บทที่ 3 การบิด (Torsion)3.1 เกริ่นนํา3.2 การหาสมการของการบิด3.3 หนาแปลน3.4 ความเคนเฉือนตามแนวยาว3.5 การบิดของทอผนังบาง; การไหลของความเคนเฉือน

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 1

3.1 เกริ่นนํา (Introduction)• การบิดเกิดขึ้นในเพลาที่ใชในการสงกาํลังอนัเปนผลจากแรงบิด (Torque) หรอืชิ้นสวนรับแรงตางๆที่ไมใชเพลาสงกาํลังแตมีแรงกระทําในแนวขนานกับหนาตัดขวาง ณ ตําแหนงที่เยือ้งศูนยออกไปจากจุดเซน็ทรอยดของหนาตัด• การเสียรูปจากการบิด จะเปนการเสียรูปเชิงมุม• ความเคนที่เกิดขึ้นในแตละจุดบนหนาตัดจะมีขนาดแปรผัน• ในบทนี้ จะศกึษาเกี่ยวกับการบดิของเพลากลมและทอผนงับางเทานั้น

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 2

• เนือ่งจากความเคนที่เกิดขึ้นมคีาไมคงที่ จงึไมสามารถเริ่มตนหาสมการตางๆไดในลักษณะเดียวกันกับชิ้นสวนที่รับแรงในแนวแกน เหมอืนในบทที่ 1 โดยมีหลักการที่สําคัญในการหาสมการ อยู 3 ขอ คอื

1. ความสัมพนัธของความเคนและการเสียรูปตองเปนไปตามกฎของฮุค (Equations of Compatibility)2. แรงบิดกระทําภายนอกและแรงบิดตานภายใน ตองเปนไปตามสมการสมดุล (Equations of Equilibrium)3. ตองมั่นใจวาคําตอบที่ไดจากขอ 1 และ 2 ตองสอดคลองกับเงือ่นไขที่ขอบของปญหา (ซึง่ตามทฤษฎีวาดวยความยดืหยุนนัน้ จะมคีําตอบเดียวเทานั้น)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 3

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 4

3.2 การหาสมการของการบิด• ตัง้สมมุติฐานหลังเกิดการบิด เพือ่หาสมการ ดงันี้

1. หนาตัดยังคงเปนวงกลมเหมอืนเดมิ2. ระนาบยังคงเปนระนาบเหมอืนเดิม ไมมีการบดิเบี้ยว3. เสนแนวรัศมีใดๆในหนาตัดขวาง ยังคงเปนเสนตรงเหมอืนเดิม4. แรงบิดที่กระทํา ตองอยูในแนวระนาบซึ่งตั้งฉากกับแกนความยาวของเพลา5. ความเคนที่เกิดขึ้นตองไมเกิน Proportional limit

• มีการเสียรูปเชิงมุมของจุด D ไปเปนระยะทางโคง DE โดย (ก)• เกิดเปนหนวยความเครียดเชิงมมุตอความยาวของเพลา (ความเครียดเฉือน)โดยถือวาการเสียรูปเกิดขึน้นอยมาก เปน (ข)

• จากกฎของฮุค จะไดความเคนเฉือน เปน (ค)

ρθδ == DEs

LLs ρθδγ ==

ρθγτ ⎟⎞

⎜⎛==GG

⎠⎝ L

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 5

• สมการ (ค) คือสมการ Compatibility โดยเทอมในวงเล็บเปนคาคงที่ (ตามสมมุตฐิานขอ 1-3) แสดงวา ความเคนแปรผันโดยตรงกับรัศมีของเพลา• จากหลักการขอที่ 2 ความเคนเฉือนในหนาตัดขวางของเพลานี้ ตองตานกับแรงบดิกระทําภายนอกตามเงือ่นไขของสมดุล ดังนั้นเพื่อใหเกิดผลของการตานทานมากที่สุดทิศทางของความเคนเฉือน (หรือแรงเฉือน) ตองตั้งฉากกับรัศมขีองเพลา

• สมดุลของแรงบิด:

แทนคาความเคนเฉือนจาก (ค) จะได:∫ ∫=== )( dAdPTT r τρρ

∫= dAL

GT 2ρθ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 6

• เนื่องจากเทอมในเครื่องหมายอินติเกรทคือคาโมเมนตความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนโพลารของหนาตัด จึงลดรูปสมการลงเปน (ง)

• หรือ เขียนในอีกรูปแบบหนึ่งไดเปน (3.1)

โดยมุมของการบิดนี้ ตองอยูในหนวยเรเดยีน (ไมใชองศา)• หรือโดยการแทนคาเทอมในวงเล็บของสมการ (ค) ลงในสมการ (ง) จะได

(3.2)

• สมการ (3.2) มีชื่อเรียกวา สมการของการบิด • ในทางปฏบิัตแิลว เราจะสนใจเฉพาะคาสูงสุดของความเคนเฉือนเทานั้น ซึ่งจะเกิดขึ้นที่ขอบนอกสุดของเพลา นั่นคือ

(3.2ก)

JL

GT θ=

JGTL

=θ

JTρτ =

JTr

=maxτกลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 7

โดยการแทนคาโมเมนตความเฉือ่ยรอบแกนโพลารของพื้นที่ จะได• สําหรับเพลาตัน (3.2ข)

• สําหรับเพลากลวง (3.2ค)

• สําหรับเพลาสงกําลัง ขนาดกําลังที่สงผานได (หนวยวัตต หรือ นิวตัน.เมตร/วินาท)ี จะสัมพันธกับคาแรงบิดและความเรว็ในการหมุนของเพลา (ในหนวยเรดียนตอวินาที) โดย (3.3)

• ตามปกติแลว ความเร็วในการหมุนของเพลามักจะกาํหนดเปน รอบ/หนวยเวลา ดังนั้นจึงตองมีการแปลงหนวยใหถูกตองกอนการแทนคาในสมการ (3.3) (บอกเปนรอบ ใหคูณดวย เพื่อแปลงหนวยเปนเรเดยีน บอกเปนนาที ใหหารดวย 60 เพื่อแปลงเปนวินาที)

33max162

dT

rT

ππτ ==

ωT=Ρ

)(16

)(2

4444max dDTD

rRTR

−=

−=

ππτ

π2

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 8

ตัวอยางที ่3.1เพลากลมตันในโรงโมยาว 3 เมตร ใชสําหรับสงกําลังขนาด 20 kW ที่ความเร็วการหมุน 2 รอบ/วินาที ใหหาขนาดเสนผาศูนยกลางของเพลานี ้ถาไมตองการใหความเคนเฉือนเกิน 40 MPa และมุมบิดมีคาไมเกิน 6 องศา กําหนดใหเพลาทาํจากวัสดุที่มีคา G = 83 GPa

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 9

ตัวอยางที ่3.2เพลากลมตัน 2 ทอน มีขนาดและคุณสมบัติดังรูป ตอเขาดวยกันตรงกลางและอีกปลายยึดเขากับผนังอยางแข็งเกร็ง โดยมีแรงบิดขนาด 1 kN.m กระทํา ณ บริเวณรอยตอพอดีใหหา ความเคนเฉือนที่เกิดขึ้นจริงในแตละวัสดุ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 10

ตัวอยางที ่3.3เพลากลมตันทําดวยเหล็กกลามขีนาดเสนผาศูนยกลางคงที่ 50 มม. ตลอดความยาว 6.5 เมตร โดยมีแรงบิดกระทําตอเพลาผานทางเฟอง 4 ตัวดังรูป ใหหาขนาดมุมบิดของปลายเพลา A เมื่อเทียบกับ D กําหนดใหเหล็กกลามีคา G = 83 GPa

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 11

3.3 หนาแปลน (Flanged bolt couplings)• การตอเพลาสามารถทําไดในหลายวิธ ีเชน เชื่อมปลายเพลาเขาดวยกันโดยตรง เชื่อมหนาแปลนเขากับปลายเพลาและใชสลักเกลียวยึดหนาแปลนเขาดวยกัน

• การตอดวยหนาแปลน จะถือวาความเคนกระจายในสลักเกลียวทุกตัวอยางสม่ําเสมอ• แรงที่สลักเกลียวแตละตัวสามารถรับได คือ

• แรงบิดที่สลักเกลียวทุกตัวรวมกนัตานได คือ (3.4)

τπτ4

2dAP ==

RndPRnT τπ4

2

==

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 12

• ในกรณีทีม่ีการยึดสลักเกลียวเพิม่เปน 2 วง โดยมจีํานวนสลักเกลียว n1 ตัวอยูในระยะรัศมี R1 และมจีํานวนสลักเกลียว n2 ตัวอยูในระยะรัศมี R2 จะถือวา ความเคนเฉือนในสลักเกลียวแปรผันโดยตรงกับรัศมี ดังนั้น

(3.5)

โดยสลักเกลียวทุกตัวตองเหมอืนกันทุกประการ ทั้งชนิดวัสดุและขนาด222111 nRPnRPT +=

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 13

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 14

3.4 ความเคนเฉือนตามแนวยาว (Longitudinal shearing stress)

• ความเคนเฉือนตามแนวหนาตัดขวางจะเหนี่ยวนําใหเกิดความเคนเฉือนตามแนวยาวเสมอ• โดยการคิดสมดุลของโมเมนตรอบเสน gh จะได

• ในที่สดุจะไดวา• ความเคนเฉือนตามขวางมขีนาดเทากับความเคนเฉือนตามแนวยาว ณ ตําแหนงเดียวกัน แตมีทศิทางของความเคนในลักษณะทีจ่ะทาํใหเกิดโมเมนตของแรงรอบจดุใดๆตรงกันขามกัน

( ) ( ) 0. =′− θτθτ rddrdxdxrddr

ττ =′

3.5 การบิดของทอผนังบาง: อัตราการไหลของความเคนเฉือน (Torsion of thin-walled tube : Shear flow)

• ทอผนังบางหมายถึงทอรูปทรงใดๆที่มีความหนานอยมากเมือ่เทียบกับขนาดความกวางของหนาตัด • การหาสมการของการบิดของทอผนังบาง จะใชประโยชนจากความเคนเฉือนตามแนวยาวซึ่งมีขนาดเทากับความเคนเฉือนตามแนวขวาง• ความเคนเฉือนตามแนวยาวจะทําใหเกิดแรงรวมในผนังทอตามแนวความยาว โดย

และ LqLdtF

t

t ∆=∆= ∫− 12

211

1

1τ LqLdtF

t

t ∆=∆= ∫− 22

222

2

2τ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 15

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 16

• เนื่องจากยังไมทราบการแปรผันของความเคนเฉือน จงึกําหนดให

มีชื่อเรียกวา อัตราการไหลของความเคนเฉือน (Shear flow)•เนื่องจากไมมแีรงภายนอกในแนวแกนใดๆกระทําตอทอ (มีเฉพาะแรงบิด) ดังนั้นสวนของทอที่พจิารณาจึงอยูในเงื่อนไขสมดุลของแรงตามแนวความยาว นั่นคือ

หรือ

• แรงบิดตานที่เกิดจากความเคนเฉือนตามขวางสามารถเขียนไดวา• โดยที่ เทอม rdL จะมีคาเทากับ 2 เทาของพื้นที่ที่แรเงาเสมอ ดังนั้น จากความจริงดังกลาว จะไดวา

(3.7)โดยที่ A หมายถึงพื้นที่ภายในของเสนกึ่งกลางความหนาของทอผนังบางหรือ เขยีนในรูปของความเคนเฉือนเฉลี่ย ณ ความหนา t ใดๆไดเปน (3.8)

LqLq ∆=∆ 21 21 qq =

∫−= 2

2

t

t dtq τ

∫= rqdLT

AqT 2=

AtT

tq

2==τ

ตัวอยางที ่3.4ทอกลวงมีหนาตัดเปนรูปครึ่งวงกลม มีขนาดดังรูป ใหหาขนาดของแรงบิดที่จะทาํใหเกิดความเคนเฉือนในผนังทอนี้ 40 MPa (ถือวาไมตองคิด stress concentration บริเวณที่มกีารหักมมุของผนัง)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 17