chapter 4 指數函數與對數函數

Chapter 4 指數函數與對數函數 4-1

Chapter 4 指數函數與對數函數課程內容

指數函數對數函數對數函數的導數指數函數的導數經濟學上的兩個應用：

相對變化率與需求彈性

指數成長與衰退

學習目標指數函數與對數函數的意義及其圖形

如何求指數函數與對數函數的導數

指數函數與對數函數在經濟學上的應用

瞭解成長與衰退的指數模型


指數函數本章，將介紹兩類重要函數，即指數函數 (exponen

tial function) 與對數函數 (logarithmic function) ，進而探討這些函數的特性，導數以及在經濟學和其他領域上的應用。

定義 4-1: 設 a > 0 且 a 1 ，則 f(x) = ax 稱為以 a 為底 (base) 的指數函數，其中 x 稱為指數 (exponent) 。

4-1 指數函數


描繪指數函數圖形描繪 f(x) = 2x 之圖形。

描繪之圖形。 xxf21)(

4-1 指數函數


指數函數之性質及圖形定理 4-1: 設 f(x) = ax 為指數函數，則

(a) f(x) 之定義域為 ( , ) 。 (b) f(x) 之值域為 (, ) 。(c) f(x) 之 y 截距為 f(0) = a0 = 1 ，但無 x 截距。(d) f(x) 為連續函數。(e) 若 a > 1 ，則 f(x) 為遞增函數，，

，其圖形如左圖所示。(f) 若 0 < a < 1 ，則 f(x) 為遞減函數，，

，其圖形如右圖所示。

)(lim xfx

0)(lim

xfx

0)(lim

xfx

)(lim xfx

4-1 指數函數


最典型的指數函數的例子，即所謂的複利 (compounded interest) 問題。假設我們將本金 (principal) P0 元存到某家銀行，銀行的存款利率 (interest) 為 r ( 例如 r 為 8%) 且每年複利一次，試問 n 年後本利和為多少？

複利問題

解 : 設 P(n) 表示 n 年後的本利和，則顯然地一年後的本利和為

)1()1( 000 rPrPPP

4-1 指數函數

二年後之本利和為

20 )1()1)(1()1()1()2( rPrPrPPP

依此類推，我們得到 n 年後之本利和為nrPnP )1()( 0


複利問題銀行的利率通常以年利率為準，但是有些銀行可能依顧客的需求而每半年複利一次，即每年複利二次；每季複利一次，即每年複利四次；每月複利一次，即每年複利十二次。

假設將本金 P0 存放於銀行，年利率為 r 且每年複利 k 次，即每 365/k 天複利一次。在這種情況下，每次複利之利率為 r/k 而一年後之本利和為

n 年後之本利和為k

krPP )1()1( 0

nkkrPnP )1()( 0

4-1 指數函數

Chapter 4 指數函數與對數函數 4-74-1 指數函數

求本利和將 1000 元存放於銀行，年利率為 6% 且每年複利一次，試問

5 年後之本利和為多少？

將 1000 元存放於銀行且銀行之年利率為 8% 。 (a) 每年複利一次，試問 2 年後之本利和為多少？

(b) 每半年複利一次，試問 2 年後之本利和為多少？

(c) 每季複利一次，試問 2 年後之本利和為多少？

(d) 每個月複利一次，試問 2 年之本利和為多少？

1338)06.01(1000)5( 5 P

1166)08.01(1000)2( 2 P

1170)04.01(1000)1(1000)2( 44208.0 P

1174)0067.01(1000)1(1000)2( 24241208.0 P

1172)02.01(1000)1(1000)2( 88408.0 P


現值在上述的論述中，我們得到

其中 P(n) 為 n 年後的本利和，屬於未來的價值。

現在我們逆向思考，假設 n 年後，我們可拿回本利和 P(n) ，那麼 P0 即所謂的現值 (present value) 。因此，現值

nkkrPnP )1()( 0

nkkrnPP )1)((0

求現值 : 某家銀行年利率為 6% 且每半年複利一次，求 4 年後 10000 元之現值為何？

7894)1(10000 8206.0

0 P

4-1 指數函數


求折價一部價值 36000 元之個人電腦，每年的折價率為 2

0% ，試問這部電腦 3 年後價值多少？

4-1 指數函數

解 : 如同在複利的情況，我們可將折價率視為 0.2 ，因此， 3 年後電腦之折價為

36000(10.2)3=36000(0.8)3=18432

元。


複利的次數趨近於無窮大時若銀行每年複利的次數頻率趨近於無窮大時，則 n 年後之本利和應該為

nrx

xx

nr

k

rn

k

nkkr

k

P

P

P

PnP

rk

rk

rk

rk

)1(lim

)1(lim

)1(lim

)1(lim)(

10

10

10

0

令rkx

是否存在？

xxx)1(lim 1

4-1 指數函數


自然指數定義 4-2: 稱為自然指數 (n

atural exponent) 。定義 4-3: 連續複利 (continuously compounded interes

t)

將本金 P0 元存於年利率 r 的銀行裡，在連續複利之下， t 年後之本利和為 P(t) = P0ert。

定義 4-4: 連續複利之現值銀行之年利率為 r ，連續複利， t 年後 P 元其現值為 P0 = Pert。

71828.2)1(lim 1

xxx

e

4-1 指數函數


求連續複利之現值銀行之年利率為 6% ，在連續複利之下， 10 年後之 50

00 元其現值為多少？

連續複利求連續複利之本利和

將 1000 元存放於年利率 8% 之銀行裡，連續複利， 2 年後之本利和為多少？

117410001000)2( 16.0)2(08.0 eeP

274450005000 6.0)10)(06.0(0 eeP

4-1 指數函數


自然指數函數定義 4-5: y = ex 稱為自然指數函數 (natural exponenti

al function) 。

4-1 指數函數


自然指數函數之圖形若 k > 0 ，則 y = ekx 之圖形如左圖所示， y = ekx

之圖形如右圖所示。

0 , key kx

4-1 指數函數


隨堂演練 4-1

1. 描繪 y = 3x 與 y = 3x 之圖形。

2. 將 1000 元存放在年利率 8% 之銀行裡，求下列各種情況下， 10 年後之本利和。a. 每年複利一次。b. 每季複利一次。c. 每月複利一次。d. 連續複利。

3. 在漲跌幅 7% 的台北股票市場，某一支股票，每股以 50 元上市交易，連續漲停 10 個交易日，求第 10 個交易日之收盤價。

4. 求極限

5. 描繪函數 y = 2 + ex 與 y = 2 + ex 之圖形。

x

x

x

x xx

21

1lim ,2

11lim

4-1 指數函數


對數函數定義 4-5: 設 a > 0 且 a 1 。若 a y = x ，則 y 稱為以 a 為底 (base) x 之對數 (logarithm) ，通常表示成 y = loga x 且 y 稱為以 a 為底之對數函數 (logarithmic function) 。

求對數求 log2 8 。求。

4-2 對數函數

9log31


對數函數之性質及圖形定理 4-2: 設 f(x) = loga x 為對數函數，則

(a) f(x) 之定義域為 (0, ) 。 (b) f(x) 之值域為 (, ) 。(c) f(x) 之 x 截距為 1 ，即 loga 1 = 0 ，但無 y 截距。(d) f(x) 為連續函數。(e) 對任意 x > 1 ，；對任意數 y ，。

(f) 若 a > 1 ，則 f(x) 為遞增函數，，且其圖形如左圖。

(g) 若 0 < a < 1 ，則 f(x) 為遞減函數，，且其圖形如右圖。

xa xa log ya ya log

)(lim xfx

)(lim0

xfx

)(lim xfx

)(lim0

xfx

4-2 對數函數


對數的基本運算法則對數的基本運算法則 :

函數的化簡化簡 f(x) = log2 x7 log2 x5 。

xrx

yx

yxxy

ar

a

aayx

a

aaa

loglog

logloglog

logloglog

4-2 對數函數


常用對數函數、自然對數函數定義 4-6: y = log10 x 稱為常用對數函數 (common lo

garithmic function) ，通常表示成 y = log x ，即 y = log x 若且唯若 10y = x 。

定義 4-7: y = loge x 稱為自然對數函數，通常表示成 y = ln x ，即 y = ln x 若且唯若 ey = x 。

求對數求 log 1000 。求 log 0.001 。求 ln e8。求 ln e0.2。

4-2 對數函數


解方程式求 105x = 2 之解。

求 3e2x = 18 之解。5

2log

5

2log52log10log52log10log

x

xx

x

26ln

2

2

2

6lnln26lnln

6

183

xex

e

e

e

x

x

x

求 102x 2(10x) 3 = 0 之解。

3log310

0310

0110

0)110)(310(

03)10(2)10(

03)10(2102

2

x

x

x

x

xx

xx

xx

4-2 對數函數


變底公式變底公式 (change base formula) ：

求對數求 log2 10 。

ax

ab

bxlogloglog

ax

a xlnlnlog

3222.310log6931.03026.2

2ln10ln

2

4-2 對數函數


求雙倍期 (doubling time)將本金 P0 存放於年利率為 6% 之銀行，每年複利一次，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？

將本金 P0存放於年利率為 8% 之銀行，連續複利，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？

8885.112ln)06.1ln(

2)06.1()06.01(2

0582.06931.0

06.1ln2ln

00

nn

PP nn

7263.82ln08.0

2

08.06931.0

08.02ln

08.000

tt

ePP t

4-2 對數函數


對數函數的應用求學習時間

某人練習中文打字，練習到第 t 週時，此人每分鐘可打 f(t) = 20(1 e0.5t) 個中文字，試問此人練習幾天以後，每分鐘可以打 5 個中文字？

訊息之傳播某一重大訊息經媒體報導，在 t 小時以後，得到這個訊息之比率為 f(t) = 1 e0.4t，試問多久以後 80% 的人都接收到這個訊息？

5754.0)75.0ln(5.0

75.025.01

5)1(205)(

5.02877.0

5.0

5.0

5.0

tt

ee

etf

t

t

t

4)2.0ln(4.0

2.08.01

4.06094.1

4.0)2.0ln(

4.0

4.0

tt

ee

t

t

4-2 對數函數


隨堂演練 4-2

1. 求 log4 64 與 log 0.001 。

2. 化簡 log2 x(x + 1) log2

(x + 1)2。

3. 求 22x = 16 與 9x 6(3x) + 9 = 0 之解。4. 將一筆錢存放在年利率 10% 之銀行裡，連續複利，試問幾年後其本利和為本金之 2 倍？

5. 描繪 y = ln (2x) 與之圖形。)ln(1x

y

4-2 對數函數


對數函數的導數定理 4-3: 設 f(x) = ln x ，則 f(x) 為可微函數且

，即。

定理 4-4: 若 u(x) 為正值可微函數，則 f(x)= ln u(x) 為可微且，即。

定理 4-5: loga x 為可微函數且。若 u(x) 為可微的正值函數，則 loga u(x) 為可微且

。

4-3 對數函數的導數

xxf 1)(

xdxd x 1ln

)()()(

xuxuxf )(

)()(lnxuxu

dxd xu

xaadxd x 1

ln1log

)()(

ln1)(log

xuxu

aadxd xu


對數函數的導數求 ln (x2 + x + 1) 之導數。

求 y = ln x 在 x = 1 之切線方程式。

判別 y = ln x 圖形之凹性。

求 ln (1.1) 之線性近似。

求 f(x) = ln (x2 + 1)10 之導數。



對數函數的導數 (a) 求 f(x) = log3 x 之導數。 (b) 求 g(x)= log3 (x4 + 1) 之導數。

求 f(x) = (x2 + 1) ln (x2 + 8) 。

求之導數

設 x > 0 ， f(x) = xx，求 f '(x) 。

4

743

1

)2(

x

xxy



隨堂演練 4-31. 求下列函數之導數：

2. 利用對數微分法求下列函數之導數：

3. 求 ln (0.9) 與 ln (1.01) 之線性近似。

4. 求 y = x + ln x 在 x = e 之切線方程式。

5. 描繪 y = x + ln x 之圖形。

1

1log c.

)13(log b.)7ln( a.

5

x

xy

xyxy

32

7

3322

)1(

)5( c.

)1( b.

)5()1( a.

x

xy

xy

xxyx



指數函數的導數定理 4-6: 設 f(x) = ex，則 f(x) 為可微函數且 f '(x)

= ex ，即。定理 4-7: 若 u(x) 為可微函數，則 eu(x) 亦為可微函數且

定理 4-8: 設 a > 0 ， a 1 。則 ax 為可微函數且

若 u(x) 為可微，則 au(x) 亦為可微且

4-4 指數函數的導數

xxdxd ee

)()()( xuee xuxudxd

xxdxd aaa )(ln

)()(ln )()( xuaaa xuxudxd


指數函數的導數求之導數。

求 y = ex 在 x = 0 之切線方程式。

判別 y = ex 圖形之凹性。

求 e0.01 之線性近似。

12xe



指數函數的導數 (a) 求 f(x) = 2x 之導數。 (b) 求之導數。

求 (a) (b)

求之相對極值。

)( xdxd xe

2)1()( xexg

2)( xexf

)1ln( xdxd e



隨堂演練 4-41. 求下列函數之導數：

2. 求之相對極值並描繪其圖形。

3. 求之線性近似。

4. 某公司經銷某種商品，其需求函數為 x = D(p) = 500e0.2p。求收入函數 R(p) 與邊際收入函數 R'(p) 。

5. 證明函數為遞增函數並描繪其圖形。

)1ln( c.

b.

3 a.

2

2

5

2

xey

exy

y

x

x

x

12 xey

5.0

1

e

2)( xxexf



經濟學上的應用定義 4-7: 相對變化率 (relative rate of change)

設 f (t) 為可微函數且 f (t) 0 ，則 f (t) 之相對變化率為。

求相對變化率郵局之存款由公元 2000 年起預估總額為 ( 其中 t 以年為單位 ) ，試問 16 年後郵局存款總額之相對變化率為何？

某公司在 t 年時其負債總額為 (萬元 ) ，試問該公司在第 8 年時其負債之相對變化率為何？

4-5 經濟學上的兩個應用

)()()(ln

tftf

dtd tf

tetS 2)(

31300)( tetf


需求彈性假設 x = D(p) 為一需求函數，需求量之相對變化率為且售價之相對變化率為。因此，

定義 4-8: 設 x = D(p) 為需求函數，則需求彈性為

若 E(p) > 1 ，則需求具彈性 (elastic) 。若 E(p) < 1 ，則需求不具彈性 (inelastic) 。若 E(p) = 1 ，則需求為單位彈性 (unit elasticity) 。

)(ln pDdpd p

dpd ln

)()(

1)()(

ln

)(lnpDpDp

p

pDpD

dpd

dpd

p

pD

售價之相對變化率

需求量之相對變化率

)()()(

pDpDppE



設 x = D(p) = 20 p2 為需求函數，求 p = 2 和 p = 4 之需求彈性，並作適當之解釋。

需求彈性

解 : 所以， E(2) = 8/16= 1/2 = 0.5 ，即當 p = 2 時，需求不具彈性； E(4)= 32/(2016) = 8 ，即當 p = 4 時，需求具彈性。

2

2

2 20

2

20

)2()()()(

p

p

p

pppDpDppE


在 p = 2 時， 1% 單位售價之變化只引起 0.5% 需求量之變化。

E(4) = 8 表示在 p = 4 時， 1% 單位售價之變化引起 8% 需求量之變化。


某家早餐店老闆估計每天三明治的需求函數為 D(p) = 60 p ，求三明治之售價 p = 10 元時之需求彈性。

需求彈性

解 :

所以， E(10) = 10/50 = 0.2 ，故在 p = 10 時，需求不具彈性，即當售價為 10 元時， 1% 之售價變化只引起 0.2% 之需求量變化。

pp

pp

pDpDppE

6060)(

)()(



需求彈性的功能需求彈性的功能是用來決定當單位售價為 p 時，為了增加總

收入，我們應該提高或降低單位售價的策略。設 x = D(p) 為一需求函數，則總收入為 R = px = pD(p) 。

當 E(p) < 1 時，即需求不具彈性， R'(p) > 0 ，所以提高售價可以增加總收入。

當 E(p) > 1 時，即需求具彈性， R'(p) < 0 ，所以降低售價可以增加總收入。

當 E(p) = 1 時，即需求為單位彈性， R'(p) = 0 ，此時總收入為最大。

))(1)(()](1)[(

)1)(()()()(

)()(

)()(

pEpDpD

pDpDppDpR

pDpDp

pDpDp



隨堂演練 4-51. 求下列函數之相對變化率

函數：

2. 求下列函數在指定 t 時之相對變化率：

3. 求下列函數在指定 p 時之需求彈性：

4. 若商店販售某種商品，其需求函數為 D(p) = 200 10p ，試問 p 為多少時，其需求為單位彈性：

5. 設需求函數為 x = 5e2p，證明需求彈性為價格的 2 倍。

2)( b.

1)( a. 2

tetf

tttf

4 ,9)( b.

2 ,)( a.2

12

tttf

tetf t

6 ,)4(

200)( b.

5 ,10100)( a.

2

pp

pD

pppD



指數成長與衰退在自然科學及社會科學裡，某些函數 N(t) 的變化常常遵循以下法則： N(t) 在時間 t 的變化率與在 t 時的量 N(t) 成比率，即 N'(t) = kN(t) ， k 為比率常數。

連續複利的問題，族群的成長，細菌的培養和放射性物質的衰變等都屬於這種現象。

以複利的問題來印證，設將 P0 元存放於年利率為 r 之銀行裡，在連續複利之下， t 年後之本利和為 P(t) = P0ert。因此， P'(t) = P0rert = rP(t) 。

4-6 指數成長與衰退


指數成長與衰退假設某個函數 N(t) 滿足 N'(t) = kN(t) ，那麼， N(t) = ？

從複利的例子中，可猜測 N(t) = N0ekt， N0 = N(0) 為一常數。事實上這是正確的，至於如何求得，我們將其留到第十章討論微分方程式時再加以探討。

在 N(t) = N0ekt 中， k 稱為成長常數 (growth constant)。若 k > 0 ，則 N(t) 稱為指數成長 (exponential growth) 。

若 k < 0 時， N(t) 稱為指數衰退 (exponential decay) 。 4-6 指數成長與衰退


某一果園果蠅的成長率和當時的果蠅數成比率，若在開始時有 100 隻果蠅，第 5 天時果蠅數為 200 隻，試問 20 天後果蠅之總數為何？

解 : 設 N(t) 表時間 t 時之果蠅數，由題意知 N'(t) = kN(t) 且 N(0) = 100 ，因此， N(t) = 100ekt 。

族群之成長

再根據題意， N(5) = 200 ，所以 200 = 100e5k 。即 e5k = 2 ， 5k = ln 2 ， k = ln 2 /5 。所以，。在 20 天後之果蠅數為

tetN 5

2ln

100)(

1600)2(100100100)20( 42ln42052ln

eeN



放射性物質之衰退設某一放射性物質之退化率和當時的量成比率。若原來有 100毫克之放射性物質經過 10 天後衰退至 80毫克，試問其半衰期為多久？即何時衰退至 50毫克。

t

kk

kt

etN

keeNetN

)ln(54

101

541010

54

101

100)(

ln80100)10(100)(

31 ln)ln(

10050

5ln4ln2ln10

ln

ln

21

54

101

21ln)ln(

54

101

21

54

101

54

101

TT

eeTT



隨堂演練 4-61. 設 N(t) 為一函數滿足 N'(t) = 5N(t) ，求 N(t) 。2. 設 N(t) 為一函數滿足 N'(t) = 5N(t) 且 N(0) = 2 ，求 N(t) 。

3. 設 y' 3y = 0 且 y(0) = 1 ，求 y 。4. 已知細菌的培養過程中，成長率與當時的細菌數成比率，以 100 個細菌開始培養，第二天之細菌數為 200 ，求第 t 天之細菌總數。

5. 承上題，試問幾天後其細菌之總數為原來的 4 倍。

4-6 指數成長與衰退束第四章結

chapter 4 指數函數與對數函數

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