CHAPTER 3Moment Distribution

• Objectives1. เพื่อใหเ้ขา้ใจวเิคราะห์ของโครงสร้าง Statically Indeterminate ดว้ยวธีิ Moment Distribution (MOM-DIS)

2. เพื่อใหท้ราบและเขา้ใจสมการ joint equilibrium

3. เขา้ใจพฤติกรรมของคานและเสา ท่ีมี sidesway, no sidesway

Method of Analyzing Indeterminate Structure

• Moment Distribution• Developed by Prof Hardy Cross 1930• ใชก้ารหาค่า joint moment ในคานต่อเน่ืองและโครงสร้างแขง็

• Principles and Definition• เป็นวธีิการประมาณอยา่งต่อเน่ือง โดยสมมุติฐานวา่ joint เป็น

fixed ดว้ย unlocking และ locking แต่ละ joint แลว้ moment ภายในมีการกระจายจนกวา่ joint จะหมุนตวัไปในตาํแหน่งสุดทา้ย

General Principles

• Sign Convention เหมือนกบั slope-deflection

• Fixed-End Moments (FEMS)

• Member Stiffness Factor

• Joint stiffness factorLEIK 4

Derivation of Slope-Deflection Eqs

• Moment due to angular displacement @A, θA

• เพื่อท่ีจะหา MAB จะหา disp เราจะใชว้ธีิ conjugate bm method

4

2

AB A

BA A

EIMLEIML

General Principles• Distribution Factor (DF)

• เศษส่วนของ ตา้นแรง moment ท่ีไดรั้บมาจาก ช้ินส่วนโครงสร้าง

KKDF

KK

MMDF

i

iii

General Principles• Member relative stiffness factor

• ส่วนมาก คานต่อเน่ืองกบัโครงดดัจะมาจากวสัดุเดียวกนั ทาํใหค่้า modulus มีค่าคงท่ี

• Carry-over factor

LIKR

AA 2 ; 4

LEIM

LEIM BAAB

ABBA MM 5.0

Example 1

• จงหาค่า DF

kNmwLFEM

kNmwLFEM

CB

BC

800012

)(

800012

)(

2

2

Example 1 cont’d

• เราเร่ิมจาก assume Joint B เป็น fixed หรือ locked

• FEM@B จะยดึ span BC ในตาํแหน่งท่ียดึ• เราจะตอ้ง apply ขนาด 8000 N.m ท่ีมีขนาดเท่ากนัแต่ทิศทางตรงกนัขา้ม ไปท่ี joint เพื่อให ้joint หมุดอยา่งอิสระ

Example 2

• จงหาค่า internal moment @ support

Example 2 cont’d

Stiffness-Factor Modification

• กรณีท่ีผา่น เราจะเห็นไดว้า่ MOM DIS มี fixed support ท่ีปลาย เม่ือมีการ carry over ของ moment

• ในบางกรณีเราสามารถ ปรับเปล่ียนค่า factor เพื่อให ้ขั้นตอนของวธีิ MOM DIS ไม่ซบัซอ้น

• ถา้ในกรณี ท่ีมี pin support ท่ีปลายคานเราจะไดว้า่

3AB A

EIML

Stiffness-Factor Modification

• (cont’d) member ทีมี pin support ท่ีปลายคาน เราจะได้• Stiffness factor

• Carry over factor = 0 เพราะวา่ pin support ไม่สามารถรับแรง moment ได้

• ถา้ทาํการเปล่ียนเทียบ ระหวา่ง fixed และ pin support จะเห็นได้วา่ stiffness factor จะเป็น 3/4

3EIKL

Stiffness-Factor Modification

• Symmetric BM & Loading

• BMD จะเป็นรูปสมมาตร• จะเห็นไดว้า่ internal MOM @ B, C จะมีค่าเท่ากนั• สมมุติใหค่้าเท่ากบั M บน span BC

Stiffness-Factor Modification

• Symmetric BM & Loading (cont’d)

• เราจะได ้MOM ของคร่ึงคาน สามารถหาค่า stiffness factor ได้

LEIK

LEIM

EIMLV

LLEIMLVM

B

BC

2

22

'

02

)(' - 0'

Stiffness-Factor Modification

• Symmetric BM & Asymmetric Loading

• พิจารณา BM ตามรูป เราจะได ้internal MOM @ B มีค่าเท่ากบั MOM @C แต่เคร่ืองหมายตรงขา้ม

Stiffness-Factor Modification

• Symmetric BM & Asymmetric Loading (cont’d)

• สมมุติให ้มีค่า MOM = M

LEIK

LEIM

EIMLV

LLEIMLL

EIMLV

M

B

B

C

6

66

'

0622

16

522

1)(' -

0'

Moment Distribution for Frames:No Sidesway

• ขั้นตอนทัว่ไป เหมือนกบัใน BM

Example 3 จงหา internal moment @joint, @E เป็น pinned, @D fixed

Example 3 cont’d

Moment Distribution for Frames: Sidesway• ในการหาค่า internal moment และ การเซ @joint ดว้ยวธีิ moment

distribution เราจะไดใ้ชว้ธีิ principle of superposition

• โครงสร้างดดั หรือ frame จะรับการเซดว้ยการ สร้าง joint support ข้ึนมาเพื่อนรับการแรง

• เราจะหาค่า แรงท่ีรับจาก R จาก sidesway ได้

Moment Distribution for Frames: SideswayMulti-story Frames• Multistory frameworks may have several independent joints disp• Consequently, the moment distribution analysis using the above

techniques will involve more computation• The structure shown can have 2 independent joint disp since the

sidesway of the first story is independent of any disp of the second story

Moment Distribution for Frames: SideswayMulti-story Frames• These disp are not known initially• The analysis must proceed on the basis of superposition• 2 restraining forces R1 and R2 are applied• The fixed end moments are determined & distributed• Using the eqn of eqm, the numerical values of R1 and R2 are then determined• The restraint at the floor of the first story is removed & the floor is given a disp• This disp causes fixed end moment (FEMs) in the frame which can be assigned

specific numerical values• By distributing these moments & using the eqn of eqm, the associated numerical

values of R1’ and R2’ can be determined• In a similar manner, the floor of the second story is then given a disp• With reference to the restraining forces we require equal but opposite application of

R1 and R2 to the frame such that:

111

222

"'''

"'''

RCRCR

RCRCR

Moment Distribution for Frames: SideswayMulti-story Frames

• Simultaneous solution of these eqn yields the values of C’ and C”• These correction factors are then multiplied by the internal joint

moments found from moment distribution • The resultant moments are found by adding these corrected

moments to those obtained for the frame

Example 4

• จงหา moment @joint, EI มีค่าคงท่ี

Example 4 cont’d

• จงหา moment @joint, EI มีค่าคงท่ี

Example 4 cont’d

• จงหา moment @joint, EI มีค่าคงท่ี

Example 4 cont’d

• จงหา moment @joint, EI มีค่าคงท่ี

Example 4 cont’d