chapter 8 group velocity and pulse dispersion
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Chapter 8 Group Velocity and Pulse Dispersion. Group Velocity. 考慮兩平面波沿 + z 軸傳播 ， 振幅相同，但頻率有少許差異，分別為 + 與 。. 此二平面波疊加結果為. At t = 0. Group velocity 群速度. Phase velocity 相速度. 對一介質折射率為頻率的函數， n ( )，有. 因此. 代入. 以真空中波長. Group index n g 定義為. Negative dispersion. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Chapter 8Group Velocity and Pulse Dispersion
Group Velocity考慮兩平面波沿 +z 軸傳播，
振幅相同，但頻率有少許差異，分別為 + 與 。
1
2
( , ) cos[( ) ( ) ]
( , ) cos[( ) ( ) ]
z t A t k k z
z t A t k k z
此二平面波疊加結果為 ( , ) cos[( ) ( ) ]
cos[( ) ( ) ]
2 cos( )cos[( ) ( ) ]
z t A t k k z
A t k k z
A t kz t k z
cos kz
cos (k)z
z
(a)
(b)
At t = 0
(z, t = 0)
(z, t = t)
z
(a)
(b)
pvk
( , ) 2 cos( ) cos[( ) ( ) ]z t A t kz t k z
Phase velocity 相速度
Group velocity 群速度
gvk
對一介質折射率為頻率的函數， n() ，有
( ) ( )k nc
1 1( )
g
dk dnn
v d c d
因此
以真空中波長 0
2 c
代入
20 0
0 02
ddn dn dn
d d d c d
0 00
1 1( )
g
dnn
v c d
Group index ng 定義為 0 00
( )gg
c dnn n
v d
2
2.02
2.04
2.06
0.5 0.75 1 1.25 1.5
vg (108 m/s)0 (m)
Negativedispersion
Positivedispersion
Fig. 8.3 Variation of the group velocity vg with wavelength for pure silica.
Example 8.1 對純 silca ，在波長 0.5 m < 0 < 1.6 m 區間，折射率對波長的關係可近似為以下經驗式
20 0 0 2
0
( )a
n C a
其中 C0 = 1.451, a = 0.003, 0 以 m 為單位。
20 0 0 0 0 02 3
0 0 0
20 0 2
0
( ) 2 2
3
g
dn a an n C a a
d
aC a
當 0 ＝ 1 m ，0
0
( ) 1.451
( ) 1.463g
n
n
即群速度與相速度約有 8% 的差別。對 silca 而言，當 0 = 1.27 m ，群速度為最高。小於 1.27 m 波長越短，群速度越小；反之，大於 1.27 m ，波長越長，群速度越小。
對一脈衝而言，由於其不同波長分量，群速度均有些微不同，因此一般在介質中行進之脈衝會變寬 broadening 。
對 silca 而言，當 0 = 1.27 m ，群速度為最高。小於 1.27 m 波長越短，群速度越小；反之，大於 1.27 m ，波長越長，群速度越小。
考慮一脈衝在一色散介質中行進 L 長度，所花時間為
0 00
( )g
L L dnn
v c d
因此脈衝寬化可表為2
200 0 2
0 0 0m
Ld d n
d c d
脈衝時間寬度由 0 增加至 f ，其中
2 2 20 ( )f m
220
0 0 20 0 0
m
Ld d n
d c d
由上式可知，脈衝寬化正比於行進長度 L 以及光源譜線寬度 0 。因此定義色散係數為，
2 22 2 40 02 2
0 0 0 0 0
1 110 ps/km nm
3m
m
d n d nD
L c d d
若介質 Dm > 0 ，稱為正色散 positive dispersion 介質 Dm < 0 ，稱為負色散 negtive dispersion
其中 0 單位為 m
Example 8.2 在第一代光通訊系統中，以 0 = 0.85 m LED ， 0 = 25 nm
22
20
0.03 md n
d
當 0 = 0.85 m
85 ps/km nmmD
0 = 25 nm
2.1 ns/kmm
Example 8.3 在第四代光通訊系統中，以 0 = 1.55 m laser diode ， 0 = 2 nm
22
20
0.0042 md n
d
當 0 = 1.55 m
21.7 ps/km nmmD
0 = 2 nm
43 ps/kmm
Group Velocity of a Wave Packet
( )( , ) i t kzE z t Ae
考慮一平面波沿 +z 軸傳播
( ) ( )k nc
A 為振幅，一般而言可為複數，即 | | iA A e
n 為介質折射率
( )( , ) | | i t kzE z t A e
因為電場不可能分佈於整個空間 ( 總能量趨近無窮大 ) ，因此實際上，電場應表為波包
( )( , ) ( ) i t kzE z t A e d
( 0, ) ( ) i tE z t A e d
顯然， E(z = 0, t) 為 A() 的 Fourier transform 。因此 A() 為 E(z = 0, t) 的逆轉換。
1( ) ( 0, )
2i tA E z t e dt
Example 8.4 Gaussian Pulse.考慮一 Gaussian pulse
2 20 0/
0( 0, ) t i tE z t E e e 2 2
0 0/ ( )0( )2
t i tEA e e dt
In general, A() 可為複數，因此定義 power spectral density S() = |A()|2
2 22 20 0
0 0
1( ) exp ( )
22
ES
利用 2 2 / 4x xe dx e
2 20 00 0
1exp ( )
42
E
-50 -25 0 25 50
t (fs)
E (
0, t)
0 0.5 1.5 2
0
S (
)
2 22 20 0
0 0
1( ) exp ( )
22
ES
2 20/
0 0( 0, ) costE z t E e t
0 = 20 fs0 = 1 m (0 = 61014)
稱為半高寬 full width at half maximum (FWHM) 定義為當 = 0 /2 ，
S() 為其最大值之半。
此例中， FWHM 滿足2 2
0
1 1exp ( )
2 2 2
14
0 0
2 2ln 2 2.361.18 10
Propagation in a Non-Dispersion Medium
在非色散介質中，如真空，所有頻率的電磁波以相同速度行進。在真空中
( )kc
( )( , ) ( )
i z ctcE z t A e d
2 20 00 0
1( ) exp ( )
42
EA
將 Gaussian pulse 代入上式
02 2 2
0( )( ) /
0( , )i z ctz ct c cE z t E e e
當 z ct = constant ，則 E(z, t) = constant
Gaussian pulse 以速度 c 無變形的行進。
-25 0 25
z = 0 z = z 0
t (fs)
Fig. 8.5 Distortionless propagation of a Gaussian pulse in a non-dispersive medium.
Propagation in a Dispersion Medium
( ) ( )k nc
電磁波在折射率為 n() 的色散介質中行進，
若 A() 為非常尖銳的峰值函數，0
0
[ ( ) ]( , ) ( ) i t k zE z t A e d
以 Taylor series 對 = 0 展開 k()
0 0
22
0 0 0 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2
dk d kk k
d d
20 0 0
1 1( ) ( ) ( )
2g
k kv
0 0
2
0 0 2
1where ( ), ,
g
d dk k
v dk dk
若 k() 只考慮前兩項的貢獻 ( 忽略 ) ，0 0
0 0
0
( )( )( , ) ( ) ( )g g
i k z z t i z tv vi t kzE z t A e d e A e d
令 = 0
0( )( , ) ( )g
g
i z v tvi t kzE z t e A e d
phaseterm envelope
term
envelope 項，以群速度 vg 無變形的移動
若將 k() 近似式的三項全代入，
0( ) 2( , ) ( ) exp2
i t kz
g
z iE z t e A i t z d
v
2 20 00
1( ) exp
42
EA
將 Gaussian pulse 代入
2 2 / 4x xe dx e
利用
2
020
( )0(1 )
( , ) exp1
g
zt
vi t kz
ip
EE z t e
ip
where 20
2 zp
corresponding intensity distribution2
20
( )0
( , ) exp( ) /
g
zt
v
z
II z t
z
where2 2 2
0( ) (1 )z p
-25 0 25 9752.21
0
0.5
1
19504.4
z = 0
z = z0
z = 2z0
t (fs)
50 fs 50 fs 50 fs
I (
z, t)
Define pulse broadening 2 20 0
0
2 | |( ) | |
zz p
0
1, | |
2
020
00
0 0
22002 2
0
1
1
2
d k d dnn
d d c d
d d dnn
c d d d
d n
c d
Example 8.5 For pure silica ，考慮 0 = 1.55 m 的光線2
220
0.004165 ( m)d n
d
62 26 2
8 2
1.55 10(1.55) ( 0.004165) 2.743 10 s /m
2 (3 10 )
對一 100 ps 的脈衝，在光纖中行進 2 km26 3
100
2 | | 2 2.743 10 2 101.1 ps
(10 )
z
對一 10 fs 的脈衝，在光纖中行進 4 mm26 3
140
2 | | 2 2.743 10 4 1022 fs
(10 )
z
1/ 22 20 ( ) 24 fsf
a 10 fs pulse doubles its temporal width after propagating through a very small distance.
The Chirping of the Dispersed Pulse
2
0 020
0 02 20
0 02
( )0
(1 )
( )0(1 )2 1/ 2
( / 2)01/ 2 ( )
0
( , ) exp1
exp (1 )(1 )
exp exp( ) /
g
g
g g
zt
vi t k z
ip
zt
vi t k z
pi
z zt t
v vi t k z
z
EE z t e
ip
Ee ip
p e
Ee i p
z
2 ( )z
1tan p
where
where
2
10 2 2
0
1( , ) tan
2 (1 )g
z pz t t t p
v p
2
001/ 2 ( )
0
( , ) exp exp ( ( , ) )( ) /
g
zt
v
z
EE z t i z t k z
z
0( ) 2g
zt t
t v
0 2 20
2( )
(1 ) g
p zt t
p v
The frequency chirp is
Example 8.6 考慮 0 = 1.55 m 的 100 ps 的脈衝，在純 silica 光纖中行進 2 km 。
26 3
2 12 20
2 2 ( 2.743 10 ) 2 100.011
(100 10 )
zp
At 50 psg
zt
v
12 82 2 12 20
2 2 0.011(50 10 ) 1.1 10 Hz
(1 ) (100 10 )g
p zt
p v
( 在脈衝的前緣 )
因此此脈衝前緣頻率較高，此稱為“ blue shifted”
相對在 50 psg
zt
v 81.1 10 Hz ，稱為“ red shifted”
down-chirped pulse ：脈衝前緣藍移，後緣紅移。up-chirped pulse ：脈衝前緣紅移，後緣藍移。
-25 0 25 9752
0
0.5
1
19504
50 fs 50 fs 50 fs
t (fs)
z = 0 z = z0
z = 2z0 R
e E
(z, t
)
Fig. 8.7 The temporal broadening of a 10 fs unchirped Gaussian pulse (0 = 1.55 m) propagating through silica. Notice that since dispersion
is positive, the pulse gets down chirped.
-25 0 25
z = 0
z = z0 z = 2z0
t (fs)
Fig. 8.8 If a down-chirped pulse is passed through a medium characterized by negative dispersion, it will get compressed until it becomes unchirped and then it will broaden again with opposite chirp.