chapter 10 elastic and elastic-plastic contact

Chapter 10Elastic and Elastic-Plastic Contact

254413 Introduction to Contact Mechanics

Assistant Professor Thongchai FongsamootrMechanical Engineering Department, Chiangmai University

10.1 Introduction

• จากการทดสอบแสดงให้�เห้�นว่�ามี�ข้�อมี�ลมีากมีายท��ใช้�ในการว่�เคราะห้ ในการทดสอบการกด

• การศึ"กษา elastic และ elastic-plastic contact ได�เสนอไว่�ในบทท�� 5,6,7,9 ซึ่"�งสามีารถน'ามีาพิ�จารณาในการ

ออกแบบการทดสอบการกด• ส��งท��สนใจเป็+นคว่ามีแตกต�างระห้ว่�างร�ป็แบบข้องห้-ว่กดท��จะ

เก�ดข้".นห้ล-งจากท��เอาห้-ว่กดออก

10.2 Geometrical Similarity

• ห้-ว่กดแบบป็/รามี�ดห้ร0อโคน อ-ตราส�ว่นข้องคว่ามียาว่ข้องเส�นทะแยงมี2มีห้ร0อร-ศึมี�ข้อง circle of contact ต�อ

คว่ามีล"กข้องการกด d/ จะเป็+นค�าคงท�� ด-งร�ป็ท�� 10.2.1• เราเร�ยกค2ณล-กษณะแบบน�.ว่�า Geometrical

Similarity• ส'าห้ร-บห้-ว่กดแบบทรงกลมี ร-ศึมี�ข้อง contact circle จะ

มี�ค�าเพิ��มีข้".นอย�างรว่ดเร�ว่ เมี0�อเท�ยบก-บคว่ามีล"กท��เพิ��มีข้".น• ด-งน-.น d/ เพิ��มีข้".นเมี0�อภาระเพิ��มีข้".น

• ด-งน-.นสามีารถสร2ป็ได�ว่�าห้-ว่กดแบบทรงกลมีไมี�เป็+นแบบ Geometrical similarity

• การเพิ��มีข้".นข้องภาระบนห้-ว่กดแบบทรงกลมีจะเท�ยบเท�าก-บการลดลงข้องมี2มีท��ป็ลายโคน

10.2 Geometrical Similarity

• อย�างไรก�ตามี geometrical similarity indentations อาจจะสามีาระห้าได�ก-บห้-ว่กดแบบทรง

กลมีท��ร -ศึมี�ต�างๆ• ถ�าก'าห้นดให้� a/R มี�ค�าคงท�� ด-งน-.น mean contact

pressure และการกดอ-ดจะเป็+น geometrical similarity

• ห้ล-กการข้อง geometrical similarity ถ�กน'าไป็ใช้�อย�างกว่�างข้ว่างในการว่-ดคว่ามีแข้�ง

• ต-ว่อย�างเช้�น การว่-ดคว่ามีแข้�งโดยใช้�ห้-ว่กดแบบป็/รามี�ด ซึ่"�งให้�เก�ดการคราก ท��ไมี�ข้".นอย��ก-บแรงกระท'า

• ส'าห้ร-บห้-ว่กดแบบทรงกลมี ค�า mean contact pressure ท��เท�าเด�มีอาจจะได�จากห้-ว่กดข้นาดต�างๆ ท��

ภาระต�างๆ โดยก'าห้นดว่�าท'าให้�เก�ด a/R คงท��

10.3 Indenter types

10.3.1 Conical, pyramidal and spherical indenters

• การทดสอบคว่ามีแข้�งสามีารถท'าได�โดยใช้�ห้-ว่กดแบบทรงกลมี โคน และป็/รามี�ด

• พิ�จารณา ห้-ว่กดแบบ Vickers ท��มี�มี2มี = 68o ซึ่"�งผลให้� = 22o ซึ่"�งจะเท�ยบเท�าก-บห้-ว่กดแบบทรงกลมี ท��มี�

contact circle เท�าก-บ a และจะได�ว่�า

• ห้-ว่กดแบบโคน จะมี�ข้�อได�เป็ร�ยบท��มี�ล-กษณะข้องแกนสมีมีาตรในร�ป็ท�� 10.3.1 แสดงพิ0.นท��เท�ยบเท�าระห้ว่�างห้-ว่กด

แบบโคน และแบบป็/รามี�ด เท�าก-บ

375.0sin R

a

10.3 Indenter types


• โดยท�� h เป็+นคว่ามีล"กข้องห้-ว่กด• ส'าห้ร-บ = 65o จะได�ว่�า A = 24.5h2 เท�ยบเท�าก-บห้-ว่

กดแบบโคนเท�าก-บ 70.3o

• อย�างไรก�ตามีเมี0�อพิ�จารณาร�ป็ร�างการกดส'าห้ร-บห้-ว่กดแบบทรงกลมีห้ร0อแบบโคนด-งร�ป็ท�� 10.3.2

22 tan4hA

10.3 Indenter types


• คว่ามีล"กข้องการกดด�ว่ยห้-ว่กดทรงกลมีได�ว่�า

• ส'าห้ร-บค�า น�อยๆ R

ahs 2

2

tansin R

a

R

atan

a

h

R

a v

R

a

a

h

a

h vs 2

vs hh2

1

10.3 Indenter types


• จะเห้�นว่�าในกรณ�ข้องห้-ว่กดแบบป็/รามี�ดต�องการพิล-งงานมีากกว่�าในการท'าให้�เก�ดการเส�ยร�ป็

• สมีการท�� 6.2.3 c แสดงกรณ�ข้องโคน และการเส�ยร�ป็ uz เป็+นส-ดส�ว่นก-บ P1/2

• ส'าห้ร-บห้-ว่กดแบบทรงกลมี แสดงให้�เห้�นถ"ง uz เป็+นส-ดส�ว่ยก-บ P2/3

• ด-งน-.น ท-.งๆท�� mean contact pressure อาจจะเท�าก-น งานท��เก�ดข้".นจากกรณ�ข้อง cone มีากกว่�ากรณ�ข้อง

sphere

10.3 Indenter types


• ระห้ว่�างการทดสอบด�ว่ยห้-ว่กดทรงกลมี อาจจะบอกได�ว่�าค�า mean contact pressure จะถ�กก'าห้นดไว่�ท��ค�า

Hardness• ภายในพิ0.นท�� 3 ไมี�มี�คว่ามีแตกต�างข้องค�า mean contact

pressure ท�ได�จากห้-ว่กดแบบ vickers และ แบบทรงกลมี

10.3 Indenter types

10.3.2 Sharp and blunt indenters• ห้-ว่กดสามีารถแบ�งออกเป็+น 2 แบบ ค0อ แห้ลมีก-บท��

• เกณฑ์ ท��แบ�งน-.นข้".นอย��ก-บคว่ามีเห้�นข้องแต�ละคน• ต-ว่อย�างเช้�น บางคนบอกว่�า sharp indenter ค0อห้-ว่กดท��

ให้�ผลการเส�ยร�ป็ถาว่รในช้�.นงานห้ล-งจากห้ย2ดให้�ภาระ• Vickers indenter เป็+นต-ว่อย�างห้น"�ง

• อย�างไรก�ตามี ก�มี�การก'าห้นดว่�า โคนห้ร0อป็/รามี�ดท��มี�มี2มี > 70o จะเป็+นแบบท��

• ด-งน-.น Vickers indenter ท��มี�มี2มี = 68o จะเป็+นห้-ว่กดแบบท��

• ห้-ว่กดแบบทรงกลมีจะถ�กก'าห้นดให้�เป็+นแบบแห้ลมีห้ร0อแบบท��ข้".นอย��ก-บภาระท��กระท'า

10.3 Indenter types

10.3.2 Sharp and blunt indenters• ห้ร0อการแบ�งป็ระเภทห้-ว่กดน-.นอาจจะแบ�งตามีการตอบ

สนองข้องช้�.นงานจากการกด• ส'าห้ร-บห้-ว่กดแบบท�� การตอบสนองข้องช้�.นงานจะเป็+น

ล-กษณะข้อง elastic • ในข้ณะท��ห้-ว่กดแบบแห้ลมีการตอบสนองข้องช้�.นงานจะเป็+น

ล-กษณะข้อง rigid-plastic• โดยท-�ว่ไป็ก'าห้นดไว่�ว่�า

– Cone Punch and Sphere จะเป็+น blunt indenters– Cones and pyramid จะเป็+น sharp indenters

10.4 Elastic-Plastic contact

10.4.1 Elastic recovery• พิ�จารณาช้�.นงานท��ล�อมีรอบด�ว่ย elastic material และร-บ

แรงกด 1 ด-งร�ป็ท�� 10.4.1(a)

• เน0�องจาก 3 = 0 ด-งน-.น max = 1/2

• ตามีเกณฑ์ ข้อง Tresca จะได�ว่�า 1-3 = Y และการสล�ป็จะเก�ดเมี0�อ 1 = Y ด-งร�ป็ท�� 10.4.1(b)

• อย�างไรก�ตามีการเคล0�อนท��จะถ�กจ'าก-ดด�ว่ย elastic part• ด�านข้�างข้องส�ว่นน�.จะกดลงบนช้�.นงาน และมี�คว่ามีเค�นเก�ดข้".น

R โดยจะมี�ค�ามีากข้".นเมี0�อ 1 เพิ��มีข้".น• เน0�องจากการเส�ยร�ป็แบบพิลาสต�กเก�ดข้".น การกระจายคว่ามีเค�นท-.งห้มีดจะเร�ยกว่�า เป็+น elastic-plastic stress

field ep


10.4.1 Elastic recovery

• เมี0�อห้ย2ดให้�ภาระ 1 ช้�.นงานจะพิยายามีกล-บค0นสภาพิเด�มีแต�จะถ�กจ'าก-ดโดยการเส�ยร�ป็ถาว่ร

• คว่ามีเค�น R ย-งคงกระท'าอย�� ซึ่"�งเร�ยกว่�า residual stress

• เน0�องจากเน0.อว่-สด2ร-บคว่ามีเค�น R อย�างเด�ยว่ ด-งน-.นการเก�ดครากจะเก�ดก�ต�อเมี0�อ R = Y

• Relaxation ข้อง elastic strain จากการท��เอาภาระออกน-.น ส�งผลให้�เน0.อว่-สด2บางท�กล-บค0นส��สภาพิเด�มีด-งร�ป็ท��

10.4.1(d) ซึ่"�งเร�ยกว่�า elastic recovery• ถ�าคว่ามีเค�น s1 กระท'าก-บช้�.นงานอ�กคร-.ง ร�ป็ร�างข้องช้�.นงาน

ก�จะกล-บไป็ท�� Full load อ�กคร-.ง และ elastic-plastic stress fields ก�จะเก�ดข้".นอ�กคร-.ง


10.4.1 Elastic recovery• เมี0�อพิ�จารณาร�ป็ร�างข้องการกดในช้�ว่ง fully-loaded และ

ช้�ว่ง unloaded ด-งร�ป็ท�� 10.4.2(a) • ห้ล-งจาก Unloading เน0.อว่-สด2ท��มี�การเส�ยร�ป็แบบอ�ลาสต�ก

ภายนอก plastic zone จะพิยายามีท��จะกล-บค0นส��สภาพิเด�มีแต�ไมี�สามีารถท'าได�เน0�องจากถ�กบ-งค-บด�ว่ยเน0.อว่-สด2ท��มี�

การเส�ยร�ป็ถาว่ร• ด-งน-.นก�จะมี�ค�าคว่ามีเค�นตกค�างอย��

• ผลต�างข้องร�ป็ร�างในข้ณะท��ร -บ full load ก-บ unloading จะข้".นอย��ก-บ elastic recovery ข้องช้�.นงาน

• การให้�ภาระอ�กคร-.งจะท'าให้�เก�ดการเส�ยร�ป็อ�ลาสต�กเพิ�ยงอย�างเด�ยว่


10.4.1 Elastic recovery• ด�ว่ย Elastic contact การกระจายข้องคว่ามีด-น elastic-plastic สามีารถค'านว่ณได�จากว่�ธี�ท-บซึ่�อนข้อง

ผลจากการภาระกระท'าแบบเส�นและแบบจ2ด• โดยท��ค�า total elastic displacement uz จะเป็+นผล

รว่มีข้องการเส�ยร�ป็ท�� r ด-งน�.

• ค�า uz ท�� r ใดๆ อาจสามีารถห้าได�จากการทดลอง• เราสามีารถพิ�จารณาห้-ว่กดเป็+นแบบ rigid ได�เน0�องจากร�ป็

ร�างข้องการเส�ยร�ป็ในข้ณะท��ร -บ Full load น-.นจะมี�ร�ป็ร�างเห้มี0อนก-บร�ป็ร�างข้องห้-ว่กด


10.4.1 Elastic recovery• ร�ป็ร�างข้องรอยกดท��เห้ล0ออย��สามีารถว่-ดได�จากการทดลอง• ผลต�างระห้ว่�างการเส�ยร�ป็นช้�ว่งท�� unloading และ Full

load จะเป็+นค�าการเส�ยร�ป็อ�ลาสต�ก• Hirst and Howse ใช้�ค�าการกระจายคว่ามีด-นเป็+นต-ว่แทนซึ่"�งจะมี�ค�าส-มีพิ-นธี ก-บ elastic-plastic loading

• อย�างไรก�ตามี ค�าคว่ามีเค�นคงค�างจะเป็+น pre-stress ส'าห้ร-บ การเส�ยร�ป็อ�ลาสต�กน-.นไมี�ได�น'ามีาพิ�จารณาในกรณ�น�.• ค�าผ�ดผลาดน�.ไมี�ส'าค-ญส'าห้ร-บ Hirst and Howse เน0�องจากช้�.นงานมี�แสดงค�า elastic recovery = 75%


10.4.1 Elastic recovery• อย�างไรก�ตามี การเส�ยร�ป็พิลาสต�กจะเก�ดข้".นระห้ว่�าง

Unloading ข้".นอย��ก-บข้นาดข้อง sR และ Y • Elastic recovery คว่รจะถ�กใช้�ด�ว่ยคว่ามีระมี-ดระว่-ง

เน0�องจากมี-นจะถ�กอ�างถ"งการเส�ยร�ป็อ�ลาสต�กอย�างเด�ยว่ • การ reloading ข้องห้-ว่กดน-.นโดยท-�ว่ไป็สามีารถท'าให้�เก�ด

การเส�ยร�ป็อ�ลาสต�กและ elastic-plastic deformation• ร�ป็ท�� 10.4.3 แสดงผลข้องการกดซึ่'.า เป็ร�ยบเท�ยบก-บกด

ห้น"�งคร-.ง • จะเห้�นว่�าคว่ามีร2นแรงในการเส�ยห้ายเพิ��มีข้".น


10.4.2 Compliance• เมี0�อมี�การเส�ยร�ป็แบบพิลาสต�กระห้ว่�างการกด การเพิ��มีข้".น

ข้องคว่ามีล"กข้องรอยกดต�อการเส�ยร�ป็แบบอ�ลาสต�กเป็+นส��งท��น�าสนใจ

• พิ�จารณากรณ�ข้องการกดกรณ�ข้อง flat punch น-.น คว่ามีล"กข้องรอยกด uz จะมี�ค�าเท�าก-บ

• ร�ป็ท�� 10.4.3 แสดงคว่ามีส-มีพิ-นธี ระห้ว่�าง P ก-บ uz

a

P

Eu z 2

1 2


10.4.2 Compliance• ส'าห้ร-บกรณ�ข้องอ�ลาสต�ก การตอบสนองข้องว่-สด2ในข้ณะท��

ร -บ Loading และ Unloading เป็+นไป็ตามีเส�น ACและเมี0�อ full load ค�าพิล-งงานเคร�ยดจะมี�ค�าเท�าก-บพิ0.นท�� ACF• ส'าห้ร-บกรณ� Elastic-plastic เมี0�อให้�ภาระเป็+นด-งเส�น

ABD • ส'าห้ร-บในช้�ว่ง Unloading จะมี�การเคล0�อนท��ตามีแนว่เส�น

DG• ถ�าไมี�มี�คว่ามีเค�นตกค�าง ว่-สด2จะเคล0�อนท��ตามีแนว่เส�น DA

• ด-งน-.นพิ0.นท�� ABD จะเป็+นค�าข้อง Energy dissipated ท��เก�ดข้".นจากการเส�ยร�ป็แบบพิลาสต�ก

• ในข้ณะท�� ADG เป็+นค�าพิล-งงานท��เก�ดจากคว่ามีเค�นตกค�าง


10.4.2 Compliance• ค�าพิล-งงานท��ท'าให้�เก�ดคว่ามีเค�นคงค�างเท�าก-บ ADG เป็+นการเส�ยร�ป็พิลาสต�กข้องการเส�ยร�ป็ ABD ซึ่"�งใช้�การห้-ว่กดแบบ flat punch ซึ่"�งก�จะมี�ค�าเท�าก-บห้-ว่กดแบบทรง

กลมี• Field and Swain ได�พิ-ฒนาว่�ธี� Compliance ส'าห้ร-บ

การทดสอบเพิ0�อห้าค2ณสมีบ-ต�แบบ elastic และ elastic-plastic

• ร�ป็ท�� 10.4.5 แสดงร�ป็คว่ามีส-มีพิ-นธี ระห้ว่�าง P และ การเคล0�อนท�� uz|r=0 ส'าห้ร-บห้-ว่กดแบบทรงกลมี

• ท-.ง loading และ unloading แสดงให้�เห้�นถ"งคว่ามีแตกต�าง


10.4.2 Compliance• ส'าห้ร-บ elastic contact การเส�ยร�ป็จาก load-point

เป็+นไป็ตามีสมีการท�� 6.2.1i

• ถ�าสมีมีต�ว่�า load เพิ��มีข้".น การเส�ยร�ป็แบบพิลาสต�กจะเก�ดข้".นในช้�.นงาน

• ถ�า load เพิ��มีข้".นแล�ว่ห้ย2ดเล�กน�อย จากน-.น unloading (assuming no reverse plasticity) ด-งน-.น

32

1

3

*4 RE

P

R

P

E

223

*4

3


10.4.2 Compliance• จากน-.นห้าอน2พิ-นธี เท�ยบก-บ จะได�ว่�า

• ค�าคว่ามีช้-.นข้องเส�น unloading ท�� ใดๆ จะเป็+นส-ดส�ว่นก-บ E*

• ถ�าช้�ว่งแรกข้อง unloading curve จะเป็+นเส�นตรง ด-งน-.นค�าคว่ามีล"กข้องรอยกดจะสามีารถห้าได�จากเส�น

unloading ไป็ย-งท�� zero load• อย�างไรก�ตามี elastic unloading ข้องห้-ว่กดแบบทรง

กลมีน-.นจะไมี�เป็+นเส�นตรง (2)

22

1

*4

REd

dP


10.4.2 Compliance• จากร�ป็ท�� 10.4.2 สมีมีต�ให้�ว่�าเป็+นห้-ว่กดแบบ rigid ก'าห้นด

ให้�ว่�า ht เป็+นคว่ามีล"กท�� full load Pt

• ในข้ณะท�� hr เป็+นรอยกดท��เห้ล0ออย�� P=0 และ hs เป็+นคว่ามีล"กท��มี�การลดภาระห้น"�งๆ Ps

• สมีมีต�ว่�าไมี�มี�การเส�ยร�ป็พิลาต�กย�อนกล-บท��เก�ดในช้�ว่งข้องการลดภาระ และ ในช้�ว่งข้อง reloading รอยกดจะเพิ��มีข้".น

จาก hr ไป็เป็+น ht

• ซึ่"�งจะมี�สมีการด-งต�อไป็น�.


10.4.2 Compliance

32

3

1

3

2

1

*4

3trt P

RE

hh

32

3

1

3

2

1

*4

3srs P

RE

hh

3

2

s

t

rs

rt

P

P

hh

hh

13

2

3

2

s

t

ts

ts

r

P

P

hP

Ph

h


10.4.2 Compliance• ส'าห้ร-บ elastic reloading เราสามีารถสมีมีต�ว่�าคว่ามีล"ก

ข้อง contact circle จะมี�ค�าคร"�งห้น"�งข้อง total elastic penetration

• ด-งน-.นระยะทางระห้ว่�างผ�ว่ถ"งคว่ามีล"กข้อง contact circle ท�� full load จะมี�ค�าเท�าก-บ /2

• ก'าห้นดให้�ระยะทางข้องรอยล"กข้อง contact circle hp จะมี�ค�าเท�าก-บ

2

pt hh

2

2

2

rt

rtt

tp

hh

hhh

hh


10.4.2 Compliance• ด-งน-.น ร-ศึมี�ข้อง contact circle จะมี�ค�าเท�าก-บ

2122 pp hRha


10.4.3 The elastic-plastic contact surface• ในบทท�� 6 ได�แสดงให้�เห้�นว่�า ส'าห้ร-บการส-มีผ-สระห้ว่�างว่-ตถ2

ทรงกลมีย0ดห้ย2�น 2 ช้�.น ล-กษณะข้องผ�ว่ส-มีผ-สย-งคงเป็+นทรงกลมี

• ด-งน-.น การส-มีผ-สระห้ว่�างผ�ว่เร�ยบก-บห้-ว่กด non-rigid indenter ท��มี�ร-ศึมี� R จะมี�ค�าเท�าก-บการส-มีผ-สระห้ว่�างผ�ว่เร�ยบก-บ perfectly rigid indenter ท��มี�ร-ศึมี�ให้ญ�ข้".น

R+• ส'าห้ร-บในห้-ว่ข้�อน�.จะเป็+นการศึ"กษาล-กษณะข้องผ�ว่ท��เส�ยร�ป็

เมี0�อมี�การเส�ยร�ป็แบบพิลาสต�กเก�ดข้".น• FEM ได�แสดงให้�เห้�นว่�าเมี0�อมี�การเพิ��มีข้".นข้องคว่ามีล"กเมี0�อ

เป็ร�ยบเท�ยบก-บการเส�ยร�ป็แบบอ�ลาสต�กท��ภาระเท�าเด�มี• ร�ป็ท�� 10.4.6 แสดงค�าการเส�ยร�ป็ข้องผ�ว่ช้�.นงานส'าห้ร-บการ

ตอบสนองแบบ elastic-plastic


10.4.3 The elastic-plastic contact surface• ตารางท�� 10.4.1 เป็ร�ยบเท�ยบผลข้อง FEM ส'าห้ร-บ WC

indenter บน elastic-plastic glass-ceramic ด�ว่ย P=1000 N และ R = 3.18 mm

10.5 Internal friction and plasticity

• การเส�ยร�ป็แบบพิลาสต�กเป็+นป็รากฏการณ ท��เก��ยว่ข้�องก-บการ slip ข้องระนาบภายในเน0.อว่-สด2จากคว่ามีเค�นเฉื0อน

• Slippage ระห้ว่�างระนาบเป็+นผลข้อง internal friction• Jaeger and Cook ได�แสดงให้�เห้�นถ"ง slip ข้องระนาบ

ภายในท��อ�อนแอซึ่"�งอาจจะเก�ดข้".นเมี0�อ

• จากสมีการท�� 10.5.1 เป็+น coefficient of internal sliding friction


• โดยท��

• ส'าห้ร-บ = 45o =max และ N = m

• ด-งน-.น ส'าห้ร-บกรณ�ข้อง 2-D เกณฑ์ การเส�ยห้ายจะเป็+น

• ห้ร0อ

2cosmax mN

2sinmax

231

max

231

m

om S max21

2 1

oS211 21

23

21

21


• เกณฑ์ ข้อง Tresca สามีารถระบ2ได�ว่�า =0 และ So = Y/2 จะได�ว่�ามี2มีท��ท'าให้�เก�ดการ slide เท�าก-บ

• และ = 45o – 90o • ในว่-สด2จร�งท��ซึ่"�ง ไมี�เท�าก-บ 0 shear fracture จะไมี�เก�ด

ข้".นในท�ศึทางข้อง max shear stress แต�จะข้".นอย��ก-บแรงเส�ยดทาน ซึ่"�งจะท'าให้�เก�ดในท�ศึทางข้อง max

compressive stress• สมีการท�� 10.5.1 ถ"ง 10.5.4 พิ-ฒนาโดย Couloumb

และได�ถ�กน'ามีาใช้�โดย Jager and Cook ส'าห้ร-บกรณ�การเส�ยห้ายจากแรงเฉื0อน

12tan


• พิ�จารณาการกดแบบแนว่เด�ยว่ 3 = 0 เราอาจจะบอกได�ว่�าว่-สด2จะเก�ดการเส�ยห้ายเมี0�อ 1 มี�เท�าก-บ Co ซึ่"�งเป็+นค�า

compressive strength

• แทนกล-บไป็ท�� 10.5.3b จะได�ว่�า

• ค�าสป็ส เส�ยดทาน จะสามีารถค'านว่ณได�จากคว่ามีช้-นข้อง 1 – 3 ท��ต'าแห้น�งท��เก�ดการเส�ยห้าย

• ตามีสมีการท�� 10.5.6 เมี0�อการเส�ยร�ป็แบบพิลาสต�กเก�ด คว่ามีส-มีพิ-นธี ระห้ว่�าง 1 และ

3 จะเป็+นเช้�งเส�นถ�าว่-สด2เป็+นไป็

ตามีเกณฑ์ ข้อง Couloumb

2

12

0 12 OSC

OC

3

221

21 1

chapter 10 elastic and elastic-plastic contact

Documents