chapter 2 turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o v v h h ave h ins 5 laju perubahan bagaimana cara...
TRANSCRIPT
![Page 1: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/1.jpg)
Chapter 2
Turunan
1
![Page 2: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/2.jpg)
2.1 Turunan
2
![Page 3: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/3.jpg)
Mengapa Turunan Penting?
Kalkulus adalah matematika tentang perubahan, dan alatutama untuk mempelajari perubahan adalah turunan.
Kita akan mempelajari turunan dan beberapa aplikasinya, terutama dalam menghitung laju perubahan.
Laju perubahan, seperti kecepatan, percepatan, lajupertumbuhan populasi, dan banyak lagi yang lain, secaramatematis dideskripsikan dengan turunan.
3
![Page 4: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/4.jpg)
Ilustrasi
Jika gaya gesek dengan udara diabaikan, suatu objek yang dijatuhkan daritempat yang tinggi akan jatuh sejauh 𝑠 𝑡 = 16𝑡2 kaki dalam 𝑡 detik.
Berapakah kecepatan sesaat objek tersebut setelah 𝑡 = 2 detik?
Kecepatan rata-rata dari 𝑠(𝑡) pada selang [2,2 + ℎ] adalah
Menghitung kecepatan saat dengan memandang limit berikut
Artinya, setelah 2 detik, objek tersebut bergerak dengan laju 64 kaki per detik.
4
hh
h
h
shsVave
1664)2(16)2(16
2)2(
)2()2(
timeelapsed
traveleddistance
22
+=−+
=
−+
−+==
64)1664(limlim00
=+==→→
hVVh
aveh
ins
![Page 5: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Laju Perubahan
Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat 𝑓(𝑥)pada 𝑥 = 𝑐?
Tentukan laju perubahan rata-rata 𝑓(𝑥) pada saat 𝑥berubah dari 𝑥 = 𝑐 ke 𝑥 = 𝑐 + ℎ
h
cfhcf
chc
cfhcf
x
xfrateave
)()(
)(
)()()( −+=
−+
−+=
=
Hitung laju perubahan 𝑓(𝑥) pada 𝑥 = 𝑐 denganmenghitung limit laju perubahan rata-rata pada saatℎ menuju 0.
h
cfhcf
chc
cfhcf
x
xfrateave
)()(
)(
)()()( −+=
−+
−+=
=
![Page 6: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Laju Perubahan Fungsi Linear
Fungsi linear 𝑦(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 berubah dengan laju konstan𝑚. Artinya laju perubahan 𝑦(𝑥) diberikan oleh kemiringanatau gradien garis tersebut.
12
12
x in change
y in change
change of rateSlope
xx
yy
x
y
−
−=
=
=
=
![Page 7: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Laju Perubahan Fungsi Tak Linear
Untuk fungsi yang tidaklinear, laju perubahan tidakkonstan tapi bergantungpada nilai 𝑥.Laju perubahan pada 𝑥 = 𝑐diberikan oleh kemiringan(gradien) grafik 𝑓(𝑥) pada titik 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)), yang dihitung sebagai kemiringangaris singgung pada grafik di titik 𝑃.
![Page 8: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Kemiringan Garis SecanGaris secan adalah garis yang memotong grafik fungsi 𝑓 pada
titik (𝑥, 𝑓(𝑥)) dan (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)).
Laju perubahan rata-rata dapat dipandang sebagai kemiringangaris secan dari titik (𝑥, 𝑓(𝑥)) ke titik (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)).
![Page 9: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/9.jpg)
9
TurunanLaju perubahan rata-rata untuk fungsi 𝑓(𝑥) adalah
Turunan fungsi 𝑓(𝑥) terhadap variabel 𝑥 adalah fungsi𝑓’(𝑥) yang diberikan oleh
Proses menghitung turunan disebut penurunan. 𝑓(𝑥)dikatakan dapat diturunkan pada 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓’(𝑐) ada.
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
−+=
→
h
xfhxf )()( −+
![Page 10: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh
10
Tentukan turunan dari 35162)( 2 +−= xxxf
![Page 11: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Kemiringan sebagai Turunan: Kemiringan darigaris singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada titik (𝑐, 𝑓(𝑐))adalah
Laju Perubahan Sesaat sebagai Turunan: Lajuperubahan 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥 pada saat 𝑥 = 𝑐diberikan oleh 𝑓’ 𝑐 .
)(tan cfm =
Contoh.
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 𝑦 =𝑥 pada titik di mana 𝑥 = 4?
![Page 12: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh
12
Suatu pabrik menemukan bahwa jika 𝑥 ribu unit komoditasdiproduksi, maka keuntungan yang diperoleh adalah
dolar. Berapakah laju perubahan profit terhadap tingkat produksi𝑥 pada saat diproduksi 9 ribu unit?
120006800400)( 2 −+−= xxxp
![Page 13: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/13.jpg)
Makna Tanda Turunan
13
Jika 𝑓 dapat diturunkan pada 𝑥 = 𝑐, maka
𝑓 akan naik pada 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓’(𝑐) > 0 dan
𝑓 turun pada 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓’(𝑐) < 0.
![Page 14: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Notasi Lain dari Turunan
Untuk fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥), semua notasi berikutmerepresentasikan turunan dari 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥.
Jika ingin dievaluasi turunan pada 𝑥 = 𝑎, semua notasiberikut ekivalen.
![Page 15: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Turunan dan Kekontinuan
Jika fungsi 𝑓(𝑥) dapat diturunkan di 𝑥 = 𝑐, maka 𝑓 juga kontinu di 𝑥 = 𝑐.
Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak memiliki turunan.
Keempat fungsi ini tidak dapat diturunkan pada 𝑥 = 0.
![Page 16: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/16.jpg)
2.2 Teknik Penurunan
16
![Page 17: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Untuk konstanta 𝑐,
0=cdx
d
Karena 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑐 untuksemua 𝑥,
0lim)()(
lim)(00
=−
=−+
=→→ h
cc
h
xfhxfxf
hh
Aturan Fungsi Konstan
![Page 18: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/18.jpg)
Aturan Pangkat
Contoh.
18
Untuk 𝑛 bilangan real,1][ −= nn nxx
dx
d
2
1
2
1
23
2
1)()(
3)(
−
==
=
xxdx
dx
dx
d
xxdx
d
![Page 19: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/19.jpg)
Aturan Perkalian Konstan
19
Jika 𝑐 suatu konstanta dan 𝑓(𝑥) dapat diturunkan, maka demikian juga dengan 𝑐𝑓(𝑥) dan
)()( xfdx
dcxcf
dx
d=
3344 12)4(3)(3)3( xxxdx
dx
dx
d===
2/32/32/1
2
7)
2
1(7)7()
7( −−− =−−=−=−
xxxdx
d
xdx
d
Contoh.
![Page 20: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/20.jpg)
Aturan Penjumlahan
20
Jika 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dapat diturunkan, maka jumlah 𝑠(𝑥) =𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) juga dapat diturunkan dan
)]([)]([)]()([ xgdx
dxf
dx
dxgxf
dx
d+=+
3322 20)(2)7()()7( −−−− −=+−=+=+ xxdx
dx
dx
dx
dx
d
84
847575
2110
)7(3)5(2)(3)(2)32(
−
−−−
+=
−−=−+=−
xx
xxxdx
dx
dx
dxx
dx
d
Contoh.
![Page 21: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh
21
1. Tentukan persamaan garis singgung dari kurvapada 𝑥 = 16.
2. Diperkirakan bahwa 𝑥 bulan dari sekarang, populasi dari suatukomunitas ditentukan oleh
a. Berapakah laju perubahan populasi terhadap waktu 15 bulandari sekarang?
b. Berapakah perubahan populasi sebenarnya pada bulan ke-16?
xxxf 84)( −=
800020)(2 ++= xxxp
![Page 22: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Laju perubahan relatif dari 𝑄(𝑥) terhadap 𝑥 diberikanoleh
Persentase laju perubahan dari 𝑄(𝑥)terhadap 𝑥 adalah
Q
dxdQ
xQ
xQ
Q(x)
/
)(
)(
of change
of rate Relative=
=
)(
)(100
)( of change of
rate Percentage
xQ
xQ
xQ
=
Laju Perubahan Relatif dan Persentase Laju Perubahan
![Page 23: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh
23
Gross domestic product (GDP) dari suatu negara pada 𝑡 tahunsetelah 1995 adalah milyar dolar.
a. Berapakah laju perubahan GDP terhadap waktu pada tahun2005?
b. Berapakah persentase laju perubahan GDP terhadap waktupada tahun 2005?
1065)( 2 ++= tttN
![Page 24: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh
24
Misalkan , carilah semua nilai 𝑥 di mana 𝑝’(𝑥) > 0, 𝑝’(𝑥) = 0, atau 𝑝’(𝑥) < 0.
51232)( 23 +−−= xxxxp
![Page 25: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/25.jpg)
Pergerakan Sepanjang Garis
25
Jika posisi objek yang bergerak sepanjang garis lurus pada saat 𝑡 diberikan oleh 𝑠(𝑡), maka objek tersebut memilikikecepatan 𝑣(𝑡) = 𝑠’(𝑡) dan percepatan 𝑎(𝑡) = 𝑣’(𝑡).
Objek bergerak maju ketika 𝑣(𝑡) > 0, mundur ketika 𝑣(𝑡) <0, dan tidak bergerak ketika 𝑣(𝑡) = 0. Objek bergeraksemakin cepat ketika 𝑎(𝑡) > 0 dan bergerak semakinlambat ketika 𝑎(𝑡) < 0.
![Page 26: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh
26
Posisi suatu objek yang bergerak sepanjang garis lurus pada saat𝑡 adalah
a.Tentukan kecepatan objek dan diskusikan pergerakan di antara
𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4.
b.Tentukan jarak total yang ditempuh objek di antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4.
c.Tentukan percepatan objek dan tentukan saat di mana objekbergerak dipercepat dan diperlambat di antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4.
596)( 23 ++−= tttts
![Page 27: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/27.jpg)
27
The motion of an object:
596)(23 ++−= tttts
Interval Sign
of v(t)
Description
of Motion
0<t<1 +
Advancing
from s(0)=5 to s(1)=9
1<t<3 -
Retreating
from s(1)=9 to s(3)=5
3<t<4 +
Advancing
from s(3)=5 to s(4)=9
![Page 28: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/28.jpg)
2.3 Aturan Perkalian dan Pembagian,Turunan Tingkat Tinggi
28
![Page 29: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Turunan dari hasil kali dua fungsi bukanlah hasil kali dariturunan masing-masing fungsi! Hal serupa juga terjadi pada pembagian.
Aturan Perkalian dan Pembagian
Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥3 and 𝑔(𝑥) = 𝑥6.
![Page 30: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/30.jpg)
Aturan Perkalian
30
Jika dua fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dapat diturunkan di 𝑥, makaturunan dari f(x)g(x) adalah
atau,
)]([)()]([)()()( xfdx
dxgxg
dx
dxfxgxf
dx
d+=
fggffg +=)(
Contoh.
Gunakan aturan perkalian untuk memperoleh turunan dari
)2( 23 2 xxxy −=
![Page 31: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/31.jpg)
Contoh
31
Suatu produsen menemukan bahwa 𝑡 bulan setelah suatuproduk diperkenalkan ke pasar, 𝑥 𝑡 = 𝑡2 + 3𝑡 ratus unit
dapat diproduksi dan dijual dengan harga 𝑝 𝑡 = −2𝑡 Τ3 2 + 30dolar per unit.
a. Nyatakan penghasilan 𝑅(𝑡) dari produk ini sebagai fungsidari waktu.
b. Berapakah laju perubahan penghasilan terhadap waktusetelah 4 bulan? Apakah penghasil naik atau turun pada saat itu?
![Page 32: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/32.jpg)
Aturan Pembagian
32
Jika dua fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dapat diturunkan di 𝑥, maka turunandari 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) diberikan oleh
atau,
0)( if )(
)]([)()]([)(
])(
)([
2
−
= xgxg
xgdx
dxfxf
dx
dxg
xg
xf
dx
d
2
''')(
g
fggf
g
f −=
Contoh.
Gunakan aturan pembagian untuk memperoleh turunan dari
22 )2(
15
)2(
)1)(93()2(3)(
zz
zzzW
−=
−
−+−−=
![Page 33: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/33.jpg)
Gunakan Aturan yang MempermudahPerhitungan!
33
Turunkan fungsix
xx
xy
1
5
4
33
22
+++−=
![Page 34: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Turunan KeduaDalam berbagai aplikasi, kadang perlu dihitung laju perubahan darifungsi yang sudah merupakan laju perubahan.
Sebagai contoh, percepatan adalah laju perubahan kecepatanterhadap waktu.
Turunan kedua dari suatu fungsi adalah turunan dari turunan fungsitersebut. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥), turunan kedua dari 𝑓 dinotasikan sebagai
)(or 2
2
xfdx
yd
Catatan: Turunan 𝑓’(𝑥) disebut sebagai turunan pertama.
![Page 35: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/35.jpg)
Notasi Lain
35
Beberapa notasi untuk turunan kedua.
2
2
)( )(dx
fdxf
dx
dfxf ==
Contoh.
Suatu studi di suatu pabrik mengindikasikan bahwa pekerja yang datang pada Pk. 8:00 akan menghasilkan 𝑄 𝑡 = −𝑡3 + 6𝑡2 +24𝑡 unit produk setelah 𝑡 jam.
a. Hitunglah laju produksi pekerja pada Pk. 11:00.
b. Berapakah laju perubahan dari laju produksi pekerja terhadap
waktu pada Pk. 11:00?
ttttQ 246)( 23 ++−=
![Page 36: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/36.jpg)
Turunan ke-𝑛
36
Untuk suatu bilangan bulat positif 𝑛, turunan ke-𝑛 dari suatu
fungsi diperoleh dengan menurunkan fungsi tersebut berturut-
turut sebanyak 𝑛 kali. Jika fungsi adalah y=f(x), maka turunan
ke-𝑛 dinotasikan sebagai
)(or )( xfdx
yd n
n
n
Example.
Tentukan turunan kelima dari 𝑦 = 1/𝑥
![Page 37: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/37.jpg)
2.4 Aturan Rantai
37
![Page 38: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Ilustrasi
)unitper dollars( output respect towith
cost of change of rate
=
dq
dC
hour)per (units timerespect to with
output of change of rate
=
dt
dq
Misalkan biaya produksi dalam suatu pabrik adalah fungsi dari banyaknya unit yang dihasilkan, yang juga dapat dilihat sebagai fungsi dari waktu operasi pabriktersebut.Jika 𝐶, 𝑞, 𝑡, menotasikan biaya, banyaknya unit yang diproduksi, dan waktu, maka
Hasil kali kedua laju perubahan ini adalah laju perubahan dari biaya terhadapwaktu, yaitu
hour)per (dollars dt
dq
dq
dC
dt
dC=
![Page 39: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/39.jpg)
Aturan Rantai
39
Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) adalah fungsi yang memiliki turunan di 𝑢 dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) memiliki turunan di 𝑥, maka fungsikomposisi 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) juga memiliki turunan di 𝑥dan turunannya diberikan oleh
ataudx
du
du
dy
dx
dy=
)())(( xgxgfdx
dy=
![Page 40: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/40.jpg)
Contoh
40
1. Tentukan 𝑑𝑦
𝑑𝑥jika 𝑦 = 𝑥2 + 2
3− 3 𝑥2 + 2
2+ 1.
2. Tentukan turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥3
.
3. Tentukan turunan dari 𝑓(𝑥) =1
1+ 𝑥2+1.
4. Biaya produksi 𝑥 unit suatu komoditas adalah
𝐶 𝑥 =1
3𝑥2 + 4𝑥 + 53 dolar,
dan level produksi setelah 𝑡 jam adalah
𝑥 𝑡 = 0.2𝑡2 + 0.03𝑡 unit.
Berapakah laju perubahan biaya terhadap waktu setelah 4 jam?
![Page 41: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/41.jpg)
2.5 Analisis Marginal dan Aproksimasi
41
![Page 42: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Misalkan 𝐶(𝑥) adalah biaya untuk memproduksi 𝑥 unit suatukomoditas. Jika 𝑥0 unit sedang diproduksi, maka turunan
𝐶′ 𝑥0 = limℎ→0
𝐶 𝑥0 + ℎ − 𝐶(𝑥0)
ℎdisebut biaya marginal dalam memproduksi 𝑥0 unit.Dengan memandang ℎ = 1, turunan ini dapat digunakan untukmengaproksimasi perubahan biaya jika produksi ditambah 1 unit.
𝐶′ 𝑥0 ≈𝐶 𝑥0 + 1 − 𝐶(𝑥0)
1=𝐶 𝑥0 + 1 − 𝐶(𝑥0)
Analisis Marginal
Dalam ekonomi, proses penurunan yang digunakan untukmengaproksimasi perubahan kuantitas yang dihasilkan oleh peningkatan 1 unit dalam produksi disebut analisis marginal.
![Page 43: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/43.jpg)
Biaya Marginal
43
![Page 44: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Penghasilan marginal adalah 𝑅′(𝑥0), yang mengaproksimasi𝑅 𝑥0 + 1 − 𝑅(𝑥0), yaitu penghasilan tambahan yang dihasilkan karena penambahan 1 unit.
Penghasilan Marginal dan Keuntungan Marginal
Misalkan 𝑅(𝑥) adalah fungsi penghasilan yang terjadi pada saat 𝑥 unit komoditas diproduksi, dan 𝑃(𝑥) adalah fungsikeuntungan yang bersesuaian. Jika diproduksi 𝑥 = 𝑥0 unit, maka
Keuntungan marginal adalah 𝑃′(𝑥0), yang mengaproksimasi𝑃 𝑥0 + 1 − 𝑃(𝑥0), yaitu penghasilan tambahan yang dihasilkan karena penambahan 1 unit.
![Page 45: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/45.jpg)
Contoh
45
Suatu produsen mengestimasi bahwa jika x unit komoditas
diproduksi, biaya produksi adalah 𝐶 𝑥 =1
8𝑥2 + 3𝑥 + 98 dolar, dan
jika seluruh 𝑥 unit terjual maka harga jual adalah 𝑝 𝑥 =1
3(75 − 𝑥)
dolar per unit.
1. Tentukan biaya marginal dan penghasilan marginal.
2. Gunakan biaya marginal untuk mengestimasi biaya produksi unit ke-9.
3. Berapakah biaya sebenarnya untuk memproduksi unit ke-9?
4. Gunakan penghasilan marginal untuk mengestimasi penghasilanyang diperoleh dengan menjual unit ke-9.
5. Berapakah penghasilan sebenarnya yang diperoleh denganmenjual unit ke-9?
![Page 46: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/46.jpg)
Aproksimasi
46
Ingat bahwa 𝑓 ′ 𝑥0 = limℎ→0𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
ℎ.
Sehingga untuk ℎ yang amat kecil,
𝑓 ′ 𝑥0 ≈𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
atau
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 ≈ 𝑓 ′ 𝑥0 ℎ.
Jika 𝑓(𝑥) memiliki turunan di 𝑥 = 𝑥0 dan ∆𝑥 adalah perubahankecil dalam 𝑥, maka
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 ∆𝑥.
Jika ∆𝑓 = 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 , maka
∆𝑓 ≈ 𝑓 ′ 𝑥0 ∆𝑥.
![Page 47: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/47.jpg)
Prosentase Perubahan
47
Prosentase perubahan dalam fungsi 𝑓 adalah
100∆𝑓
𝑓(𝑥)≈ 100
𝑓′(𝑥)∆𝑥
𝑓(𝑥)
Contoh.GDP dari suatu negara 𝑡 tahun setelah 1997 adalah𝑁 𝑡 = 𝑡2 + 5𝑡 + 200 milyar dolar. Gunakan kalkulusuntuk mengestimasi prosentase perubahan GDP dalam
kuarter pertama di tahun 2005.
![Page 48: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/48.jpg)
Diferensial
48
Diferensial dari 𝑥 adalah 𝑑𝑥 =△ 𝑥.
Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) memiliki turunan, maka diferensial dari 𝑦adalah 𝑑𝑦 = 𝑓’(𝑥)𝑑𝑥.
![Page 49: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/49.jpg)
Contoh
49
Tentukan diferensial dari y=f(x).
27)( 23 +−= xxxfa.
b. )23)(5()( 22 xxxxf −−+=
![Page 50: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/50.jpg)
2.6 Turunan Implisit dan Laju
yang Berkaitan
50
![Page 51: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Fungsi dalam Bentuk Eksplisit
dan Implisit
23
2 1 and 32
1 13 xy
x
xyxxy −=
−
+=++=
Fungsi yang dituliskan sebagai y=f(x) dikatakan ditulis secaraeksplisit.
Contoh.
Namun kadangkala ada fungsi y yang tidak ditulis secara ekplisitdalam x. Fungsi yang demikian dikatakan ditulis dalam bentukimplisit.
Contoh.
yxyyxxyyyx 232 and 56 32332 +=++=−
![Page 52: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Penurunan Fungsi Implisit
Contoh.
1. Tentukan 𝑑𝑦/𝑑𝑥 jika
a. 𝑥2𝑦 + 𝑦2 = 𝑥3
b. 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑥𝑦
2. Carilah gradien garis singgung pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25pada titik (3,4). Bagaimana dengan gradien pada titik (3,-4)?
![Page 53: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/53.jpg)
Aplikasi
53
Misalkan produksi pada suatu pabrik adalah 𝑄 = 2𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 𝑦3
unit, dengan 𝑥 adalah banyaknya jam kerja dari pekerja terlatih dan 𝑦 adalah banyaknya jam kerja dari pekerja tak terlatih. Pada saat ini, terdapat 30 jam kerja dari pekerja terlatih dan 20 jam kerja daripekerja tak terlatih.
Gunakan Kalkulus untuk mengestimasi perubahan yang harusdilakukan dalam jam kerja dari pekerja tak terlatih 𝑦 jika terjadipeningkatan 1 jam kerja dari pekerja terlatih, di mana tingkatproduksi t𝑒tap dijaga.
![Page 54: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/54.jpg)
Laju yang Berkaitan
54
Dalam beberapa aplikasi, x dan y dihubungkan dalam suatupersamaan dan dapat dianggap sebagai fungsi dari variable ketiga t, yang sering dianggap merepresentasikan waktu.
Penurunan implisit dapat dilakukan untuk mengaitkan dx/dtdan dy/dt. Masalah yang demikian disebut masalah laju yang berkaitan.
![Page 55: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051510/5c90856209d3f2907b8c0251/html5/thumbnails/55.jpg)
Contoh
55
1. Dalam suatu perusahaan, jika 𝑞 ratus unit dari suatu komoditasdiproduksi, biaya produksi adalah 𝐶 ribu dolar, dengan 𝐶2 − 3𝑞2 = 4275.
Ketika 1500 unit diproduksi, tingkat produksi bertambah dengan laju 20unit/minggu. Berapakah biaya pada saat itu? Dan berapakah lajuperubahan biaya pada saat itu?
2. Suatu kilang minyak lepas pantai rusak akibat badai. Terjadi kebocoranyang mengakibatkan minyak keluar dengan laju tetap 60 𝑚3/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡, yang kemudian membentuk genangan minyak berbentuk lingkaran denganketebalan 25 𝑐𝑚.
Seberapa cepat jari-jari genangan bertambah pada saat jari-jarinya 70 𝑚?
Misalkan kebocoran dapat diatasi sehingga tumpahan minyak terhentipada saat laju perubahan jari-jari genangan adalah 0.2 𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡. Berapakah volume minyak yang tertumpah ke laut?