Bölüm 4

Zamana Bağlı Isı İletimi

Heat and Mass Transfer: Fundamentals & ApplicationsFourth Edition

Yunus A. Cengel, Afshin J. Ghajar

McGraw-Hill, 2011

Hazırlayan:

Yrd.Doç.Dr. Nezaket Parlak

2

Bu Bölümün Amaçları:

• Yerel sıcaklık değişiminin ihmal edilebildiği ve zamana göre

değişimi neredeyse üniform olduğunda, basitleştirilmiş yığık

çözümlemenin uygulanabilirliği değerlendirilebilmelidir.

• Değişkenleri ayırma metodu kullanılarak kartezyen,

silindirik ve küresek geometrilerde zamana bağlı tek

boyutlu iletim problemlerinin analitik çözümleri elde

edilebilmeli ve tek terim çözümünün genellikle uygun bir

yaklaşım olduğunun sebebi araştırılabilmelidir.

• Benzerlik değişkenleri kullanılarak büyük ortamlarda

zamana bağlı iletim problemleri çözülebilmeli, zamana ve

açık yüzeye olan uzaklığa bağlı olarak sıcaklık değişimi

tahmin edilebilmelidir.

• Çarpım çözüm yaklaşımı kullanılarak çok boyutlu zamana

bağlı iletim problemlerinie çözüm getirilebilmelidir.

3

YIĞIK SİSTEM ÇÖZÜMLEMESİ

Isı geçişi çözümlemelerinde,

bazı cisimlerin ısı geçişi işlemi

boyunca iç sıcaklığı üniform

kalan bir yığın gibi davrandığı

gözlenir.

Bu tür cisimlerin sıcaklığının

yalnız zamanın fonksiyonu

T(t) olarak değiştiği kabul

edilebilir.

Bu idealleşmeyi kullanan ısı

geçiş çözümlemesi yığık

sistem çözümlemesi olarak

adlandırılır.

Fırına konulmuş bakır bir top,

heryerinde sıcaklıkları eşit

olduğundan, yığık sistem olarak

görülebilir fakat bir et parçası

içindeki sıcaklık üniform değildir.

4

İntegrali ;

t = 0 ‘da

t = t ‘da Yığık sistem

çözümlenmesindeki geometri

ve parametreler

Zaman

sabiti

dt süresince cisme

olan ısı geçişi

dt süresince

cismin

enerjisindeki

artış

T = Ti

T = T(t)

5

Farklı zaman sabitleri (b) için

sıcaklığın zamanla değişimi

-Zaman ilerledikçe yığık sistemin

sıcaklığı çevre sıcaklığına yaklaşır.

• Bu denklem herhangi bir t

anında, belirli bir T(t) sıcaklığa

erişebilmek için gerekli t

zamanını bulma imkanı verir.

• Cismin sıcaklığı T çevre

sıcaklığına üstel olarak yaklaşır.

• Cismin sıcaklığı T başlangıçta

hızlıca değişir, fakat daha

sonraları iyice yavaşlar. Büyük

b değerleri cismin kısa

zamanda çevre sıcaklığına

yaklaşacağını gösterir. B üssü

ne kadar büyük olursa

sıcaklıktaki azalma o kadar

yüksek olur. B üssü yüzey alanı

ile doğru, ancak cismin kütlesi

ve özgül ısısı ile ters orantılıdır.

• Büyük özgül ısıya sahip daha

büyük bir kütleyi ısıtmak veya

soğutmak uzun zaman alır.

6

Cisim T sıcaklığına

ulaştığında ısı geçiş miktarı

maksimuma ulaşır.

Bir t anında, T(t) sıcaklığı

bilindiğinde cisim ile çevresi

arasındaki taşınım ısı geçiş hızı;

t = 0’dan t anına kadar olan zaman

aralığı üzerinden cisim ile çevre

ortam arasındaki toplam ısı geçişi:

Cisim ile çevresi arasındaki

maksimum ısı geçiş hızı:

7

Yığık Sistem Çözümlemesinin Ölçütü

Yığık sistem çözümlemesi

uygulanabilirliği

Eğer Bi 0.1, sıcaklığın cisim

içinde konumunun önemsiz olduğu

(Çevre sıcaklık farkları (T −T)

birbirlerinin %5 içerisinde kalır) ve

üniform olduğu kabul edilir.

Karakteristik

uzunluk

Biot sayısı

Cisim yüzeyinde taşınım

Cisim içerisinde iletim

Cisim içerisindeki iletim direnci

Cismin yüzeyindeki taşınım direnci

8

9

Yüksek ısıl iletkenlikli

ve düşük taşınım

katsayılı küçük

cisimlerin yığık sistem

çözümlemesi ölçütünü

sağlaması gerekir.

Katı bir cisme olan ısı geçişi ile bir

adaya yolcu trafiği arasında benzerlik

bulunur.

Taşınım katsayısı h yüksek ve k düşük

olduğu zaman, büyük bir katı cismin iç

ve dış bölgeleri arasında büyük

sıcaklık farkı oluşur.

10

Örnek: Termokupullarla ölçme

11

Örnek: Termokupullarla ölçme, devamı

12

Örnek: Ölüm saatini tahmin etme

13

BÜYÜK DÜZLEM DUVAR, UZUN SİLİNDİR VE

KÜRELERDE YERE VE ZAMANA BAĞLI ISI İLETİMİ

Bu bölümde düzlem levha, silindir ve küre için

zamana ve konuma bağlı, tek boyutlu problemler

ele alınacaktır.

İçinde ısı geçişinin

tek boyutlu olduğu

basit geometriler

Yüzeylerinden taşınıma açık bir düzlem

duvarda Ti >T Durumu için zamana

bağlı sıcaklık grafikleri

14

Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denkleminin

boyutsuzlaştırılması

Diferansiyel denklem:

Sınır şartları:

Başlangıç şartı:

Boyutsuz diferansiyel denklem:

Boyutsuz sınır şartları:

Boyutsuz başlangıç şartı:

15

Boyutsuzlaştırma tek boyutlu

ısı iletim probleminde

bağımsız değişken sayısını

8’den 3’e indirir ve sonuçların

sunumunda büyük kolaylıklar

sağlar.

Boyutsuz sıcaklık

Merkeze olan boyutsuz uzunluk

Boyutsuz ısı geçiş katsayısı, Biot sayısı

Boyutsuz zaman, Fourier sayısı

16

Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi probleminin

tam çözümü

17

Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi probleminin

tam çözümü

Düzlem duvar, silindir ve küre için;

18

Zamana bağlı ısı iletim

problemlerinin analitik

çözümleri, genellikle sonsuz

serileri ve dolayısıyla belirli bir

konum ve anda sıcaklığı

hesaplamak üzere sonsuz

sayıda terim bulmayı gerektirir.

Yandaki şekilde görüldüğü gibi n

ve lamda sayısı arttıkça üstel

olarak azalan fonksiyondan

dolayı terimler giderek azalır.

Bu nedenle boyutsuz sıcaklığı

hesaplamak için sonsuz serinin

genellikle ilk birkaç teriminin

bulunması yeterlidir.

19

Yaklaşık analitik ve grafik çözümler

İlk terim yaklaşımı ile çözüm;

Seri çözümlerinde yer alan terimler zaman arttıkça hızla yakınsar ve

> 0,2 için serilerin ilk terimi alınıp diğerleri ihmal edildiğinde %2’nin

altında bir hatayla çözüm sonuçlanır.

20

21

(a) Orta düzlem sıcaklığı

Zamana bağlı sıcaklık ve ısı geçişi grafikleri

(Heisler ve Grober) Ti başlangıç sıcaklığına sahip iki

tarafında h taşınım katsayısı ile T sıcaklığına sahip 2L

kalınlıklı bir düzlem duvar için zamana bağlı sıcaklık ve ısı

geçişi grafikleri

22

(b) Sıcaklık dağılımı

23

(c) Isı geçişi

24

Düzlem levhada, silindirde ve kürede herhangi bir konumda

boyutsuz sıcaklıklar:

Belirli yüzey sıcaklığı, sonsuz h taşınım katsayısıylaT sıcaklığındaki bir

çevreye olan taşınım durumuna karşılıktır.

Sonlu taşınım katsayısı Sonsuz taşınım katsayısı

25

Belirlenen bir zamana kadar olan

toplam ısı geçiş kesri Q/Qmaks

Gröber grafikleri kullanılarak

bulunabilir.

26

• Fourier sayısı, cisim

içerisinde iletilen ısının

depolanan ısıya oranının

bir ölçütüdür.

• Büyük Fourier sayısı,

ısının cisim içerisinde

daha hızlı yayıldığını

gösterir.

t zamanındaki Fourier

sayısı o zamanda iletilen

ısı miktarının depolanan

ısı miktarına oranı olarak

görülebilir.

Fourier sayısının önemi

L3 hacimli cismin L uzunluğu

Boyunca iletilen ısının hızı

L3 hacimli cisimde ısı depolama

hızı

27

Örnek: Yumurtanın kaynatılması

28

Örnek: Pirinç plakanın fırında ısıtılması

29

Örnek: Pirinç plakanın fırında ısıtılması, devamı

30

Örnek: Uzun silindirik paslanmaz çelik milin soğutulması

31

Örnek: Uzun silindirik paslanmaz çelik milin soğutulması, devamı

32

YARI-SONSUZ KATILARDA ZAMANA

BAĞLI ISI İLETİMİ

Yarı-sonsuz bir cisim

Yarı-sonsuz katı: Tek bir düzlem

yüzeyi olan ve diğer doğrultularda

sonsuza uzanan idealleştirilmiş

cisimdir. Bu idealleştirilmiş cisim,

yüzeydeki ısıl şartlar sebebiyle

yüzeye yakın oluşan sıcaklık

değişimini göstermek için kullanılır.

Yerküre, yüzeyinin yakınındaki

sıcaklık değişimleri hesaplanırken

yarı-sonsuz cisim olarak

düşünülebilir.

Kalın bir duvarda eğer yüzeylerden

birinin yakınındaki bölgede sıcaklık

değişimiyle ilgileniliyor ve diğer

yüzey herhangi bir etkiye uzak ise,

bu duvar yarı-sonsuz olarak

modellenebilir.

Isının cisim içinde derinlere nüfuzu için

yeterli zaman olmadığı için çoğu cisimler

kısa zaman diliminde yarı-sonsuz katı

olarak modellenir, ısı geçişi hesabına

kalınlık katılmaz.

33

Isı iletimi denkleminin

türevlerindeki değişkenlerin

zincir kuralıyla dönüşümü.

Yüzeyde Ts sabit sıcaklığı için analitik çözüm

Hata

fonksiyonu

Tamamlayıcı hata

fonksiyonu

Benzerlik değişkeni:

Başlangıç şartı:

Sınır şartları:

Diferansiyel denklem:

34

Hata fonksiyonu, değeri 0 ila 1

arasında değişen ve aynen sinüs ve

tanjant gibi standart bir matematiksel

fonksiyondur.

Tamamlayıcı hata fonksiyonu

35

Yüzeydeki

farklı sınır

koşulları için

analitik

çözümler

36

Yüzeyi sabit Ts

sıcaklığında tutulan yarı-

sonsuz bir cisimde

zamana bağlı ısı iletimi

için boyutsuz sıcaklık

dağılımı.

37

38

39

Başlangıçta Ti sıcaklığında, yüzeyinden T∞ sıcaklığındaki çevreyle

arasında h ısı geçiş katsayısıyla taşınım yapan yarı-sonsuz bir cisimde

sıcaklığın koordinat ve zamanla değişimi.

40

Örnek: Su borularının donmasını önleyecek minimum gömülme derinliği

41

Örnek: Su borularının donmasını önleyecek minimum gömülme derinliği

42

İki Yarısonsuz Katının Teması

Başlangıçta üniform sıcaklıkları TA,i ve TB,i olan

büyük A ve B cisimleri birbirleri ile temas ettirildiği

zaman, temas yüzeyinde sıcaklıkları hemen

eşitlenir.

Eğer iki cisim aynı sabit özellikli malzemeden ise

ısıl simetri , temas yüzey sıcaklığının

Ts = (TA,i+TB,i)/2 aritmetik ortalama olmasını

gerektirir ve bütün zamanlarda bu değer sabit kalır.

Eğer cisimlerin malzemeleri farklı ise sıcaklıkları

yine eşitlenir; fakat bu durumda Ts yüzey sıcaklığı

ortalama değerden farklı olur.

Farklı başlangıç sıcaklıklarına

sahip iki yarısonsuz katının teması

Temas ettirilen iki cismin ortak

yüzey sıcaklığında , daha büyük

kcp’ye sahip cisim baskın olur.

ÖRNEK: Deri sıcaklığı 35C olan bir insan, alüminyum ve tahta bloklara dokunduğu

zaman, temas yüzeyindeki sıcaklık alüminyum için 15.9C ve tahta blok 30C

olmaktadır.

Temas yüzeyinde

enerji dengesi

Temas yüzey

sıcaklığı

43

ÇOK BOYUTLU SİSTEMLERDE ZAMANA BAĞLI

ISI İLETİMİ• Zamana bağlı grafikler ve analitik çözümler, geniş düzlem duvar, silindir, küre ve

yarısonsuz ortamlardaki tek boyutlu ısı iletim problemlerinde sıcaklık dağılımını

ve ısı geçişinin bulmak için kullanılır.

• Bu grafik çözümler çarpım çözümü olarak bilinen bir yaklaşım kullanılarak, kısa

silindir, uzun dörtgen çubuk veya yarısonsuz silindir veya plaka gibi geometrilerde

iki boyutlu zamana bağlı ısı iletim problemlerinde ve hatta katının tüm yüzeyi aynı

akışkanla taşınım yapması durumunda ve ısı üretimi olmaması kaydıyla-

dikdörtgen prizma veya yarısonsuz dikdörtgen çubuk gibi geometrilerde üç

boyutlu problemlere çözüm oluşturmak için kullanılır.

• Çok boyutlu geometrilerde çözüm, ara kesiti çok boyutlu geometri olan tek

boyutlu geometrilerin çarpımı olarak ifade edilebilir.

Bütün yüzeylerden taşınıma

açık kısa bir silindirdeki

sıcaklık hem radyal hemde

eksenel doğrultuda değişir ve

bu yüzden ısı her iki

doğrultuda aktarılır.

44

Yarıçapı ro ve yüksekliği a

olan kısa bir silindir, a

kalınlıklı düzlem duvar ile

ro yarıçaplı uzun silindirin

ara kesitidir.

Üniform başlangıç sıcaklığı Ti, yüksekliği a ve yarıçapı ro olan kısa bir silindir

dikkate alınsın. Silindirde ısı üretimi yoktur. t=0 anında bütün yüzeylerden, sıcaklığı

T olan bir ortama h ısı taşınım katsayısı ile taşınım söz konusudur. Isı geçişi hem

yanal yüzeylerden hem de alt üst yüzeylerden olur ve sıcaklık T(r,x,t)’dir.

Yüksekliği a ve yarıçapı ro olan kısa bir silindirde çözüm, a kalınlıklı tek boyutlu

düzlem duvar ile ro yarıçaplı uzun silindir için boyutsuz çözümlerin çarpımına eşittir.

45

a b dikdörtgen kesitli uzun katı bir

çubuk, kalınlıkları a ve b düzlem

duvarların ara kesitidir.

Şekildeki gibi axb kesit alanlı uzun katı bir çubuk için çözüm a ve b

kalınlıklı iki sonsuz düzlem duvarın ara kesitidir.

46

Tek boyutlu iki geometrinin oluşturduğu iki boyutlu bir

geometri için zamana bağlı ısı iletimi,

Tek boyutlu üç cismin ara kesitlerinin oluşturduğu üç

boyutlu bir cisim için zamana bağlı ısı iletimi

47

Ti başlangıç sıcaklığında, bütün yüzeyleri T sıcaklıklı ortamdaki taşınıma

açık cisimler için tek boyutlu çözümlerin çarpımı olarak ifade edilen çok

boyutlu çözümler.

48

Ti başlangıç sıcaklığında, bütün yüzeyleri T sıcaklıklı ortamdaki taşınıma

açık cisimler için tek boyutlu çözümlerin çarpımı olarak ifade edilen çok

boyutlu çözümler.

49

Örnek: Kısa pirinç silindirin soğutulması

50

Örnek: Kısa pirinç silindirin soğutulması

51

Örnek: Uzun bir silindirin suyla soğutulması

52

Örnek: Uzun bir silindirin suyla soğutulması

53

Özet

• Yığık sistem analizi

Yığık sistem çözümlemesi kriteri

Yığık sistemlerde ısı geçişi

• Geniş düzlem duvarlarda, silindir ve kürlerde zamana bağlı

ısı iletimi

Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denkleminin

boyutsuzlaştırılması

Tek boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denkleminin tam çözümü

Yaklaşık analitik ve grafik çözümler

• Yarısonsuz cisimlerde zamana bağlı ısı iletimi denkleminin

İki yarı sonsuz cismin teması

• Çok boyutlu zamana bağlı ısı iletimi denklemi