Chapter 2

Time Domain Analysis

2

LTI System & Convolution

• 선형 시불변 시스템 (LTI system)

• 컨벌루션

- LTI 시스템에서 임의의 입력신호에 대한 출력신호 계산

- 선형시스템의 분석 및 응답 도출

• 임펄스 응답

- 단위 임펄스 함수 에 대한 프로세서의 응답

• LTI 시스템의 출력은 입력신호와 임펄스 응답의 컨벌루션

][n

3

...]2[]2[]1[]1[][][]1[]1[]2[]2[...][ nxnxnnxnxnxnx

k

knkxnx ][][][

k

kkxx ]4[][]4[

: k=4 일 때만 값이 존재

임펄스를 이용한 디지털 신호의 표현

4

• 임펄스 응답 : 시스템의 고유응답 (natural response)

• 다양한 형태의 임펄스 함수

그림 2.2

그림 2.3

LTI System

5

)5.2(][]2[85.0]1[5.1][

,

)4.2(][]2[85.0]1[5.1][

nnhnhnh

nhnynnx

nxnynyny

4.1085.025.2]1[]0[85.0]1[5.1]2[

5.1005.1]1[]1[85.0]0[5.1]1[

1100]0[]2[85.0]1[5.1]0[

hhh

hhh

hhh

)6.2(]2[]1[][

]3[]2[]1[][

210

321

nxbnxbnxb

nyanyanyany

• 대역 필터의 회귀 공식 표현 예

• 일반적 형태

Recurrence Formula & Difference Eq.

6

• 식 (2.4) 예 : 대역필터

a1 = 1.5, a2 = -0.85, a3 = 0 and b1 = 1, b2 = 0, b3 = 0

][]2[85.0]1[5.1][ nxnynyny

그림 2.4

1.01.51.4

Impulse Response

7

][]1[9.0][

][]1[9.0][

nnhnh

nxnyny

729.0]2[9.0]3[

81.0]1[9.0]2[

9.0]0[9.0]1[

110]0[]1[9.0]0[

hh

hh

hh

hh

(a)

]2[]1[][][

]2[]1[][][

nnnnh

nxnxnxny

(b)

1]1[]0[]1[]1[

1]2[]1[]0[]0[

h

h

Non-recursive version

Recursive version

][]1[][

][]1[][

nnhnh

nxnyny

101]1[]0[]1[

110]0[]1[]0[

hh

hh

샘플링주기 , 간격

Cosine 형태로 감소

단위계단함수 형태

예제 2.1

8

• 계단 함수는 실제로도 많이 발생하는 신호• 갑작스런 장애에 대한 시스템의 응답 평가• 컨벌루션은 계단 신호와 계단 응답으로 정의

• --- 이동합 --- --- LTI 시스템 ---

• --- LTI 시스템 --- --- 이동합 ---

그림 2.6Natural response

n

n

ns

ns

1][

][

nsnsnh

mhnsn

m

nu nh

Step Response

9

그림 2.7

][]1[8.0][

][]1[8.0][

nnhnh

nxnyny

512.08.0]3[64.08.0]2[

8.0]1[1]0[32

hh

hh

44.2]2[]1[]2[]1[]0[]2[

8.1]1[]0[]1[1]0[]0[

hshhhs

hhshs

3616.3]4[]3[]4[

952.2]3[]2[]3[

hss

hss

0.58.01

18.08.08.01][ 32

s

예제 2.2

10 그림 2.8

]2[]2[]1[]1[

][]0[]1[]1[]2[]2[][

nhxnhx

nhxnhxnhxny

kknhkxny ][][][

컨벌루션 합

임의의 입력 신호에 대한 출력신호의 합

임의의 입력DSP 의 임펄스 응답

Digital Convolution

11

그림 2.10

0)2)(2()1)(3()1)(1(]2[

3)2)(1()1)(2()1)(3(]1[

y

y

kkhkxy ]1[][]1[

kkxkhy ]1[][]1[

kknxkhny ][][][

그림 2.9

h[-(k-1)]

Digital Convolution

12

(a)The input signal is as in Fig2.8 and the impulse response is

given by

1]2[;1]1[;2]0[

20,0][

hhh

nandnnh

(b) The input signal is the sample sequence :

…0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0…

and the impulse response is given by :

1]1[;1]0[

10,0][

hh

nandnnh

예제 2.3

13

]2[]1[][]1[]2[2.0][ nxnxnxnxnxny

]3[]2[]1[][]1[2.0]1[ nxnxnxnxnxny

]3[]2[2.0]1[][ nxnxnyny

: 비순환 필터

: 순환 필터

그림 2.11

Point 수가 너무 많으면 중요한

변화까지 손실

Noncausal 이지만 미리 저장하여 offline 처리이므로 무관

(realtime 일때는 반드시 causal 이어야… )

5-point Moving Average Filter

14

32060,10

2sin

60

2sin][

n

nnnx

elsewhere

nnh

,0

90,1.0][

시작과도 신호

그림 2.12두개의 서로 다른 주파수 성분을 포함하는 입력신호에 대한 이동 평균 필터링

두 가지 주파수 성분 포함

10-point Moving Average Filter

15

][][][][ 1221 nxnxnxnx

][][][][][][ 2121 nhnhnxnhnhnx

][][][][][][][ 2121 nhnxnhnxnhnhnx

• 교환 법칙

• 결합 법칙

• 분배 법칙

Summary

16

• 무한히 계속되는 실제신호는 존재하지 않는다• 실제적인 디지털 신호처리는 어느 순간에 시작되어 언젠가는 중단• 시작 과도 신호 : 신호가 인가 또는 신호처리가 시작되었을 때 • 정지 과도 신호 : 신호 입력이나 신호처리가 중단되었을 때• 예 : 디지털 대역 필터 ( 그림 1.5)

LTI System 에서의 과도현상

17

그림 2.5

그림 2.12

LTI System 에서의 과도현상

18

과도 신호는 여러 가지 이유로 중요

1) 시작과도 특성은 출력 신호의 초기 부분에 더해지기 때문에

원하는 응답을 볼 수 없게 함

2) 디지털 프로세서의 초기 출력은 0 으로 가정하는 경우가 대부분임

그러나 이것은 이전 입력 신호가 끊긴 뒤 안정 상태에 들어간

경우에만 가능함 . 즉 , 모든 정지과도가 모두 사라지고 없어야 함

3) 과도응답은 시스템의 고유응답 및 임펄스응답과 매우 밀접한

관계가 있음 . 이들을 통해서 선형 프로세서의 동작에 관한 보다 가치 있는 통찰이 가능함

LTI System 에서의 과도현상

19

5 점 이동 평균 필터

15-point moving - average filter

40-point moving - average filter

]}4[]3[

]2[]1[][{2.0][

nxnx

nxnxnxny

]}14[]13[...

]2[]1[][{15

1][

nxnx

nxnxnxny

]}39[]38[...

]2[]1[][{40

1][

nxnx

nxnxnxny

“ 직사각형 펄스” 입력신호에 대한 세 가지 이동 평균 필터들의 과도 및 안정상태 응답 특성 : 주기 당 40 샘플

3

15

8

x(n) 의 한주기에 대한 평균값

LTI System 에서의 과도현상

20

]2[]1[9021.1][]2[94833.0]1[8523.1][ nxnxnxnynyny

)20/2cos(][ nnx

시작과도 신호 정지과도 신호

LTI System 에서의 과도현상

21

•

• 일반적인 형태

]2[]1[][

]3[]2[]1[][

210

321

nxbnxbnxb

nyanyanyany : 3 개의 순환 항 3 개의 비순환 항

N

k

M

kkk knxbknya

nxbnxbnxbnyanyanya

0 0

210210

][][

or

]1[]1[][]1[]1[][

N : 시스템의 차수

Difference Equation

22

• 보조 조건 : 경계 조건

프로세서가 이전의 입력 이후에 완전한 휴식 또는 안정 상태에 있지 않는 경우를 나타냄

예 ) - y[-1] 값을 안다면 y[0] 를 구할 수 있다

- 시스템이 아직 이전의 입력에 대하여 반응하고 있다면 y[-1] 은 0 이 아닐 수 있다

][]1[8.0][][]1[8.0][ nxnynyornxnyny

Difference Equation

23

• 보조 조건이 0 이 아닌 경우

전체 응답 = 균일해 (homogeneous) + 특수해 (particular)

• 균일해 과도 신호

- 0 이 아닌 보조 조건에 대한 과도 응답

- 입력 신호의 스위칭에 의한 과도 응답

• 특수해 특정 입력에 대한 시스템의 정상 상태 응답

Difference Equation

24

예 : ][]2[5.0]1[][ nxnynyny

)(][66

2sin][ anu

nnx

)(00.100.1)00.2(5.000.1

]19[]17[5.0]18[]19[

c

xyyy ppp

)(0],2[5.0]1[][

0.1]2[,0.2]1[

dnnynyny

yy

hhh

hh

25.0)5.1(5.05.0]0[5.0]1[]2[

5.0)2(5.05.1]1[5.0]0[]1[

5.15.02]2[5.0]1[]0[

hhh

hhh

hhh

yyy

yyy

yyy

• n=0 에서 시작되었을 경우

• )(0]2[]1[ ],[][][ byynynyny hp

• 일 경우,0.2]1[ hy 0.1]2[ hy

•

균일해

• 입력이 인가되지 않았을 경우

Difference Equation

25

• yp[n] 은 사인 신호

• yp[n] 은 x[n] 과 다른 위상을 갖고 있으나 주파수는 동일하다 .

• yh[n] 은 다른 주파수로 진동하며 사라지고 있다

• 균일해는 입력의 특성이 아닌 시스템의 특성을 보여 준다 .

( 시스템의 임펄스 응답과 같은 형태로 나타남 )

Difference Equation

26

• 필터의 이산 방정식 :

• 오븐의 온도는 샘플링 시작할 때 이고 이후 초당 씩 상승

• Ts = 10 초

• 오븐의 온도는 10 으로 나눈 값이 되도록 스케일링 된다 .

C01

p. 69 그림 (a)

C040

][5.0]1[5.0][ nxnyny

예제 2.4

27

• 필터의 임펄스 응답을 찾고 , 배열 Υ 에 저장되는 출력신호 y[n] 의 처음다섯 개의 값을 구하라

풀이 ) 임펄스 응답은 x[n] 을 단위 임펄스로 대치함으로써 구함 y[n] = 0.5 y[n-1] + 0.5 x[n]

예제 2.4

28

임펄스 응답은

그림 (b)

스케일링 요소가 10 이라는 것을 감안하여 입력 신호을 그림의 (c) 부분에 그려 놓았다 .

x[n] 과 h[n] 을 비순환적으로 컨벌루션했을 때 처음의 다섯 개의 필터 출력은 다음과 같다 .

][5.0]1[5.0][ nnhnh

125.0]2[ ;25.0]1[ ;5.0]0[ hhh

y[0] = 0.5(4) = 2.0

y[1] = 0.5(5) + 0.25(4) = 3.5

y[2] = 0.5(6) + 0.25(5) + 0.125(4) = 4.75

y[3] = 0.5(7) + 0.25(6) + 0.125(5) + 0.0625(4) = 5.875

y[4] = 0.5(8) + 0.25(7) + 0.125(6) + 0.0625(5) +

0.03125(4) = 6.9375

예제 2.4

29

(b) 필터의 회귀 공식 : y[n] = 0.5 y[n-1] + 0.5 x[n]

저장된 배열 Υ 의 첫 번째 값을 y[-1] 이라고 가정을 하고 , 이 식으로부터 y[n]의 처음 몇 개의 샘플 값들을 구하면

-10 C 의 안정상태 에러를 제외하고 , y[n] 이 x[n] 을 따라가려는 경향이 있음 .

y[n] 의 처음 다섯 개의 값들은 (a) 에서 구한 값들과 일치함 .

y[0] = 0.5(0) + 0.5(4) = 2y[1] = 0.5(2.0) + 0.5(5) = 3.5y[2] = 0.5(3.5) + 0.5(6) = 4.75y[3] = 0.5(4.75) + 0.5(7) = 5.875y[4] = 0.5(5.875) + 0.5(8) = 6.9375y[5] = 0.5(6.9375) + 0.5(9) = 7.9688y[6] = 0.5(7.9688) + 0.5(10) = 8.9844y[7] = 0.5(8.9844) + 0.5(11) = 9.8822y[8] = 0.5(9.9922) + 0.5(12) = 10.9961y[9] = 0.5(10.9961) + 0.5(13) = 11.9981

o

예제 2.4

30

(c) 출력의 특수해 성분을 추정하고 균일해 성분을 구하라 ..

풀이 ) 특수해는 램프 입력 신호에 대한 필터의 안정상태 응답을 나타낸다 .

이 결과로부터 특수해는 다음과 같아야 한다 .

n=-1 까지 확장하면 이다 . 그러나 초기 조건을 만족시키기 위해서

y[-1] 은 0 이어야 한다 . 또한 균일해에 대해서는 이어야 한다 .

따라서 균일해는 다음과 같은 관계를 가져야 한다 .

이로부터 균일해는 다음과 같이 구할 수 있다 .

균일해 그림 (d) : 임펄스 응답 h[n] 이 반전된 파형을 보임 .

1 ,00.1][][ nnxnyp

2]1[ py

2]1[ hy

0 ,0]1[5.0][ nnyny hh

y_h [0] = 0.5(-2) = -1.00y_h [1] = 0.5(-1.00) = -0.50y_h [2] = 0.5(-0.50) = -0.25, ……

예제 2.4

31

(d) 모든 n 에 대하여 균일해가 0 이 되는 오븐의 초기 온도를 찾아라 .

풀이 ) 만일 특수해 성분 이 n=-1 일 때 0 이라면 , 균일해 성분은 초기조건이 이미 만족되기 때문에 필요 없음 .

(c) 부분의 결과로부터 이러한 상황은 x[0]=2 일 때 발생한다는 것을 알고 ,

이는 다음의 입력 신호 값에 대해서 필터의 회귀 공식을 사용함으로써 확인할 수 있음

2, 3, 4, 5, 6, 7, ….

y[-1]=0 이라고 가정하면

y [0] = 0.5(0) + 0.5(2) = 1.0

y [1] = 0.5(1.0) + 0.5(3) = 2.0

y [2] = 0.5(2.0) + 0.5(4) = 3.0…………

예상했던 대로 시작 과도응답과 균일해 성분은 발생하지 않음 .

예제 2.4