Chapter 5 –Part : Ⅱ Stresses in Beams 梁的应力

§1 Normal stresses in beams梁的正应力

§2 Moment of Inertia 惯性矩

§3 Shear stresses in beams 梁的切应力

§4 Strength analysis of beams 梁的强度条件

§5 Rational design of beams 梁的合理设计 §6 Combined bending and axial load

弯拉 ( 压 ) 组合

§1 Normal stresses in beams梁的正应力

Introduction Experiment & Assumptions Normal stresses in beams

历史回顾

伽利略像

Introduction

伽利略指出：

如果杆件断裂，断口将发生在 B 部位 .原因：固接的边缘充当施力杠杆 BC的支点，而杆的厚度 BA则是杠杆的另一臂，沿 BA作用有抗力。此抗力阻止墙内部分与墙外部分分离

PB

C

A

( )2

hbh P l

2 2

2 2

P l M

bh bh

马略特的研究 (1680) ： 马略特作了伽利略所作的实验

发现有的纤维拉伸，有的纤维压缩

PB

C

A

2 2

3 3

P l M

bh bh

假定断裂时梁的悬臂段绕 B旋转，并得出纵向纤维所 受的拉力与其到 B的距离成正比的结论。

PB

C

A

2

6

P l

bh

弯曲正应力

弯曲切应力

dA dA

FS

M

弯曲时横截面上的应力

Stresses in beams

Normal stresses － Shear stresses －

能实现对称弯曲：矩形、圆形、工字型、 T 字型。

• 梁至少有一个纵向对称面（即横截面至少有一根对称轴） , 而外力就作用在此对称面内 ; 此时，梁的变形必然对称于纵向对称面，变形后的梁轴线为一条平面曲线。 The applied loads act in the plane of symmetry and the bending of the beam occurs in that plane

Symmetric bending 对称弯曲

Pure bending 纯弯曲 ：横截面上只有弯矩The condition of constant bending moment (no shear force)

对称纯弯曲的弯曲正应力分析

横截面上的内力与应力的关系：A

M ydA 弯曲应力问题是一个静不定问题

Experiment

Transverse line 横线：仍为直线，仍与纵线正交； Longitudinal line 纵线：变为曲线，上缩短，下伸长； Thickness 上宽度变宽，下宽度变窄。

（ Pure and symmetric bending)

Experiment & Assumptions

Plane Assumption( 平面假设 ) : The entire transverse section of the beam , originally plane , remains plane and normal to the longitudinal fibers of the beam after bending 横截面变形后仍保持平面，仍与纵线正交

② Assumption on the fibers under uni-axial tension and compressio

n 各纵向”纤维” ，处于单向受力状态 :

no interaction between longitudinal fibers

Assumptions

The top surface is in compression and the bottom in tension. Obviou

sly, there must exist a surface parallel to the upper and lower faces of th

e member where no elongation and no stress exist. This surface is calle

d the neutral surface ( 中性层 ).

Neutral axis( 中性轴 )– the intersection of neutral surface with any cross section, symmet⊥ric axis

一侧伸长，一侧缩短

存在既不伸长，也不缩短的面

有关中性轴位置的历史讨论： 在伽利略梁应力分析模型中不存在中性轴； 马略特的梁应力分析模型 :由于计算错误，中性轴位于 截面的下边缘或位于截面中间得到了相同的结果；

1700 年左右雅各布 .伯努利认为自己首先发现梁弯曲时一 边受拉、另一边受压，但无法确定中性轴的位置。最后 提出“中性轴位置无关紧要”的结论。 1713 年法国学者帕伦假定中性轴不通过截面型心，横截面 上拉力和压力呈不同的三角形分布。但他认识到了截面上 的内力必须与载荷平衡。 1819 年，纳维提出可以由横截面上的拉力对中性轴的力 矩等于压力对该轴的力矩的条件来确定中性轴的位置。 1826 年，纳维应用静力学三个平衡方程，得出了正确的 结论。

Normal stresses in symmetric bending beams

Compatibility equation

dd)d(

)( y

y

0)( y

Constitutive equation

)()( yEy

0)()( yGy y

yE

ρ=? Where is the neutral axis?

Statics equation (a) )(

y

Ey

(b) 0d AA (c) d MAy

A

parallel force system in space

MAyE

A d2

(a)(b) 0d AAy 0

d

A

Ayy A

C

The neutral axis passes through the centroid of cross section 中性轴通过截面形心

(a)(c)

Az AyI d 2

z

)(I

Myy

zEIM

1

(d)

(d)(a)

EIz: flexural rigidity

Moment of inertia of cross section with respect to z

结论中性轴过截面形心

zEIM

1

z

)(I

Myy

中性轴位置：

截面弯曲刚度）－（ zEI

zWMmax

抗弯截面系数）－（ zW

正应力公式：

中性层曲率：

pmax ，对称弯曲 , 纯弯与非纯弯

惯性矩）－（ zI

应用条件：

max

zmax

y

IM

IMy

z

max zW

Mmax

section modulus in bending maxy

IW z

z

一些易混淆的概念

对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横 向外力时 的受力与变形形式 纯 弯 曲－杆段各截面的弯矩为常数、剪力为 零的内力状态 中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的坐标轴 弯曲刚度 EI －代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数 Wz －代表梁截面几何性质对弯曲 强度的影响

中性轴 neutral axis 与形心轴 Centroidal axis

对称弯曲 symmetric bending 与纯弯曲 pure bending

截面弯曲刚度 flexural rigidity 与抗弯截面系数 section modulus

§2 Moment of Inertia惯性矩

Moment of first order and moment of inertia

Moment of inertia of simple section

Parallel axis theorem Examples

Moment of first order and moment of inertia静矩与惯性矩

Az AyS d

First moment of area ( 静矩 , 一次矩 )

Second moment of area (moment of inertia 惯性矩 )

n

iizz SS

1

n

iizz II

1

Az AyI d2 4[L]

3[L]CAy

－ the first moment of the area of cross section with respect to z( 截面对 z 轴的静矩 )

－ the moment of inertia of cross section with respect to z( 截面对 z 轴的惯性矩 )

n

iCii yA

1

Moment of inertia of simple section( 简单截面惯性矩 )

Rectangular section

hbh

Wz

212

3

Az AyI d2

Circular section

AIA

d2p zII 2p

642

4p dI

I z

32

264

34 dd

dWz

ybyh

hd

2/

/2-

212

3bh

6

2bh

AzyA

d)( 22 yz II

Polar second moment of area

Moment of inertia

Parallel axis theorem

Parallel axis theorem( 平行轴定理 )

C － centroid

Az AyI d2

20

20 d2d AaAyaAyI

AAz

20 AaII zz

AyIAz d 2

00

Similarly ： 20 AbII yy

0d 0 AAy

Az AayI d2

0

and between ipRelationsh0zz II

简单截面对形心轴的惯性矩——直接计算或查表 简单截面对任意轴的惯性矩 ——平行移轴定理

例： 求下图所示截面的形心位置

60

10

50

50

y

zA1

A2

1 1 2 2

1 2

c cc

y A y Ay

A A

例： 求下图所示截面对 z 方向形心轴的惯性矩

y

z

100

100

10

10

20

20

A4

A1

A2

A3

1 、求形心轴位置

1i

n

c ii

c

y Ay

A

2 、求对形心轴的惯性矩z0

0

2

1 1

( )n n

i iz z z i i

i i

I I I a A

Examples

A beam section with the dimensions shown is subjected to a bending moment of 1800 N-m about its centroidal axis, as shown. Determine the normal stress due to bending.

The centroid is determined using the table below

The moment of inertia is determined from

T beam

The stress at A is tensile. Point A is 63 - 24.75 = 38.25 mm (0.0382 m) from the neutral bending axis

The stress at B is compressive. Point B is 24.15- 18= 6.75 mm (0.00675 m) from the neutral bending axis

Examples

Beam AB is subjected to the two 6 kN forces shown. The cross section of the beam has the dimensions shown(channel beam). Determine the maximum tensile and compressive stresses in the beam.

The centroid is determined using the table below.

Note that section 2 is subtracted from section

The moment of inertia is determined from

The normal stress due to bending on the bottom (0.1155 m from the neutral bending axis) is compressive and is defined by

The normal stress due to bending on the top of the beam (0.0645 m from the neutral bending axis) is tensile and is defined by

Examples

已知：梁用№ 18 工字钢 ( I beam) 制成 , Me=20 kN•m, E

=200 GPa 。计算：最大弯曲正应力 max, 梁轴曲率半径

解： 1. 工字钢

一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材（ GB 706-88）

45 m 1066.1 zI 34 m 1085.1 zW

№18 工字钢：

Me=20 kN•m ， E=200 Gpa ，求 max

与

2. 应力计算

3. 变形计算

mkN 0.20e MM

45 m 1066.1 zI 34 m 1085.1 zW

MPa 1.108max zW

M

zEIM

1

m 166M

EI z

已知：钢带厚 =2mm, 宽 b=6mm, D=1400mm, E=20

0GPa 。计算：带内的 max 与 M

解： 1. 问题分析

y

E

maxmax

yE

zEIM

1

应力～变形关系：

内力～变形关系：

已知钢带变形，求钢带应力与内力

带厚 =2 mm, 宽 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa ，求 max 与 M

22 D

max

max

yE

2. 应力计算

MPa 285maxmax

y

E2max

y

3. 弯矩计算

zEIM

1

zEI

M 12

3

bE mN 141.1

m 701.0

m 100.1 3

§3 Shear stresses in beams弯曲切应力

Shear stresses in rectangular beam 矩形截面梁弯曲切应力 Shear stresses in a thin-walled beam 薄壁梁弯曲切应力 Comparison of normal and shear stresses in a beam 弯曲

正应力与切应力比较 Examples

D.J.Jourawski( 俄国铁路工程师 1821-1891): 材力分析法

历史

枕木开裂

梁在非纯弯段，横截面上一般同时存在剪力和弯矩， 此时，横截面上同时存在弯曲正应力和弯曲切应力。

梁横截面窄而高；

Shear stresses in rectangular beam

Assumptions

① The shear stresses are parallel to the shear force Fs and the vertical

sides of the cross section (y)// 截面侧边 (Shear stress in pair )

Problemslender rectangular beam (h>b)

② The distribution of the shear stresses is uniform across the width of

the beam (y) 沿截面宽度均匀分布

Shear stresses in a beam of narrow rectangular cross-section矩形截面梁弯曲切应力

xF

by

dd1

)(

bI

SFy

z

z )()( S

Sz(w) － the first area moment with respect

to the neutral axis z of that part of the cross section w located under the line m-n.面积 w 对中性轴 z 的静矩

Fx'b,Fx dd 0

dAF

xM

bI

Sy

z

z

dd)(

)(

d* AyIM

z z

z

I

MS )(

bI

SFy

z

z )()( S

y

hy

hbSz 22

12

)(

2

2S 4

123

)(hy

bhF

yAFS

max 23

12

3bhI z

2

2

42y

hb

h/b越大，解越精确。 (h/b>2 时，足够精确 )

Warping of cross sections of a beam due to shear非纯弯梁截面翘曲

Warping of cross sections 横截面翘曲

When FS=Const ， ab=a’b’ 。若相邻横截面的剪力相同，则翘曲变形也相同

（ （

The deformation of longitudinal fibers is unaffected by Fs

纤维的纵向正应变不受剪力的影响

Non-uniform shear stressNon-uniform shear strain

When FS≠ Const ，当 l » h 时，纯弯正应力公式仍然相当精确。If l > 5h ， the formula of derived for pure bending has enough precision in the case of non-uniform bending

Shear stresses in a thin-walled beam

Thin-walled I-beam工字形薄壁梁

z

z

I

SFy

)()( S

Assumptions :// 腹板 ( 翼缘 ) 侧边 // sides of the web(or flan

ge); and 厚度方向均匀分布 unifo

rmly distributed across the thic

kness 。

)4-()-(8

)( 22220

S yhhhbI

Fy

z

－ y 下侧部分截面对中性轴 z 的静矩（ first area moment with respect to the neutral axis z of that part of the cross section located under y. ） (0)max )

2(min

h

Variation of shear stresses in an I-beam

腹板：

( )( ) S z

z

F Sy

I b

2 2 2 20( ) [ ( ) ( 4 )]

8S

z

Fy b h h h y

I

翼缘：

翼缘与腹板的交接处：应力分布较复杂，有应力集中现象

zI

hF

2)( S

zI

hbFb

4)

2( S

A box beam

)4-(2)-(612

)()( 2222

0SS yhhhb

IF

I

SFy

zz

z

腹板：

盖板与腹板的交接处：

应力分布较复杂，有应力集中现象

y

zC

根据对称性， A 、 B 端的剪应力为0

A

B

Comparison of normal and shear stresses in a beam弯曲正应力与切应力比较

22max

6

6bhFl

bhFl

bhF

23

max

hl

Fbh

bhFl

4326

2max

max

When l >> h ， max >> max

Examples

Cantilevered beam BC has a 14kN end load applied as shown. At section D, determine the shear stress at point A (42 mm below the top of the beam), knowing

For this cantilevered beam the reactions at the fixed end are

FB = 14kN , M = 16.8 kN-m

Since the shear force is constant, the Fs and M diagrams are as shown

To compute the shear stress at A, we will determine Sz for the flange and then the web.

Sz,flange = (200)(28)(61) = 341,600 mm3

Sz,web = (100)(14)(40) = 56,000 mm3

At A the first area moment is

Sz,flange +Sz,web

τA = 1.128 MPa

Examples

例 FS = 15 kN ， Iz = 8.8410-6 m4 ，b = 120 mm ， mm ， yC = 45 mm ，求 max 、腹板与翼缘交接处切应力 a

352

max m 100392

)( .yb

S C,z

MPa 667maxSmax .

I

SF

z

,z

35- m 108.40)-2

( Ca,z yb

bS

MPa 137S .I

SF

z

aa

解：

解：

例 已知梁段剪力 FS，试分析铆钉之受力

12S2 FF'F

212

SFF

'F

z

z

ISM

F 11

zS －上翼板对中性轴 z 的静矩

z

z

ISM

F 22

eFMM S12

z

z

I

SeF'F

2S

S

12S2 FF'F

Two beam sections are fastened by 16mm-diameter bolts spaced 25mm apart as shown. A 3.2kN shear force is applied in the direction indicated. Determine

the shear stress in each bolt.

Using the beam sections shown, we must determine the area moment of inertia for the composite beam and q at the interface of the two beams, where the bolts are located.

The moment of inertia with respect to the neutral axis of the entire beam is

The first area moment of inertia at the bolts is

The shear flow is defined by

The shear flow is related to the bolt spacing and force carried by each bolt through q=F/s

Therefore, the force along the top row of bolts is F = qs = (6.165 kN/m)(0.025 m) = 0.154 kN

The area of each bolt over which the force is distributed is

The shear stress in each bolt is

思考题

图示矩形截面纯弯梁，其应力 - 应变为非线性关系，用 表示。

仿照推导线弹性材料梁正应力公式的步骤进行。

线弹性材料梁几何方面的关系式 y 能否用于此处？

物理方面的关系式如何？正应力是否仍沿梁高度线性分布？

静力学方面的两个关系式如何？中性轴是否仍通过截面形心？

B

hbh

yM2

25322

2501

hbB

M

B 为材料常数。此关系式对于拉伸和压缩均适用。试推导在对称弯曲时的曲率公式和正应力公式 ( 已知平面假设成立 ) 。

§4 Strength analysis of beams梁的强度条件

State of stress in a beam 梁的应力状态 Strength analysis of beams 梁的强度条件 Examples 例题

State of stress in a beam Beam with solid section 实心截面梁

Element a, c － uni-axial stress 单向应力

Element b － pure shearing 纯剪切

Thin-walled beam薄壁截面梁

c , d － uni-axial stress 单向应力a 点处－ pure shearing stress 纯剪切

b － complicated state of stress复杂应力状态

d

Strength analysis of beams 梁的强度条件

uni-axial stress ：

pure shearing stress ：

complicated state of stress

][max

][max

max–Maximum stressin bending 最大弯曲正应力

allowable stress under pure shearing stress 材材材材材材材材材

（ Chapter 8）

allowable stress under uni-axial load 材材材材材材材材材材

maxMaximum shear stressin bending 最大弯曲切应力

Strength analysis of beams 梁强度条件

Long beam except thin-walled one 细长非薄壁梁

② Short, or thin-walled beam 短而高梁、薄壁梁、 M 小 FS 大的

梁

maxmax ][max

][max ][max

If the allowable stresses are different for tension and compression , it may be desirable to use an unsymmetrical cross section

][tmax, t ][cmax, c

A steel bar of rectangular cross-section, 10 cm deep and 5 cm wide, is bent in the planes of the longer sides. Estimate the greatest allowable bending moment if the bending stresses are not to exceed 150 MN/m2 in tension and compression.

Examples

The bending moment is applied about Cx.

Solution

The second moment of area about this axis is

Ix =1/12

(0.05) (0.10)3 = 4.16 x 10-6 m2

The bending stress

If the greatest stresses are not to exceed 150 MN/m2, we must have

The greatest bending stresses occur in the extreme fibers where y = 5 cm. Then

M= 6250 Nm

Examples

例 简易吊车梁， F =20 kN ， l = 6 m ， [] = 100 MPa ，[] = 60 MPa ，选择工字钢型号

解： 1. 内力分析

lFl

F)(

)(S

FFF (0)SmaxS,

lFM

1)(

4max

FlM

2. 按弯曲 条件选截面

][4 Fl

Wz 选 № 22a, Wz=3.09×10-4 m4

3. 校核梁的剪切强度

max

max

,z

z

S

IF ][MPa 1114 .

44 m 1003 .

图示桥式工字形截面吊车钢梁，梁上小车可沿梁轴线移动，两轮对梁的压力均为 P 。已知 P=8kN ， L=6m ， d=0.8m ，梁的截面为 No20a工字形截面， [] =160MPa ，试校核该梁的强度

解：（ 1 ）先确定 Mmax 及其所在位置

支反力 RA

M’(x)=0 ，得最大弯矩所在位置：x1=L/2-d/4

代入弯矩方程，得

2 ）校核梁的强度查《附录》， No20a 工字形截面的 Wz=237cm3

强度满足。

)22( dxLL

PRA

)22()( dxLxL

PxRxM A

2max )

2(

2

dL

L

PM

][23.88maxmax MPa

W

M

z

例 铸铁梁， y1 = 45 mm ， y2 = 95 mm ， [t] = 35

MPa ， [c] = 140 MPa ， Iz =8.84材10-6 m4 ，校核梁的强度

解：

MD －最大正弯矩 MB －最大负弯矩

危险截面－截面 D, B

 

对于脆性材料梁来说，危险截面是否一定发生在 Mmax   处？

daBD yy,MM da

危险点－

z

Da I

yM 2 MPa 859- .

z

Db I

yM 1 MPa 328.

z

Bc I

yM 2 MPa 633.

MPa 859maxc, .a

MPa 633maxt, .c

c

t

a, b, c

截面 D

截面 B

Un-symmetric Bending of Beams with Doubly Symmetric Cross Section双对称截面梁的非对称弯曲

对称弯曲 :中性轴垂直于外力作用面 --对称弯曲属于平面弯曲。 双对称截面梁的非对称弯曲： 可分别计算出作用在两个对称面内的载荷在同一点产生的正应力，然后迭加而成。

（ 1）计算载荷分量：设 P 与 y 轴成 a 角，则沿 y,z 轴的分量为： Py=Pcos a ； Pz=Psi

n a

（ 2）求弯矩： Py使梁在 xy 平面内产生对称弯曲， Pz使梁在 xz 平面内产生对称弯曲，距自由端为 x 处的 mm 截面的弯矩为Mz=Pyx=Pcos a ·x   My=Pzx=Psin a ·x 

求任意点处的正应力，应分别考虑My 和Mz引起的正应力，并由弯矩的转向直观判断正应力是拉或压。 A 点处的弯曲正应力为以上两个应力的代数和：

z

z

y

yA I

yM

I

zM

设横截面 mm对 y、z轴的惯性矩分别为 Iy和 Iz

中性轴的确定 :

一般情况下， ≠α，故非对称弯曲时中性轴不垂直于外载荷作用面（图 8.1-6），属于斜弯曲，只有当 =00 ， 900 时（即只有 Mz或只有 My作用时），或者当 Iy=Iz时（例如圆形截面，正方形截面等），才出现例外情形。而这些例外情形均属于对称弯曲。

由中性轴上各点的正应力为零的条件，即可确定中性轴的位置：

由上式可以看出，中性轴 n-n 为一条通过横截面形心 C的直线。令中性轴 n-n 与 z轴夹角为，外载荷 P与 y轴的夹角或合成弯矩 M与 z轴的夹角为 α，则

0z

z

y

y

I

yM

I

zM

tgI

I

IM

IM

z

ytg

y

z

yz

zy

例 Fy =Fz =F = 1.0 kN ， a = 800 mm ，截面高 h = 80 m

m ，截面宽 b = 40 mm ， [] = 160 MPa ，校核梁强度

解： 1. 问题分析

分别位于 x-y 与 x-z 平面的两个对称弯曲的组合 用叠加法求解

Beams having two axes of symmetry in the cross-section

2. 内力分析

危险截面 FaM,FaM zAyA 2－截面 A

Fy =Fz =F

3. 应力分析 FaM,FaM zAyA 2

危险点

z

zA

y

yA

W

M

W

Mmax 22

662bh

FahbFa MPa 5146.

4. 强度校核 危险点处于单向应力状态 ][ max

分别作用 t,max 与 c,max, 且数值相等

=+

－ d, f

图示悬臂梁，承受载荷 F1 与 F2 作用，已知 F1=800N ， F2=1.

6kN ， l=1m ，许用应力 [σ]=160MPa 。试分别按下列要求确定截面尺寸： (1) 截面为矩形， h=2b ； (2) 截面为圆形。

z

zA

y

yA

W

M

W

Mmax(1)

(2)z

zy

W

MM 22

max

§5 Rational design of beams梁的合理强度设计

Selection of a beam cross section 选择梁的合理截面形状 Non prismatic beam 变截面梁

Rational load distribution of beam

梁的合理受力

Selection of a beam cross section

Most of the material of beam should be located as far as possible f

rom neutral axis. 将较多材料放置在远离中性轴的位置，

][][

t

c

t

yycSymmetric

Ductile Material Brittle Material

The distances to the extreme fibers in tension and compression are

in the same ratio as the respective allowable stresses.

Mainly pay attention to normal strength, with consideration of shear strength and stability of the web注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性

The web can not be too thin 腹板不能过薄

Non prismatic beam

][)()(

xWxM

FxxM )(6

)()(

2 xbhxW

][6

)(bFx

xh

][)(2)(3 S

xbhxF

1][23

)( hbF

xh

FxF )(S

Beam of constant strength （ fully stressed beam ） :等强度梁－各截面具有同样强度的梁

Rational load distribution of beam梁的合理受力

Arrangement of restrictions 合理安排约束

a = ? [F] is maximum

Arrangement of loads 合理安排加载方式

MFl/4

+

MFl/4-Pa

Pa Pa

+- -

la a

F FP P

la a

§6 Combined bending and axial load 弯拉 ( 压 ) 组合

Combined bending and axial load 弯拉 (压 )组合

Eccentric axial load 偏心拉压 Core of a cross section 截面核心 Examples 例题

Combined bending and axial load 弯拉 (压 )组合

Combined bending and axial load弯拉组合

Eccentric axial load 偏心拉伸

（ 外 力 平 行 与 偏 离 轴线）

（横向载荷＋轴向载荷）

Stresses caused by combined bending and axial load

AFN

zIyMmax

M zW

MAF max

max

MN zI

yMAF max

][max

Critical points危险点－ axial load 单向应力

Internal force － FN ，M

Eccentric axial load 偏心拉压

偏心压缩 (外力向形心简化 )Combined bending and compressing 弯压组合

z

z

y

y

I

yM

I

zMM

zy FeM yz FeM

z

y

y

z

I

yFe

I

zFe

AF

AF

-N

Eccentric compression

Core of a cross section 截面核心

z

y

y

z

I

yFe

I

zFe

AF

0z

y

y

z

I

yFe

I

zFe

AF

Neutral axis 中性轴

01

z

y

y

z

I

ye

I

ze

AFunction of neutral axis中性轴方程

偏心距愈小，中性轴离形心愈远

Core of a cross section 截面核心

There is a small region around the centroid such that a compressive load acting within that region will produce no tension at any point of cross section. This region is called the core of the section.使横截面仅受压之偏心压力作用点的集合，称为截面核心When a compressive load acts on a material that is very weak in tension, such as ceramic material or concrete, the load should act within the core of the section脆性材料杆偏心承压时，外力作用点宜控制在截面核心内。

例题

例 6-1 F = 10 kN ， l = 2 m ， e = l / 10 ， 材

MPa ，选择工字钢型号

解： 1. 计算简图cos30e eFM cos30FFF xC sin30FFy

2. 内力分析

3. 截面型号初选

][N z

AA

WM

AF

][A

z

MW

选 № 12.6, Wz=7.75×10-4 m4 , A=1.81×10-3 m2

4. 校核与修改设计

№12.6 满足强度要求，否则修改设计

按弯曲强度初步设计

][z

A

WM

z

AA

WM

AF N

max ][MPa 5111 .

45 m 10175 .

解： 1. 第 1 象限内截面核心之边界

22

66

bh

Fe

hb

Fe

bhF yz

C 0

例 6-2 确定矩形截面的截面核心

166 he

be yz

第 1象限内截面核心之边界－直线 1-2

2. 其余象限内截面核心之边界

22

66

bh

Fe

hb

Fe

bhF yz

D

166 he

be yz －边界 2-3

同理：得边界 3-4 与 4-1

0

Thanks

期中复习

基本概念与理论

大，如铁丝受压）（载荷不大，变形却很（保持原有平衡形式）

（抵抗变形）（抵抗破坏）

稳定性刚度强度

经济矛盾

安全基本要求合理设计

材料力学的基本假设 : 连续性假设 ;均匀性假设 ;各向同性假设杆受力和变形的形式杆受力和变形的形式 : : 拉压 - 杆 , 扭转 - 轴 , 弯曲 - 梁

基本概念基本概念 :: ，，内力、应力 ( 正应力与切应力 ) 、应变（正应变 , 切应变）应变能

基本定律：基本定律：切应力互等定理、胡克定律、剪切胡克定律、圣维南原理、 叠加原理

材料力学的任务与研究对象

材料的力学性能

塑性材料

e －弹性极限e －弹性应变p －塑性应变冷作硬化

000 100

l

l

001 100

A

AA

b-强度极限

s-屈服极限p- 比例极限

低碳钢四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符合胡克定律，结束点称为比例极限）、屈服阶段(滑移线 )（屈服极限）、强化阶段（强度极限）、局部变形 (颈缩 )阶段 (名义应力下降 , 实际应力上升 )

p0.2 －名义屈服极限 E-弹性模量 材泊松比

沿梁轴线的内力分布（包括刚架）：• Fs: 跟着箭头走，段内变化看q面积• M: 顺时针向上走，段内变化看 Fs 面积

内力分布 （截面上应力的合力）

内力方程、内力图（内力形象表示：端值、极值、正负号 )

符号： 1.FN: 拉力为正 2.T:扭矩矢量离开截面为正 3.Fs:使保留段顺时钟转 M:使保留段内凹为正 刚架 、曲杆M: 不规定正负，画在受压一侧

内力方程、内力图

截面法

危险截面

qdx

dQ Q

dx

dM q

dx

Md

2

2

线形

注意弹性体模型与刚体模型的区别与联系—刚体模型适用的概念、原理、方法，对弹性体可用性与限制性。诸如：力系的等效与简化；平衡原理与平衡方法，等。

拉压：A

F

扭转：PP W

T

I

T max

弯曲：zz W

M

I

My max

受力杆件的应力不仅与外力相关，而且与截面的几何性质相关。

横截面上应力 τ， σ的计算公式与强度条件

A, IP, WP, Iz, Wz—— 截面几何性质 Iz ：平行移轴定理

（薄壁） tI

QSs

z

z bI

SFs

z

zs

max

max

max( 闭口薄壁杆 )t

T

2

max

梁强度问题的分析步骤： 1 、内力分析——确定危险截面2 、应力分析——确定危险点3 、根据强度条件进行强度校核。

塑性材料，对称截面

脆性材料，非对称截面校核三点maxmax MM

maxM

minM

拉压：EA

Fll

变形·刚度·静不定问题

桁架的节点位移 : 用切线代替圆弧，画出变形图

拉压与剪切应变能概念

简单静不定问题（含热应力与初应力）

maxpGI

T

求解思路 建立平衡方程② 建立补充方程（变形协调方程）

E

Eu

22

2拉压 纯剪

Gu

22

2 外力功 PW

2

1

扭转：PGI

Tl ( 闭口薄壁杆 )

tGI

Tl

tds

I t

24

弯曲：zEI

M

1

斜截面上的应力

等强概念

 

zI zW pI pW

6

2bh

44

164

D 43

132

D 44

132

D 43

116

D

矩形

圆 ( 空心 )

12

3bh