหลกการของงานทนอยทสด สมการท (2.2) และสมการท (2.4) นรจกกนในนามของสมการความคลองจองตอเนองของการขจดของคาสตเกลยโน (Castigliano’s compatibility equation)


หนาท 2-31

ตวอยางท 11 จงวเคราะหหาแรงปฏกรยาของคานโดยวธงานทนอยทสด 80 kN 30 kN/m


เลอก RB และเขยนแรงปฏกรยา RA และ RD ในรปของแรงสวนเกน RB และแรงภายนอกทรคา 0XF ; HA = 0 (1) 0DM ; RA(20) + 30(10)(15) – RB(10) + 80(5) = 0 RA = 245 – 0.5RB (2) 0YF ; RA + RB + RD – 80 -30(10) = 0 RD = 135 – 0.5RB (3) ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจดโดยอาศยทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโน สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด B

C

5 m 5 m 10 m

D B A EI = คงท

80 kN 30 kN/m

B C D A

10 m 5 m 5 m

R = 245 – 0.5R R R = 135 – 0.5RB B B A D


หนาท 2-32

0dx0

EI

M

R

M

R

W L

BB

i

แบงคานเพออนทเกรตออกเปน 3 ชวง คอ AB BC และ CD ชวง จดเรมตน ชวงอนทเกรต โมเมนตดด(M)

BR

M

AB CD BC

A D D

0-10 0-5

5-10

RA(x) – 30x(x/2) = (245 – 0.5RB)x -15x2 RD(x) = (135 – 0.5RB)x RD(x) – 80(x – 5) = (135 – 0.5RB)x – 80(x – 5)

-0.5x -0.5x -0.5x

dx0 EI

M

R

ML

B

dxxxRx

EI B

10

0

2155.02455.01

+

5

0

)5.0135)(5.0(1

xdxRxEI B

+ 0)5(80)5.0135()5.0(1 10

5

dxxxRx

EI B

-40,416.667 + 166.667RB = 0 ขนตอน 4: คานวณหาแรงสวนเกน

สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด B ในขนตอน 3 จะได

RB = 242.5 kN ทศขน

ขนตอน 5: คานวณหาแรงปฏกรยา

กลบในสมการ (2) และ (3) จะได แทนคา RB

RA = 123.75 kN ทศขน RD = 13.75 kN ทศขน


หนาท 2-33

ตวอยางท 12 จงวเคราะหหาแรงปฏกรยาทจด B และ C ของคานโดยวธงานทนอยทสด

w = 1.5 k/ft ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 2 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน

เลอก RB และ RC และเขยนแรงปฏกรยา RA และ MA ในรปของแรงสวนเกน RB และ RC และแรงภายนอกทรคา w

ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจดโดยอาศยทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโน แบงคานเพออนทเกรตออกเปน 2 ชวง คอ AB และ BC

ชวงคาน

จดกาเนด

ชวงคาอนทเกรต

M BRM / CRM /

AB

BC

A

C

0=>10

0=>10

25.1)2010300()30(

2xRRxRR CBCB

25.1

2xxRC

-x+10

0

-x+20

x

3.1 สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด B

00

L

BB dx

EI

M

R

M

EI = คงท A C

10 ft 10 ft B

M

C A

10 ft 10 ft

w = 1.5 k/ft

B

RC BR

= 300-10R -20RC A B

RA = 30-RB -RC


หนาท 2-34

dxx

xRdxxx

RRxRR CCBCB )0(2

5.1)10(2

5.1)2010300()30(010

0

210

0

2

CB RR 3.8333.333106250 …………………….(1)

3.2 สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด C

00

L

CC dx

EI

M

R

M

dxxx

xRdxxx

RRxRR CCBCB )(2

5.1)20(2

5.1)2010300()30(010

0

210

0

2

CB RR 7.26663.83330000 …………………….(2)

ขนตอน 4: คานวณหาแรงสวนเกน แกสมการ (1) และ (2) ในขนตอนท 3 จะได RB = 17.15 k RC = 5.89 k

ตวอยางท 13 จงวเคราะหหาโมเมนตดดทปลาย (Fixed-end moment, FEM) ของคานดงรป กาหนดให EI มคาคงทโดยวธงานทนอยทสด ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต เนองจากคานมจานวนของแรงปฏกรยา r เทากบ 6 แตมจานวนสมการสมดลเพยง 3 สมการ ดงนนคานจะมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถตเทากบ 6 – 3 = 3 แตหากพจารณาสมดลแรงตามแนวแกนจะเหนวาแรงปฏกรยาทปลายทงสองมคาเทากบ ศนย ดงนนคานจะมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถตเทากบ 2 (4 - 2 = 2) หรอ DI = 2 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน

b a

L

P

B C

A


หนาท 2-35

P

AMM / BMM

เลอก M และ M และเขยนแรงปฏกรยา R และ R ในรปของแรงสวนเกน M และ MA B A B A B และแรงภายนอกทรคา P ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจดโดยอาศยทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโน แบงคานเพออนทเกรตออกเปน 2 ชวง คอ AC และ BC

ชวงคาน


ชวงคาอนทเกรต

M /

AC

BC

A

B

0=>a

0=> b

ABA MMPbL

xM 1

BAB MMPbL

xM 2

L

x1 1

L

x 2

L

x1

L

x1 2

a b A B MA MB

C

X2 X1

R = 1/L (Pa + MB A – M )

R = 1/L (Pb + M – A B

M )

M2 MA

1/L (Pb + MB – MA)

V1 M1

X1

V2 MB

1/L (Pa+ MA– M ) B

X2


หนาท 2-36

3.1 สมการความคลองจองตอเนองของการขจดโมเมนตดดทจด A

00

dxEI

M

M

M

M

W L

AA

i

EI

MMPbL

MLM

WABA

a

A

i 11

0

1 dxxx1

EI

MMPaL

ML BAB

b22

0

2 dxxx

= 0

06363

aL

L

PabLMLM BA (1)

3.2 สมการความคลองจองตอเนองของการขจดโมเมนตดดทจด B

00

dxEI

M

M

M

M

W L

BB

i

EI

MMPbL

MLM

WABA

a

B

i 11

0

1 dxxx

EI

MMPaL

ML BAB

b22

0

2 dxxx1

= 0

06636

aL

L

PabLMLM BA (2)

ขนตอน 4: คานวณหาแรงสวนเกน แกสมการ (1) และ (2) ในขนตอนท 3 จะได

2

2

L

PabM A ( 2

2

L

bPaM B ทศทวนเขม) และ (ทศตามเขม)


หนาท 2-37

ตวอยางท 13 จงวเคราะหหาแรงดงของเคเบลเหลก BD โดยวธงานทนอยทสด โดยพจารณาพลงงานเนองจากแรงดดและพลงงานเนองจากแรงตามแนวแกน

ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1

ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน

60 kN

D

C B

A

2 m 3 m

6 m

โครงไม E =10 GPa w

A = 65000 mm2 w

Iw = 500(106) mm4

เคเบลเหลก E = 200 GPa s

A = 200 mm2 s

0.316T

1.896T - 180

0.949T 60 kN T

60 + 0.949T

0.316T B C

x1

x2

เลอกแรงดงในเคเบล T เปนแรงสวนเกนทไมรคา และเขยนแรงปฏกรยาทจด A ในรปของแรงสวนเกน T และแรงภายนอกทรคา 60 kN

A


หนาท 2-38

TM / TF

ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจดโดยอาศยทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโน

แบงโครงไมเพออนทเกรตออกเปน 2 ชวง คอ AC และ BC เพอหาคาพลงงานความเครยดเนองจากแรงดดและเนองจากแรงตามแนวแกน และพจารณาชนสวนเคเบลเหลก สาหรบคาพลงงานความเครยดรบแรงตามแนวแกน

N1=0

60 kN

M1=-60x1 C

V1=60 kN

x1

0.949T

N2 = -0.949T - 60

M2 = 0.316Tx2 - 180

V2=-0.316T

0.316T

60 kN

B C

x2

ชวงคาอนทเกรต หรอการบวกรวม


ชวง M F /

CB C x1 = 0=>3 -60x1 0 0 0

BA B x2 = 0=> 6, L =

6 0.316Tx2 - 180 -0.949T – 60 0.316x2 -0.949

BD - L = 0 - 1 6.324 T

สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด คอ B

0dx0

EA

FL

T

F

EI

M

T

M

T

W Li

แ

ทนคาสมการตางๆ ในตาราง จะได

WW

i

IET

W 13

0

1

dx)x60)(0(

WW IET 2

6

0

22

dx)x316.0)(180x316.0(


หนาท 2-39

WWWW AEAE

60)(6)-0.949T(-0.949)(-)3)(0)(0( 0

)324.6)()(1(

SS AE

T

หรอ

06.324T341.645.4T1023.842.7

SSWWWWWW

WW IE AEAEAEIE

T

แทนคา EW IW AW ES และ AS ลงในสมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด B ในล T จะได

T = 127.1 kN (แรงดง)

ขนตอน 4: คานวณหาแรงสวนเกน ขนตอน 3 และแกสมการหาคาแรงดงในเคเบ


หนาท 2-40

แบบฝกหดทายบท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง แบบฝกหด ฝ2.1-2.5 วเคราะหหาแรงปฏกรยาของคานโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง

40 kN 60 kN ฝ2.1 ฝ2.2

ฝ2.3

ฝ2.4

ฝ2.5

15m 15m

Spring stiffness k = 144 kN/m

2 kN/m Ib = 3.861010 mm4 Eb = 4.176 kN/mm2

C

A B

D

C A B D

5 m 5 m 10 m 10 m

E = 200 Gpa E I = 500(106) mm4

จดหมนไดภายใน w

C A

5m 5m 10m 5m

EI = คงท 10 kN/m

20 kN 40 kN

B D E

C

A B

D

5 m 5 m 20 m

60 kN 20 kN/m

E = 200 Gpa I = 500(106) mm4

B A คงท EI =

L/2 L/2


หนาท 2-41

แบบฝกหด ฝ2.6-2.8 วเคราะหหาแรงในชนสวนของโครงขอหมนโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง 20 kN F ฝ2.6

E

ฝ2.7

ฝ2.8

EA = คงท

10 kN

C

A B

D

3 m.

3 m.

4 m.

100 kN 100 kN

D C

A B

100 kN

4 m

80 kN

60 kN

A B

D

C

5 m.

5 m.

3 m EA = คงท

EA = คงท

5 m 5 m


หนาท 2-42

แบบฝกหด ฝ2.9-2.11 วเคราะหหาแรงปฏกรยาของโครงขอแขงโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง 10 kN/m ฝ2.9

ฝ2.10

ฝ2.11

C

A

20 kN/m

60 kN

B

8 m.

10 m. EI = คงท

C

A

20 kN

B

D

5 m.

3 m. E = คงท

2I

I 2I

3 m.

E

15 kN/m

3 m 5 m

B C

4 m

EI = คงท D A


หนาท 2-43

แบบฝกหด ฝ2.12-2.13 วเคราะหหาแรงปฏกรยาของคานโดยวธงานทนอยทสด

ฝ2.12 40 kN 60 kN ฝ2.13

E = 200 Gpa I = 500(106) mm4

C A B D

5 m 5 m 10 m 10 m

E

60 kN

C

A B

D

5 m 5 m 20 m

20 kN/m E = 200 Gpa I = 500(106) mm4

บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต 3-1

หนาท

บทท เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต 3

Influence Lines for Statically Indeterminate

Structures

เนอหา 3.1 บทนา 3.2 เสนอนฟลเอนซสาหรบคานแบบอนดเทอรมเนททางสถต 3.3 เสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ (Qualitative influence lines) 3.4 การวางนาหนกเพอผลตอบสนองสงสด วตถประสงค - สามารถวเคราะหเพอเขยนเสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต - สามารถวางรปแบบนาหนกททาใหเกดผลตอบสนองสงสดได

3.1

บทนา

สะพาน เครน สายพาน เปนตน เปนโครงสรางทรบแรงกระทาทเคลอนทได เชน รถยนตประเภทตางๆ วงบนสะพาน การวเคราะหโครงสรางสะพานดงกลาว จะตองพจารณาหาตาแหนงของรถยนตทวงใหหยดนงกอน โดยตาแหนงทวางรถยนตดงกลาวจะตองสงผลใหเกดผลตอบสนองสงสด

การวเคราะหหาตาแหนงของนาหนกดง กลาว เรยกวา การวเคราะหหาเสนอนฟลเอนซ ซงจะแสดงเสนนเปนกราฟ ทมแกน y แทนขนาดของผลตอบสนอง และแกน x เปนตาแหนงทนาหนกขนาด 1 หนวยวางอย

ในบทน จะไดกลาวถง การสรางเสนอนฟลเอนซ (Influence lines) สาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต โดยยงคงยดถอแนวทางเดยวกนกบหลกการพนฐานทไดศกษาเกยวกบการสรางเสนอนฟลเอนซสาหรบโครง สรางแบบดเทอรมเนททางสถต และการนาเสนอนฟลเอนซไปใชเพอวเคราะหหาผลตอบสนองสดกมหลกการเดยวกน


หนาท

พจารณาการสรางเสนอนฟลเอนซสาหรบแรงปฏกรยา By ของคานตอเนอง ดงแสดงในรปท 3.1 จะทาการวางนาหนกเปนจดขนาด 1 หนวย (แรงเคลอนไหว) หางจากจด A ซงเปนจดรองรบรมดานซายเปนระยะ x ใดๆ แลวทาการหาขนาดแรง By ซงจาเปนตองอาศยการวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท โดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง ในการวเคราะห หากเลอก By เปนแรงสวนเกน (Redundant) จากรปการซอนทบระยะแอนตวทจด B จะสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equation) ดงแสดงในสมการท (3.1)

0 yBBBX Bff (3.1) จากสมการท (3.1) สามารถคานวณหาขนาดแรง By เทากบ

BB

BXy f

fB

(3.2)

รปท 3.1 การหาเสนอนฟลเอนซของแรง By

3.2 เสนอนฟลเอนซสาหรบคานแบบอนดเทอรมเนททางสถต

คานหลกรบแรงภายนอกขนาด 1 หนวย


y เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง B



หนาท

โดยสมการท (3.2) เปนสมการหาขนาดของแรง By เมอมแรง 1 หนวยกระทาทระยะ x ใดๆ

ซงกคอ สมการเสนอนฟลเอนซของแรง By นนเอง โดยท และ เปนระยะแอนตวทจด B เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด x ใดๆ และทจด B ตามลาดบ จากกฎการสลบทของ Maxwell

(Maxwell’s law of reciprocal deflections) จะได

BXf BBf

XBBX ff ซงเมอแทนในสมการท 3.2 จะได

BB

XBy f

fB

(3.3)

จากสมการท (3.3) คอ ระยะแอนตวทระยะ x ใดๆ เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด B ซงสามารถสงเกตไดวา การคานวณขนาดแรง B

XBf

y สามารถกระทาไดงายกวาจากสมการท (3.2) (สมการท (3.3) เปนการหาระยะแอนตวทจดใดๆ เนองจากแรงกระทาท B ไมเคลอนท) เมอสามารถสรางเสนอนฟลเอนซสาหรบแรง By แลว จะสามารถคานวณเสนอนฟลเอนซของแรงอนๆทเหลอดวยสมการสมดลแรงได

สาหรบกรณของการหาเสนอนฟลเอนซของโครงสรางทมดกรอนดเทอรมเนทสงกวา 1 กคลายคลงกน เชนเมอพจารณาคานทมอนดเทอรมเนทระดบ 2 โดยเลอก B และ Cy y เปนแรงสวนเกน จากรปท 3.2 สามารถสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด ดงน

0 yBCyBBBX CfBff (3.4) 0 yCCyCBCX CfBff (3.5)

และ จากกฎการสลบทของแมกซเวลล (Maxwell’s law of reciprocal deflections) จะได

0 yBCyBBXB CfBff (3.6) 0 yCCyCBXC CfBff (3.7)

บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต

หนาท 3-4





รปท 3.2 การหาเสนอนฟลเอนซของแรง B และ C ของคานทเปนอนดเทอรมเนทอนดบ 2 y y

ในการคานวณหาเสนอนฟลเอนซของผลตอบสนองของโครงสรางแบบอนดเทอรมเนต ขนตอน

การวเคราะห 1. คานวณหาดกรอนดเทอรมเนท (DI) และ เลอกแรงสวนเกน 2. สรางเสนอนฟลเอนซของแรงสวนเกน 2.1 กาหนดตาแหนงทตองการเขยนเสนอนฟลเอนซ หรอ วางบนตาแหนง x ใดๆ 2.2 สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด โดยทาการวางนาหนก 1 หนวยในตาแหนงทกาหนดในขนตอน 2.1 และคานวณขนาดของแรงสวนเกนเนองจากนาหนก 1 หนวยโดยอาศยวธวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง ในการคานวณจะอาศยกฎการสลบทของ Maxwell มาชวยเพอใหการวเคราะหงายขน

2.3 กาหนดคาพกดของแรงบนกราฟตามตาแหนงของนาหนก 1 หนวยทวาง 3. สรางเสนอนฟลเอนซของแรงอนๆ ทเหลอ โดยใชสมการสมดลของแรง


หนาท 3-5

ตวอยาง 1 คานวณหาเสนอนฟลเอนซโดยใหคานวณพกดทกๆระยะ 10 ft ของ

1. แรงปฏกรยาท A D และ F แรงเฉอน และโมเมนตดดทจด C (S2. , C

MC)

E = คงท

ขนตอน เทอรมเนททางสถต และ เลอกแรงสวนเกน DI = 1 และเลอก Dy เปนแรงสวนเกน

x=0, 10, 20, 30, 40 และ 50 ฟต (โจทยกาหนด) .2 สรา

ethod of Consistent Deformations) ซงจะไดสมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด D คอ

จากกฎการสลบทของแม

หรอ

ท 1 คานวณหา ดกรของความเปนอนด

ขนตอนท 2 สรางเสนอนฟลเอนซของแรง Dy 2.1 กาหนดตาแหนงทตองการเขยนเสนอนฟลเอนซ 2 งสมการความคลองจองตอเนองของการขจด จากรปดานลาง การวเคราะหจะทาการวางนาหนก 1 หนวยทตาแหนง x ใดๆ และคานวณขนาดของแรง D โดยอาศยวธวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง (My

0 yDDDX Dff กซเวลล (Maxwell)

0 yDDXD DffDD

XDy f

fD (1)

จากกฎการสลบท

ของแมกซเวลล


คานหลกรบแรงภายนอกขนาด 1 หนวย ทจด D

=

+

คานอนดเทอรมเนททางสถ อนท 1 หนวยตรบแรงเคล


หนาท 3-6

x

conjxxD Mf

การคานวณระยะแอนตว XDf และ DDf จะอาศยวธการคานวณระยะแอนตวทสามารถสรางสมการเสนการแอนตวได โดยตวอยางทแสดงไดนาวธคานคอนจเกต (Conjugate beam) มาใช ดงแสดงในรปดานลาง และตารางการคานวณ สาหรบระยะแอนตวททกๆระยะ 10 ฟต จากนนแท

คานหลกรบแรงสวนเกน D

นคาะยะแอนตวในสมการท (1) จะไดคา Dy ทระยะทกๆระยะ 10 ฟต หรอ เสนอนฟลเอนซสาหรบ Dy

จะสามารถานวณหาไดโดยอาศยสมการสมดลแรง ในตาแหนงของแรง 1 หนวยตางๆ คอ

ร

สาหรบการคานวณหาเสนอนฟลเอนซของผลตอบสนองอนๆ ทโจทยตองการค

;0 FM 50/)50(1 x )20(DA yy เสนอนฟลเอนซสาหรบ Ay ;0yF yyy DAF 1 เสนอนฟลเอนซสาหรบ Fy

คานคอนจเกตสาหรบแรง 1 หนวยท D

สาห านวณหาระยะแอนท x ใดๆ (ทกๆ 10 ฟต)

y

รบค

เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง Dy (k/k)

เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง Ay (k/k)

เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง Fy

เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง SC (k/k)

เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง MC (k-ft/k)

(k/k)


3-7

หนาท


หนาท 3-8

ตาแหนง x ระยะแอนตวท

คานวณ

นตของคานคอนจเกททหนาตด x

ระ คานตารางการค

(ft)

านวณหาผลตอบสนโมเม

อง

yA yF CS ยะแอนตว จรง

DD

XD

f

f CMyD

0 ) 0 (จด A 0 0 0 1.0 0 0 ADf

10 B) (จด 0.492 0.603 -0.095 -0.397 2.06BDf

3

10)2)(10(

2

1)10(86

1

EI

EI

ftk67.826 3 k/

20 C) (จด 5.08 0.865 0.254 -0.119 -0.746 (ซาย)

0.254 (ขวา)

CDf

1

E 3

20)4)(20(

2

1)20(86

I k/3

EI

ftk33.453 ,1

30 D) (จด 1.0 0 0 0 0

DDf

E 3

30)6)(30(

2

1)30(86

1

I

EI

ftk /680,1 3 k

40 E) (จด 0.679 -0.072 0.393 -0.072 -1.44EDf

1

E 3

10)6)(10(

2

1)10(124

I

EI

ftk /140,1 3 k

50 0 1.0 (จด F) 0 0 0 0 0 FDf

ก

ยะ x ารหาใดๆ

ขนาดแรงเฉ ละโมเมนตดดทจด C กกระทาเช อนฟลเอนซ างแบบด มเนท โดยการวางนาหนก วยทระ แลวพ สระ (Free body diagram) านซาย หรอ ขวาของคาน

Tบทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต

อน แจารณาไดอะแกรมแรงอ

นเดยวกบการหาเสนของสวนทางด

ของโครงสร เทอร 1 หน

หนาท 3-6


หนาท 3-9

ตวอย

ททางสถต และ เลอกแรงสวนเกน

นตอนท 2 สรางเสนอนฟลเอนซของแรง RB 2.1 กาหนดตาแหนงทตองการเขยนเสนอนฟลเอนซ x= 0 ft 6 ft 12 ft 18 ft และ 27 ft จาก

มคลองจองตอเนองของการขจดทจด B นอนฟลเอนซของแรงสวนเกนกคอ สมการ

ดสวนระหวางระยะแอนตวทจด x กบระยะแอนตวทจด B เนองจากแรงสวนเกนขนาด 1 วยทจด B ในทศทางของแรงสวนเกน ดงนน เสนอนฟลเอนซของแรงสวนเกน RB คอ

าง 2 คานวณหาเสนอนฟลเอนซของ RBโดยใหคานวณทพกด 0 ft 6 ft 12 ft 18 ft และ 27 ft จาก A ขนตอนท 1 คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเน

DI = 1 และเลอก RB เปนแรงสวนเกน ข

A (โจทยกาหนด) 2.2 สมการควา จากสมการท (1) ในตวอยางท 1 ขางตน เสสหน

BB

XBB f

fR โดยระยะแอนตวสามารถหาไดโดยวธคานคอนจเกตดงแสดง

แรง 1 หนวยท B และระยะแอนตว คานคอนจเกต

ระยะแอนตวทคานวณ เสนอนฟลเอนซสาหรบ RB

XBf BBf x

B

B

x=

R

x (ft) 0 6 12 18 27


หนาท

3.3 เสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ (Qualitative influence lines) เสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ (Quali-tative influence lines) เปนเสนอนฟลเอนซของ

ลตอบ

เทอรมเนทยงคงใชแนวทางเดยวกนกบโครงสรางแบบดเทอรมเนท ซงมขนตอนดงน 1. ปลดก

ะเปนเสนตรง) ซงถอเปนเ นอนฟลเอนซของแรงนน ตามหลกของมลเลอร-เบลสลาว

ผ สนองทแสดงใหเหนรปรางทวไป ไมตองการแสดงคาทแนนอน ซงมประโยชนในทางการออกแบบในทางปฏบตเพอการหารปแบบการวางนาหนกทใหเกดผลตอบสนองสงสด การสรางเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพจะอาศยหลกการมลเลอร-เบลสลาว (Muller-Bresslau’s Principle) โดยการใชหลกการดงกลาวสาหรบการสรางเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพของผลตอบสนองของโครงสรางแบบอนด

ารยดรงของแรงทตองการหาเสนอนฟลเอนซ 2. ใหระยะเคลอนท 1 หนวย ในทศบวกของแรงทปลด 3. วาดเสนการเปลยนรป ซงโดยปกตแลวจะเปนเสนโคง (โครงสรางแบบดเทอรมเนทจ

ส

ตวอยาง 3 จงวาดเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ ของ 1. แรงปฏกรยาท C และ F

แรงเฉอน B 2. โมเมนตดดลบทจด C และโมเมนตดดบวกทจด D 3.

1 โครงสรางทวเคราะห เสนอนฟลเอนซสาหรบ R C

1

1

เสนอนฟลเอนซสาหรบ VB

เสนอนฟลเอนซสาหรบ MD เสนอนฟลเอนซสาหรบ MC

เสนอนฟลเอนซสาหรบ RF

1 o

1o


หนาท

3.4 การวางนาหนกเพอผลตอบสนองสงสด เมอวาดเสนอนฟลเอนซของผลตอบ สนองใดๆ ไดแลว จะสามารถตาแหนงของนาหนกเคลอนทจะกระทาตอโครงสรางทจะทาใหเกดผลตอบสนองนนๆสงสด ซงจะเปนกรณทโครงสรางนนรบภาระารกระทาสงสด หากแรงเคลอนท มหลายลกษณะ หรอเปนแรงทกระทาพรอมกนหลายจด

ซอนทบของผลตอบสนองแตละชนด เชนเดยว กบทไดเรยนผานมาในวชาฤษฎโครงสราง

หากพจารณานาหนกเคลอนทเปนแรงกระจายสมาเสมอ (Uniformly distributed live load) แรงลอนทจะถกวางบนโครงสรางในชวงทมพกดบวกเพอใหเกดผลตอบสนองบวกสงสด เมอทราบรปแบบองนาหนกกระทาจงทาการวเคราะหโครงสรางเพอหาขนาดของผลตอบสนองตอไป

ทกผลตอบสนองกจะไดจากการท

เคข

ตวอยาง 4 ตวอยางท 3 จงหารปแบบนาหนกเคลอนทเปนแรงกระจายสมาเสมอททาใหเกดแรงสดด ดงตอไปน . แรงปฏกรยาท C และ F . แรงเฉอน B

3. โมเม กทจด

จากส12

นตดดลบทจด C และโมเมนตดดบว D

รปแบบของแรงททาให RC มคาสงสด โครงสรางทวเคราะห

รปแบบของแรงททาให VB มคาสงสด รปแบบของแรงททาให RF มคาสงสด

รปแบบของแรงททาให MD มคาสงสด รปแบบของแรงททาให MC มคาสงสด


หนาท

ตวอยาง 5 จากโครงขอแขงดงแสดง จงวาดเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ และรปแบบนาหนกเคลอนทเปนแรงกระจายสมาเสมอททาใหเกด แรงเฉอนทจด A สงสด และโมเมนตดดทจด B สงสด

. แรงเฉอน ทจด A สดสด

เสนอนฟลเอนซแรงเฉอนทจด A รปแบบนาหนกททาใหเกดแรงเฉอนทจด A สงสด

. โมเมนตดดทจด B สดสด

เสน

1

2

A

B

อนฟลเอนซโมเมนตดดทจด B รปแบบนาหนกททาใหเกดโมเมนตดดทจด B สงสด


หนาท 3-13

ต จากโครงขอแขงดงแสดง จงวาดเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ และรปแบบนาหนกเคลอนทเ 1. แรงกดของเสา AB สงสด

เสนอนฟลเอนซ สา AB สงสด 2. โมเมนตดดของเสา AB สงสด

เสนอน อน เมนตดดของเสา AB รปแบบนาหนก าให โมเมนตดดของเสา AB สงสด

จากรปแบบของแรงกระจายสมาเสมอ จะสงเกตเหนไดวา นาหนกกระทามรปแบบเหมอนกบ

ช งกระดานหมากรก (Checkerboard pattern)

วอยาง 6ปนแรงกระจายสมาเสมอททาใหเกด แรงกดและโมเมนตดดของเสา AB สงสด

แรงกดเสา AB รปแบบนาหนกททาใหเกดแรงกดของเ

ทท เกดฟลเ ซโม

อ


หนาท 3-14

แบบฝกหดทายบท เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต ฝ3.1 จงคานวณหาเสนอนฟลเอนซทกๆ 5 เมตรของคานดงรป สาหรบแรงปฏกรยาท A และ D

3.2 จงคานวณหาเสนอนฟลเอนซท เมตรของคานดงรป สาหรบแรงปฏกรยาท A และ B

3.3 รปดานลางแสดงสะพานคนเดนเชอมอาคาร A และ B โดยมไดเชอมตดกบอาคารทงสอง สะพานดงกลาวรองรบดวยเสาทจด B C และ D และทหวเสาเปนชนดหมนได จงคานวณหา 1. เสนอนฟลเอนซทกๆ 3 เมตรของแรงตามแนวแกนของเสากลาง 2. ถานาหนกคนเดนทออกแบบเทากบ 800 กก/ม. จงคานวณหาขนาดแรงยกสงทเกดขนของเสากลาง

รวมทงแรงเฉอน และ โมเมนตดดท B

C A EI = คงท

5m 5m 5m 5m

B D E

ฝ กๆ 4

4 m 4 m 4 m 4 m 4 m

A

RA

B

E= คงท

ฝ

EI = คงท

C A B D E

3 m 12 m 12 m 3 m


หนาท 3-15

ฝ3.4 จากคานในแบบฝกหดท ฝ3.1 จงคานวณหาเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ (qualitative influence lines) สาหรบแรงปฏกรยาท A และ D รวมทงแรงเฉอน และ โมเมนตดดท B ฝ3.5 จากโครงขอแขงดงแสดง จงคานวณหา

1. เสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ (qualitative influence lines) สาหรบคาโมเมนตบวก และแรงเฉอนทจด A และ B

2. จดวางนาหนกกระทาแบบสมาเสมอททาใหเกดคาโมเมนตบวกทจด A และ B มากทสด

B A

บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว

หนาท 4-1

บทท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท ทางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว 4

Analysis of Statically Indeterminate Structures by

The Slope-Deflection Method

เนอหา 4.1 บทนา 4.2 สมการความลาดชน-การโกงตว (Slope-Deflection Equations) 4.3 สมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว (Modified Slope-Deflection Equations) 4.4 การวเคราะหคานตอเนอง (Continuous Beams) 4.5 การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขาง (Frames without Sidesway) 4.6 การวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขาง (Frames with Sidesway) วตถประสงค - สามารถวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทโดยวธความลาดชน-การโกงตว

เมอคานตอเนอง หรอโครงขอแขงรบแรงกระทาภายนอก จะเกดโมเมนตดดภายในทปลาย (End Moments) ของแตละชนสวน โดยขนาดของโมเมนตดดทปลายทเกดขนนจะสมพนธกบการเปลยนรปราง ซงไดแก ความลาดชน (Slope) และ การโกงตว (Deflection) และแรงกระทาภายนอก สมการความสมพนธดงกลาวเรยกวา สมการความลาดชน-การโกงตว (Slope-Deflection Equations)

พจารณาคานตอเนองรปท 4.1(ก) ในการวเคราะหจะแบงคานออกเปนชนสวน คอ AB และ BC เชอมตอกนแบบจดแขงท B โดยจดดงกลาวเปนจดรองรบของคานดวยเชนกน ผลของแรงกระทาภายนอก P1 และ P2 ทาใหเกดความลาดชนทจด A B และ C และโมเมนตดดทปลาย ดงแสดงในรปท 4.1(ก) และ (ข)

(ก) คานตอเนองรบแรงภายนอก

4.1 บทนา


หนาท 4-2

(ข) โมเมนตดดทปลายชนสวนและทจดตอ

รปท 4.1 คานตอเนอง 4.1.1 การเปลยนรปรางทไมทราบคา (Unknown Displacements)

ในการวเคราะห จะสรางสมการความลาดชน-การโกงตว ซงเปนความสมพนธระหวางโมเมนตดดทปลายชนสวนกบ ความลาดชน และการโกงตว ในการวเคราะหจะทาการคานวณหาความลาดชน และการโกงตวทไมทราบคา ดงนนจากคานรปท 4.1(ก) จะเหนวา มการโกงตว (Slope) ทไมทราบทจดตอ B และทจดรองรบ A และ C โดยอาศยสมดลของโมเมนตดดทจดตอ (ดงจะไดกลาวใน 4.1.3 ตอไป) จากนน จะนามาแทนกลบในสมการ ความลาดชน-การโกงตว เพอคานวณหาโมเมนตดดทปลาย 4.1.2 ระบบเครองหมาย และสญลกษณ พจารณารปท 4.1(ข) กาหนดให (ก) เครองหมาย

โมเมนตดด หรอ ความลาดชน ทปลายชนสวนใดๆ ในทศตามเขมนาฬกา เปน “บวก” (ข) สญลกษณ (ตวหอย) ตวหอยแรก แทน โมเมนตดด หรอ ความลาดชน ทปลายชนสวนนน ตวหอยสอง ใชเพอการบอกวาเปนโมเมนตดด หรอ ความลาดชน ของชนสวนไหน เชน MAB คอ โมเมนตดดทปลาย A ของชนสวน AB MBA คอ โมเมนตดดทปลาย B ของชนสวน AB MBC คอ โมเมนตดดทปลาย B ของชนสวน BC MCB คอ โมเมนตดดทปลาย C ของชนสวน BC เปนตน 4.1.3 สมดลของโมเมนตดดทจดตอ พจารณาแรงกระทาทจดตอหมนได A B และ C ของคานตอเนองในรปท 4.1(ข) โดยโมเมนตดดทจดตอดงกลาวถอเปนแรงปฏกรยาของโมเมนตดดจากปลายชนสวนทางดานซายและขวาของจดตอทพจารณา (ดงนน จงมขนาดเทากน แตมทศทางตรงขาม ตามกฎแรงกรยา เทากบ แรงปฏกรยา)


หนาท 4-3

เมอพจารณาสมดลโมเมนตดดทจดตอ A B และ C จะไดสมการสมดลดงแสดงในสมการท (4.1) คอ 0;0 ABA MM 0;0 BCBAB MMM (4.1) 0;0 CBC MM สมการท (4.1) จะใชในการหาความลาดชนทจดตอ A B และ C

4.2

สมการความลาดชน-การโกงตว (Slope-Deflection Equations)


(ข) การเปลยนรปรางของคานชน ij รปท 4.2 การเปลยนรปของคานตอเนอง

พจารณาชนสวนคาน ij ของคานตอเนองใดๆ รบแรงกระทาภายนอก ดงแสดงในรปท 4.2(ก)

เมอตดชนสวน ij และพจารณาแรงทเกดขนบนชนสวน และขนาดของการเปลยนรปราง ดงแสดงในรปท 4.2(ข) รปท 4.3 แสดงการซอนทบของโมเมนตดดทปลายทงหมด 3 สวนคอ


หนาท 4-4

=

(ก) โมเมนตดดเนองจากแรงกระทาภายนอกในสภาพปลายรมทงสองยดแนน +

Mij

Mji

i jij ji

(ข) โมเมนตดดเนองจากการโกงตวสมพทธระหวางจดรองรบรมสองขาง +

i j

i

j

MijMji

(ค) โมเมนตดดเนองจากความลาดชน

รปท 4.3 การซอนทบโมเมนตดด 4.2.1 โมเมนตดดเนองจากแรงกระทาภายนอก เมอพจารณาใหคานมการยดแนนท ปลาย (ดงรปท 4.3 (ก)) รบแรงภายนอกจะทาใหเกดโมเมนตดดทปลาย (FEM) โดยรปแบบแรงกระทาตางๆ แสดงในรปท 4.4 4.2.2 โมเมนตดดเนองจากการเคลอนทของปลายทงสอง เพอใหการเปลยนรปคานมการเปลยนตาแหนงทปลายทงสอง เชนเดยวกบคานทวเคราะห ดงรปท 4.3(ข) จงสมมตใหปลายทงสองของคานเกดการเคลอนททตางกน ( ijji ) โดยการ เคลอนท

ดงกลาวทาใหเกดโมเมนตดดทปลาย i ( ijM

ijM) และ j ( ) ซงมขนาดเทากน จากการพจารณาคานคอนจเกต (ดสวนเพมเตมทายบท) จะได

2

6

L

EIMM ji

jiij

jiij MM )/)(/(6 LLIE ji

กาหนดใหL

IK คอ ความแขงดดสมพทธ (Relative flexural stiffness) และ

Lji

ij

คอ

คาเฉลยการหมนของชนสวน (Average Chord rotation) จะได


หนาท 4-5

jiij MM ijEK6 (4.2)

4.2.3 โมเมนตดดเนองจากความลาดชน

เพอใหการเปลยนรปคานมความลาดชนทปลายทงสอง เชนเดยวกบคานทวเคราะห ดงรปท 4.3(ค) จงสมมตใหคานเกดความลาดชนทปลายทงสอง จากการพจารณาคานคอนจเกต (ดสวนเพมเตมทายบท) จะได

ij

ijji

jiji

ij

EKL

EIM

EKL

EIM

2222

2222

(4.3) 4.2.4 สมการความลาดชน-การโกงตว การซอนทบการเปลยนรปราง และโมเมนตดดทงสามสวน จะไดโมเมนตดดทปลาย คอ

ijijijij FEMMMM

jijijiji FEMMMM (4.4)

แทนคาโมเมนตดดทปลายจากรปท 4.4 และสมการท (4.2) และ (4.3) ลงในสมการท (4.4) จะได

ijijjiij FEMEKM 322 jiijijji FEMEKM 322

(4.5)

รปท 4.4 โมเมนตดดทปลายยดแนนเนองจากแรงภายนอก


หนาท 4-6

4.3 สมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว (Modified Slope-Deflection Equations) หากคานตอเนองททาการวเคราะหมปลายรมสดขางใดขางหนงหรอทงสองขาง เปนจดรองรบท

หมนได (Hinge หรอ Roller supports) ดงแสดงในรปท 4.1(ก) จะทราบไดทนทวาโมเมนตดดทรมนน เทากบ ศนย (M =MAB CB=0) การวเคราะหคานดงกลาวนน สามารถดดแปลงสมการความลาดชน-การโกงตว โดยใชเงอนไขดงกลาว เพอใหการคานวณรวดเรวขน

จากสมการความลาดชน-การโกงตว เมอพจารณาชนสวน BC เปนชน ij ใดๆ โดยท C=j เปนจดรองรบรมสดทหมนไดของคาน จะได M = 0 และจากสมการความลาดชน-การโกงตว จะได ji

ijijjiij FEMEKM 322 (4.6ก)

jiijijji FEMEKM 3220 (4.6ข)

นาสมการ 2×(4.6ก) ลบสมการ (4.6ข) เพอกาจดตวแปร j จะไดสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว กรณทปลาย j เปนจดรองรบรมสดทหมนไดของคาน

jiijijiij FEMFEMEKM 23322 หรอ

jiijijiij FEMFEMEKM2

133

สาหรบ กรณจด i เปนจดรองรบรมสดทหมนไดของคาน กทาเชนเดยวกน โดยกาหนด ใหสมการท (4.6ก) เทากบ 0

สมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว(Modified slope-deflection equation) ของทง 2 กรณดงน (สมการท 4.7)

กรณจด j เปนจดรองรบรมสดทหมนไดของคาน

jiijijiij FEMFEMEKM2

13

กรณจด i เปนจดรองรบรมสดทหมนไดของคาน

ijjiijjji FEMFEMEKM2

13

(4.7) ในการวเคราะหโครงสรางดวยวธความลาดชน-การโกงตวมขนตอนการวเคราะห ดงน

1. ระบความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา 2. คานวณ FEM ของแตละชนสวนจากรปท 4.4 3. เขยนสมการความลาดชน-การโกงตว


หนาท 4-7

4. สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ใน ขนตอนท 1 5. คานวณโมเมนตดดทปลาย 6. คานวณแรงเฉอนทปลาย 7. คานวณแรงปฏกรยา 8. วาดไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดด 4.4 การวเคราะหคานตอเนอง (Continuous Beams) 4.4.1 คานตอเนองทมการยดรงแนนทปลายรมคาน ในการวเคราะหคานตอเนองทมการยดรงแนนทปลายรมคานจะอาศยสมการความลาดชน-การโกงตว (สมการท 4.5) 4.4.2 คานตอเนองทปลายรมคานหมนได การวเคราะหคานตอเนองทปลายรมคาน หมนไดอสระจะอาศยสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว (สมการท 4.7) 4.4.3 คานตอเนองทมปลายยน พจารณาคานตอเนองทมปลายยน (รปท 4.5(ก)) เนองจากสวนยน CD มสภาพเปนดเทอรมเนท ซงสามารถคานวณหาแรง และโมเมนตดดท C ได (รปท 4.5(ข)) ดงนน ในการวเคราะหคานตอเนองน จงไมจาเปนตองพจารณาสวนยน CD กได โดยนาแรงทปลาย มาพจารณารวมในการวเคราะห (รปท 4.5(ค)) ดงแสดงขางลาง และสมดลของโมเมนตดดทจด C แสดงในรปท 4.5(ง)

w A

D B C

(ก) คานทวเคราะห

(ข) คานยนดเทอรมเนท

LCDLBCLAB

LCD

2

2CD

CD

wLM w

CDCD wLV


หนาท 4-8

(ค) คานททาการวเคราะหโดยถายโมเมนตดด

(ง) สมดลของโมเมนตดดทจด C

รปท 4 น

D A

B

2

2CD

CD

wLM

L

.5 การวเคราะหคานตอเนองทมปลายย

LAB BC

CDCD wLV

w

C 2

2CD

CD

wLM

CBM

0;0 CDCBC MMM


หนาท 4-9

ตวอยางท 1 จงคานวณโมเมนตดดทปลาย (End moments) ของคานทมปลายยดแนนดงรป

EI = คงท ดงนน

KIKK BCAB 20/

ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => B

ขนตอน 2 คานวณ FEM ของแตละชนสวนจากรปท 4.4

ftkipFEM AB 50 ftkipFEM BA 50 ftkipFEM BC 40 ftkipFEMCB 40

ขนตอน 3 เขยนสมการความลาดชน-การโกงตว (จากสมการท 4.5) ชนสวน AB

)50()0(3)0(22322 BABABBAAB EKFEMEKM 502 BAB EKM …. (1) 504 BBC EKM …. (2)

ชนสวน BC 404 BBC EKM …. (3) 402 BCB EKM …. (4)

ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1 0;0 BCBAB MMM จากสมการ (2) และ (3) จะได

0108 BEK => 25.1BEK ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย

ในสมการท (1)-(4) ได แทนคา 25.1BEK

ftkipM AB 5.5250)25.1(2

ftkipM BC 4550)25.1(4 ftkipM BC 4540)25.1(4

ftkipMCB 5.3740)25.1(2


หนาท 4-10

ตวอยางท 2 จงคานวณหาไดอะแกรมของแรงเฉอน และโมเมนตดดของคานตอเนองทปลายรมคานหมนได

EI = คงท ดงนน

KKIK

KIK

BC

AB

5.1)20/30(20/

30/

ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => และ CA B

เนองจากในการวเคราะหจะใชสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว (สมการท 4.7) ดงนน ความลาดชนทไมทราบคาทเกยวของในการวเคราะหจะเหลอแต B


ftkipFEM AB 20 ftkipFEM BA 40 ftkipFEM BC 44 ftkipFEMCB 20

ขนตอน 3 เขยนสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว ชนสวน AB

0ABM ….(1) ABBAABBBA FEMFEMEKM 2/13 )20(2/1)40(3 ABBBA EKM = 503 BBA EKM ….(2)

ชนสวน BC 54)5.1(3 BBC KEM …. (3)

0CBM …. (4) ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1 0;0 BCBAB MMM จากสมการ (2) และ (3) จะได

045.7 BEK => 5.7/4BEK ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย

ในสมการท (2) และ (3) ได แทนคา 5.7/4BEK


หนาท 4-11

ftkipM BA 6.5150)5.7/4(3

ftkipM BC 6.5154)5.7/4(3 ขนตอน 6, 7, 8 คานวณแรงเฉอนทปลาย แรงปฏกรยา และไดอะแกรมของแรงเฉอน และโมเมนตดด

แรงปฏกรยาเนองจากแรงภายนอก และไมยดรงปลาย

แรงปฏกรยาเนองจากแรงโมเมนตดดทปลาย

แรงปฏกรยารวมจากการซอนทบ

ตวอยางท 3 จงคานวณโมเมนตดดทปลาย (End moments) และแรงปฏกรยาทจดรองรบของคานตอเนองทปลายรมยน

ชวงคานยนดเทอรมเนท EI = คงท


หนาท 4-12

คานททาการวเคราะห ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => และ CB


0ABFEM 0BAFEM

mkNFEM BC 5.6712

)9(10 2

mkNFEMCB 5.6712

)9(10 2

ขนตอน 3 เขยนสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว ชนสวน AB

BAB IEM )6/(2 …. (1) )2)(6/(2 BBA IEM …. (2)

ชนสวน BC

)5.67()2)(9/(2 CBBC IEM …. (3) )5.67()2)(9/(2 CBCB IEM …. (4)

ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1 0;0 BCBAB MMM จากสมการ (2) และ (3) จะได

5.6722.011.1 CB EIEI …. (5) 0120;0 CBC MM จากสมการ (4)

5.5244.022.0 CB EIEI …. (6) จากสมการ (5) และ (6)

325.41 mkNEI B 362.97 mkNEI C


หนาท 4-13

ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย แทนคา และ ในสมการท (1) ถง (4) ได 325.41 mkNEI B 362.97 mkNEI C

mkNM AB 7.13)25.41(6/2 mkNM BA 5.27)25.41(6/4

mkNM BC 5.27 mkNM CB 120

ขนตอน 6, 7 คานวณแรงเฉอนทปลาย แรงปฏกรยา

โมเมนตดดและแรงเฉอนทปลายชนสวน

แรงปฏกรยาทจดรองรบ

4.5 การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขาง (Frames without sidesway) การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขางจะคลายกบการวเคราะหคานตอเนอง เวนแตจดตอของโครงขอแขงสามารถเชอมตอชนสวนมากกวา 2 ชนได ซงทาใหโมเมนตดดทจะตองรวมกนสมดลในจดตอมมากกวา 2 คา โครงขอแขงใดๆจะไมมการไถลดานขาง (without sidesway) เมอ (ดรปท 4.6(ก)) (ก) มการยดรงปองกนการไถลขาง หรอ (ข) โครงขอแขงมลกษณะทสมมาตรของ

ข.1 รปแบบแรงกระทา และ ข.2 รปทรงของโครงสราง และ


หนาท 4-14

ข.3 วสดโครงสราง และ ข.4 ชนดจดรองรบ

และโครงขอแขงใดๆจะมการไถลดานขาง (sidesway) เมอ (ดรปท 4.6(ข)) (ก) ไมมยดรง และ (ข) ไมมลกษณะทสมมาตรในลกษณะหนงๆ

แกนสมมาตร

มการยดรงปองกนการไถลขาง

ไมมการยดรง แตโครงสรางสมมาตร

ก) ไมมการไถลขาง (ข) มการไถลขาง (ไมมการยดรง และไมสมมาตร) (

รปท 4.6 การพจารณาการไถลดานขางของโครงขอแขง

ตวอยาง 4 จงวเคราะหหาไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดด

คงท E =

ชวงยนดเทอรมเนท


หนาท 4-15

ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => และ B D


inkipsFEM AB 64812

)12)(18)(2( 2

inkipsFEM BA 648

ขนตอน 3 เขยนสมการความลาดชน-การโกงตว ชนสวน AB

64811.1

321218

1202

B

ABABBAAB

E

FEMEM

….(1)

64822.2 BBA EM …. (2) ชนสวน BD

DBBD EEM 11.122.2 …. (3)

DBDB EEM 22.211.1 …. (4) ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1

0;0 DBD MMทจดตอ D: …. (5)

0)12(24;0 BDBAB MMMทจดตอ B: …. (6) แทน สมการ (4) ใน (5)

022.211.1 DB EE …. (7) แทน สมการ (2) และ (3) ใน (6) 64822.2 BE + DB EE 11.122.2 0)12(24 …. (8) จากสมการท (7) และ (8) ได

EE DB

33.46,

66.92

ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย

EE DB

33.46,

66.92

ในสมการท (1)-(4) ได แทนคา

inkipM AB 85.750 inkipM BA 29.442


หนาท 4-16

inkipM BD 28.154 inkipM DB 0

ขนตอน 6, 7, 8 คานวณแรงเฉอนทปลาย แรงปฏกรยา และเขยนไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดด

4.6 การวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขาง (Frames with sidesway) การไถลขางของโครงขอแขงทาใหปลายทงสองของชนสวนเกดระยะเคลอนทสมพทธ () ซงถอวา ชนสวนของโครงขอแขงมการโกงตวทไมทราบคา เพมขนจากกรณโครงขอแขงทไมมการไถลขาง จงจาเปนตองอาศยสมการสมดลแรงเฉอน (Shear equation) เพมเตมจากสมดลโมเมนตดด


หนาท 4-17

ตวอยาง 5 จงวเคราะหหาไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดด

44 360,.600,.240 inIinIinI CDBCAB

และ E= คงท ดงนน

KEE

L

EIK AB 20

12

240

KEE

L

EIKBC 240

15

600

KEE

L

EIKCD 20

18

360

ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => , และ CB ( ) 18/CD12/AB

ขนตอน 2 คานวณ FEM ของแตละชนสวนจากรปท 4.4 ไมม ขนตอน 3 เขยนสมการความลาดชน-การโกงตว ชนสวน AB

5.42

322

B

ABABBAABAB

K

FEMEKM ….(1)

5.422 BBA KM …. (2) ชนสวน BC

CBBC KM 24 …. (3) CBCB KM 24 …. (4)

ชนสวน CD

322 CCD KM …. (5) 32 CDC KM …. (6)

ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และสมดลแรงเฉอน และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1


หนาท 4-18

0;0 BCBAB MMMจดตอ B: …. (7) 0;0 CDCBC MMMจดตอ C: …. (8)

06;0 DCABx VVFสมดลแรงเฉอน:

061812

DCCDBAAB MMMM …. (9)

แทน สมการ (2) และ (3) ใน (7) และแทน สมการ (4) และ (5) ใน (8) ได

09412 CB …. (10) 06124 CB …. (11)

แทน สมการ (1), (2) และ (5), (6) ใน (9)

KCB

1083969 …. (12)

จากสมการท (10) (11) และ (12) ได

KKK CB

44.3,

97.0,

257.2

ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย

KKK CB

44.3,

97.0,

257.2 ในสมการท (1)-(6) ได แทนคา

ftkipM AB 45.26 ftkipM BA 84.21 ftkipM BC 84.21 ftkipMCB 78.16 ftkipMCD 78.16 ftkipM DC 7.18

ขนตอน 6, 7, 8 คานวณแรงเฉอนทปลาย แรงปฏกรยา และเขยนไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดด


หนาท 4-19

ตวอยาง 6 จงวเคราะหหาไดอะแกรมโมเมนตดด

15 kN/m B

C

4 m คงท EI =

ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => θB θC และ ∆

θC

B

θC

BC

θB CD

AB

θB

C B C

A

B

D

= h,C = h,B

3 m 5 m

A D

คาเฉลยการหมนของชนสวน จากรปจะเหนวา

AB = BB/5 = (5Δ/4)/5 = 0.25Δ BC = -B B/5 = (-3Δ/4)/5 = -0.15Δ CD = CC/5 = Δ/4 = 0.25Δ

KAB = K = I/5 และ K = I/4 BC CD


หนาท 4-20


FEMBC = -wL2/12 = -(15)(5)2/12 = -31.25 kN-m FEMCB = wL2/12 = (15)(5)2/12 = 31.25 kN-m ขนตอน 3 เขยนสมการความลาดชน-การโกงตว

ชนสวน AB

MAB = 2E(I/5)[2(0) + θB –3(0.25Δ)] + (0) = 0.4EIθB – 0.3EIΔ MBA = 2E(I/5)[2θB + (0) – 3(0.25Δ)] + (0) = 0.8EIθB – 0.3EIΔ ชนสวน BC

MBC = 2E(I/5)[2θB + θC – 3(–0.15Δ)] – 31.25 = 0.8EIθB + 0.4EIθC + 0.18EIΔ – 31.25 MCB = 2E(I/5)[2θC + θB – 3(–0.15Δ)] + 31.25 = 0.8EIθC + 0.4EIθB + 0.18EIΔ + 31.25 ชนสวน CD

MCD = 2E(I/4)[2θC + (0) – 3(0.25Δ)] + (0) = EIθC – 0.375EIΔ MDC = 2E(I/4)[2(0) + θC– 3(0.25Δ)] + (0) = 0.5EIθC – 0.375EIΔ


หนาท 4-21

C

6.67 m

B

O

A

MAB VAB

15 kN/m

D

MDC

8.33 m

VDC

ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และสมดลแรงเฉอน และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1

0;0 BCBAB MMMจดตอ B: …. (1) 0;0 CDCBC MMMจดตอ C: …. (2)

สมการสมดลทสามสามารถทจะหาไดจากผลรวมของโมเมนตรอบจด O ของแรงและโมเมนตดดทปลายของชนสวนทกระทาตอโครงสราง

;0 OM MAB + MDC – (15)(5)(5/2) + VAB(13.33) + VDC(10.67) = 0 (3)


หนาท 4-22

แรงเฉอนทปลายของชนสวน AB และ CD (V และ VAB DC ตามลาดบ) สามารถทจะเขยนในรปของโมเมนตดดทปลายของชนสวนทงสองโดยอาศยรปอสระของชนสวนทงสองจะได MAB MDC

VAB = –1/5(MAB + MBA) และ VDC = –1/4(MDC + MCD) แทนคาแรงเฉอน VAB และ VDC ลงในสมการท (3) จะได

MAB + MDC – 187.5 + [–1/5(MAB + MBA)](13.33) +[–1/4(MDC + MCD)] (10.67) = 0 1.667MAB + 2.667MBA + 2.667MCD + 1.667MDC +187.5=0 (4) แทนคาสมการความลาดชน-การโกงตว จากขนตอน 3 ในสมการท (1) (2) และ (4) จะได

1.6EIθB + 0.4EIθC - 0.12EIΔ = 31.25 (5) 0.4EIθB + 1.8EIθC - 0.195EIΔ = -31.25 (6) 2.8EIθB + 3.5EIθC - 2.925EIΔ = -187.5 (7) แกสมการท (5) ถงสมการท (7) พรอมกนจะได

EIθB = 28.969 EIθC = -15.913 และ EIΔ = 72.792 ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย

แทนคา EIθB = 28.969 EIθC = -15.913 และ EIΔ = 72.792 ทคานวณไดลงในสมการความลาดชน-การโกงตว ในขนตอน 3 จะได

MAB = -10.2 kN-m ทวนเขม MBA = 1.3 kN-m ตามเขม

MAB

VAB

VAB B

A

MDC

VDC

VDC C

D


หนาท 4-23

MBC = -1.3 kN-m ทวนเขม MCB = 43.2 kN-m ตามเขม MCD = -43.2 kN-m ทวนเขม MCD = -35.2 kN-m ทวนเขม รปไดอะแกรมของโมเมนตดด อาศยคาโมเมนตดดทปลายทคานวณไดสามารถเขยนรปไดอะแกรมของโมเมนตดดไดดงแสดง โดยทตาแหนงทแรงเฉอนเทากบศนยของชนสวน BC สามารถหาไดจากแรงเฉอนทปลายของชนสวนดงกลาวหารดวยขนาดของแรงกระจายแผทกระทาตอชนสวน

x = 29.12/15

= 1.94 m

27

43.2 1.3

43.2

10.2 35.2


หนาท 4-24

สวนเพมเตม ทมาของสมการความลาดชน-การโกงตว

โมเมนตดดเนองจากแรงภายนอกในสภาพปลายรมทงสองยดแนน FEMij ดรปท 4.4

1.

2. โมเมนตดดเนองจากการโกงตวสมพทธระหวางจดรองรบรมสองขาง; /M

คานจรง

คานคอนจเกต

จากการวเคราะหคานคอนจเกต

realji , = = conjjM ,

3

1

2

1

3

2

2

1 // L

EI

ML

L

EI

ML

jiij

=

3

1

3

2

2

1 / LL

EI

ML

ij

= EI

ML

ij/

2

6

1 …….(4.2) 2

//.6

L

EIMM ij

jiij


หนาท 4-25

3. โมเมนตดดเนองจากความลาดชน, M

คานจรง

คานคอนจเกต

จากการวเคราะหคานคอนจเกต conjireali V ,,

0jM ; V = Lconji ,

32

1

3

2

2

1 //// L

EI

ML

L

EI

ML

jiij

conjiV , = jiij MMEI

L ////26

หรอ

reali, = jiij MMEI

L ////26

……..(1)

0 iM ; V = Lconji ,

32

1

3

2

2

1 //// L

EI

ML

L

EI

ML

ijji

conjjV , = ijji MMEI

L ////26

หรอ

conjj , = ijji MMEI

L ////26

………(2)

จากสมการ (1) และ (2) จะได

L

EIM ji

ij

2.2//

L

EIM ij

ji

2.2//

………….(4.3)


หนาท 4-26

ดงนน สมการโมเมนตดดทปลาย (End moment) คอ

= endM FEMsMM ///

แทนคาโมเมนตดดทปลายจาก (4.2) และ (4.3) ได

;ijend

ijjiji

ij FEML

EI

L

EIM

2

62.2

;jiend

jijiij

ji FEML

EI

L

EIM

2

62.2

จดรปสมการใหม

= ijM ijji

ji FEMLL

IE

322

= jiM jiji

ij FEMLL

IE

322

L

Iให K = คอ ความแขงดดสมพทธ (Relative flexural stiffness)

2ji

ij

คอ คาเฉลยการหมนของชนสวน (Average Chord rotation)

ดงนน จะไดสมการความลาดชน-การโกงตว ดงน

= ijM ijijji FEMEK 322 = jiM jiijij FEMEK 322


หนาท 4-27

แบบฝกหดทายบท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว แบบฝกหด ฝ4.1-4.9 วเคราะหหาแรงปฏกรยาของโครงสรางโดยวธความลาดชน-การโกงตว 40 kN 60 kN ฝ4.1 ฝ4.2

ฝ4.3 ฝ4.4

C A

5m 5m 10m 5m

EI = คงท 10 kN/m

20 kN 40 kN

B D E

C

A B

D

5 m 5 m 20 m

60 kN 20 kN/m

E = 200 Gpa I = 500(106) mm4

C

A

20 kN/m

60 kN

B

8 m.

10 m. EI = คงท

C A B D

5 m 5 m 10 m 10 m

E = 200 Gpa E I = 500(106) mm4


หนาท 4-28

ฝ4.5 50 kN 3 kN/m

ฝ4.6

ฝ4.7

C

A

20 kN

D

9 m.

3 m.

E = คงท

B

3 m.

2I 2I

E

I

2I

9 m. 3 m.

40 kN 60 kN

EI = คงท E = 29,000 ksi I = 3,500 in4

3 k/ft

20 k

12 ft 12 ft

12 ft

C

A

D B

C A B D

5 m 5 m 10 m 10 m

E = 200 Gpa E I = 500(106) mm4

ทรดลง 0.1 m


หนาท 4-29

ฝ4.8

ฝ4.9

8 ft 8 ft 4 ft

EI = คงท E = 29,000 ksi I = 3,500 in4

2 k/ft 16 k

8 ft

C

A

D B

12 ft

E

4 m 4 m 2 m

EI = คงท

20 kN/m

4 m

C

A

D B

E

3 m

200 kN-m 60 kN

บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด

หนาท 5-1

บทท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท ทางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด 5

Analysis of Statically Indeterminate Structures by The

Moment Distribution Method

เนอหา 5.1 บทนา 5.2 สญลกษณและระบบเครองหมาย 5.3 สมการทใชสาหรบวเคราะห 5.4 การวเคราะหคานตอเนอง (Continuous beams) 5.5 การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขาง (Frames without sidesway) 5.6 การวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขาง (Frames with sidesway) วตถประสงค - สามารถวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทโดยวธการกระจายโมเมนตดด

5.1

บทนา

วธการกระจายโมเมนตดด (Moment distribution method) เปนวธทมการพจารณาเงอนไขสมดลของโมเมนตดดทจดตอทหมนโดยการคานวณแบบวนซา (Iterative procedure) ซงตางจากวธความลาดชน-การโกงตว ซงจะใชวธการแกระบบสมการเชงเสน (Simultaneous equations)

ทภาวะสมดลเมอคานตอเนอง หรอโครงขอแขงรบแรงกระทาภายนอก จะเกดโมเมนตดดภายในทปลาย (End Moments) และการหมน ในแตละชวงจดรองรบ โดยเมอพจารณาคานตอเนองรปท 5.1(ก) ในการวเคราะหจะแบงคานออกเปนชนสวน คอ AB และ BC เชอมตอกนแบบจดแขงท B โดยจดดงกลาวเปนจดรองรบของคานดวยเชนกน ผลของแรงกระทาภายนอก P และ P’ ทาใหเกดการหมนทจด B และ C ดงแสดงในรปท 5.1(ก)



หนาท 5-2

(ข) คานตอเนองรบแรงภายนอกทมการยดรงชวคราวท B และ C

รปท 5.1 คานตอเนอง การวเคราะหจะเรมตนโดยทาการยดรงชวคราวในจดทมการหมน (จด B และ C) ซงจะสงเกตได

วา จะเกดโมเมนตดดทเกดจากการยดรงชวคราวเทากบ BM

CMและ ทจด B และ C ตามลาดบ (ดงแสดงในรปท 5.1(ข)) โมเมนตดดดงกลาวจะตองทาการปลดปลอยสลายใหเปนศนยโดยทาการปลดการยดรงออก ทงน การปลดการยดรงจะกระทาสลบกนไประหวางทจด B และ C หลายๆครง จนกระทงคานคอยๆเปลยนรปสในภาวะสมดลเดมดงเชนเสนประทแสดงในรปท 5.1(ก)

5.2 สญลกษณและระบบเครองหมาย ใชระบบสญลกษณ และเครองหมายเชนเดยวกนกบทใชในการวเคราะหโครงสรางโดยวธความลาดชน-การโกงตว 5.3 สมการทใชสาหรบวเคราะห 5.3.1 ความแขงดดของชนสวน (Bending stiffness)

พจารณาคาน AB รองรบดวยจดรองรบทหมนไดทปลาย A และชนดยดรงแนน (fixed-end) ทปลาย B และมโมเมนตดด M กระทาทปลาย A ทาใหเกดการหมนท A เทากบ A และเกดโมเมนตดดปฏกรยาท B (M ) ดงแสดงในรปท 5.2 BA

M

MBAA B

L

EI=คงท

A

รปท 5.2 คานรบโมเมนตดดทปลาย A และปลาย B ยดรงแนน


หนาท 5-3

จากสมการความลาดชน-การโกงตว

ABABBAAB FEML

IEMM 322

AL

IEM 4 หรอ (5.1) AKM

ดงนน LIKEKK /,4

และ K คอ ความแขงดด (Bending stiffness) คอ ความแขงดดสมพทธ (Relative bending stiffness) K

5.3.2 คาตวประกอบการสงถาย (Carryover Factor, COF) จากสมการความลาดชน-การโกงตว

BAABABBA FEMEKM 322

MEKM ABA 2

12 (5.2)

เขยนสมการท (5.2) ใหมวา

ดงนน 2/1COFMCOFM BA

จากรปท 5.2 และสมการท (5.2) โมเมนตดดทปลาย B มคาเทากบ ครงหนง ของโมเมนตดด M

กระทาทปลาย A หรอกลาวไดวา โมเมนตดดทปลาย A สงมาถายมาท B ดวยคาตวประกอบเทากบ 0.5 เรยกคาดงกลาววา “คาตวประกอบสงถาย (Carry over factor, COF)” และเรยกโมเมนตดดทสงมาวา “โมเมนตดดสงถาย (Carry over moment, COM)” 5.3.3 คาตวประกอบการกระจาย (Distribution Factor, DF)

พจารณาโครงขอแขงมโมเมนตดดกระ ทาทจด B ดงรปท 5.3

รปท 5.3 โครงขอแขงมโมเมนตดดกระทาทจด B

I1

L1 L3

L2

D

C

B A

I2

I3 M

B


หนาท 5-4

จากสมการท (5.1) โมเมนตดดทปลาย B ของชนสวน AB, CB และ DB คอ

BBABBBABA EKL

IEKM 44

1

1

BBCBBBCBC EKL

IEKM 44

2

2

BBDBBBDBD EKL

IEKM 44

3

3

…………….(5.3)

พจารณาสมดลของโมเมนตดดทจด B

0;0 BDBCBAB MMMMM

………… …(5.4) แทนคาโมเมนตดดจาก (5.3) ใน (5.4) ได

B

BBDBCBA

EK

EKEKEKM

)4(

444 (5.5)

หรอ

)(4)4( KE

M

EK

MB

แทนคา ในสมการ (5.3) ได B

MK

K

KE

MEKEKM

BA

BABBABA

)(

)(444

MK

KM BC

BC

)(

(5.6)

MK

KM BD

BD

)(


หนาท 5-5

จากสมการท (5.6) สามารถกลาวไดวา โมเมนตดดทจดตอใดๆ จะกระจายไปสโมเมนตดดทปลายของชนสวนทมารวมตอเปนสดสวนกบความแขงของแตละชนสวนเทยบกบความแขงรวม และสมการท (5.6) สามารถเขยนในรปทวไปไดวา

MDFM ijij (5.7)

)(K

KDF ij

ijโดยท คอ คาตวประกอบการกระจาย

5.4 การวเคราะหคานตอเนอง (Continuous Beams) 5.4.1 คานตอเนองทมการยดรงทปลายรมคาน ในการวเคราะหคานตอเนองทมการยดรงทปลายรมคานจะอาศยสมการทไดหาในหวขอท 5.3 5.4.2 คานตอเนองทปลายรมคานหมนได การวเคราะหคานตอเนองทปลายรมคานหมนไดอสระจะทาการแปลงสมการทสรางในหวขอท 5.3 โดยพจารณาคานทปลายรม B สามารถหมนได ดงรป 5.4

M

รปท 5.4 คานรบโมเมนตดดทปลาย A

A B

L

EI=คงท

A

MBA

และปลาย B หมนไดอสระ จากสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตวของโมเมนตดดทปลาย A

BAABABAAB FEMFEML

IEMM

2

13

AL

IEM 3 หรอ …….(5.8) AKM

)/(4

3,4 LIKEKK ดงนน

โมเมนตดดทปลาย B

MM BA 00

ดงนน 0COF


หนาท 5-6

ตารางท 5.1 แสดงการเปรยบเทยบสมการและคาคงททใชในการวเคราะหคานตวเนองทปลายรมยดแนน และหมนได

ตารางท 5.1 การวเคราะหคานตอเนองทปลายรมยดแนน และแบบปลายรมหมนได

A B

LM

MBA

A

EI=constant

MBA

A B

LM A

EI=constant

คานทมปลายอกดานเปน Fixed-end คานทมปลายอกดานเปน Hinged-end

Relative bending stiffness, K

Bending stiffness, K

Carryover factor, COF

Distribution factor, DM

)(K

KDF ij

ij

ชนดของคาน (end support)

)L/I(EEKK 44

LIK /

)L/I(EEKK 34

)/(4

3LIK

1/2 0

KM KM A B

LM

MBA

A

EI=constant

A B

LM

MBA

A

EI=constant

MBA

A B

LM A

EI=constant

MBA

A B

LM A

EI=constant

A B

LM A

EI=constant

คานทมปลายอกดานเปน Fixed-end คานทมปลายอกดานเปน Hinged-end

Relative bending stiffness, K

Bending stiffness, KBending stiffness, K

Carryover factor, COF

Distribution factor, DM

)(K

KDF ij

ij

ชนดของคาน (end support)

)L/I(EEKK 44

LIK /

)L/I(EEKK 34

)/(4

3LIK

1/2 0

KM KM 5.4.3 คานตอเนองทมปลายยน พจารณาคานตอเนองทมปลายยน (รปท 5.5(ก)) เนองจากสวนยน CD มสภาพเปนดเทอรมเนท ซงสามารถคานวณหาแรง และโมเมนตดดท C ได (รปท 5.5(ข)) ดงนน ในการวเคราะหคานตอเนองน จงไมจาเปนตองพจารณาสวนยน CD กได โดยนาแรงทปลาย มาพจารณารวมในการวเคราะห (รปท 5.5(ค)) ดงแสดงขางลาง

(ก) คานทวเคราะห

(ข) คานยนดเทอรมเนท

A

B C D LCDLAB LBC

w

LCD

2

2CD

CD

wLM

CDCD wLV

w

คาตวประกอบการกระจาย

ความแขงดด

ความแขงดดสมพทธ

คาตวประกอบสง ถาย

EI = คงท

คานทปลายอกดานหมนได คานทปลายอกดานยดแนน

คงท EI =


หนาท 5-7

D A

รปท 5.5 การวเคราะหคานตอเนองทมปลายยน

5.4.4 ขนตอนการวเคราะห 1. หาคาตวประกอบการกระจาย

2. คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน 3. วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย 4. คานวณแรงเฉอนทปลาย 5. คานวณแรงปฏกรยา 6. วาดไดอะแกรมแรงเฉอน (SFD) และไดอะแกรมโมเมนตดด (BMD)

ตวอยาง 1 จงคานวณโมเมนตดดทปลาย (End moments) ของคานทมปลายยดแนนดงรป

ขนตอน 1 หาคาตวประกอบการกระจาย

)(K

KDF ij

ij

จดตอ A (จดรองรบยดรงแนน) 0ABDF

จดตอ B

6.012/8/

8/

II

IDFBA 4.06.01 BCDF

จดตอ C (จดรองรบยดรงแนน) 0CBDF

B C LAB LBC

2

2CD

CD

wLM w

( คานททาการวเคราะห)คCDCD wLV

โดยถายโมเมนตแลว


หนาท 5-8

ขนตอน 2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน 0ABFEM 0BAFEM

ftkipFEM BC 36 ftkipFEM CB 36 ขนตอน 3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A B C จดตอ

ดงนน โมเมนตดดทปลาย คอ

10.8 21.6 21.6 43.2

ตวอยาง 2 จงคานวณโมเมนตดดทปลาย (End moments) ของคานตอเนองทปลายรมคานหมนได (ทาแบบคานทมปลายยดรง)

ขนตอน 1 หาคาตวประกอบการกระจาย

)(K

KDF ij

ij

จดตอ A (จดรองรบยดรงแนน) 0ABDF


หนาท 5-9

จดตอ B

5.022

2

BADF 5.05.01 BCDF

จดตอ C

67.012

2

CBDF 33.067.01 CDDF

จดตอ D (จดรองรบหมนได)

0.101

1

DCDF

ขนตอน 2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน

0ABFEM 0BAFEM

ftkipFEM BC 25 ftkipFEMCB 25 ftkipFEMCD 10 ftkipFEM DC 10

ขนตอน 3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย

A B C D จดตอ


หนาท 5-10

ตวอยาง 3 จงคานวณหาไดอะแกรมแรงเฉอน (SFD) และไดอะแกรมโมเมนตดด (BMD) ของคานตอเนองทปลายรมคานหมนได

ขนตอน 1 หาคาตวประกอบการกระจาย จดตอ A (จดรองรบหมนได) 1ABDF

จดตอ B

484.0)20/()16/(4/3

)16/(4/3

II

IDFBA 516.0484.01 BCDF

จดตอ C

444.0)20/()12/(4/3

)20/(

II

IDFCB 556.0444.01 CDDF

จดตอ D (จดรองรบหมนได)

0.101

1

DCDF

ขนตอน 2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน

ftkipFEM AB 5.22 ftkipFEM BA 5.7 ftkipFEM BC 100 ftkipFEM CB 100

ftkipFEM CD 0 ftkipFEM DC 0 ขนตอน 3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A B C D จดตอ


หนาท 5-11

ขนตอน 4 คานวณแรงเฉอนทปลาย และ ขนตอน 5 คานวณแรงปฏกรยา

D A

B C

R =37.07kips RC=35.89kips B

ขนตอน 6 วาดไดอะแกรมแรงเฉอน (SFD) และไดอะแกรมโมเมนตดด (BMD)

ตวอยาง 4 จงคานวณโมเมนตดดทปลาย (End moments) ของคานตอเนองทปลายรมยน

ขนตอน 1 หาคาตวประกอบการกระจาย จดตอ A (จดรองรบหมนได) 1ABDF

จดตอ B

9/5)10/()8/(

)8/(

II

IDFBA 9/49/51 BCDF

จดตอ C


หนาท 5-12

1CBDF ขนตอน 2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน

ftkipFEM AB 1.14 ftkipFEM BA 4.23 ftkipFEM BC 0 ftkipFEM CB 0

ftkipFEM CD 20 ขนตอน 3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A B C

5.5 การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขาง (Frames without sidesway) การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขางจะคลายกบการวเคราะหคานตอเนอง เวนแตจดตอของโครงขอแขงสามารถเชอมตอชนสวนมากกวา 2 ชนได ซงทาใหโมเมนตดดทจะตองรวมกนสมดลในจดตอมมากกวา 2 โมเมนตดด หรอจะตองทาการกระจายโมเมนตดด และ สงถายโมเมนตดดมากกวา 2 ขาง

ตวอยาง 5 จงคานวณหาแรงปฏกรยาทจด A B และ C ของคานตอเนองทปลายรมยน


หนาท 5-13

ขนตอน 1 หาคาตวประกอบการกระจาย จดตอ C

429.0)30/1600()20/800(

)20/800(

CADF 571.0429.01 CDDF

จดตอ D

4.0)30/1600(4/3)20/800()30/1600(

)30/1600(

DCDF

3.0)30/1600(4/3)20/800()30/1600(

)30/1600(4/3

DEDF

3.03.04.01 DBDF ขนตอน 2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน

ftkipFEM AC 100 ftkipFEM CA 100 ftkipFEM CD 150 ftkipFEM DC 150 ftkipFEM DE 150 ftkipFEM ED 150

ขนตอน 3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A C D E B จดตอ

Distribution factor (DF) FEM Distribution

C.O. Distribution

Final moments

C.O. Distribution

C.O. Distribution

C.O. Distribution

C.O. Distribution

ปลายชนสวน

ขนตอน 4 คานวณแรงเฉอนทปลาย และ ขนตอน 5 คานวณแรงปฏกรยา


หนาท 5-14

5.6 การวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขาง (Frames with sidesway) เมอปลายทงสองขางเกดระยะเคลอนทสมพทธ () จะทาใหเกดโมเมนตดดทปลายยดรงแนนทปลายทง 2 ขางดงแสดงในรปท 5.6 แตสาหรบกรณการไถลขางของโครงขอแขง จะทาใหจดตอทงสองของชนสวนเกดระยะเคลอนทสมพทธ () เชนกน แตไมทราบวามขนาด และทศทางเทาไหร ดงรปท 5.7(ก) ดงนนโมเมนตดดทปลายยดรงแนน ทเกดขนจงไมสามารถคานวณหาขนาดออกมาได

รปท 5.6 โมเมนตดดทปลายยดรงแนนของคานเมอปลายทงสองเกดระยะเคลอนทสมพทธ ในการวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขางดงกลาว จงจาเปนตองทาการวเคราะหโครงสราง 2 ครงแยกกน แลวนามาซอนทบภายหลง (ดงรปท 5.7) ดงน (1) การวเคราะหโดยทาการยดรงไมใหเกดการไถลขาง

การวเคราะหโดยใหเกดการไถลขาง (2) ในการวเคราะหโครงขอแขง (2) จะตองทาการสมมตคาของ (หรอคาโมเมนตดดทปลายยดรงแนน) เพอใหสามารถทาการวเคราะหได แลวทาการตรวจสอบความถกตองของการสมมตโดยอาศยสมการเงอนไขทขนาดของแรงแนวราบทกระทา (Q) จะตองเทากบขนาดของแรงปฏกรยาทยดรงในการวเคราะหครงท (1) (Q=R หรอ = ‘) ทงน การสมมตมกจะไมตรง ดงนนจงตองทาการเทยบคาโมเมนตดดตามสดสวนทสมมตคลาดเคลอนไป (R/Q)


หนาท 5-15

คาการวเคราะหทถกตองจะไดจากการซอนทบ (Superposition) ของผลการวเคราะหครงท (1) และ (2) ดงแสดงในรปท 5.7

=

Q

R+

รปท 5.7 การวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขาง

โครงของแขงทวเคราะห

จดรองรบปองกนการไถล

(2) การวเคราะหโดยใหเกดการไถลขาง

(1) การวเคราะหโดยทาการยดรงไมใหเกดการไถลขาง

ตวอยาง 6 จงวเคราะหหาโมเมนตดดทปลายของโครงขอแขงทมการไถลขาง

(1) การวเคราะหโดยทาการยดรงไมใหเกดการไถลขาง ขนตอน 1.1 หาคาตวประกอบการกระจาย จดตอ C

5.0)7/()7/(

)7/(

II

IDFCA 5.05.01 CDDF

จดตอ D

417.0)3/()7/(

)7/(

II

IDFDC 583.0417.01 CDDF

ขนตอน 1.2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน

= +

Q

R

EI = คงท

(1) การวเคราะหโดยทาการยดรงไมใหเกดการไถลขาง

(2) การวเคราะหโดยใหเกดการไถลขาง

จดรองรบปองกนการไถล

โครงของแขงทวเคราะห


หนาท 5-16

mkNFEM CD 2.39 mkNFEM DC 4.29 ขนตอน 1.3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A C D B จดตอ


Distribution factor (DF) FEM Distribution C.O. Distribution C.O. Distribution

C.O. Distribution

Final moments

ขนตอน 1.4 คานวณแรงปฏกรยา R

การวเคราะหโดยใหเกดการไถลขาง (2) ขนตอน 2.1 (เหมอน 1.1) ขนตอน 2.2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน

507

62

EI

FEMFEM CAAC (สมมต)

985

750

5

62

2

2

EIFEMFEM DBBD ดงนน


หนาท 5-17

ขนตอน 2.3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A C D B จดตอ


Distribution factor (DF) FEM Distribution

C.O. Distribution

C.O. Distribution

C.O. Distribution

C.O. Distribution

Final moments

ขนตอน 2.4 คานวณแรง Q

ขนตอน 2.5 ทาการซอนทบคาโมเมนตดดจากการวเคราะหทงสองครง แลวทาการหาแรงเฉอน และแรงปฏกรยาตอไป

06.041.34

06.2

Q

Rโดยนาคา ไปทาการปรบคา จะได

mkNM AC 5.14)3.42)(06.0(12 mkNMCA 1.26)5.34)(06.0(24

mkNMCD 26)3.34)(06.0(9.23 mkNM DC 3.21)4.45)(06.0(24

mkNM DB 3.21)4.45)(06.0(24


หนาท 5-18

mkNM BD 7.7)8.71)(06.0(12 จากโมเมนตดดทปลายทคานวณขางตน สามารถแสดงไดดงน

แบบฝกหดทายบท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด ใหทาแบบฝกหดทายบทเชนเดยวกบในบทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว โดยวธการกระจายโมเมนตดด

บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-1

หนาท

บทท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท ทางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6

Analysis of Statically Indeterminate Structures by The Matrix Stiffness method

เนอหา 6.1 บทนา 6.2 ความแขงของชนสวนตามระบบแกนพกดทองถน 6.3 การแปลงระบบพกด (Transformation) 6.4 แรงทไมไดกระทาทจดตอ (Non-nodal force หรอ Element force) 6.5 การรวมประสาน (Assembly) 6.6 ขนตอนการคานวณ วตถประสงค - สามารถวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทโดยเมตรกซความแขง

6.1.1 โมเดลการวเคราะห วธการวเคราะหโดยเมตรกซความแขง จะพจารณา โครงสรางหนงๆ วาเปนการรวมกนของชนสวนยอย (members หรอ element) เชอมตอทปลายทงสองขาง เรยกวา จดตอ (joints หรอ node) และจะพจารณาแรงกระทา และการเปลยนรปรางทจดตอ ดงแสดงในรปท 6.1 ซงสงเกตไดวา ชนสวนหนงๆจะมขนาดหนาตดคงท (ดชนสวนท 3 และ 4)

รปท 6.1 โมเดลสาหรบวเคราะห

ดงนน หากเราสามารถวเคราะหอธบายพฤตกรรม (เมอมแรงกระทาทชนสวนใดๆ จะทาใหชนสวนนนเกดหนวยแรงหรอเปลยนรปรางอยางไร) ของชนสวนยอยทกๆชนสวนได กจะสามารถนาผลวเคราะหของแตละชนสวนมารวมกนเพออธบายพฤตกรรมของโครงสรางได หรอในทางกลบกน หากเราสามารถอธบายพฤตกรรมของโครงสรางได กจะสามารถแยกยอยเพออธบายพฤตกรรมของชนสวนยอยใดๆกไดเชนเดยวกน

6.1 บทนา

4 ชนสวน 5 จดตอ

#1

#2

#4

#3 2

1

3

4

5


หนาท

6.1.2 ระบบพกดและการกาหนดเครองหมาย ระบบพกด (Coordinate) ม 2 ระบบ คอ

ระบบพกดรวม (Global Coordinate System) แทนดวย X, Y, Z 1. ใชสาหรบอธบายรปราง ตาแหนง ของโครงสรางโดยทงหมด

ระบบพกดทองถน (Local หรอ Member) Coordinate system) แทนดวย x, y, z 2. ใชสาหรบอธบายรปรางของชนสวนยอยของแตละชนสวน ดงนน ในการคานวณโครงสรางใดๆ จะม 1 ระบบพกดรวม n ระบบพกดทองถน (n คอ จานวนชนสวน หรอ อลเมนต)

ระบบพกดรวมX

ทศแนวนอน และ Y ตงฉากกบแกน X โดยท Z พงออก

ระบบพกดทองถน x ทศตามแนวชนสวน เรมจากจดตอแรก ไป จดตอ ทสอง

ดยททศ z = Z y ตงฉากกบแกน x โ

(ก) ระบบพกด

(ข) กฎมอขวา (right hand rule) รปท 6.2 ระบบพกดทใชในการวเคราะห และระบบเครองหมาย รปท 6.2 แสดงระบบพกดสาหรบการวเคราะห และเครองหมายทใชตามกฎมอขวา (Right hand rule) ซงปรมาณของแรงและการเคลอนตวทเกดขนจะมเครองหมายบวกตามทศทางทกาหนด

Z

X

Y


หนาท

6.1.3 ชนดของชนสวน ในการวเคราะหจะทาการสรางแบบจา ลองโครงสราง (Structural model) ซงประกอบ ดวยชนสวนยอยชนดตางๆ ตามลกษณะการรบแรง หรอ การเคลอนตวทเกดขน ดงน (ก) ชนสวนรบแรงตามแนวแกน ชนสวนนจะรบแรงเฉพาะตามแนวแกนเทานนซงเปนสวนประกอบสาหรบโครงสรางแบบโครงขอหมน (Truss) (ข) ชนสวนรบแรงเฉอนและแรงดด

ชนสวนชนสวนนจะรบแรงเฉอน และแรงดด ซงเปนสวนประกอบสาหรบโครงสรางคาน (Beam) (ค) ชนสวนรบแรงตามแนวแกน แรงเฉอนและแรงดด ชนสวนชนสวนนจะรบแรงแนวแกน แรงเฉอน และแรงดด (หรอชนสวน (ก) และ (ข) รวมกน) ซงเปนสวนประกอบสาหรบโครงสรางแบบโครงขอแขง (Frame) 6.1.4 ดกรความอสระ (Degrees of freedom, dof) หมายถง จานวนทศทางการเคลอนททสามารถบงบอกตาแหนงการเปลยนรปรางของโครงสรางได (ก) ชนสวนรบแรงตามแนวแกน ใน 1 ชนสวนยอย (member) จะม 2 จดตอ (node) และในแตละจดตอม 1 ดกรความอสระ ดงนน 1 ชนสวนยอย จะม 2 ดกรความอสระ (ข) ชนสวนรบแรงเฉอนและแรงดด ใน 1 ชนสวนยอย (member) จะม 2 จดตอ (node) และในแตละจดตอม 2 ดกรความอสระ ดงนน 1 ชนสวนยอย จะม 4 ดกรความอสระ ค) ชนสวนรบแรงแนวแกน แรงเฉอนและแรงดด ( ใน 1 ชนสวนยอย (member) จะม 2 จดตอ (node) และในแตละจดตอม 3 ดกรความอสระ ดงนน 1 ชนสวนยอย จะม 6 ดกรความอสระ รปท 6.3 แสดงการรบแรงและจานวนดกรความอสระของชนสวนแตละชนด Q1, 1 Q2, 2

a b

Q1, 1 Q2, 2aa bb

(ก) ชนสวนรบแรงตามแนวแกน

ข) ชนสวนรบแรงเฉอนและแรงดด

Q1, 1

Q2, 2 Q4, 4

Q3, 3

a b

Q1, 1

Q2, 2 Q4, 4

Q3, 3

aa bb

(


หนาท

Q2, 2

Q3, 3 Q6, 6

Q5, 5Q1, 1 Q4, 4a b

Q2, 2

Q3, 3 Q6, 6

Q5, 5Q1, 1 Q4, 4aa bb

(ค) ชนสวนรบแรงแนวแกน แรงเฉอนและแรงดด

รปท 6.3 การรบแรงและดกรความอสระ

6.2 ความแขงของชนสวนตามระบบพกดทอง ถน แรงกระทาทจดตอ ททศทาง i ในระบบพกดชนสวน (Local coordinate system) ใดๆ จะทาใหเกดการเปลยนตาแหนงทจดตอในทศทาง j ในระบบพกดชนสวน

iQ

j ซงสมพนธกนโดยคาความแขง (Stiffness) ijk ดงแสดงในสมการท 6.1 คอ jiji kQ (6.1) 6.2.1 ความแขงของชนสวนรบแรงตามแนวแกน พจารณาสปรงเชงเสนรบแรงกระทาตามแนวแกน Q ทาใหเกดการเปลยนรปราง ดงรปท 6.4

k

Q

Q,

รปท 6.4 สปรงเชงเสนรบแรงตามแนวแกน จากรปท 6.4 ความแขงของสปรงสามารถเขยนไดเปน /Qk และเมอแทนคา เทากบ 1 จะได ซงสามารถนยามคาความแขงของสปรงไดวา 1/Qk

“ ความแขง (Stiffness, k) คอ ขนาดของแรงททาใหเกดการเปลยนรปตามแนวแรงเทากบ 1”

สาหรบชนสวนรบแรงตามแนวแกน ความสมพนธระหวางแรงกระทาและการเปลยนรปรางทจดตอแสดงในรปท 6.3(ก) สามารถแสดงไดคอ

2

1

222221

1211

2

1

kk

kk

Q

Q (6.2)


หนาท

ความแขง k คอ ขนาดของแรงกระทาทจดตอ i ททาใหเกดการเปลยนรปทจดตอ j เทากบ 1 ij

กรณ 1 ให เทากบ 1 และ = 0 จากสมการท (6.2) จะได 1 2

112121111 kkkQ 212221212 kkkQ และ

L

AEQ 11 พรอมกบแทนคา จะได

L

AE และเมอพจารณาสมดลของแรงตามแนวแกน จะได

Q

k 11

=k21 =-Q =-AE/L2 1

กรณ 2 ให = 1 และ เทากบ 0 จากสมการท (6.2) จะได 2 1

122121111 kkkQ 222221212 kkkQ และ

L

AEQ 22

L

AEk 22พรอมกบแทนคา จะได และเมอพจารณาสมดลของแรงตามแนวแกน จะได

Q =-Q =-AE/L=k2 1 12

คาเมตรกซความแขงในระบบพกดทองถนของชนสวนรบแรงตามแนวแกน แสดงในคอลมนท 3 ของตารางทายบท 6.2.2 ความแขงของชนสวนรบแรงเฉอนและแรงดด

ความสมพนธระหวางแรงกระทาและการเปลยนรปรางแสดงในรปท 6.3(ข) สามารถแสดงไดคอ

4

3

2

1

4444434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

Q

Q

Q

Q

(6.3)

ในการหาคาความแขง kij จะกระทาการวเคราะหโดยการสมมตคาการเปลยนรปราง ดงแสดงขางตน โดยแบงออกเปน 4 กรณคอ กรณ 1 ให เทากบ 1 และ = = = 0 ดงรปท 6.5 (ก) จากสมการท (6.3) จะได 1 2 3 4

114143132121111 kkkkkQ 214243232221212 kkkkkQ

314343332321313 kkkkkQ 414443432421414 kkkkkQ

จากสมการความลาดชน-การโกงตว (Slope-deflection equations)


หนาท

Mab =2EI/L(2a+b -3ab)=-6EI/L2 หรอ

Q2= k21 = 6EI/L2 และ Mba =2EI/L(2b+a -3ab)=-6EI/L2 หรอ

Q4= =k41 = 6EI/L2 จากสมดลแรง [Mb=0]; Q1=12EI/L3 = k11 [Fy=0]; Q3=- Q1=-12EI/L3 = k31 ผลการวเคราะหแสดงดงรปท 6.5 (ก) กรณ 2 ให เทากบ 1 และ = = = 0 ดงรปท 6.5 (ข) จากสมการท (6.3) จะได 2 1 3 4

124143132121111 kkkkkQ 224243232221212 kkkkkQ

324343332321313 kkkkkQ 424443432421414 kkkkkQ

จากสมการความลาดชน-การโกงตว (Slope-deflection equations) Mab =2EI/L(2a+b -3ab)=-4EI/L หรอ

Q2= k22 = 4EI/L และ Mba =2EI/L(2b+a -3ab)=-2EI/L หรอ

Q4= =k42 = 2EI/L จากสมดลแรง [Mb=0]; Q1=6EI/L2 = k12 [Fy=0]; Q3=- Q1=-6EI/L2 = k32 ผลการวเคราะหแสดงดงรปท 6.5 (ข) กรณ 3 ให เทากบ 1 และ = = = 0 ดงแสดงในรปท 6.5 (ค) 3 1 2 4

ทาการวเคราะหเชนเดยวกบกรณ 1 ซงจะไดผลการวเคราะหดงแสดงในรปท 6.5 (ค) กรณ 4 ให เทากบ 1 และ = = = 0ดงแสดงในรปท 6.5 (ง) 4 1 2 3

ทาการวเคราะหเชนเดยวกบกรณ 2 ซงจะไดผลการวเคราะหดงแสดงในรปท 6.5 (ง)

บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง

หนาท 6-7

คาเมตรกซความแขงในระบบพกดทองถนของชนสวนรบแรงเฉอน และแรงดด แสดงในคอลมนท 3 ของตารางทายบท

Q2=6EI/L2

Q4=6EI/L2

Q3=12EI/L3

Q1=12EI/L3

(ก) กรณ 1:

1=1

a b

b a a=-1

2=1

ab=1/L

= 1 และ = = = 0 1 2 3 4

Q1=6EI/L2

Q2=4EI/L Q4=2EI/L Q3=6EI/L2

= 1 และ = = = 0 (ข) กรณ 2: 2 1 3 4

Q2=6EI/L2 Q4=6EI/L2

Q1=12EI/L3

Q3=12EI/L3

3=1

b a

ab=-1/L

(ค) กรณ 3: = 1 และ = = = 0 3 1 2 4

Q1=6EI/L2

Q2=4EI/L Q4=2EI/L

b=1 b a

4=1

Q3=6EI/L2 = 1 และ = = = 0 (ง) กรณ 4: 4 1 2 3

รปท 6.5 การวเคราะหคาความแขงของชนสวนรบแรงเฉอน และแรงดด 6.2.3 ความแขงของชนสวนรบแรงแนวแกน แรงเฉอนและแรงดด คาเมตรกซความแขงในระบบพกดทองถนของชนสวนรบแรงตามแนวแกน แรงเฉอน และแรงดด สามารถคานวณหาไดโดยการรวมกนของชนสวนรบแรงตามแนวแกนในหวขอ6.2.1 และชนสวนรบแรงเฉอน และแรงดดในหวขอ 6.2.2 ดงแสดงในคอลมนท 3 ของตารางทายบท


หนาท

6.3 การแปลงระบบพกด (Transformation)

เนองจากเมตรกซความแขง ในหวขอท 6.2 นน เปนคาในระบบพกดทองถน (Local Coordinate System) ดงนน การทจะนาคาเมตรกซความแขง ไปใชในการวเคราะหโครงสรางโดยรวม จะตองมการเปลยนไปสระบบพกดรวม (Global Coordinate System) รวมทงคาของแรงกระทา และการเปลยนตาแหนงทจดตอ กสามารถทจะเปลยนไปมาในระหวางระบบพกดรรวม และระบบพกดทองถน ไดเชนกน

การแปลงระบบพกดของชนสวนรบแรงตามแนวแกน (รป 6.6 (ก)) 6.3.1

ทจดตอ a และ F ในระบบพกดรวม เขาสระบบพกดทองถน เพอเทยบกบแรง Q จะได แตกแรง F1 2 1

sincos 211 FFQ

ทจดตอ b

แตกแรง F และ F ในระบบพกดรวม เขาสระบบพกดทองถน เพอเทยบกบแรง Q จะได 3 4 2

sincos 432 FFQ

เขยนในรปเมตรกซไดวา

4

3

2

1

2

1

sincos00

00sincos

F

F

F

F

Q

Q

หรอ เขยนสมการการแปลงพกดระหวางแรงกระทาทจดตอ แบบยอ ไดวา FTQ (6.3) เรยกเมตรกซ วา เมตรกซแปลงระบบพกด (Transformation matrix) และคณสมการท (6.3) ดวย

ทงสองขางของสมการ จะได T

1T

QTF 1 หรอ (6.4) QTF T


หนาท

สาหรบสมการการแปลงพกดของการเปลยนตาแหนงทจดตอ กพจารณาเชนเดยวกน นน ซงจะไดวา

uT และ (6.5)

1 Tu หรอ (6.6) TTu 6.3.2 การแปลงระบบพกดของชนสวนรบแรงเฉอน และแรงดด

ไมจาเปนตองแปลงพกด เนองจากระบบพกดรวม และระบบพกดทองถน มทศทางเดยวกน 6.3.3 การแปลงระบบพกดของชนสวนรบแรงตามแนวแกน แรงเฉอน และแรงดด (รป 6.6 (ข)) ทจดตอ a

F และ F ในระบบพกดรวม เขาสระบบพกดทองถน เพอเทยบกบแรง Qแตกแรง F Q 1 2 3 1 2

และ Q จะได 3

sincos 211 FFQ cossin 212 FFQ

33 FQ (Z กบ z อยในทศทางเดยวกน) ทจดตอ b

F และ F ในระบบพกดรวม เขาสระบบพกดทองถน เพอเทยบกบแรง Qแตกแรง F Q 4 5 6 4 5

และ Q จะได 6

sincos 544 FFQ

cossin 545 FFQ

66 FQ

เขยนในรปเมตรกซไดวา

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

F

F

F

F

F

F

Q

Q

Q

Q

Q

Q


หนาท 6-10

หรอ FTQ

6.3.4 เมตรกซความแขงของชนสวนในระบบพกดรวม ความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงของชนสวน ดงแสดงในสมการท (6.1) นน เปนความสมพนธในระบบพกดทองถน

kQ จากสมการ (6.1) ในสมการท (6.4) รวมทง uTหากแทน จากสมการท (6.5) จะได

uTkTF T (6.7) เขยนสมการท (6.7) ใหมไดวา uKF (6.8)

เรยกวา สมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงของชนสวน ใน

ระบบพกดรวม โดยท

TkTK T (6.9)

Kสมการท (6.9) เปนสมการแปลงพกดของเมตรกซความแขง โดยท คอ เมตรกซความแขงของชนสวนในระบบพกดรวม

สมการการแปลงคาระหวางระบบพกดทงสองแสดงในตารางท 6.1 ตารางท 6.1 สมการการแปลงระบบพกด

พกดรวม พกดทองถน

แรงทจดตอ

การเคลอนททจดตอ

ความแขง

การแปลงพกด


หนาท

ระบบพกดทองถน ระบบพกดทองถน

b

ระบบพกดรวม ระบบพกดรวม

(ก) โครงขอหมน (Truss) (ข) โครงขอแขง (Frame)

รปท 6.6 การแปลงพกด 6.4 แรงทไมไดกระทาทจดตอ (Non-nodal force หรอ Element force)

แรงทไมไดกระทาทจดตอ

รปท 6.7 แรงกระทาทไมตรงตาแหนงจดตอ

เมอแรงกระทาไมตรงจดตอ (non-nodal force) ดงแสดงในรปท 6.7 การวเคราะหสามารถทาไดโดย (1) เพมจดตอ ณ ตาแหนงของแรงกระทา ซงหมายถงการเพมดกรความอสระ โดยจะทาใหเพมเวลาในการคานวณ หรอ


หนาท

(2) เปลยนแรงกระทาไมตรงจดตอไปเปนแรงทกระทาจดตอเทยบเทา (Equivalent nodal force) โดยคานวณไดโดยอาศยตารางแสดงโมเมนตดดทปลายชนสวน (ดจากการวเคราะหโดยวธความลาดชน-การโกงตว) และการพจารณาสมดลแรงเพอคานวณหาแรงเฉอน 6.5 การรวมประสาน (Assembly)

เปนการนาผลการคานวณทไดของแตละชนมาผนวกรวมกนเพอใหเปนผลของโครงสราง ไดแก เมตรกซความแขง และแรงกระทาทจดตอ โดยกอนทจะรวมประสานตองทาการแปลงใหเปนระบบพกดเดยวกน คอ ระบบพกดรวม ดงทไดกลาวในหวขอ 6.4

6.5.1 การรวมประสานเมตรกซความแขง เปนการนาเมตรกซความแขงของแตละชนสวนในระบบพกดรวม มารวมประสานเปนเมตรกซความแขงของโครงสราง โดยมขนตอนดงน (1) เขยนเมตรกซวางเปลาทมขนาดจานวนหลกและแถว เทากบ จานวนดกรความอสระ ของโครงสราง (2) กาหนดตวเลขดกรความอสระเพอระบตาแหนงในการรวมประสาน (3) วางคาความแขงของแตละชนสวน ลงในแถวและหลก ใหสอดคลองกบตวเลขดกรความอสระ 6.5.2 การรวมประสานแรงกระทาทจดตอ เปนการนาแรงกระทาทจดตอของแตละชนสวนในระบบพกดรวม มารวมประสานเปนเมตรกซแรงกระทาทจดของโครงสราง โดยมขนตอนดงน (1) เขยนเมตรกซหลก (ม 1 หลก) ทมจานวนแถวเทากบ จานวนดกรความอสระ ของโครงสราง (2) กาหนดตวเลขดกรความอสระเพอระบตาแหนงในการรวมประสาน (3) วางคาแรงกระทาเปนจดของแตละชนสวน ลงในแถวและหลก ใหสอดคลองกบตวเลขดกรความอสระ 6.6 ขนตอนการคานวณ ขนตอน 1 ระบจานวนจดตอ ชนสวน และ ดกรความอสระ ขนตอน 2 วเคราะหโครงสราง เพอคานวณหาการเปลยนตาแหนงทจดตอ 2.1 สรางเมตรกซความแขงระบบพกดรวมของแตละชนสวน 2.2 รวมประสานเมตรกซความแขง และแรงกระทาทจดตอ 2.3 สรางความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง 2.4 แกสมการใน 2.3 เพอหาการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง ขนตอน 3 คานวณหาแรงปฏกรยา ขนตอน 4 คานวณหาแรงกระทาในชนสวน (member forces)


หนาท 6-13

ตวอยางท 1 คานวณหาแรงปฏกรยา และแรงในชนสวนของโครงขอหมน

AE = 90(103) kips สาหรบทกชนสวน

ขนตอน 1 ระบจานวนจดตอ ชนสวน และ ดกรความอสระ จานวนจดตอ = 4, จานวนชนสวนt = 5 และ ดกรความอสระ = 8 (อสระ = 5 และ ยดรง = 3)

1 2

8

4

5

6

7

3

จากรปดานบน จะเหนวา การใหชอดกรความอสระจะเรยงจากทไมมการยดรง (free) กอน จาก1 ถง 5 แลวไลเรยงไปสทดกรอสระทมการยดรง (fix) 6 ถง 8 ขนตอน 2 วเคราะหโครงสราง เพอคานวณหาการเปลยนตาแหนงทจดตอ 2.1 สรางเมตรกซความแขงระบบพกดรวมของแตละชนสวน

ตารางแสดงทศทางของชนสวนตางๆ


หนาท

จากเมตรกซความแขงของชนสวนรบแรงตามแนวแกนใดๆ ในระบบพกดรวม ทเอยงทามม คอ

จากรปดานบน จดตอ เปนจดตอแรก มดกรของความอสระท 1 และ 2 ในแนวราบ และแนวดงในระบบพกดรวม ตามลาดบ และจดตอ เปนจดตอทสอง มดกรของความอสระท 3 และ 4 ในแนวราบ และแนวดงในระบบพกดรวม ตามลาดบ ทาใหไดเมเตรกซความแขงทเรยงตามดกรความอสระ 1 ถง 4 กาหนดให ดงนน LL 42 LLL 5.13221 และ LLL 8.14341 ดงนน เมตรกซความแขงของชนสวนตางๆ ในโครงขอหมน สามารถคานวณได ดงน

1 2 3 4

6 7 1 2 6 7 4 5

1 2 3 8

3 8 4 5

1 2 4 5

b

1 2 3 4

6 7 1 2

6 7 4 5

1 2 3 8

1 2 4 5

3 8 6 5

a

b

2.2 รวมประสานเมตรกซความแขง ทาการรวมประสานเมตรกซความแขงของแตละชนสวนในระบบพกดรวมจากขนตอน 2.1 โดยเรมจากการสรางเมตรกซความแขงของโครงสร างขนาด 88 เทากบดกรความอสระทงหมดของโครงสรางและนาคาในตาแหนงดกรความอสระในแตละชนสวนมาลงตามตาแหนงของเมตรกซความแขง


หนาท

ของโครงสราง เชน ในตาแหนง (1,1) ของเมตรกซความแขงของโครงสราง จะไดจากคาความแขงในตาแหนง (1,1) ของชนสวน 1-2, 2-3 และ 1-1 คอ AE/L(1/1.5+1/1.5+0)

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

[K]s =

2.3 สรางความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง

1 2 3 4 5 6 7 8

P1=0 P2=-12 P3=0 P4=0 P =0 5

d1 d2

d3

d4

d6=0 d5

d7=0 d8=0

P6 P7

P8

จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของ

โครงสรางขางบน จะเหนวา เปนสมการเชงเสนจานวน 8 สมการโดยสามารถแบง (Partition) ไดเปน สมการท 1 ถง 5 ซงจะใชในการคานวณหาการเปลยนตาแหนงทดกรความอสระ 1 ถง 5 จากนน จะนามาแทนในสมการท 6 ถง 8 เพอคานวณหาแรงปฏกรยา และเนองจาก คาการเปลยนตาแหนงทดกร 6 7 และ 8 มคาเทากบ ศนย (เนองจากเปนการเปลยนตาแหนงทมการยดรง) ทาใหอาจพจารณาไดวา คาเมตรกซความแขงในหลกท 6 7 และ 8 อาจละเลยในการคานวณได 2.4 แกสมการใน 2.3 เพอหาการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสรางในขนตอนท 2.3 ในสมการท 1 ถง 5 และคาการเปลยนตาแหนงทดกร 1 ถง 5 สามารถคานวณไดโดย


หนาท 6-16

ขนตอน 3 คานวณหาแรงปฏกรยา

จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสรางในขนตอนท 2.3 ในสมการท 6 ถง 8 แรงปฏกรยาดกร 6 ถง 8 สามารถคานวณไดโดย

ขนตอน 4 คานวณหาแรงกระทาในชนสวน จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงของชนสวน ในระบบพกดรวม .ในสมการท (6.8) ดงนนจะทาการหาเมตรกซการเปลยนตาแหนงของชนสวน

โดยการเทยบกบการเปลยนตาแหนงของโครงสราง

uKF

u d จากนนจะคานวณหาคาแรง และทาการแปลงพกดไปเปนแรงในระบบพกดทองถน

F

Q

d1 d2

d3

d4

d5

d1 d2

d3

d4

d5

P6 P7

P8

1 2

u1=d6

u2=d7

u3=d1

u4=d2

u1=d6

u2=d7

u3=d4

u4=d5

1

4

2 3

u1=d1

u2=d2

u3=d3

u4=d8

4 u3=d4

u4=d5

2

u1=d1 u2=d2

4

3 u1=d3

u2=d8

u3=d4

u4=d5

8 d2= -9

6

7

d1= 1.8 d3= 3.6

d5= -7.4 d4= 1.8


หนาท

ชนสวน 1-2

0

9

0

9

109

108.1

0

0

0000

0101

0000

0101

5.12

4

23

2

1

4

3

2

1

u

u

u

u

L

AE

F

F

F

F

1 2

F1

F2

F3

F4 1 2

Q1=-9 Q2=9

FTQ แปลงสระบบพกดทองถน โดยอาศยสมการท (6.3) คอ จะได

9

9

0

9

0

9

0100

0001

2

1

Q

Q

ชนสวน 2-3

0

9

0

9

0

106.3

109

108.1

0000

0101

0000

0101

5.1

4

23

22

21

4

3

2

1

u

u

u

u

L

AE

F

F

F

F

2 3

F1=9

F2=0

F3=-9

F4=0 2 3

Q1=9 Q2=-9

FTQ จะได แปลงสระบบพกดทองถน โดยอาศยสมการท (6.3) คอ

9

9

0

9

0

9

0100

0001

2

1

Q

Q


หนาท

ชนสวน 1-4

6

9

6

9

104.7

108.1

0

0

308.0462.0308.0462.0

462.0692.0462.0692.0

308.0462.0308.0462.0

462.0692.0462.0692.0

8.12

4

23

2

1

4

3

2

1

u

u

u

u

L

AE

F

F

F

F

F4=-6

F3=-9

Q1=10.8

1

4

F1=9

F2=6

1

4 Q2=-10.8


8.10

8.10

6

9

6

9

555.0832.000

00555.0832.0

2

1

Q

Q

ชนสวน 3-4

6

9

6

9

104.7

108.1

0

106.3

308.0462.0308.0462.0

462.0692.0462.0692.0

308.0462.0308.0462.0

462.0692.0462.0692.0

8.12

4

23

2

21

4

3

2

1

u

u

u

u

L

AE

F

F

F

F

Q2=-10.8

4

3

F4=-6

F3=9

F2=6

F1=-93

4

Q1=10.8


8.10

8.10

6

9

6

9

555.0832.000

00555.0832.0

2

1

Q

Q


หนาท

ชนสวน 2-4

12

0

12

0

104.7

108.1

109

108.1

1010

0000

1010

0000

24

23

22

21

4

3

2

1

u

u

u

u

L

AE

F

F

F

F


Q1=-12

Q2=12 4

F3=0

2

F1=0 F2=-12

4

2

F4=12

12

12

12

0

12

0

1000

0010

2

1

Q

Q


หนาท 6-20

ตวอยางท 2 คานวณหาแรงปฏกรยาและแรงในชนสวนของคาน ดงรป

EI = kips-in (คงท) 261030

ขนตอน 1 ระบจานวนจดตอ ชนสวน และ ดกรความอสระ จานวนจดตอ = 4, จานวนชนสวน = 3 และ ดกรความอสระ = 8 (ยดรง = 4 และ อสระ = 4) โดยใหหมายเลขของดกรความอสระเรยงจากยดรง ไปส อสระ

4 3

ขนตอน 2 วเคราะหโครงสราง เพอคานวณหาการเปลยนตาแหนงทจดตอ 2.1 สรางเมตรกซความแขงระบบพกดรวมของแตละชนสวน

เมอคา E, I, L ของทกชนสวนเทากน ดงนน ทกชนสวนจะม [K] เหมอนกน นนคอ

จากรปดานบน จดตอ เปนจดตอแรก มดกรของความอสระท 1 และ 2 ในแนวดง และการหมนในระบบพกดรวม ตามลาดบ และจดตอ เปนจดตอทสอง มดกรของความอสระท 3 และ 4 ในแนวดง และการหมนในระบบพกดรวม ตามลาดบ ทาใหไดเมเตรกซความแขงทเรยงตามดกรความอสระ 1 ถง 4 ดงนน เมตรกซความแขงของชนสวนตางๆ ในคาน สามารถคานวณได ดงน

1 2

6 7 5 8

1 2 3 4

baK

a

b

2 6 3 7 1 5 2 6 1 2 3

32K

4

1 2 3 4

21K


หนาท

3 7 4 8

2.2 รวมประสานเมตรกซความแขง ทาการรวมประสานเมตรกซความแขงของแตละชนสวนในระบบพกดรวมจากขนตอน 2.1 โดยเรมจากการสรางเมตรกซความแขงของโครงสร างขนาด 88 เทากบดกรความอสระทงหมดของโครงสรางและนาคาในตาแหนงดกรความอสระในแตละชนสวนมาลงตามตาแหนงของเมตรกซความแขงของโครงสราง

2.3 สรางความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง เนองจากแรงกระทาในชนสวน 1-2 และชนสวน 3-4 ไมไดอยทตาแหนงของจดตอ ดงนนจงตองทาการเปลยนแรงดงกลาวไปสแรงทจดตอทมผลเทยบเทา นนกคอ แรงปฏกรยาเมอปลายชนสวนทสภาพยดแนน ดงแสดงดานลาง ดงนน ทจดตอใดๆ หากมแรงปฏกรยาเนองจากเปนตาแหนงของจดรองรบ กจะตองนาแรงทงสองประเภทมารวมประสานกน ซงจะไดสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง ดงน

43K

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4

1 2 3 4 sK 5 6 7 8

ชนสวน 1-2 ชนสวน 3-4

3 4


หนาท

1 2 3 4 5 6 7 8 d1=0

2.4 แกสมการใน 2.3 เพอหาการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสรางในขนตอนท 2.3 ในสมการท 5 ถง 8 และคาการเปลยนตาแหนงทดกร 5 ถง 8 สามารถคานวณไดโดย


ขนตอน 4 คานวณหาแรงกระทาในชนสวน ชนสวน 1-2

0

2

0

2

5

2

5

2

1044.1

0

1044.1

0

4006020060

60126012

2006040060

60126012

34

3

32

1

3

4

3

2

1

4

3

2

1

k

k

u

u

u

u

L

EI

Q

Q

Q

Q

F

F

F

F

d6

d7 d8

d2=P2 P1

0d3=0P3

d4=0 P4

d5 P5=0 P6=0 P7=0 P8=0

d5

d6 (in/ft) d7 d8

P2 P1

P3

P4

F =2 F =2 1 3

F =0 F =02

1 2 4


หนาท

ชนสวน 2-3

ftk

k

k

u

u

u

u

L

EI

Q

Q

Q

Q

F

F

F

F

15

5.1

0

5.1

1088.2

0

1044.1

0

4006020060

60126012

2006040060

60126012

34

3

32

1

3

4

3

2

1

4

3

2

1

ชนสวน 3-4

0

5.10

15

5.13

20

12

20

12

1032.4

0

1088.2

0

4006020060

60126012

2006040060

60126012

34

3

32

1

3

4

3

2

1

4

3

2

1

k

ftk

k

u

u

u

u

L

EI

Q

Q

Q

Q

F

F

F

F

ตวอยางท 3 คานวณหาแรงปฏกรยา และแรงในชนสวนของโครงขอแขง ดงแสดง ขนตอน 1 ระบจานวนจดตอ ชนสวน และ ดกรความอสระ จานวนจดตอ = 4, จานวนชนสวน = 3 และ ดกรความอสระ = 12 (ยดรง = 8 และ อสระ = 4) โดยใหหมายเลขของดกรความอสระเรยงจากไมยดรง ไปสยดรง

1 2

F2=0

F1=-

F4=-15

F3=1.54 kips

F =13.5 F =10.51

1 2 F2=15

F4=0

32.4 klf

inkipL

EI

L

EA 1000

123


หนาท

122

66

K

2

23

2

2

323

2

22

2

23

2

3

2

23

2

2

323

22

323

2

/4.

)/6()/12(

)/(

)/6()/12(

)/(

)/12(

)/(/2)/6()/6(/4

)/6()/12(

)/(

)/12(

)/()/6(

)/12(

)/(

)/6()/12(

)/(

)/12(

)/()/6(

)/12(

)/(

)/12(

)/(

LEISYMM

CLEICLEI

SLEA

SLEICSLEI

CSLEA

SLEI

CLEALEICLEISLEILEI

CLEICLEI

SLEA

CSLEI

CSLEACLEI

CLEI

SLEA

SLEICSLEI

CSLEA

SLEI

CLEASLEI

CSLEI

CSLEA

SLEI

CLEA

ขนตอน 2 วเคราะหโครงสราง เพอคานวณหาการเปลยนตาแหนงทจดตอ

2.1 สรางเมตรกซความแขงระบบพกดรวมของแตละชนสวน

จากรปดานบน จดตอ เปนจดตอแรก มดกรของความอสระท 1 ในแนวราบ 2 ในแนวดง และ 3 การหมนในระบบพกดรวม และจดตอ เปนจดตอทสอง มดกรของความอสระท 4 ในแนวราบ 5 ในแนวดง และ 6 การหมนในระบบพกดรวม ทาใหไดเมเตรกซความแขงทเรยงตามดกรความอสระ 1 ถง 4 ดงนน เมตรกซความแขงของชนสวนตางๆ ในคาน สามารถคานวณได ดงน

5

6

8

9

3

11 1 4

7 10

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

a

b


หนาท

Member s c sc c2 s2

1-3 76 0.970 0.242 0.235 0.058 0.941

3-4 0 0 1 0 1 0

2-4 90 1 0 0 0 1

s = sin และ c = cos

5 6 7 1 2 3 5

6 7 1

2 3

1 2 3 11 12 4 1

2 3 11 2

12 4

8 9 10 11 12 4 8

9 10 11 3

12 4


หนาท

รวมประสานเมตรกซความแขง 2.2

ทาการรวมประสานเมตรกซความแขงของแตละชนสวนในระบบพกดรวมจากขนตอน 2.1 โดยเรมจากการสรางเมตรกซความแขงของโครงสร างขนาด 1212 เทากบดกรความอสระทงหมดของโครงสรางและนาคาในตาแหนงดกรความอสระในแตละชนสวนมาลงตามตาแหนงของเมตรกซความแขงของโครงสราง จะได

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

........................6060100

........................600010

.......................240000

.......................0000

........................60000

........................02551560

........................015100

........................060010

........................960240600

........................2409904560

........................6045200

........................060020

102SK

2.3 สรางความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง

dKP

0

0

0

0

0

0

0

0

........................6060100

........................600010

.......................240000

.......................0000

........................60000

........................02551560

........................015100

........................060010

........................960240600

........................2409904560

........................6045200

........................060020

10

6

12

12

6

0

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

2

12

11

10

9

8

7

6

5

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

P

P

P

P

P

P

P

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


หนาท

เนองจากแรงกระทาในชนสวน 3-4 ไมไดอยทตาแหนงของจดตอ ดงนนจงตองทาการเปลยนแรงดงกลาวไปสแรงทจดตอทมผลเทยบเทา นนกคอ แรงปฏกรยาเมอปลายชนสวนทสภาพยดแนน ดงแสดงดานลาง

จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสรางขางบน จะเหนวา เปนสมการเชงเสนจานวน 12 สมการโดยสามารถแบง (Partition) ไดเปน สมการท 1 ถง 4 ซงจะใชในการคานวณหาการเปลยนตาแหนงทดกรความอสระ 1 ถง 4 จากนน จะนามาแทนในสมการท 5 ถง 12 เพอคานวณหาแรงปฏกรยา และเนองจาก คาการเปลยนตาแหนงทดกร 5 ถง 12 มคาเทากบ ศนย (เนองจากเปนทศการเปลยนตาแหนงทมการยดรง) ทาใหอาจพจารณาไดวา คาเมตรกซความแขงในหลกท 5 ถง 12 อาจละเลยในการคานวณได 2.4 แกสมการใน 2.3 เพอหาการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสรางในขนตอนท 2.3 ในสมการท 1 ถง 4 และคาการเปลยนตาแหนงทดกร 1 ถง 4 สามารถคานวณไดโดย

4

3

2

1

2

960240600

2409904560

6045200

060020

10

12

12

6

0

d

d

d

d

และ 4

4

3

2

1

10

9.3

366.0

9.40

1.1

d

d

d

d


62

)12(1

2

wL

1212

)12(1

12

22

wL

12

เทยบเทา

L=12 ft 6


หนาท 6-28

42

12

11

10

9

8

7

6

5

10

9.3

366.0

9.40

1.1

6060100

600010

240000

0000

60000

02551560

015100

060010

10

6

P

P

P

P

P

P

P

P

และ

kips

ftkip

kips

kips

ftkip

kips

kips

P

P

P

P

P

P

P

P

97.7

23.2

35.9

0

34.2

86.5

03.4

11.0

12

11

10

9

8

7

6

5

ขนตอน 4 คานวณหาแรงกระทาในชนสวน ชนสวน 1-3

93.4

03.4

11.0

86.5

03.4

11.0

10366.0

109.40

101.1

0

0

0

10

51015602551560

1510015100

6001060010

25515605101560

1510015100

6001060010

46

45

44

3

2

1

2

4

4

4

3

2

1

u

u

u

u

u

u

F

F

F

F

F

F

แปลงสระบบพกดทองถน F

93.4

87.0

94.3

86.5

87.0

94.3

93.4

03.4

11.0

86.5

03.4

11.0

100000

0242.0970.0000

0970.0242.0000

000100

0000242.0970.0

0000970.0242.0

6

5

4

3

2

1

Q

Q

Q

Q

Q

Q

F1=0.11

F2=4.03

1

3

F3=5.86

=-4.03 5 F =4.93 Q =-6 QF4=-0.11

Q1=3.94 Q2=0.87

1

3

Q3=5.86

=-0.87 45

Q =4.93 6


หนาท

ชนสวน 3-4

72.18

97.7

11.0

93.4

03.4

11.0

12

6

0

12

6

0

109.3

0

0

10366.0

109.40

101.1

10

480600240600

6010060100

00100010

240600480600

6010060100

00100010

46

5

4

43

42

41

2

6

5

4

3

2

1

u

u

u

u

u

u

F

F

F

F

F

F

แปลงสระบบพกดทองถน เนองจากชนสวน 3-4 มระบบพกดทองถน และระบบพกดรวม มทศทางตรงกน ดงนน แรงในระบบทงสองจงตรงกน Q =4.03

ชนสวน 2-4

72.18

0

34.2

35.9

0

34.2

109.3

0

0

0

0

0

10

4800602401560

01000100

6001060010

240060480060

01000100

6001060010

46

5

4

3

2

1

2

6

5

4

3

2

1

u

u

u

u

u

u

F

F

F

F

F

F

แปลงสระบบพกดทองถน

4

2 F1=-2.34F2=0

F3=9.35

F4=2.34F5=0 F6=18.72

4

2 Q2=2.34 Q1=0

Q3=9.35

Q5=-

Q4=0 Q6=18.72

F =4.03

3 4 F1=0.11

2

F3=-4.93 F4=-0.11

F5=7.9F6=-18.72

Q =7.97 2 5

3 4

Q

Q1=0.11

Q3=-Q4=-=-18.726


หนาท

72.18

34.2

0

35.9

34.2

0

72.18

0

34.2

35.9

0

34.2

100000

001000

010000

000100

000001

000010

6

5

4

3

2

1

Q

Q

Q

Q

Q

Q


หนาท

แบบฝกหดทายบท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง แบบฝกหด ฝ6.1-6.2 วเคราะหหาแรงปฏกรยา และแรงในชนสวนของโครงขอหมนโดยวธเมตรกซความแขง 40 kN ฝ6.1

2 80 kN ฝ6.2 แบบฝกหด ฝ6.3-6.4 วเคราะหหาแรงปฏกรยา และแรงในชนสวนของคานโดยวธเมตรกซความแขง ฝ6.3

2 3

3 m 3 m 6 m

20 kN 10 kN/m

EI = คงท #2 #1

1

3 4

#1 #3

6 m 8 m

8 m

#2 EA = คงท

1

100 kN 100 kN

4 m

100 kN

3 m

1

#1

#2

#3 #5 #6

#4 4 3

EA = คงท

2


หนาท

ฝ6.4 ฝ6.5 จงคานวณหาเมตรกซความแขงของโครงสราง แบบฝกหด ฝ6.6-6.7 วเคราะหหาแรงปฏกรยา และแรงในชนสวนของโครงขอแขงโดยวธเมตรกซความแขง ฝ6.6

5m 5m 10m 5m

40 kN 20 kN 100 kN-m 10 kN/m

EI = คงท 2 3 1 4 #3 #1 #2

8 ft 8 ft 4 ft

EI = คงท E = 29,000 ksi I = 3,500 in4

2 k/ft 16 k

8 ft

C

A

D B

E

12 ft

E1, I1, A1

L1 L3

L2

2

d2

d1 d3 4 #1 #3 1

3

E , I , A3 3 3

#2

, I , AE 2 2 2


หนาท 6-33

ฝ6.7

60 kN

4 m 4 m 2 m

EI = คงท

20 kN/m

4 m

C

A

D B

200 kN-m

3 m

E

บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ

หนาท 7-1

บทท การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ

Approximate Analysis of Indeterminate Structures 7

เนอหา 7.1 บทนา 7.2 การวเคราะหโครงขอแขงรบแรงแนวดง 7.3 การวเคราะหอาคารโครงขอแขงรบแรงแนวราบ 7.4 โครงขอหมนอนดเทอรมเนท : โครงขอหมนชนดชนสวนขนาน และมชนสวนทแยง 2 ชนไขว 7.5 การวเคราะหอาคารอตสาหกรรม และโครงชนด portals วตถประสงค 1.วเคราะหโครงขอแขงโดยวธประมาณเพอคานวณหาคาแรงแนวดง 2.วเคราะหโครงขอแขงโดยวธคานยนเพอคานวณหาคาแรงในแนวราบ 3.วเคราะหโครงขอแขงโดยวธ Portal method เพอคานวณหาคาแรงในแนวราบ 4.การประมาณคาทเหมาะสม เปนการทาให indeterminate Structure ลดลงใหกลายเปน determinate Structure 5.วเคราะห indeterminate Truss โดยวธประมาณ 6.วเคราะห industrial Frame และ portal Frame ดวยวธประมาณ

7.1 บทนา

โครงขอแขงเปนระบบโครงสรางทพบเหนไดทวไปและมการใชอยางแพรหลาย ปกตการออกแบบ

โครงขอแขงจะทาโดยออกแบบใหจดตอคานและเสาใหมความแขง ยกตวอยางโครงขอแขงแบบคอนกรตเสรมเหลกสองชวงและสงสามชน ดงรป 7.1 จรงๆแลวโครงขอแขงในรปเปนโครงยดกนสามมต แตในการวเคราะหจะคดเปนโครงแบบระนาบเดยวทละทศทางทตงฉากกนเพอความสะดวกในการคานวณ ดงรป 7.2 ในกรณของโครงขอแขงจดตอคานและเสาจะหลอเปนเนอเดยวกนซงสามารถตานทานแรงดด แรงเฉอน และแรงในแนวแกนได จากรปตวอยาง โครงขอแขงมจดตอ ( j ) 12 จด คาน ( b )15 ตว แรงกระทา ( r) 9 แรง ดงนนโครงขอแขงนมระดบดกรอนดเทอรมเนท = ((315+9)-123) = 18 การใชวธวเคราะหดวยวธแมนยา (Exact method) เชน Slope-deflection, Moment distribution หรอ Direct stiffness อาจนามาวเคราะหหาขนาดแรงได อยางไรกตามในการคานวณจาเปนตองมการกาหนดคาเบองตนของขนาดหนาตดในแตละชนสวน


หนาท 7-2

โดยอาจคานวณหาไดจากการวเคราะหโดยวธประมาณเพอใหไดคาแรงดด แรงเฉอนและแรงในแนวแกนสาหรบออกแบบหนาตดเบองตนของแตละชนสวน การวเคราะหโดยวธประมาณจะตองทาการลดระดบการยดรง โดยกาหนดขอสมมตฐานตางๆ เพอเปลยนโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทใหเปนโครงสรางแบบดเทอรมเนท

รปท 7.1 อาคารโครงขอแขง Sectional Elevation Along C1-C3


หนาท 7-3

รปท 7.2 Idealized frame for analysis

รปท 7.3 Building frame subjected to vertical


หนาท 7-4

7.2 การวเคราะหโครงขอแขงรบแรงแนวดงพจารณาโครงขอแขงรบแรงแนวดงดงรป 7.3 คานทกตวในโครงขอแขงจะรบแรงหลายทศทาง

อนประกอบดวย แรงในแนวแกน โมเมนตดด และแรงเฉอน ดงนนคานแตละตวในโครงขอแขงจงมดกรของอนดเทอรมเนทระดบ 3 และตองใช 3 สมมตฐานเพอทาใหเปนคานแบบดเทอรมเนท

กอนทจะกลาวถงสมมตฐาน 3 ขอดงกลาว พจารณาคานธรรมดา ซงจดทโมเมนตมคาเทากบศนย (point of inflexion) เกดทจดรองรบ ดงรป 7.4(ก) จากนนพจารณาคานแบบทจดรองรบยดแนนทงสองดานและรบแรงแนวดงดงรป 7.4(ข) กรณนจดทโมเมนตมคาเทากบศนยหรอจดทโมเมนตมคาดดกลบเกดขนท ระยะ 0.21L หางจากจดรองรบทงสองดาน

Bending moment diagram (ก) คานธรรมดา

(ข) คานยดแนนทงสองปลาย Bending moment diagram


หนาท 7-5

และเมอพจารณาคานในโครงขอแขง รป 7.4(ค) กรณนจดรองรบซงกคอเสาอาจเปนอยางใด

อยางหนงกไดระหวางแบบยดแนน หรอแบบธรรมดา ดงนนสาหรบการวเคราะหโดยวธประมาณคาจะ

สมมตใหจดทโมเมนตมคาเทากบศนย (point of inflexion) เกดขนท LL

1.02

21.00

หางจากจด

รองรบ ซงในความเปนจรงจดทโมเมนตมคาเทากบศนยจะขนอยกบความแขงของเสา ดงนนในการวเคราะหคานในโครงขอแขงจงอาจประมาณได ดงรป 7.4(ง)

(ค) คานในโครงขอแขง

ดอะแกรมของโมเมนตดด (ง) ไ


หนาท 7-6

รปท 7.4 การประมาณโมเมนตดดของคานอนดเทอรมเนทรบแรงแนวดง สาหรบคานชวงภายใน จดโมเมนตดดกลบจะมคามากกวา 0.1L เลกนอย ซงตองอาศย

ประสบการณของผวเคราะหในการกาหนดจดดงกลาวใหเหมาะสม ดวยวธทกลาวมาเราสามารถลดแรงทไมทราบคาไปไดแลวสองตว สมมตฐานตวสดทาย คอ แรงในแนวแกนในคานมคาเปนศนย จากสมมตฐานทงสามขอ ทาใหสามารถวเคราะหแรงในแนวดงได ดงตวอยาง

ตวอยาง 7.1 คานวณคาแรงในแนวดงของคานในรป 7.5a โดยใชวธประมาณคา

วธทา สมมตจดทโมเมนตดดกลบเกดท 0.1L ( = 0.6 m) จากเสา ดงรป 7.5b และคานวณโมเมนตในคานดงรป 7.5c

รปท 7.5a

รปท 7.5b


หนาท 7-7

สาหรบคานคานวณ โมเมนตลบทปลายคานแบงลงเสาบนและเสาลางเทาๆกน สงเกตไดวาเสา

ตนกลางจะไมมโมเมนตเนองจากโมเมนตจากดานซายและขวามคาเทากนทาใหหกลางกนไป โมเมนตลบทปลายคาน BE มคาเทากบ 7.1 kN.m แบงลงทเสา BC และ BA ดงนน

Bending moment diagrams รปท 7.5c

05.42

1.8 BABC MM kN.m โมเมนตบวกสงสดทกลางคาน BE มคาเทากบ 14.4 kN.m และ

สามารถคานวณแรงในแนวแกนทกระทาในเสาแตละตน โดยแรงอดในแนวแกนของเสาคานวณไดดงรป 7.5d


หนาท 7-8

7.3 การวเคราะหอาคารโครงขอแขงรบแรงแนวราบ อาคารโครงขอแขงอาจตองออกแบบใหรบแรงกระทาดานขาง ไดแก แรงแผนดนไหวหรอแรงลม

ไดในชวงการใชงาน รปท 7.6 แสดงรปโครงขอแขงสองชน สองชวงรบแรงกระทาดานขาง เสนประแสดง ลกษณะการเสยรปของโครงขอแขง และโดยโครงสรางดงกลาวมระดบดกรของอนดเทอรมเนทเทากบ 12

รปท 8.5d Axial force in columns

in columnsrรปท 7.6 Shea


หนาท 7-9

ดงนนจงตองม 12 สมมตฐานเพอทาใหเปนโครงสรางแบบดเทอรมเนท สงเกตจากเสนการเสยรปจะไดวาจดโมเมนตดดกลบหรอจดทโมเมนตมคาเทากบศนยเกดขนทกงกลางความสงของเสาและกลางคาน ทาใหไดขอสมมตฐาน 10 ขอ สวนอก 2 ขอสมมตฐาน ทจะลดจานวนตวแปรไมทราบคาทเหลอ จะแตกตางกนไปตามวธในการคานวณ 2 วธ คอ (ก) วธ Potal method และ (ข) วธ Cantilever method โดยจะกลาวถงดงตอไปน 7.3.1 การวเคราะหโดยวธ Portal method

การวเคราะหโดยวธ Portal method จะสรางสมมตฐาน ดงน 1) จดโมเมนตดดกลบเกดทกงกลางความสงของเสาแตละตน 2) จดโมเมนตดดกลบเกดทกงกลางคานแตละตว

แรงเฉอนทงหมดทกระทาดานขางในแตละชนตานโดยเสาโดยเสาตนในจะรบแรงเฉอนมากกวาเสาตนนอกสองเทา

รปท 7.7b

รปท 8.7a Two storey building frame Subjected to lateral load of Example 8.2

3)


หนาท 7-10

ขอสมมตฐานสดทายแสดงใหเหนวา ถาเราสมมตใหแตละชวงเปนโครงเฉพาะกรอบนอก เสาตนในจะประกอบไปดวยเสาสองตน (รป 7.6) ดงนนเสาตนในจะรบแรงเฉอนมากกวาเสาตนนอกสองเทา ซงจะอธบายดวยตวอยางตอไปน

ตวอยาง 7.2 โครงขอแขงรป 7.7a จงวเคราะหหาโมเมนตและแรงทปลายเสาและคาน โดยใชวธประมาณ

วธทา ปญหาขอนใชการแกสมการและใชสมมตฐานจากวธ Portal ซงจะม hinges /inflexion ทกลางเสาหรอคาน (จด M,N,O) ดงรป 7.7b 0XF 202 VVV or kNV 5

รวมโมเมนตของแรงทกแรงทางฝงซายมอของ R ทจด R ได 05.25.1 yMV

kNM y 3

โมเมนตในเสาและคานคานวณไดจาก ; mkNM CB .5.75.15 mkNM IH .5.7 mkNM CF .5.7

รวมโมเมนตของแรงทกแรงทางฝงขวามอของ S ทจด S ได 05.2155 yO

kNOy 3

รวมแรงในแนวดงทงหมด จะได 0yN ใชวธเดยวกน แตเปลยนมาตด section ท J,K,L ไดผลลพธดงรป 7.7c


หนาท 7-11

รปท 7.7c

รปท 7.7d 0XF 602 ''' VVV

จะได kNV 15' รวมโมเมนตของแรงทกแรงรอบจด P ได (ดรป 7.7d)

05.25.235.155.115 yp JM

kNJ y 15

kNLy 15


หนาท 7-12

โมเมนตในเสาและคานคานวณไดดงรปท 7.7f

รปท 7.7e

รปท 7.7f

รปท 7.7g


หนาท 7-13

; mkNM BC .5.75.15 mkNM BA .5.225.115

mkNM BE .30 mkNM EF .155.110 ; mkNM ED .455.130

mkNM EB .30 mkNM EH .30 mkNM HI .5.75.15 ; mkNM HG .5.225.115

mkNM HE .30

แรงทฐานของเสาคานวณไดดงรป 7.7g 7.3.2 การวเคราะหโดยวธ Cantilever method

วธนจะเหมาะสาหรบโครงขอแขงทสงและมความชะลด การใช Cantilever method จะสรางขอสมมตฐานดงตอไปน

1) จดโมเมนตดดกลบเกดทกงกลางคานแตละตว 2) จดโมเมนตดดกลบเกดทกงกลางความสงของเสาแตละตน 3) ในแตละชน ขนาดของหนวยแรงตามแนวแกนในเสาเปนสดสวนกบระยะในแนวราบจาก

จดศนยถวงของเสาในชนนนๆ พจารณาเสาทเปรยบเสมอนคานยนถกกระทาดวยแรง P ดงรป 7.8 หนวยแรงดดในหนาตดเสาจะ

แปรผนเปนเสนตรงตามระยะจากแกนสะเทนของหนาตด ซงใชเปนขอสมมตฐานของการวเคราะหโดยวธ Cantilever method ซงจะอธบายดวยตวอยางตอไปน

ตวอยาง 7.3 จงประมาณขนาดแรงปฏกรยาในเสาแตละตน คาโมเมนตดดในเสาและคาน โดยวธ cantilever method ของโครงขอแขงดงรปท 7.8a. สมมตใหเสาทกตนมขนาดหนาตดเทากน วธทา: จดศนยกลางมวลของเสาทงหมดผานจดศนยกลางเสา

5

1050

AAA

AAA

A

xAx m (จากดานซายมอของเสา)


หนาท 7-14

จากรปท 7.8b เสาดานซายมอของ C.G. จะอยภายใตสภาวะรบแรงดง ตวอยางเชนเสา CB และทางดานขวาอยภายใตแรงอด จากขอสมมตฐานทสาม

รปท 7.8a Cantilever Column

รปท 7.8b

A

O

A

M yy

55 yy OM

Taking moment รอบ O ของแรงทงหมด 0105120 yM.


หนาท 7-15

kN3yM ; kN3yO Taking moment รอบ R ของแรงทางดานซายมอของ R 052351 ..VM kN5MV Taking moment ของแรงดานขวามอของ S รอบ S 052351 ..VO 5OV kN. 0 xF 020 ONM VNV kN 10NV

Moment 57515 ..M CB kN.m kN.m 57.M CF

kN.m 15FEM

kN.m 57.M FC

kN.m 57.M FI

kN.m 57.M HI

kN.m 57.M IF

หนาตดทผาน hinge J, K, L (Fig. 7.8c) เนองจากจดศนยถวงของเสาผานตลอดศนยกลางเสา แรงในแนวแกนของเสานนเปนศนย


หนาท 7-16

สามารถประเมนคาได ดงนน Taking moment รอบ hinge L, Jy

0101035140320 yJ. 15yJ kN ; 15yL kN Taking moment ของแรงทางดานขวามอของ P รอบ P 0515215523515 .V... j kN 15jV

เชนเดยวกน Taking moment ของแรงทงหมดดานขวาของ Q รอบ Q 051521515523515 .V... L kN 15LV

0XF 060 LKJ VVV 30KV kN.


หนาท 7-17

Moment kN.m ; 57515 ..M BC 5225115 ..M BA kN.m kN.m 3BEM

kN.m ; 155110 .M EF 455130 .M ED kN.m kN.m 30EBM 30EHM kM.m 57515 ..M HI kN.m ; 5225115 ..H HG kN.m kN.m 30HEM

7.4 พจารณาโครงขอหมนแบบอนดเทอรมเนททมสองแนวทแยงตามรปท 7.9 โครงขอหมนนใช

ทวไปสาหรบการคายนทางดานขางของโครงสรางอาคารและชนสวนโครงขอหมนบนและลางของโครงขอหมนสะพาน

โครงขอหมนอนดเทอรมเนท: โครงขอหมนชนดชนสวนขนาน และมชนสวนทแยง 2 ชนไขว

รปท 7.9

รปท 7.9 โครงขอหมนแบบอนดเทอรมเนททชนสวนบนและลางขนานกนและมชนสวนแทยงสองชนไขวกนในแตละชวง โครงขอหมนดงรปเปนอนดเทอมเนตภายนอกและอนดเทอมเนตภายในระดบ 3 ดกร ตามสมการคานวณระดบดกรอนดเทอรมเนซ ดงน jrmDI 2)(


หนาท 7-18

เมอ j m และ r ตามลาดบเปนจานวนของชนสวน จดตอ และสวนประกอบของแรงปฏกรยาทไมทราบคา เนองจากโครงถกเปนอนดเทอมเนตดกร 3 ทาใหการวเคราะหตองตง 3 สมมตฐานทจะทาใหโครงสรางนลดลงกลายเปนโครงขอหมนทสภาวะดเทอมเนตทมเสถยรภาพ โดยอาจทาไดใน 2รปแบบดงน 1. หากชนสวนแนวทแยงทงสองชนถกออกแบบใหสามารถรบการสงผานแรงทงแรงดงและแรงอดได การวเคราะหอาจสมมตวา แรงเฉอนในแตละแผงจะถกแบงรบดวยชนสวนทแยงทง 2 ชนสวนเทาๆ กน โดยจากโครงขอหมนขางตน จานวน 3 สมมตฐานสาหรบแรงเฉอนทเทากน (หนงในแตละแผง) และจะทาใหสามารถวเคราะหแรงในโครงขอหมนทเหลอโดยสมการสมดลแรงเพยงอยางเดยว 2. ในกรณ ชนสวนแนวทแยงทง 2 ชน ออกแบบเปนชนสวนทเรยวยาว (Slender) การวเคราะหอาจจะสมมตวาแรงเฉอนทแผงนนเปนการตานดานดวยสวนทแยงเพยงชนเดยว เนองจากวาแรงอดทสงผานชนสวนทแยงอกชนหนงนนมคานอยมาก หรอ ชนสวนทรบแรงอดนนจะเกดการโกงเดาะดวยแรงอดระดบตา ทาใหสามารถสราง 3 สมมตฐานอสระในแตละชวง และทาใหสามารถวเคราะหโครงขอหมนดวยสมการสมดลแรงเพยงอยางเดยว กลาวโดยทวไปกคอ จะตองกาหนดสมมตฐานจานวน n เงอนไข ในการแกไขปญหาของโครงสรางอนดเทอมเนตระดบ n ดกร เพอใหวเคราะหโครงสรางดวยสมการสมดลแรงเพยงอยางเดยว ขนตอนขางตนแสดงในตวอยางดงตอไปน


หนาท 7-19

ตวอยาง 7.4 จงประมาณคาแรงในชนสวนโครงขอหมน ดงรปท 7.10a โดยสมมตใหชนสวนแนวทแยงทงสองชนถกออกแบบใหสามารถรบการสงผานแรงทงแรงดงและแรงอดได

วธทา: โครงขอหมนขางตน เปนดเทอมเนตภายนอก และอนดเทอมเนตภายในระดบดกร 3 แรงปฏกรยาสามารถประเมนในสมการสมดล ดงนน ) ( kN 33231 .R

(1) ) ( kN 67262 .R

พจารณาความสมดลแรงจาก Free body Diagram ของโครงขอหมนดานซายของหนาตด A-A ดงแสดงใน รปท 7.10b

รปท 7.10a


หนาท 7-20

รปท 7.10b พจารณาสดดลแนวดงของแรงทาให 03323sinsin

1010 .FF ULUL (2)

จากขอสมมตทใหแรงเฉอนในแตละชนเทากน จะได FFF ULLu

1010 (3)

3323sin 2 .F 2

1sin

kN 50162

3323.

.F (4)

ดงนน (Tension) kN 5016

10.F LU

(Conpression) kN 501610

.F UL


หนาท 7-21

พจารณา Joint 0L

0yF 0332345sin 5016

00 ..F UL

00F UL kN(Comp.) (5) 6711.

0xF 045cos5016

10 LLF.

kN(Tension) (6) 6711

10.F LL

ในทานองเดยวกน kN(comp.) 6711

10.F UU

พจารณาสมดลของโครงถกดานซายของหนาตด B-B (รปท 7.10d)

รปท 7.10c

รปท 7.10d


หนาท 7-22

ในแผงน แรงเฉอนคอ 3.33 kN พจารณาสมดลตามแนวดงของ free body diagram 0yF 020332345sin45sin

2121 .FF LUUL (7)

ให FFF LUUL

2121

333sin 2 .F

3622

33.F kN 3

.

ดงนน kN(Tension) 362

21.F LU

kN(Compression) 36221

.F UL

Taking moment รอบ ของแรงทงหมด 1U

03332332

13623

21

..F LL

25

2 kN(Tension) (8)

1LLF

Taking moment รอบ ของแรงทงหมด 1L

kN(Comp.) (9) 25

21UUF

พจารณาสมดลทจด (รปท 7.10e) 1L

รปท 7.10e


หนาท 7-23

0yF 020sin4536245sin501611

..F UL kN(Tension) (10) 10

11ULF

พจารณาสมดลของดานขวาของรปตด C-C (รปท 7.10f) แรงใน 3 แผงประมาณไดวา

รปท7.10f

ทเราทราบนน FFF ULUL 3223

0yF 026.67sin45sin45

3223 ULUL FF (11)

86182

6726.

.F kN

kN(Comp.) 8618

23.F UL


32.F UL

พจารณาสมดลทจด (รปท 7.10g) ทาให 3L

รปท 7.10g


หนาท 7-24

0xF 0cos458618

32 LLF.

32F LL kN(Tension) 3413.

0yF 3313

33.F UL kN(Comp.)

แรงในชนสวนทงหมดของโครงถกแสดงใน รปท 7.10h นอกจากนในภาพแสดงแรงตามแนวแกนทเกดขนจากวธการแมนยาไวในวงเลบ

รปท 7.10h ตวอยาง 7.5 จงคานวณหาแรงในชนสวนของโครงขอหมนในตวอยางทแลว โดยสมมตชนสวนแนวทแยงรบแรงดงเพยงอยางเดยว วธทา: แรงปฏกรยาของโครงขอหมนเหมอนทคานวณในตวอยางกอน นนคอ ) ( kN 33231 .R

(1) ) ( kN 67262 .R

พจารณาสมดลอกครงของ free body diagram ของโครงถกทแสดงดานซายมอรปตด A-A ดงแสดงใน รปท 7.11a ในกรณน แรงทสงผานดวยแรงอดทชนสวนทแยงนนเปนศนย ดงนนแผงแรงเฉอนนนตานทานดวยชนสวนทแยงรบแรงดงทงหมด


หนาท 7-25

รปท 7.11a

รปท7.11b

รปท 7.11c


หนาท 7-26

พจารณา 0 yF

023.33sin4510

LUF 3323323

10 .F LU kN

(2) 0

10ULF

พจารณาสมดลแนวดงของ Joint จะได 0L

0

10LLF kN (Comp.) 3323

00.F UL

และ Joint จะได kN (3) 0U 3323

10.F UU

พจารณาสมดลของโครงถกดานซายของหนาตด C-C (รป7.11b) ในแผงน แรงเฉอน เทากบ 3.33 kN พจารณาสมดลแนวดงของ free body diagram 0yF 020-23.33sin45

21 LUF (4)

7142333

21..F LU kN

(5) 0

21ULF

Taking Moment ของแรงทงหมดรอบจด 1U

0333233

21 .F LL


21.F LL

Taking moment รอบจด ของแรงทงหมด 1L

03332332

17143

21

..F UU

kN(comp.) 6726

21.F UU


หนาท 7-27

พจารณาสมดล Joint (รปท 7.11c) ทาให 1L

0yF 020sin453311

ULF kN(comp.) (7) 333

11.F UL

พจารณาสมดลทางดานขวาของรปตด B-B (รป 7.11d) แรงในแผงท 3 ประเมนได 0yF 0672645sin

32 .F UL (11)

023ULF

kN (Tension) (12) 713732

.F UL

พจารณาสมดลทจดของ (รป 7.11e) ทาให 3L

รปท 7.11d

รปท 7.11e


หนาท 7-28

0xF 032LLF

0yF kN(Comp.) 6626

33.F UL

คาตอบขนาดแรงแสดงใน รป 7.11f คาในวงเลบเปนขนาดแรงตาแนวแกนทไดมาจากวธการแมนยา (Exact method)

7.5 รปแบบทวไปของโครงเฟรมอาคารอตสาหกรรม แสดงในรปท 7.12a และ 7.12b ประกอบดวยเสา 2 ตนและโครงขอหมนประกอบวางเหนอเสา ออกแบบรบแรงกระทาในแนวดงและแรงลม (แรงตามแนวราบ) การวเคราะหกรณแรงโนมถวง นนจะสมมตวาโครงขอหมนมจดรองรบธรรมดาดวยเสา และในกรณการวเคราะหโครงสรางรบแรงในแนวนอน จะสมมตวา โครงขอหมนเชอมตอแบบแขงกบเสา ทฐานของเสาเปนจดหมน (Hinge) หรอยดแนน (Fix) ขนกบสภาพฐานรากของเสา นนคอ หากคอนกรตฐานรากทฐานเสาเลกนนจะถอวาเสานนมจดรองรบแบบหมนได แตหากเปนฐานรากขนาดใหญจะพจารณาฐานเปนแบบยดแนน

การวเคราะหอาคารอตสาหกรรม และโครงชนด portals

รปท 7.11f Final bar force


หนาท 7-29

รปท 7.12


หนาท 7-30

พจารณาโครงเฟรมสเหลยม portals (ดรป 7.13) ซงมพฤตกรรมรบแรงดานขางคลายกบโครงขอหมนอาคารโรงงานอตสาหกรรม

พจารณาโครงเฟรม portals ทจดรองรบเปนแบบหมนได (Hinged) ดงทแสดงในรปท 7.13a โครงสรางนมระดบอนดเทอรมเนท 1 ดกร การวเคราะหโครงสรางนภายใตแรงลมโดยวธการประมาณ จะตองสรางขอสมมตฐาน 1 เงอนไข หาก stiffness ของเสาทงสองตนใกลเคยงกน อาจจะสมมตใหแรงเฉอนทฐานจะมคาเทากน แตถา stiffness ของเสาไมเทากนแลว ขนาดแรงเฉอนทฐานเสาจะสมมตใหมขนาดเปนสดสวนของคา stiffness

รปท 7.13 Portal Frames


หนาท 7-31

การคานวณแรงปฏกรยาและโมเมนตดด: ตามสมมตฐาน แรงเฉอนทฐานของเสาแสดงดวยรปท 7.14

2

PVV DA

Taking moment รอบ จดรองรบ D

0 DM hPdRA

d

PhRA ( )

d

PhRD ( ) และ

Bending moment diagram แสดงใน Fig. 7.15

รปท 7.14

รปท 7.15b

รปท 7.15a Bending Moment Diagram


หนาท 7-32

จากไดอะแกรมโมเมนตดดทได อาจสมมตใหมจดหมนทตาแหนงจดกงกลางของคาน ดงนน การกาหนดขอสมมตทใหแรงเฉอนทฐานของเสาทงสองเทากน จะเทยบเทาขอสมมตทใหมจดหมนทตาแหนงกงกลางของคาน หากพจารณา portals frame ซงมจดรองรบแบบยดแนน ดงแสดงใน รป 7.13b มระดบอนดเทอรมเนท 3 ดกร และตองสรางสมมตฐาน 3 เงอนไขเพอแกปญหานโดยวธการประมาณ ขอสมมตทใหแรงเฉอนทฐานของเสาทงสองตนมคาเทากน การเสยรปของ portals แสดงใน รป 7.16a และการเสยรปของ industrial frame แสดงใน รป 7.16b

ในกรณดงกลาว bending moment จะเปลยนทศระหวางเสาปลายลางและปลายบน หรอตองมคาเปนศนยทระดบความสงหนงของเสา โดยประมาณแลวจดดดกลบจะเกดขนทกงกลางความสงของเสาทงสองตน ทาใหโดยรวมจะม 3 สมมตฐานอสระเพอทจะทาการวเคราะหโดยวธประมาณได

รปท 7.16a

รปท 7.16b


หนาท 7-33

รปท 7.17a

รปท 7.17b

Taking moment สาหรบแรงดานซายทงหมดของตาแหนง hinge 1 รอบจด hinge 1 (รป 7.17a) จะได

022

AMPh

4

PhM A

ในทานองเดยวกน Taking moment ของแรงดานซายมอของ hinge 2 รอบจด hinge 2

022

DMPh

4

PhM D

Taking moment ของแรงดานขวามอของ hinge 1 รอบจด hinge 1 ได


หนาท 7-34

0222

PhhP

MdR DD D

PhRD 2

( )

ในทานองเดยวกน

d

PhRA 2

( )

Bending moment diagram แสดงในรปท 7.17b ถาฐานจองเสาเปนแบบยดแนนไมสมบรณ (Partially Fixed) การวเคราะหจะสมมตใหม hinge ทระดบ 1/3 ของความสงจากฐาน ในกรณ เมอจดรองรบเสาเปนแบบหมนได จดดดกลบจะเกดขนทตาแหนงของจดรองรบ และเมอจดรองรบเปนแบบยดแนน (Fixed) จดดดกลบจะเกดขนทระยะกงกลางความสงของเสา

ตวอยางท 35.3 จงคานวณแรงในชนสวนโครงขอหมนในอาคารแสดงดานลางดวยวธประมาณ

ในกรณน ตามสมมตฐานแรก แรงเฉอนทฐานมคาเทากน ดงแสดงใน รป 7.18b

รปท 7.18a


หนาท 7-35

รปท 7.18b

รปท 7.18c

Taking moment ของแรงดานขวามอทงหมดของ hinge 2 รอบ hinge 2 ได

42

PM B 20BM kN.m (2)

เชนเดยวกบ kN.m (3) 20AM


หนาท 7-36

Taking moment ของแรงทางดานขวาของ hinge 1 รอบ hinge 1 ได

0441020418 BB VR kNRB 9

40

18

80

เชนเดยวกบ

kNRA 9

40 (4)

แรงในชนสวนโครงถกสามารถคานวณดวย Method of section หรอ method of joint พจารณาสมดลของโครงถกทางดานซายมอทหนาตด A-A ดงแสดงใน รป 7.18d

รปท 7.18d

0yF 05

4

9

4010

LUF

555

10.F LU kN(Copm.) (5)


หนาท 7-37

Taking moment รอบ 0U

0485

10 LLF

10

10LLF kN(Tension) (6)

Taking moment รอบ 1L

0439

4045410

10 UUF

kN(Comp.) (7) 6611

10.F UU

บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร

หนาท 8-1

บทท เคลดลบและกลวธในการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร

Tips and Tricks for Computer Aided

Structural Analysis

8

เนอหา 8.1 บทนา 8.2 การวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร 8.3 การวเคราะหแบบสถตเชงเสน (Linear Static Stress Analysis) 8.4 ระบบเครองหมาย Sign convention 8.5 การกาหนดหมายเลขของขอตอและชนสวน 8,6 โมเมนตของความเฉอย 8.7 การปอนขอมลนาหนกบรรทก 8.8 การจาลองวเคราะหระหวางสองมต และ สามมต 8.9 การแบงยอยโครงสรางเพอการวเคราะห วตถประสงค - -

8.1 บทนา

ในบทนจะอธบายถงเคลดลบสาหรบการวเคราะหโครงสรางโดยอาศยคอมพวเตอร โดยหนงสอการวเคราะหวศวกรรมโครงสรางสวนใหญเปนหนงสอทอธบายวธการทจะทาการวเคราะหดวยมอ แตในโครงสรางทความซบซอน ตอเนองกนหลายชวงพาด หรอ สงขนหลายชน การวเคราะหโดยใชคอมพวเตอรสามารถชวยไดมาก แตผวเคราะหจะตองจดการขอมลนาเขาใหกบโปรแกรมคอมพวเตอรอยางเหมาะสม เพอใหโปรแกรมมความเขาใจปญหาอยางถกตอง ผทจะสามารถเรยนรเนอหาบทนไดด จะตองผานการเรยนรในบทท 6 เรองการวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง

เทคนคการวเคราะหทจะไดกลาวในทน สามารถนาไปใชไดกบการวเคราะหทวไปได เพอใหการใชโปรแกรมในการวเคราะหโครงสรางทางานอยางมประสทธภาพมากขน โดยโปรแกรมทผวเคราะหใชอยอาจมตวเลอกทดกวาทจะจดการกบปญหาเฉพาะเมอเทยบกบเนอหาทจะไดกลาวนซงจะเกยวของกบโปรแกรมทวไป อยางไรกตามในการวเคราะหในแตละปญหาจะมลกษณะเฉพาะทไมซากน ขนอยกบประเภทของโครงการ คาใชจาย ขอกาหนด กฏเกณฑเฉพาะ เปนตน ทงนเอกสารคมอของโปรแกรมทใชนนนบวามความสาคญมาก และเปนแหลงทมาของความชวยเหลอทดทสด


หนาท 8-2

8.2 การวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร

สวนนเปนบทเรมตนสาหรบผทใชโปรแกรมวเคราะหโครงสรางเปนครงแรก การวเคราะห

โครงสรางดวยคอมพวเตอร คอ วธการแกปญหาของการวเคราะหโครงสรางดวยความชวยเหลอของคอมพวเตอรซอฟตแวร ในขนตน ผวเคราะหตองกรอกขอมลตาง ๆ มาสนบสนนตวโปรแกรม ดงเชน ตาแหนงของโหนด ตาแหนงของชนสวน คณสมบตวสด, หนาตดของแตละชนสวน และ แรงกระทา นอกจากน จะตองบอกวถงลกษณะจดรองรบของโครงสราง เชน ยดแนน หมนได เลอนได หลงจากนนโปรแกรมจะคานวณหา แรงในชนสวน (member forces) แรงปฏกรยา (nodal reactions) และ การเคลอนทของจดตอ (joint displacements) ปจจบนน มโปรแกรมการวเคราะหโครงสรางเชงพาณชยจานวนมากทมประสทธภาพและสะดวกในการใชงาน โดยการวเคราะหจะสรางขอมลนาเขาในรปแบบกราฟกโดยอาศยเมาสและแปนพมพ การใหคานาหนกบรรทกและขอบเขตเงอนไขสามารถทาไดอยางสะดวก ผลการวเคราะหในรปแบบไดอะแกรมแรงเฉอนและโมเมนดดและแมแตแผนภาพรปรางการโกงตวไดอยางชดเจน ทาใหการวเคราะหสามารถทาไดอยางงายดายแมวาจะเปนปญหาทซบซอน อยางไรกตาม การวเคราะหโครงสรางโดยใชคอมพวเตอรจาเปนตองทาการเรยนรในเรองใหมอนๆอกมากมาย ขนแรก คอ ตองทาความคนเคยกบโปรแกรมทใช ตองเขาใจขอจากดและสมมตฐานของโปรแกรม ทงนไมใชวาทกโปรแกรมทใชจะสามารถวเคราะหโครงสรางไดทกประเภท โปรแกรมสวนใหญใชวธ stiffness method ในการแกปญหาโครงสราง สงทสาคญทสดคอ การแปลความหมายของผลการวเคราะหอยางถกตอง เนอหาในบทนจะแสดงวธการทถกตองและ เหมาะสมในการแปลความหมายของขอมลในวธทงายทสด และยงจะไดแสดงการเรยนรการวเคราะหโครงสรางประเภทใหม ๆ โดยไมตองเรยนรทฤษฎการคานวณ ฟงดนาสนใจ? ในสดทาย จะไดเรยนรเกยวกบแนวคดของการวเคราะหโครงสราง. 8.3 การวเคราะหแบบสถตเชงเสน (Linear Static Stress Analysis)

เปนประเภทของการวเคราะหทธรรมดาทสด. เมอมนาหนกกระทากบชนสวน ซงชนสวนนนเกด

การผดรป และผลกระทบของนาหนกจะสงผลทวทงชนสวน การซมซบผลกระทบจากนาหนกทมากระทา ทชนสวนจะเกดแรงภายในและแรงปฏกรยาทจดรองรบ เพอใหเกดสมดลกบแรงภายนอก การวเคราะหการเปลยนแปลงเชงเสนหมายถงการคานวณการเปลยนตาแหนง,ความเครยด และ ความเคนภายใตแรงกระทาภายนอกบนสมมตฐานบางอยาง ดงหวขอดานลางน

1. นาหนกทงหมด กระทาอยางชาและคอยๆเพมคาจนกระทงถงคามากทสดของนาหนกทกระทา หลงจากทถงคามากทสดของนาหนกจะยงคงท (ไมเปลยนแปลงไปตามเวลา) การสมมตนใหการวเคราะหไมตองคดแรงหนวงเนองจากความเรงและความเรวทนอยมาก


หนาท 8-3

2. การสนนษฐานเชงเสน : ความสมพนธระหวางนาหนกทกระทาและ ผลของการตอบสนองเปนเสนตรง เชน หากเพมคาของนาหนกกระทาเปนสองเทาแลวการตอบสนองของชนสวนโครงสราง เชน การเคลอนตว (displacements) ความเครยดและความเคน (strains และ stresses) ออกมามคาเพมเปนสองเทาเชนกน โดยสามารถกาหนดความสมพนธเชงเสนตรงไดถา

ก. วสดทงหมดในแบบจาลองสอดคลองกบ Hooke’s Law ทมความเคนเปนสดสวนโดยตรงกบความเครยด ข. การเคลอนทจากการกระทาของนาหนก มขนาดเลกพอทจะละเลยการเปลยนแปลงของตาแหนงโครงสรางได ค. ขอบเขตเงอนไขของจดรองรบคงเดม นาหนกกระทาตองมขนาด,ทศทาง คงท 8.4 ระบบเครองหมาย Sign convention การสรางสญลกษณในการวเคราะหโครงสรางเปนสงทสาคญ โดยปกตจะกาหนดตามกฏมอขวา นนคอ แรงทมทศทางไปทางขวาจะมคาเปนบวกและแรงกระทาขนเปนบวก โมเมนตทวนเขมนาฬกาใหใชเปนบวก ทงนไดแสดงในรป 2 มต

โปรแกรมวเคราะหสวนใหญจะใหสญลกษณตามทกลาวไป ดงนน เนองจากแกน Y มคาเปนบวกเมอมทศขนทาใหเมอระบแรงโนมถวงแรงมกจะตองใชเปนคา "ลบ" สาหรบโครงสรางทเปน 3 มตสญลกษณจะเปนประเภทเดยวกนแตบางทอาจดซอนซบ ดงทแสดงดานลาง.

รปท 8.1

รปท 8.2


หนาท 8-4

หากพจารณาไดอะแกรมโมเมนตดด ตองระวงวาในบางโปรแกรมวาดคาโมเมนตดดในดานแรงดง (tension side) ซงจะสอดคลองกบตาแหนงของการเสรมเหลกในกรณการออกแบบชนสวนคอนกรตเสรมเหลก สวนแรงตามแนวแกนปกตจะพจารณาใหมคาบวกสาหรบทศของแรงดงและมคาเปนลบสาหรบแรงอด เมอเปนโครงสรางทเปน 3มต โปรแกรมโดยทวไปจะพจารณาใหแกน Y เปนแนวดง เนองจากวาเมอทาการวเคราะหโครงสราง 2มตจะไดใชระนาบ x-y เหมอนกน แตในบางโปรแกรมจะใชคาเรมเตนเปนระนาบ x-z สาหรบการวเคราะห 2มต โดยใหแกน z เปนแนวดง ซงสามารถทาได(หรอแมกระทงแกน x เปนแกนในแนวดง) เนองจากระบบพกดสามารถยดหยนได แตจะตองใชตามสญลกษณเดยวกนตลอด ดงนน กอนทจะใชโปรแกรม ผวเคราะหควรศกษาระบบสญลกษณของโปรแกรมนน ๆ กอนโดยดในคมอประกอบ เชน ตวอยางตอไปนจาก SAP2000 จะแสดงแรงภายในของชนสวนเฟรม

รปท 8.3 Positive Axial Force Torque

รปท 8.4


หนาท 8-5

เพอตรวจสอบระบบเครองหมายนโปรแกรมทใช ลองใชโปรแกรมใดๆ ทตองการแกปญหาและตรวจสอบผลกบภาพแผนภาพโมเมนตดดและแผนภาพอสระของแรงในชนสวนตามคาตอบทให

รปท 8.5

รปท 8.6


หนาท 8-6

ลองแกปญหาตอไปน

รปท 8.7 แรงในแนวแกนจะปรากฏเปนตวเลขแบบตวเอยง โดยจดรองรบรมทางซายคอ hinged และทางขวาเปน roller ในการวเคราะหโครงขอหมน ใหพจารณาตรวจสอบโดยในบางโปรแกรมอาจตอง "บอก" โปรแกรมวาโครงสรางเปน 'truss' โดยระบการปลดการยดรงการหมนทปลายชนสวน 'moment releases' มฉะนน ผลการวเคราะหอาจจะแสดงแผนภาพโมเมนตดดในชนสวน truss 8.5 การกาหนดหมายเลขของขอตอและชนสวน

การกาหมดหมายเลขโหนด และ ขอตอเปนสงทสาคญมากสาหรบการวเคราะหโครงสรางทมขนาดใหญ โปรแกรมประเภททสามารถสรางขอมลนาเขาโดยการ "วาด" บนหนาจอ และโปรแกรมจะใสขอตอและหมายเลขชนสวนโดยอตโนมต หากทาวเคราะหโครงสรางอาคารทมหลายชน โปรแกรมสวนมากเสนอใหมการตงคาสญลกษณตามตองการ โดยทวไป คาน เสาและ พน จะมการใหหมายเลขตามชนนน ๆ ในกรณดงกลาว อาจกาหนดโปรแกรมเพอใชแกน X-Z-Y กาหนดแบบแผน (สมมตใหแกน Y คอแกนดง) และทาการกาหนดหมายเลขคานทงหมดในรปแบบ B-5-10 หรอ แบบ B05010 ซง " B " หมายถง คาน, หมายเลขถดไปแสดงถง " ชน " และสดทายหมายถง เลขลาดบคานในแตละชน ในขนตอนทคลายกนอาจกาหนดหมายเลขสาหรบเสา พน หรอชนสวนโครงสรางอนๆ นอกจากนน อาจทาการสราง 'กลม' สาหรบชนสวนประเภทเดยวกนผทออกแบบสามารถออกแบบใหเหมอนกนทงชน

การใหหมายเลขของโหนดทไมเหมาะสมนนอาจจะเพมคา bandwidth ของ stiffness matrix อยางไรกตามโปรแกรมสวนมากจะมความสามารถในการเรยงหมายเลขของโหนดใหม (Re-number node) โดยอตโนมตในขณะทาการแกปญหาและแสดงผลลพธตามหมายเลขโหนดทผใชระบไวอกครงหนง ในสวนความหมายของ ' bandwidth minimization '? คอ เทคนคสาหรบการรวมและสลบตาแหนงคาใน global stiffness matrix ทไมใชคาศนยใหอยรวมกลมในตาแหนงแกนแนวทแยงของเมตรกซ เมอแบนดวธนอยหมายความวาใชเวลานอยลงสาหรบการแกสมการ


หนาท 8-7

8.6 โมเมนตของความเฉอย ผทใชโปรแกรมในการวเคราะหโครงสรางเปนครงแรกมกจะพบความสบสนในการกาหนด

คณสมบตของวสด โดยเฉพาะสาหรบโครงสรางโครงสรางทเปน 3 มต จากตวอยางตอไปนจะชวยใหผวเคราะหมความเขาใจไดมากขน

รปท 8.8

จากรปขางตนใหคานมหนาตดสเหลยมขนาด 200 x 300 มม และเสามขนาดเปน 200 x 400

มม ตามทปรากฏ ในการนาเขาขอมล เราสามารระบใหคานเปนขนาด 200x300 มม โดยยากเยนนก แตสาหรบเสาโดยทวไปแลวโปรแกรมจะขอใหระบ 'ความลก ' และ ' ความกวาง ' ของเสา หากทาการระบความลก = 400 มม และความกวาง = 200 มม แลวจะไดหนาตดตามทแสดงในรปท 8.9 แตหากทาการระบหนาตดในลกษณะตรงขาม จะไดรบหนาตดเสาททามมผด รปดานลางเปนตวอยางแสดงจากมมมองเสมอนจรง 3 มตของโปรแกรม SAP2000 อยางไรกตามหลาย ๆ โปรแกรมมตวเลอกสาหรบการระบมตของหนาตดโดยใช 'tx' และ 'ty' (หรออาจ 'ty' และ 'tz' หรอ 't2' และ 't3') เปนตวเลอก


หนาท 8-8

บางครง การนาเขาขอมลอาจตองระบคาความเฉอยโดยเฉพาะอยางยงสาหรบรปแบบหนาตดทผดปกต ซงโดยปกตโปรแกรมเสนอตวเลอก ' Iz ' และ ' Iy 'เทานน สาหรบคานขนาดขางตน Iz = 200x3003/12 และ Iy = 300x2003/12 สาหรบเสา Iz = 200x4003/12 และ Iy = 400x2003/12 สงหนงทสาคญ คอ ความเขาใจหลกการแนวคดของ 'local axes' ในโปรแกรมวเคราะหสวนใหญ 'local axes' จะถกกาหนดใหแตกตางจาก ' global axes ' โดยปกต ' local axes ' ถกกาหนดไวตามทแสดงในรปท 8.10

รปท 8.9

รปท 8.10


หนาท 8-9

รปขางตนแสดงทศทางของ local axes ซงจะเอยงไปตามแนวชนสวน และทศทางของ global axes แสดงเปนอยมมลางขวา จะขอกลาวถงระบบพกด local และ global axes อกครงเมอถงการตความขอมลทไดจากการวเคราะห 8.7 การปอนขอมลนาหนกบรรทก

ทกโปรแกรมทมตวเลอกสาหรบการระบนาหนกแบบจด (concentrate) และแบบกระจายสมาเสมอ (uniform) บางโปรแกรมสามารถใหคณระบแรงกระทาเปนจดในคานระหวางโหนดไดโดยโปรแกรมจะทาการสรางแรงเทยบเทาไปทโหนดเอง แตบางโปรแกรมตองการใหระบแรงกระทาเปนจดเฉพาะทโหนดเทานน ดงนน ในกรณหลงน ในการวเคราะหตอง 'แบง' ชนสวนเพอสราง node ในตาแหนงนน ถาแรงกระทาเอยงทามมกบแกน ตองแยกเปนสวนประกอบแรงตามแนวแกน และ แนวดง ในสวนการระบแรงกระจายสมาเสมอจะทาไดไมยากนก อยางไรกตามปญหาจะเกดขนเมอแรงกระจายไมสมาเสมอ ตวอยางเชน แรงในคานทถายมาจากพนตามทแสดงในรปท 7-1 ความยาวของคานใหเปน ' L ' ในบางโปรแกรม (สวนนอย) จะคานวณนาหนกกระทาพนและถายลงบนคานโดยอตโนมต เพยงแคปอนขอมลนาหนกพนตอหนวยพนทเอง บางโปรแกรมสามารถระบแรงเปนสามเหลยม (triangular load) หรอ สเหลยมคางหม (trapezoidal load) บนคานได ในบางสถานการณ อาจมนาหนกกระทาทกระจายไมเปนเสนตรง ( เชน โคงพาลาโบลา ) หากโปรแกรมทมความสามารถสง จะสามารถใสนาหนกผานสมการได โดยทวไปจะกระทาโดยการแบงคานออกเปนหลาย ๆ สวน และระบแรงกระทาเปนจดหรอแรงกระจายสมาเสมอเฉพาะชนสวนยอยทแบงได โดยยงแบงมากเทาไหรกจะไดคาคาตอบทดขน สาหรบกรณการจาลองพนทงหมดในโครงสรางโดยใชชนสวนแผน (plate elements) เพอทจะแปลงนาหนงลงสคานดงรป 7-1 ซงสามารถทาไดซงทาใหการวเคราะหสะดวกขนโดยไมจาเปนตองทาการประมาณแรงกระทาบนคาน แตกมขอเสยเชนกนมากมาย เชนกน ประการแรก คอ โปรแกรมวเคราะหสวนมากไมม plate element ประการสอง ตองแบงยอยอลเมนตแผน (mesh) กอนททจะทางานวเคราะห ซงทาใหแบบจาลองมจานวนโหนดและอล

รปท 8.11


หนาท 8-10

เมนตมากขน เชน หากแบง 1 plates ออกเปน 10x10 ตอกน แบบจาลองจะม 11x11x100 = 12100 โหนด เพมมากขนเทยบกบกรณการวเคราะหโดยการถายนาหนกลงบนคาน ประการสาม แบบจาลองทมจานวนโหนดและอลเมนตมากขนไมเพยงจะใชเวลาในการวเคราะหมากขน แตยงจะมขอมลทสงออกมามากมายตามมา

สาหรบกรณเมอระบนาหนกกระทากระจายบนชนสวนทเอยง อาจทาไดในสองลกษณะทแตกตางกนตามทปรากฏในรปท 8.13 และ 8.14

รปท 8.12

รปท 8.13 รปท 8.14 ในรปท 8.14 แรงกระทามลกษณะทศทางตามแนวแกน Global axes สวนในรปท 8.13 แรงกระทามลกษณะตงฉากกบชนสวนวสด หรอ ตามแนวแกน Local axes โปรแกรมวเคราะหสวนใหญสามารถระบแรงกระทาทงสองประเภทไดดงทแสดงไว แตจะตองทาการคานวณขนาดนาหนกกระทาใหดตามทฤษฎการแตกแรง


หนาท 8-11

8.8 การจาลองวเคราะหระหวางสองมต และ สามมต

สาหรบโครงสรางทมความสมมาตร อาจทาการวเคราะหโดยพจารณาลดแบบจาลองในลกษณะเหมอนจรงสามมตเหลอเปนระนาบสองมต ตวอยางเชน โครงสรางสามมตทพจารณาตามทปรากฏในรปท 8.15 การวเคราะหสามารถกระทาเพยงในระราบ x-y ดงแสดงในรปท 15-2 ในการวเคราะหทวไป หากเปนไปไดควรพยายามแปลงโครงสรางสามมตใหเปนโครงสรางสองมต เนองจากไมเพยงงายในการจาลองโครงสราง แตยงสามารถ 'การจดการ' และวเคราะหสงอนๆอกมากมายไดอยางงายดายเมอเปรยบเทยบกบโครงสรางสามมต

รปท 8.15 มแรงกระทาในทศทาง x หากมการเพมเตมแรงกระทาประเภทเดยวกนในทศทาง Z กสามารถลดเหลอการวเคราะหสองมตในระนาบ YZ เชนเดยวกน จากนนกทาการรวมผลการวเคราะหในแตละทศทางแบบเวกเตอร โดยหากตราบเทาทโครงสรางยงมคณสมบตวสดเปนเชงเสนตรง

รปท 8.16

รปท 8.15


หนาท 8-12

8.9 การแบงยอยโครงสรางเพอการวเคราะห ในการวเคราะหโครงสรางขนาดใหญนนมกจะเปนไปไดทจะตองพจารณาเพยงสวนหนงของ

โครงสรางแทนทจะวเคราะหโดยทงหมด วธนจะมประโยชนในการลดแรงงาน คาใชจายและเวลาการวเคราะหทใชในการเตรยมขอมลของคอมพวเตอรและตความผลลพธ โดยในโครงสรางขนาดใหญ การวเคราะหทงโครงสรางในครงเดยวนน อาจเกนความสามารถของโปรแกรมหรอทรพยากรของคอมพวเตอรซงมจากด

เมอแยกสวนหนงของโครงสรางมาวเคราะห จะตองพจารณาขอบเขตเงอนไขของ 'โครงสรางยอย' อยางระมดระวง ใหตรงตามสภาพเงอนไขจรงในโครงสราง ดงตวอยางเชน พจารณาโครงสรางตอไปนตามทปรากฏในรปท 8.17

หากแยกวเคราะหเฉพาะชนบน จะไดผลตามทปรากฏดานลาง

รปท 8.17

รปท 8.18


หนาท 8-13

แรงปฏกรยาทไดจากผลการวเคราะหทแสดงไวดานบน จะแสดงเปนแรงกระทากบโครงสรางดานลาง ดงน

สงเกตวาในทโหนดซายสด มแรงแนวราบขนาด 25 kN โดยมาจาก 20 kN ทกระทาภายนอกทโหนดนนและแรง 5 kN จากแรงปฏกรยาของชนขางบน สาหรบโครงสรางทสมมาตร อาจจะดาเนนการวเคราะหโดยแบงยอยเพยงครงเดยว หรอ หนงในส โดยกาหนดเงอนไขขอบเขตในตาแหนงทแบงยอยใหตรงตามสภาพจรง ดงเชนกรณดงตอไปน คานตอเนองทมจานวนชวงคานเปนจานวนค

รปท 8.19

รปท 8.20

รปท 8.21


หนาท 8-14

คานตอเนองทมจานวนชวงคานเปนจานวนค

พจารณาระนาบกบคานค ตามทปรากฏในรปท 8.24 โครงสรางนสามารถถอด หลงจากกาหนดสมการขอบเขตทเหมาะสมดงทแสดงในรปท 8.25 โครงสรางกบ spans เลขคซงถกแสดงในรปภาพท 8.26 ทนคณจะตองระบเงอนไขขอบเขตของแกน x และใหแกน Z ทาใหไมสามารถหมน ณ จดกลาง beams ตามทปรากฏในรปท 8.27

รปท 8.22

รปท 8.23

8.24รปท


หนาท 8-15

รปท 8.25

รปท 8.26


หนาท 8-16

รปท 8.27

บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน

หนาท 9-1

บทท การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน

9 Introduction to plastic analysis

of structures

เนอหา 9.1 บทนา

9.2 ความสมพนธระหวางความเคน-ความเครยด: พฤตกรรมของวสด 9.3 หนาตดอลาสตก-พลาสตกรบแรงดด: พฤตกรรมของหนาตด 9.4 การวเคราะหโครงสรางโดยวธพลาสตก: พฤตกรรมของโครงสราง

วตถประสงค - สามารถวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกได

9.1

บทนา

การวเคราะหโครงสรางในบทกอนหนาน จะสมมตใหโครงสรางรบแรงโดยทเกดขนาดของหนวยแรงยงคงสภาพแบบอลาสตก และคานยงไมเกดการวบต อยางไรกตาม ในสภาพเปนจรง หากขนาดของแรงกระทาเกนกวากาลงของโครงสรางทจะสามารถรบไดกจะเกดการวบตขน การวเคราะหแบบพลาสตก จะเปนการวเคราะหเพอหาคากาลงของโครงสราง หรอ หาขนาดของแรงสงสดทกระทาตอโครงสรางกอนทจะเกดการวบต โดยโครงสรางทวเคราะหจะตองเปนโครงสรางชนดทมพฤตกรรมแบบเหนยว ในบทเรยนน จะไดทาการวเคราะหโครงสรางทมวสดเหลกเปนองคประกอบ

พจารณาคานตอเนองรปท 9.1 (ก) ในการวเคราะหการรบโมเมนตดดทหนาตดใดๆ จะทราบไดวา คาโมเมนตจะมคามากทสดทตาแหนงจดรองรบ ดงแสดงในรปท 9.1(ข) ดงนน เมอขนาดแรงแผกระจาย q เพมขนเรอยๆ จนวบต จะเกดความเสยหายทหนาตดทจด

ก) คานแบบอนดเทอรมเนทรบแรง q

A BL/2 L/2

q

-qL2/12-qL2/12

qL2/24

A BL/2 L/2

q

-qL2/12-qL2/12

qL2/24

(

(ข) ไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตก


หนาท 9-2

(ค) หนาตดคานเกดจดหมนไดพลาสตก C

A B

qu

-Mp

Mp

-Mp

C

A B

qu

C

A B

qu

-Mp

Mp

-Mp

จดหมนไดพลาสตก

(ง) ไดอะแกรมโมเมนตดดพลาสตก

รปท 9.1 คานแบบอนดเทอรมเนทพลาสตก รองรบกอน โดยหากหนาตดทาจากเหลกหรอวสดทมความเหนยวทหนาตดนน จะยงไมขาดออกจากกน แตจะไมสามารถรบแรงดดตอไปได สภาพหนาตดดงกลาวเรยกวา จดหมนพลาสตก (Plastic Hinge) และเรยกโมเมนตดดไดสงสดททาใหเกดจดหมนพลาสตกวา โมเมนตดดพลาสตก (Plastic moment, Mp) เมอหนาตดยงไมขาดและไมสามารถรบแรงดดตอไปได พฤตกรรมคานจงเปลยนไปเปนคานธรรมดา (Simply-supported beam) และคานจะรบแรง q เพมได แตการกระจายโมเมนตจะเปลยนรปแบบใหม (Moment redistribution) จนกระทงขนาดโมเมนตทจดกลางชวงพาดเทากบ โมเมนตดดพลาสตกทหนาตดนน ทาใหเกดจดหมนพลาสตกทกลางชวงพาด (ดงรปท 9.1(ค)) ซงสงเกตไดวา คานจะไมมเสถยรภาพ (แมวาจะยงไมแตกหกออกเปนชนๆ) ซงจะไมสามารถรบแรงเพมไดอกตอไป ขนาดของแรงดงกลาวเรยกวา แรงประลย (Ultimate load) และไดอะแกรมโมเมนตทภาวะดงกลาวแสดงในรปท 9.1(ง)

การวเคราะหเพอทจะหากาลงประลยของโครงสราง จะตองเรยนรถงพฤตกรรมของวสดเหลกเมอรบแรงตามแนวแกน (ระดบวสดซงถอวาเปนหนวยประกอบทยอยทสด) หลงจากนนจงนาพฤตกรรมวสดทไดมาทาการวเคราะหพฤตกรรมแบบหนาตดเพอหาขนาดของโมเมนตดดพลาสตก (ขนาดของโมเมนตททาใหหนาตดเกดการคราก (yield) ซงถอวาเปนการวเคราะหในลาดบทใหญขนตอจากระดบวสด) แลวจงวเคราะหในระดบโครงสราง (เปนการวเคราะหทใหญขนจากระดบหนาตดอกระดบหนง) เพอหาภาวะทโครงสรางเสยเสถยรภาพเมอเกดจานวนจดหมนพลาสตกทมากเกนไป ตอไป


หนาท 9-3

P

P

L

A

=P/A

/L

Elastic-plastic material

Elastic Plastic Strain hardening

P

P

L

A

=P/A

/L

Elastic-plastic material

Elastic P astic Strain hardeningl

y

Es y

จดขาด (1) (2) (3)

(ก สอบ) ) พฤตกรรมจรง (จากการทด

(ข) พฤตกรรมสมมต (ใชในการวเคราะห)

รปท 9.2 ความสมพนธระหวางความเคน-ความ เครยดของเหลก พฤตกรรมการรบแรงในระดบวสด จะไดจากการทดสอบโดยการใหแรงดงตามแนวแกน พรอมกบวดคาระยะยดท เกดขน ความสมพนธภายหลงจากการทดสอบไดนามาแสดงผลเปนกราฟความสมพนธระหวางความเครยด (Stress) และความเคน (Strain) ดงแสดงในรปท 9.2(ก) กราฟความสมพนธดงกลาวประกอบไปดวยสามสวนคอ (1) ชวงอลาสตก (2) ชวงพลาสตก และ (3) ชวงยดและแขงขน (strain hardening)

อยางไรกตามในการวเคราะหแบบพลาสตกจะนาพฤตกรรมทไดทดสอบมาแปลงใหเปนรปทงายกอน โดยทาการกาหนดใหใชความสมพนธทสมมต แตยงคงคามอดลสของยง Es (Young’s modulus) คาหนวยแรงคราก y (Yield stress) และคาความเครยดคราก y (Yield strain) ดงทไดจากการทดสอบ เปนกราฟดงแสดงในรปท 9.2(ข) กลาวคอ เมอหนวยแรงเพมขนจนมขนาดเทากบ หนวยแรงคราก หรอความเครยดเพมขนจนถงความเครยดคราก y ความเครยดจะเกดการยดเรอยๆ แตความเคนจะคงท หรอไมสามารถทจะรบแรงเพมขนไดอกตอไปในขณะทเหลกยงคงยดออกเรอยๆ เรยกความสมพนธทสมมตวา ความสมพนธแบบพลาสตกสมบรณ (Perfectly plastic model)

9.2 ความสมพนธระหวางความเคน-ความ เครยด: พฤตกรรมของวสด

2

1

Perfectly plastic material

2

1y

Es y

ความแตกตางจากทดสอบ 1.จดครากชดเจน 2.ไมมชวงยดและแขงขน (ปลอดภยมากขน)

Perfectly plastic material


หนาท 9-4

9.3 หนาตดอลาสตก-พลาสตกรบแรงดด: พฤตกรรมของหนาตด พจารณาหนาตดคานใดๆ รบโมเมนตดด M ระนาบของหนาตดทรบโมเมนตดดจะหมนดดรอบแกนสะเทน (Neutral axis, NA) การดดทหนาตดใดๆนน กเปรยบเสมอนการดงหรอการอดบนหนาตดดวยแรงทไมเทากน ขนาดของแรงจะทาใหเกดการยดและหดทไมเทากนโดยโดยจะมขนาดมากทสดทรมนอกหางจากแกนสะเทน เมอแรงโมเมนตดดเพมจาก 0 ไปเรอยๆ จนกระทงเตมกาลงทหนาตดจะรบโมเมนตดดได จะเกดการหมนดดดวยมมอนนต การวเคราะหหากาลงรบโมเมนตดดของหนาตด จะอาศยพฤตกรรมทไดจากการทดสอบในระดบวสดจากรปท 9.2(ข) ประกอบ ดงน

M

1 y

Plane section

remains plane

y y

1 2= y y 4>y2>1 2= y y 4>y

รปท 9.3 ไดอะแกรมความเครยด-ความเคนบนหนาตดคานใดๆ รบโมเมนตดดบวก 9.3.1 โมเมนตดดคราก (Yield Moment, My) คอ โมเมนตดดททาใหการหมนดดของหนาตดเกดการครากเรมแรก (ในสภาวะท 2 จากรปท 9.3 การครากจะเกดขนกอนทระยะทไกลทสดจากแกนสะเทน) ดงนน ทแนวใดๆ ใกลเขามายงแกนสะเทนความสมพนธระหวางความเคนและความเครยดยงคงอยในชวงอลาสตก หรอในสวนท (1) ของรปท 9.2(ข) จากสมการความเคนดด (flexural stress equation) ในสมการท 9.1 เมอแทนคา

yyMM , และc

IS จะไดสมการของโมเมนตดดคราก ดงแสดงในสมการ (9.2)

c

IM

(9.1)

SM yy (9.2) โดยท S คอ มอดลสหนาตดอลาสตก (Elastic section modulus) I คอ โมเมนตความเฉอย และ

c คอ ระยะทไกลจากแกนสะเทนมากทสดบนหนาตดคาน

M

1 y

Plane section

remains plane

y y

2>

Strain diagram

Stress diagram

N.A.

Com ssion pre

3

ไดอะแกรมความเครยด (หนาตดคานเปนระนาบตรง)

ไดอะแกรมความเคน ดง

อด

M1 < My M4 = Mp M2 = My M3 < Mp


หนาท 9-5

9.3.2 โมเมนตดดพลาสตก (Plastic Moment, Mp) เมอเกดการครากทระยะรมนอกสดของหนาตด หนาตดทระยะนนจะไมสามารถรบแรงไดตอไปและยดออกเรอยๆ (ตามรปท 9.2(ข)) อยางไรกตามทหนาตดคานระยะอนถดเขามาใกลแกนสะเทนจะยงคงรบแรงไดตอเนองจากหนวยแรงยงไมคราก โมเมนตดดบนหนาตดนนจงยงคงเพมขนไดอก จนกระทงทวทงหนาตดเกดการคราก ซงจะไมสามารถรบโมเมนตดดไดอกตอไป โมเมนตทขนาดดงกลาวเรยกวา โมเมนตดดพลาสตก (plastic moment) และทหนาตดจะเกดการหมนไดอนนต เรยกสภาวะของหนาตดดงกลาววา จดหมนพลาสตก (Plastic hinge) จากรปท 9.4 เมอหนาตดใดๆรบโมเมนตดดพลาสตกบวก แกนสะเทนจะแบงหนาตดสวนบน A2

เปนพนทแรงอด (Compression zone) และสวนลาง A1 เปนพนทแรงดง (Tension zone) เมอพจารณาสมดลของแรงตามแนวแกน จะได

CT และ โดยท ดงนน จะไดวา หรอ )2()1( AA 2/21 AAA )2(AC )1(AT

หาโมเมนตดดรอบแกนสะเทน จะได

21 CyTyM p (9.3) จะได แทนคา )2/(ACT

2

21 yyAM y

p

(9.4)

2

21 yyAZ

กาหนดให คอ มอดลสหนาตดพลาสตก (Plastic section modulus) โดยท y1

คอ ระยะจากแกนสะเทนถงจดศนยกลางแรงดง และ y2 คอ ระยะจากแกนสะเทนถงจดศนยกลางแรงดง จะได

ZM yp (9.5)

แกนสะเทน

รปท 9.4 ไดอะแกรมของแรงบนหนาตดรบโมเมนตดดพลาสตก


หนาท 9-6

9.3.2 คาตวประกอบรปราง (Shape factor, f) คอ อตราสวนระหวางโมเมนตดดพลาสตก และโมเมนตดดคราก ของหนาตดใดๆ ดงนน

S

Z

S

Z

M

Mf

y

y

y

p (9.6)

คาตวประกอบรปราง จะขนอยกบรปราง และขนาดของหนาตดคาน ดงแสดงในตวอยางท 1

ตวอยาง 1 วเคราะหหาโมเมนตดดคราก และโมเมนตดดพลาสตก และคาตวประกอบรปราง ของคานหนาตดรปตวทดงรป กาหนดคาหนวยแรงคราก y = 3500 kg/cm2

200 mm 25 mm

150 mm

50 mm

Step 1: คานวณหาตาแหนงของแกนสะเทน (ก) ตาแหนงแกนสะเทนในชวงอลาสตก (ข) ตาแหนงแกนสะเทนในชวงพลาสตก

y

mm

A

yAy

i

ii

110

)200)(25()50)(150(

)5.162)(200)(25()75)(50)(150(

y

พนทใตแกนสะเทน = พนทเหนอแกนสะเทน

mmy

yy

125

)200)(25()50)(150()50)((


หนาท 9-7

Step 2: คานวณหาโมเมนตดดคราก โมเมนตดดพลาสตก และคาตวประกอบรปราง (ก) โมเมนตดดคราก

42323 2073)5.3)(15)(5()15)(5(12

1)75.2)(5.2)(20()5.2)(20(

12

1cmI

ดงนน

mkN

c

IM yy

6596)100)(11(

)2073()3500(

(ข) โมเมนตดดพลาสตก

mkN

yyA

M yp

41562

)25.3()25.6()100(2

)5.2)(5()20)(5.2()3500(

)(2 21

(ค) คาตวประกอบรปราง

S

Z

S

Z

M

Mf

y

y

y

p

9.4 การวเคราะหโครงสรางโดยวธพลาสตก: พฤตกรรมของโครงสราง เปนการวเคราะหในระดบโครงสราง เพอคานวณหานาหนกกระทาสงสดทโครงสรางนน สามารถรบ

ได หรอ นาหนกมากทสดทโครงสรางเกดการวบต นนคอ แรงกระทาททาใหเกดจดหมนพลาสตกในจานวนมากพอททาใหโครงสรางไรเสถยรภาพ (Unstable) และเกดการวบต (Collapse) ในทสด วธการวเคราะหแบงเปน วธสมดล (Equilibrium method) วธงานเสมอน (Virtual work method)


หนาท 9-8

9.4.1 วธสมดล (Equilibrium method ) ในการวเคราะหจะอาศยทฤษฎขอบเขตของคาทตาทสด (Lower bound theorem) โดยใหไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบต เปนไปตามไดอะแกรมของโมเมนตดดอลาสตก และทาการวเคราะหหานาหนกสงสดจากไดอะแกรมชนสวนอสระ (Free body diagram) ทมจดหมนพลาสตกทหนาตดทมคาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก ตวอยาง 2 จากคานแสดงดงรป คานวณหา ขนาดของแรง P ททาใหคานเกดการครากและ เกดการวบต

26 /10220 mNy 1) การวเคราะหระดบวสด

- กาลงคราก (โจทยกาหนดให) 26 /10220 mNy

2) การวเคราะหระดบหนาตด

- โมเมนตดดคราก

mN

c

ISM y

yy

33.333,182/1.0

1.0*05.0121

10220 36

- โมเมนตดดพลาสตก

mN

bhyyAZM yy

yp

500,274

1.005.010220

42

21

26

2

3) การวเคราะหระดบโครงสราง

- ไดอะแกรมโมเมนตดด ไดอะแกรมโมเมนตดดชวงอลาสตก

LP

M4


หนาท 9-9

- แรงกระทาททาใหเกดโมเมนตดดสงสด

- ขนาดของแรง P ททาใหคานเกดการคราก (Py)

NL

MP y

y 7.666,362

33.333,1844

แทนคา M= My และ P= Py จะได

- ขนาดของแรง P ททาใหคานเกดการวบต (Pu) เนองจาก คานจะเกดจดหมนพลาสตกในตาแหนงทมคาโมเมนตดดสงสด นนคอ กลางชวง

พาด และจะเกดเพยงจดเดยว คานกจะวบต ดงนนจะแทนคา M=Mp และ P=Pu จะได

NL

MP p

u 000,552

500,2744

สาหรบตวอยางน คานเปนแบบเทอรมเนท เมอเกดจดหมนพลาสตกเพยงจดเดยว คานกจะวบต ดงนน จะไดอตราสวนระหวางแรงสงสดตอแรงคราก เทากบ อตราสวนระหวางโมเมนตดดพลาสตกตอโมเมนตดดคราก ดงแสดง

ตวอยาง 3 จากคานแสดงดงรป คานวณหา ขนาดของแรง q ททาใหคานคราก และ เกดการวบต

โมเมนตดดพลาสตก โมเมนตดดคราก

3) การวเคราะหระดบโครงสราง

- จากไดอะแกรมโมเมนตดดคาโมเมนตดดท มากทสดคอ

ขนาดของแรง q ททาใหคานเกดการคราก (qy)

29

128

L

Mq y

y = 29

128

L

Sq y

y


หนาท 9-10

ขนาดของแรง q ททาใหคานวบต (qu)

29

128

L

Mq p

u = 29

128

L

Zq y

y

เชนเดยวกนกบตวอยางท 2 คานเปนแบบเทอรมเนท เมอเกดจดหมนพลาสตกเพยงจดเดยว คานกจะวบต ดงนน จะไดอตราสวนระหวางแรงสงสดตอแรงคราก เทากบ อตราสวนระหวางโมเมนตดดพลาสตกตอโมเมนตดดคราก

ตวอยาง 4 จากคานแสดงดงรป คานวณหา ขนาดของแรง P ททาใหคานคราก และ เกดการวบต กาหนดให โมเมนตดดคราก = My และ โมเมนตดดพลาสตก = Mp

เปนคานคลายกบในตวอยางท 2 โดยทจด A เปนจดรองรบแบบยดแนน ซงเปนคานแบบอนดเทอรมเนททางสถต

3) การวเคราะหระดบโครงสราง คานแบบอนดเทอรมเนททางสถต ไดอะแกรมโมเมนตดดในชวงอลาสตกคานแบบอนดเทอรมเนท

ทางสถต คาโมเมนตดดมากทสดเกดขนทจด A

ทจด A มคาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก เกดจด หมนพลาสตกทจด A แตคานยงไมวบต

ทจด B มคาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก เกดจด หมนพลาสตกทจด B ทาใหคานเกดวบต

ไดอะแกรมโมเมนตดดทวบต โดยทจด A และ B มคา

โมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก


หนาท 9-11

ขนาดของแรง P ททาใหคานทหนาตด A เกดการคราก (Py) จากไดอะแกรมโมเมนตดดในชวงอลาสตกแทนคา M= My และ P= Py ในสมการโมเมนต

ดดทหนาตด A จะได

L

MP y

y 3

16

ขนาดของแรง P ททาใหคานวบต (Pu) จากไดอะแกรมโมเมนตดดทวบต โดยทหนาตด A และ B มคาโมเมนตดดเทากบ

โมเมนตดดพลาสตก และทหนาตดดงกลาวจะเกดจดหมนพลาสตก เมอพจารณาสมดลของคานจะได

คาอตราสวนนมคาเทากบ 1 ในกรณคานแบบดเทอรมเนททางสถต ดงแสดงในตวอยางท 2 และ 3

ตวอยาง 5 จากคานแสดงดงรป คานวณหา ขนาดของแรง q ททาใหคานวบต กาหนดให โมเมนตดดคราก = My และ โมเมนตดดพลาสตก = Mp 3) การวเคราะหระดบโครงสราง ไดอะแกรมโมเมนตดดในชวงอลาสตกคานแบบอนดเทอรมเนท

ทางสถต คาโมเมนตดดมากทสดเกดขนทจด A=B


หนาท 9-12

ทจด A และ B มคาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก และเกดเปนจดหมนพลาสตกทจด A แตคานยงไมวบต

จากนนทจด B มคาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก และเกดจดหมนพลาสตกทจด C ทาใหคานเกดวบต

ไดอะแกรมโมเมนตดดทวบต โดยทจด A B และ C ม คาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก

ขนาดของแรง q ททาใหคานทหนาตด A และ B เกดการคราก (qy) จากไดอะแกรมโมเมนตดดในชวงอลาสตกแทนคา M=My และ P=Py ในสมการโมเมนต

ดดทหนาตด A หรอ B จะได

2

12

L

Mq y

y

ขนาดของแรง q ททาใหคานวบต (qu) จากไดอะแกรมโมเมนตดดทวบต โดยทหนาตด A B และ C มคาโมเมนตดดเทากบ

โมเมนตดดพลาสตก และทหนาตดดงกลาวจะเกดจดหมนพลาสตก เมอพจารณาสมดลของคานจะได


หนาท 9-13

จากตวอยางท 4 และ 5 ซงเปนคานอนดเทอรมเนททางสถต ไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกไดถกคานวณขนเพอระบตาแหนง และลาดบการเกดจดหมนพลาสต อยางไรกตามการคานวณเพอสรางไดอะแกรมโมเมนตดดอ-ลาสตกคอนขางลาบาก และเสยเวลา นอกจากน จากตวอยางจะสามารถสงเกตเหนไดวาไดอะแกรมโมเมนตดดพลาสตกในขณะโครงสรางวบตจะมรปรางเดยวกนกบไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตก และทหนาตดทมคาโมเมนตดดสงสดในชวงอลาสตก จะมคาเทากบ โมเมนตดดพลาสตก และเกดจดหมนพลาสตกทจดนน หรอ อาจกลาวไดวา ไดอะแกรมของโมเมนตดดพลาสตกเมอโครงสรางวบตสามารถคาดเดาลวงหนาได หากทราบวาทหนาตดใดบนโครงสรางจะเกดคาโมเมนตดดมาก (ดงแสดงในตวอยางท 6-8 ตอไป) รปท 9.5 แสดงตาแหนงทคาดไดวาจะเกดโมเมนตสงไดซงทาใหเกดจดหมนพลาสตกไดตอไป

จดแรงกระทาเปนจด

จดเปลยนของหนาตดอยางทนท

จดรองรบชวงกลางคานตอเนอง

จดรองรบยดแนน

รปท 9.5 ตาแหนงทคาดไดวาจะเกดจดหมนพลาสตก


หนาท 9-14

ตวอยาง 6 ใหวเคราะหหานาหนกกระทาสงสดสาหรบคานดงรป กาหนดใหคาโมเมนตพลาสตกมคาเทากบ Mp

L/2 L/2

MP

P

B A C

ขนตอนท 1 สรางไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกทประกอบดวย (1) ไดอะแกรมของโมเมนตดดอสระและ (2) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา PL/4

MA

รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา

รปไดอะแกรมของโมเมนตดดอสระ

+C

B A

B A

ขนตอนท 2 สมมตกลไกของการวบต คานททาการวเคราะหจะเกดจดหมนพลาสตก 2 จด ในภาวะทโครงสรางเกดวบต โดยจดหมนพลาสตกจะเกด ณ ปลายยดของคาน และทจดนาหนกกระทาจดทกระทาตอโครงสราง และกลไกของการวบตทเกดขนคอ

Pu

C B A

กลไกการวบต


หนาท 9-15

ขนตอนท 3 จากกลไกวบตทสมมต ใหคาโมเมนตดด ณ จดดงกลาวจะมคาเทากบคาโมเมนตดดพลาสตก โดยไดอะแกรมของโมเมนตดดยงคงเหมอนกบไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกในขนตอนท 1 และทาการซอนทบกน จะได

รปไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบต

Mp/2

Mp Mp

PuL/4

C B A

ขนตอนท 4 วเคราะหหานาหนกกระทาสงสด โดยเปรยบเทยบรปไดอะแกรมของโมเมนตดดอลาสตกและพลาสตก เมอโครงสรางเกดการวบตในรป จะไดวาคานาหนกกระทาสงสด Pu สามารถหาไดจาก

42

LPMM uP

P หรอ LMP Pu /6

จะเหนวา คาตอบทไดตรงกบททาการวเคราะหในตวอยางท 4

ตวอยาง 7 ใหวเคราะหหานาหนกกระทาสงสด สาหรบคานตอเนองดงแสดง กาหนดใหคาโมเมนตพลาสตกของคานชวง AB เทากบ และชวง BC เทากบ 1.2 PM PM

1.2Mp Mp

C B A

P 0.5P 0.5P

4 m 3 m 3 m 3 m 4 m ขนตอนท 1 สรางไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกทประกอบดวย (1) ไดอะแกรมของโมเมนตดดอสระและ (2) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา

1.5P

2P

C B B

A

(1) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดอสระ


หนาท 9-16

+

MB

(2) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา

C B A

ขนตอนท 2 สมมตกลไกของการวบต คานททาการวเคราะหจะเกดจดหมนพลาสตก 2 จด ในภาวะทโครงสรางเกดวบต โดยจดหมนพลาสตกจะเกด ณ จดรองรบชวงกลางคานตอเนอง และทจดนาหนกกระทาจดทกระทาตอโครงสราง ดงนนกลไกของการวบตทอาจเกดขนได จะมอยมากกวา 1กรณโดย จะตองตรวจสอบการวบตของคานแตละชวง และคานชวงทใหคานาหนกกระทาสงสดทตาทสดจะแสดงการวบตของโครงสราง

Pu

C B A

กรณ 1 กลไกการวบตทเปนไปไดของชวง AB

0.5Pu 0.5Pu

C B A

กรณ 2 กลไกการวบตทเปนไปไดของชวง BC ขนตอนท 3 จากกลไกวบตทสมมต ใหคาโมเมนตดด ณ จดดงกลาวจะมคาเทากบคาโมเมนตดดพลาสตก โดยไดอะแกรมของโมเมนตดดยงคงเหมอนกบไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกในขนตอนท 1 และทาการซอนทบกน มสงทสงเกตเพมเตมคอ ทจดรองรบ B จะเปลยนขนาดหนาตด ทประกอบไปดวย


หนาท 9-17

หนาตดทมโมเมนตดดพลาสตกทไมเทากนน จดตอหมนไดแบบพลาสตกจะเกดเมอคาโมเมนตดด ณ จดนนมคาเทากบคาโมเมนตดดพลาสตก ของคานทแขงแรงนอยกวาหรอคานทมคาโมเมนตดดพลาสตกทนอยกวา ดงนนรปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยาจะมคาโมเมนตดด ณ จด B เทากบ MP

2Pu

กรณ 1 ไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตในชวง AB

Mp Mp

0.5Mp

C B A

Mp/3

Mp 1.2Mp

1.5Pu

A B C

กรณ 2 ไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตในชวง BC

ขนตอนท 4 วเคราะหหานาหนกกระทาสงสด โดยเปรยบเทยบรปไดอะแกรมของโมเมนตดดอลาสตกและพลาสตก เมอโครงสรางเกดการวบตในแตละกรณ

กรณ 1 เมอคานวบตในชวง AB จะไดวา คานาหนกกระทาสงสดในกรณนจะหาไดจาก

MP + MP/2 = 2Pu Pu = 0.75MP (ก)

กรณ 2 เมอคานวบตในชวง BC จะไดวา คานาหนกกระทาสงสดในกรณนจะหาไดจาก 1.2MP + MP/3 = 1.5Pu

Pu = 1.022MP (ข)

จากสมการท (ก) และสมการท (ข) จะเหนวา คา Pu ทนอยทสดมคาเทากบ 0.75MP นนคอการวบตทเกดขนของโครงสรางจะเกดเมอคานาหนกกระทามคาเทากบ 0.75 MP และโครงสรางจะวบตในชวง AB ซงกลไกการวบตและรปไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตจะเปนไปดงแสดง


หนาท 9-18

ตวอยาง 8 ใหวเคราะหหาคาตวประกอบนาหนกประลย สาหรบคานดงแสดง กาหนดให PM 2000 kN-m และนาหนกบรรทกใชงาน wP 400 kN และ ww 180 kN/m ขนตอน 1 สราง(2) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา

ไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกทประกอบดวย (1) ไดอะแกรมของโมเมนตดดอสระและ

กลไกการวบตและรปไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบต

0.458Mp

Mp Mp

0.792Mp

Pu 0.5Pu 0.5Pu

A B C

A B C

A

3 m 2 m 2 m 4 m

Mp 2Mp

C

PW 4PW ww

B

3.5P

6.5P

4.5w

A B B C

(1) รปไดอะแกรมของโมเมน ด ระตด อส


หนาท 9-19

P

+

Mp

2Mp

C B A

(2) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา

จะสงเกตไดวา คาโมเมนตดดปฏกรยา ณ จด B จะมคาเทากบ ซงเปนคาโมเมนตดดพลาสตกของคานชวงทแขงแรงนอยกวา

M

ขนตอนท 2 สมมตกลไกของการวบต แบงเปน 2 กรณคอ กรณ 1 กลไกของการวบตทเปนไปไดของคานชวง AB ซงสาหรบกลไกของการวบตทเปนไปไดของคานในชวง AB นน จดหมนพลาสตกจะเกด ณ ตาแหนงทแรงกระทาจด 4P กระทาตอโครงสรางเนองจากเปนตาแหนงทมคาโมเมนตดดสงสด

Pu 4Pu

C B A กรณ 1 กลไกการวบตทเปนไปไดของชวง AB กรณ 2 กลไกของการวบตทเปนไปไดของคาน ในชวง BC จดหมนพลาสตกจะเกด ณ ตาแหนง x ทไมรคาจากปลาย C เนองจากตาแหนงทเกดโมเมนตดดสงสดภายในชวง BC จะขนกบขนาดของนาหนกกระจายแผทกระทาตอโครงสรางและชวงความยาวของคาน wu

C B A

x

กรณ 2 กลไกการวบตทเปนไปไดของชวง BC


หนาท 9-20

c

ขนตอนท 3 และ 4 จากกลไกวบตทสมมต ใหคาโมเมนตดด ณ จดทเกดจดหมนพลาสตกจะมคาเทากบคาโมเมนตดดพลาสตก และวเคราะหหาคาตวประกอบนาหนกประลย โดยเปรยบเทยบรปไดอะแกรมของโมเมนตดดอลาสตกและพลาสตก เมอโครงสรางเกดการวบตในแตละกรณ กรณ 1 กลไกของการวบตทเปนไปไดของคานชวง AB

2Mp upP PMM 5.6275.1 2Mp

Mp pu MP 577.0 1.75Mp

)2000(577.0

kN 8.1153

A B C

ไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตในชวง AB (1)

คาตวประกอบนาหนกประลย มคาเทากบอตราสวนระหวางคานาหนกกระทาสงสดและคานาหนกกระทาใชงาน

885.2400

8.1153

w

uc P

P (ก)

กรณ 2 กลไกของการวบตทเปนไปไดของคานชวง BC Mp

(2) ไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตในชวง BC

3wux – wux2/2

Mp

xMp/6

Wu

Mp

รปอสระของคานในชวง BC เมอเกดการวบต

3wu - Mp/6

x

3wu + Mp/6


หนาท 9-21

หาตาแหนง x ทเกดจดตอหมนไดแบบพลาสตกได โดยพจารณารปอสระของคานชวง BC เมอโครงสรางเกดจดตอหมนไดแบบพลาสตก ณ จด B ตาแหนง x นจะมคาแรงเฉอนเทากบศนย และโมเมนตดดสงสดซงจากรปดงกลาวจะไดวา

u

p

u

pu

w

M

w

Mw

x6

36

3

(ข)

และจากไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตในชวง BC จะได

23

6

2xwxwM

xMuup

p (ค)

แทนคาสมการท (ข) ลงในสมการท (ค) จะได

2

63

2633

663

u

pu

u

pup

p

u

p

w

Mw

w

MwM

M

w

M

03243

22 p

up

u

Mw

Mw

8318

pu

Mw

pp MM 324.0,10532.9 3

)2000(324.0),2000(10532.9 3 19.1, 647.6 kN/m

คา จะตองมคาเทากบ 647.6 kN/m เนองจากคา 19.1 นอยกวานาหนกบรรทกใชงาน

ดงนน uw

60.3180

6.647c (ง)

จากสมการท (ก) และ (ง) จะไดวา c = 2.885 ซงจะไดนาหนกทกระทาตอโครงสรางและรป

ไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางเกดการวบตในชวง AB ดงแสดง


หนาท 9-22

519.3 kN/m 1154 kN 4616 kN

4000

4000

1444

2000 1539

กลไกการวบตและรปไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบต

8.4.2 วธงานเสมอน (Virtual work method) เมอคานมคาดกรของความเปนอนดเทอรมเนท (DI) มากๆ จะทาใหการวคราะหโดยวธสมดลทาไดคอนขางลาบากและ เสยเวลา โดยเฉพาะโครงขอแขงซงไมสามารถใชหลกการซอนทบกนของไดอะแกรมโมเมนตดดได ในวธงานเสมอน จะอาศยทฤษฎขอบเขตของคาทสงทสด (Upper bound theorem) โดยจะสมมตรปแบบกลไกการวบต ทสามารถเกดขนไดมากอน อาจมมากกวา 1 รปแบบ จาเปนตองคาดเดาไดวาตาแหนงไหนจะเกดจดหมนพลาสตกได โดยจานวนจดหมนพลาสตกจะตองมากพอททาใหโครงสรางวบตลง การคานวณหาคานาหนกบรรทกสงสด จะอาศยการแกสมการโดยหลกการงานเสมอนของการวบตในแตละกรณ โดยรปแบบทใหคานาหนกบรรทกสงสดมคานอยทสด คอ นาหนกประลยทแทจรงของโครงสราง ในการวเคราะหสามารถสรปเปนขนตอนได ดงน

1. สมมตกลไกการวบตในรปแบบทเปนไปไดตางๆ 2. คานวณหานาหนกบรรทกสงสดในแตละรปแบบโดยสมการอนรกษพลงงาน 3. ทาการเปรยบเทยบคานาหนกบรรทกสงสดทคานวณไดในแตละกรณ โดยคานาหนกบรรทก

สงสด คอ คานาหนกบรรทกในกรณทใหคานอยทสด


หนาท 9-23

ตวอยาง 9 จากคานตวอยาง 4 คานวณหา ขนาดของแรง P ททาใหคานเกดการวบตโดยวธงานเสมอน

1. สมมตกลไกการวบตในรปแบบทเปนไปได (มกรณเดยว)

2. คานวณหานาหนกบรรทกสงสดในแตละ

รปแบบโดยสมการอนรกษพลงงาน

งานเสมอนภายนอก = งานเสมอนภายใน

ตวอยาง 10 คานวณหา ขนาดของแรง P ททาใหคานเกดการวบตโดยวธงานเสมอน ขนตอน 1 สมมตกลไกการวบตในรปแบบทเปนไปได

คานจะวบตเมอเกดจดหมนวางเรยงกน 3 ตาแหนง โดยจดทสามารถเกดจดหมนพลาสตกมอย 3 ตาแหนงคอ A B และ C (จด D เปนจดหมนไดเดม) ดงนน จะมอย 3 กรณทเปนไปไดในการเกดการวบต ดงน


หนาท 9-24

กรณ 1

กรณ 3 กรณ 2 ขนตอน 2 คานวณหานาหนกบรรทกสงสดในแตละรปแบบโดยสมการอนรกษพลงงาน งานเสมอนภายนอก = งานเสมอนภายใน ขนตอน 3: แรงกระทาสงสด

กรณ 1

กรณ 2

กรณ 3

เปรยบเทยบจากทงสามกรณ คาแรงกระทาทนอยทสดคอ คาแรงกระทาสงสดททาใหโครงสรางวบต นนคอ

L

MP p

u

5.2 คานจะวบตในกรณ 3

ตวอยาง 11 วเคราะหหานาหนกกระทาสงสดของคานตอเนองดงรป โดยกาหนดใหคา Mp = 600 kN-m

4 m 4 m 6 m 6 m 4 m 4 m

1.5P

A B C

P P

D Mp Mp 1.5Mp


หนาท 9-25

ขนตอน 1: สมมตกลไกการวบต

Pu (ก) กลไกการวบตกรณ 1 (ข) กลไกการวบตกรณ 2 ขนตอน 2: คานวณนาหนกกระทาสงสดในแตละกรณ กรณ 1

kN

MP

MMP

WW

pu

ppu

ie

450)600(75.0

75.0

)()2(2)4(2

กรณ 2

kN

MP

MMMP

WW

pu

pppu

ie

3.333)600(556.0

556.0

)()2(5.1)()6(5.1

ขนตอน 3: นาหนกแรงกระทาสงสด เปรยบเทยบจากทงสองกรณ นาหนกกระทาสงสด kNPu 3.333 ซงเปนคาทนอยกวา ดงนน ทภาวะประลย นาหนกทกระทาบนคานคอ

A B C

Pu

D

2

2

1.5Pu

A B C D

2

4 4

6

500 kN

A B C

333.3 kN 333.3 kN

D


หนาท 9-26

ตวอยาง 12 วเคราะหหานาหนกกระทาสงสดของคานตอเนองดงรป กาหนดใหคา Mp = 3,000 kN-m P ขนตอน 1: สมมตกลไกการวบต

(ก) กลไกการวบตกรณ 1

(ข) กลไกการวบตกรณ 2 ขนตอน 2: คานวณนาหนกกระทาสงสดในแตละกรณ กรณ 1

pu

ppu

ie

Mx

x

xP

xM

xMxP

WW

6

6

6.0

1

66

6)6)((

2

1)2.0(

แทนคา x = 2.486 ม. ซงเปนตาแหนงทคาแรงเฉอนเทากบ ศนย จะได

kN

MMP ppu

4857)3000(619.1

619.1)486.2(6

)486.2(6

)486.2(6.0

1

w=0.2P B A C

Mp 6 m 3 m 3 m

1.2Mp

w=0.2Pu B A C

x

x คอ ระยะทเกดคาโมเมนตดดสงสดบนคานชวง AB

x x 6

x6

6

Pu

B A C 3

2


หนาท 9-27

กรณ 2

kN

MP

MMMP

WW

pu

pppu

ie

4600)3000(533.1

533.1

)(2.1)2(2.1)()3)((

ขนตอน 3: แรงกระทาสงสด เปรยบเทยบจากทงสองกรณ นาหนกกระทาสงสด kNPu 4600 ซงเปนคาทนอยกวา ดงนน ทภาวะประลย นาหนกทกระทาบนคานคอ

4600 kN

ตวอยาง 13 คานวณหา ขนาดของแรง P ททาใหโครงขอแขงเกดการวบตโดยวธงานเสมอน ขนตอน 1 สมมตกรณวบต

กรณ 1

กรณ 3 กรณ 2

w=920 kN/m B A

Mp Mp Mp


หนาท 9-28

ขนตอน 2 คานวณหาแรงสงสดในแตละกรณจากสมการงานเสมอน

กรณ 2

กรณ 3

กรณ 1 ขนตอน 3: แรงกระทาสงสด เปรยบเทยบจากทงสามกรณ คาแรงกระทาทนอยทสดคอ คาแรงกระทาสงสดททาใหโครงสรางวบต นนคอ

L

MP p

u

3 คานจะวบตในกรณ 3


หนาท 9-29

แบบฝกหดทายบท การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน ฝ9.1 คานวณหาโมเมนตดดคราก และโมเมนตดดพลาสตก กาหนดใหคาหนวยแรงคราก y = 2,400 kg/cm2 12 mm

ฝ9.2 วเคราะหนาหนกสงสด Pu ของคานดงรป โดยวธสมดลและวธงานเสมอน กาหนดให Mp = 120 kN-m ฝ9.3 วเคราะหนาหนกสงสด Pu ของคานดงรป โดยวธสมดลและวธงานเสมอน กาหนดให Mp = 120 kN-m

50 mm 200 mm

100 mm

15 mm

400 mm

ผนงทกดานหนา 3.2 มม.

2 m 2 m 2 m 2 m

A B C

P

Mp

2P

P

2P

P

2 m 1.5 m 2.5 m

A B C D Mp


หนาท 9-30

ฝ9.5 วเคราะหนาหนกสงสด Pu ของคานดงรป โดยวธสมดลและวธงานเสมอน กาหนดให Mp = 120 kN-m ฝ9.6 วเคราะหนาหนกสงสด wu ของคานดงรป โดยวธสมดลและวธงานเสมอน กาหนดให Mp = 200 kN-m ฝ9.7 วเคราะหหานาหนกกระทาสงสดของโครงขอแขงโดยวธงานเสมอน กาหนดให Mp = 300 kN-m

5 m 3 m 3 m 3 m 2 m

A B C

P

Mp 2Mp

1.6P 0.8P

5 m 5 m

B w

2w

2Mp Mp A C

3 m 2m 3 m

200 kN

4 m

C

A

B

D Mp

Mp

Mp

100 kN

100 kN

3 m

ค านวณหาการเปลยนรปของโครงขอหมน (ค านวณหาวา D เคลอนทไปเทาไหร ) 1. ก าหนด Node, Element และ Degree of freedom

1. ก าหนด Node No. 2. ก าหนด Element No. 3. ก าหนด Dof No. (เรยงจาก Dof ทมความอสระ)

ขอสงเกต Degree of freedom ของ node ของโครงสรางแตละชนดจะตางกน ตามธรรมชาตของการรบแรงและการเปลยนรปจรงของโครงสรางนน ๆ กรณปญหาโครงขอหมน หรอ truss จะมการรบแรงและการเปลยนรปทเกดขนตามแนวแกนเทานน (ไมมแรงดด หรอ เกดการดดโคง) ดงนน ใน 1 node จงม 2 dofs. ซงตางจาก beam และ frame ทม 2 dofs และ 3 dofs. ตามล าดบ 2. ค านวณหา การเปลยนรปของโครงขอหมน ท node “D” ในทศทาง dof. ท 1 และ 2 ดงรป ดานบน จากสมการความสมพนธระหวางแรงทกระท าบนโครงสรางและการเปลยนรปทเกดขน

dSP หรอ PSd1

P คอ แรงภายนอกทกระท าตอโครงสราง S คอ stiffness ของโครงสราง d คอ การเปลยนรปของโครงสราง

5 m

40 kN

E = 200 Gpa

A (all members) = 2000 mm2

8

C

A B

D

5 m

80 kN

y

D’

X

#1

#2

#3

7

3

4

5

6

1

2

Y

3

2 1

4

ขอสงเกต สมการขางตนเปนสมการของโครงสราง (ชนสวนทงหมด) ซงประกอบไปดวย 3 elements ดงรป ดงนน stiffness matrix ของโครงสรางจงเปน stiffness ทตองรวมจาก stiffness จากของทง 3 elements ประกอบกน 2.1 ค านวณหาแรงกระท าภายนอกตอโครงสราง หรอ P Matrix แรงกระท าภายนอก จะพจารณาวา มแรงภายนอกกระท าท degree of freedom ทไดก าหนดไวตามขอ 1 ทไหนบาง จากรปจะเหนวา มแรง 40 k กระท าในทศตรงขามกบ dof ท 1 และมแรง 80 k กระท าในทศทางเดยวกบ dof ท 2 โดยสามารถเขยนเปน matrix ของแรงกระท าภายนอกไดวา

P =

8

7

6

5

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

=

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

80

40

ขอสงเกต จะมตวเลขดานขางของ matrix ทแสดงต าแหนงของ degree of freedom เอาไวดวย 2.2 ค านวณหา stiffness matrix ของโครงสราง หรอ S จากทไดกลาวขางตน วา โครงสรางนนประกอบไปดวย 3 elements ดงนน stiffness ของโครงสรางจงประกอบดวย stiffness ของทง 3 elements วธการค านวณหา stiffness ของโครงสราง จะค านวณหา stiffness ของแตละ element เสยกอน แลวจงน ามารวมกนภายหลง (Assembly)

คา Stiffness Matrix และ element ใดๆ ทเอยงท ามม

2

4

3

Node แรก

Node หลง

X

Y

1

4

3

2

1

4321

22

22

22

22

SCSSCS

CSCCSC

SCSSCS

CSCCSC

L

EATkTK

T

จากสมการขางตน คา C คอ Cos และ S คอ Sin โดยทคามม เปนมมทวดจากแกน X (global) ไป x (local) หรอดจาก ขนาดมม dof ท 1 และจะมคาเปนบวกเมอมทศหมนทวนเขมนาฬกา (ตามกฏมอขวา) อนง ตวเลขทแสดงดานบนและขวาของ stiffness แสดงต าแหนง degree of freedom ของ element 2.2.1 Element#1 L = 5 m. = 0 , Cos = 1 และ Sin = 0

ดงนน

4

3

2

1

0000

02.002.0

0000

02.002.0

4321

EATkTKT

2.2.2 Element#2 L = 7.07 m. = +45 , Cos = 0.707 และ Sin = 0.707 ดงนน

4

3

2

1

071.0071.0071.0071.0

071.0071.0071.0071.0

071.0071.0071.0071.0

071.0071.0071.0071.0

4321

EAK

3

3

Node แรก

Node หลง

1

2

Node แรก #1

4

Global

1

2

4

#1

Global

7 8 1 2

7

8

1

2

3 4 1 2

3

4

1

2

Node หลง

2.2.3 Element#3 L = 5 m. = +90 , Cos = 0 และ Sin = 1 ดงนน

4

3

2

1

2.002.00

0000

2.002.00

0000

4321

EAK

ขอสงเกต เนองจากทก element มคา E และ A เทากน จงสามารถก าหนดเปนคาคงทได 2.2.4 รวม stiffness ของทง 3 elements เปน stiffness ของโครงสราง กอนทจะท าการรวม stiffness เขาดวยกนนน ตองท าการเปรยบเทยบ degree of freedom ของแตละ element ในหวขอ 2.2.1 -2.2.3 กบ degree of freedom ของโครงสรางในหวขอ 1 กอน ซงแสดงดวยตวเลขถดไปของดานบนและดานขาง matrix

2

1

2707.00707.0

0707.02707.0

21

AES

3.ค านวณ d dSP

2

1

2707.00707.0

0707.02707.0

80

40

d

dAE

.......

......1

2

1

AEd

d Ans.

1

Node หลง 3

5 6 1 2

5

6

1

2

2

#1

Node แรก

4

Global

S =

071.0071.0

071.0271.0

8

7

6

5

4

3

2

1

จากสมการความสมพนธแรงกบระยะเคลอนท

P = S d จะได

y

x

y

x

y

x

CP

CP

BP

BP

AP

AP

P

P

8

7

6

5

4

3

2

1

80

40

=

0

0

0

0

0

0

8

7

6

5

4

3

2

1

d

d

d

d

d

d

d

d

แยกออกเปน 1.) ค านวณ d1,d2

80

40=

11S

2

1

d

d

2

1

d

d=

AE

1

2.) ค านวณหา Reactions

y

x

y

x

y

x

CP

CP

BP

BP

AP

AP

8

7

6

5

4

3

=

2

1

d

d

S12

S22

S11

S21

1 2 3 4 5 6 7 8

S12

S22

S11

S21

S21

เพมเตมการก าหนด degree of freedom ในหวขอท 2.2.1 ถง 21.2.3 สามารถทจะก าหนดเลข degree of freedom ทแตกตางได ทงนขนกบการก าหนดทศทางของแกน Local (หรอการก าหนดต าแหนงโหนดแรก) ดงน 2.2.1 Element#1 L = 5 m. =180 , Cos = -1 และ Sin = 0 ดงนน

4

3

2

1

0000

02.002.0

0000

02.002.0

4321

EATkTKT

2.2.2 Element#2 L = 7.07 m. =(180+45) , Cos = -0.707 และ Sin = -0.707 ดงนน

4

3

2

1

071.0071.0071.0071.0

071.0071.0071.0071.0

071.0071.0071.0071.0

071.0071.0071.0071.0

4321

EAK

3

4

Node แรก Node หลง #1 1

2

1 Node แรก

Global

Node หลง 3

2

4 #1

Global

1 2 7 8

1

2

7

8

1 2 3 4

1

2

3

4

ตางกบครงแรกตรงการก าหนดต าแหนง node แรก

สงเกตวาเปลยนจากเดม



2.2.3 Element#3 L = 5 m. =(180+90) , Cos = 0 และ Sin = -1 ดงนน

4

3

2

1

2.002.00

0000

2.002.00

0000

4321

EAK

2.2.4 รวม stiffness ของทง 3 elements เปน stiffness ของโครงสราง

2

1

2.0071.000071.00

0071.000071.02.0

21

AES

2

1

271.0071.0

071.0271.0

21

AES

สงเกตไดวา ได stiffness ของ โครงสราง เหมอนเดม {S}

3

4

Node หลง

#1

Node แรก 1

2

Global

1 2 5 6

1

2

5

6



chapter 1: basic concept in the analysis of statically … · 2013-08-25 · 1.2...

Documents