Chapter 6

二叉树模型介绍

一个简单的二叉树模型

• 股票的现价为 $20

• 三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18

Stock Price = $22

Stock Price = $18

Stock price = $20

Stock Price = $22Option Price = $1

Stock Price = $18Option Price = $0

Stock price = $20Option Price=?

一份看涨期权

一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执行价格为 $ 21.

• 考虑一个资产组合 : 持有 份股票 成为一份看涨期权的空头

• 当 22– 1 = 18 or = 0.25 ，资产组合是无风险的

22– 1

18

构造无风险资产组合

资产组合的估值( 无风险利率为 12% )

• 无风险组合为 :

持有 0.25 份股票成为一份看涨期权的空头

• 三个月后组合的价值为 220.25 – 1 = 4.50

• 组合在时刻 0 的价值为 4.5e – 0.120.25 = 4.3670

期权的估值• 资产组合为

持有 0.25 份股票 成为一份看涨期权的空头

组合在时刻 0 的价值为 4.3670• 股票的价值是 5.000

(= 0.25×20 )• 从而，期权的价格为• 0.633 (= 5.000 – 4.367 )

推广到一般情形

• 一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 T

Su ƒu

Sd ƒd

Sƒ

推广到一般情形(continued)

• 考虑一个组合：持有份股票，成为一份衍生证券的空头

• 当 满满满满满满满满满满满满满满满满 Su– ƒu = Sd – ƒd or

ƒu df

Su Sd

Su– ƒu

Sd– ƒd

推广到一般情形(continued)

• 组合在时刻 T 的价值为 Su – ƒu

• 组合在时刻 0 的价值为 (Su – ƒu )e–rT

• 组合在时刻 0 的价值又可以表达为 S – f

• 从而 ƒ = S – (Su – ƒu )e–rT

推广到一般情形(continued)

• 于是，我们得到 ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e–rT

其中

pe d

u d

rT

Risk-Neutral Valuation

• ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e-rT

• 变量 p 和 (1– p ) 可以解释为股票价格上升和下降的风险中性概率

• 衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值

Su ƒu

Sd ƒd

Sƒ

p

(1– p )

最初例子的修正

• 由于 p 是风险中性概率，所以 20e0.1

2 0.25 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523• 或者，我们可以利用公式

pd

u d

rT

e e0.12 0.25 0911 09

06523.

. ..

Su = 22 ƒu = 1

Sd = 18 ƒd = 0

S ƒ

p

(1– p )

期权的估值

期权的价值为 e–0.12×0.25 [0.65231 + 0.34770]

= 0.633

Su = 22 ƒu = 1

Sd = 18 ƒd = 0

Sƒ

0.6523

0.3477

两步二叉树模型

• 每步长为 3 个月

20

22

18

24.2

19.8

16.2

欧式看涨期权的估值

• 在节点 B 的价值 = e–0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257

• 在节点 A 的价值 = e–0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770)

= 1.2823

201.2823

22

18

24.23.2

19.80.0

16.20.0

2.0257

0.0

A

B

C

D

E

F

一个看跌期权的例子： X ＝ 52

504.1923

60

40

720

484

3220

1.4147

9.4636

A

B

C

D

E

F

美式期权该如何估值？

505.0894

60

40

720

484

3220

1.4147

12.0

A

B

C

D

E

F