171S9.1 Systems of Equations in Two Variables

1

September 02, 2010

CHAPTER 9:  Systems of Equations

and Matrices9.1  Systems of Equations in Two Variables 9.2  Systems of Equations in Three Variables 9.3  Matrices and Systems of Equations

MAT 171 Precalculus AlgebraDr. Claude Moore

Cape Fear Community College

9.1 Systems of Equations in Two Variables

• Solve a system of two linear equations in two variables by graphing.• Solve a system of two linear equations in two variables using the substitution and the elimination methods.•Use systems of two linear equations to solve applied problems.

Systems of EquationsA system of equations is composed of two or more 

equations considered simultaneously.

    Example:   5x ­ y = 5                     4x ­ y = 3

    This is a system of two linear equations in two variables. The solution set of this system consists of all ordered pairs that make both equations true. The ordered pair (2, 5) is a solution of this system.

Solving Systems of Equations Graphically

When we graph a system of linear equations, each point at which the graphs intersect is a solution of both equations and therefore a solution of the system of equations.

171S9.1 Systems of Equations in Two Variables

2

September 02, 2010

Solving Systems of Equations Graphically

Let’s solve the previous system graphically.                 5x ­ y = 5                4x ­ y = 3

    Solution:    We see that the graph intersects at the single point (2, 5), so this is the solution of the system of equations.

Systems of Equations

If a system of equations has at least one solution, it is consistent. 

If the system has no solutions, it is inconsistent. 

If a system of two linear equations in two variables has an infinite number of solutions, the equations are dependent. 

If a system of two linear equations in two variables represent two lines, they are independent.

Illustration of Graphs    Graphs of linear equations may be related to each other in one of three ways.

Substitution Method

The substitution method is a technique that gives accurate results when solving systems of equations. It is most often used when a variable is alone on one side of an equation or when it is easy to solve for a variable. 

One equation is used to express one variable in terms of the other, then it is substituted in the other equation.

171S9.1 Systems of Equations in Two Variables

3

September 02, 2010

ExampleUse substitution to solve the system                         5x ­ y = 5,                        4x ­ y = 3.SolutionSolve the first equation for y:  y = 5x ­ 5

Then we substitute 5x ­ 5 for y in the second equation to give an equation in one variable.          4x ­ (5x ­ 5) = 3           4x ­ 5x + 5 = 3                          x = 2    

Now we use back­substitution and substitute 2 for x in either original equation.            4x ­ y = 3        4(2) ­ y = 3            8 ­ y = 3                  y = 5We find the solution to the system of equations to be (2, 5), once again.

Elimination Method

Using the elimination method, we eliminate one variable by adding the two equations. If the coefficients of a variable are opposites, that variable can be eliminated by simply adding the original equations. 

If the coefficients are not opposites, it is necessary to multiply one or both equations by suitable constants, before we add.

Example

    Solve the system using the elimination method.              6x + 2y = 4            10x + 7y = ­ 8

Solution    If we multiply the first equation by 5 and the second equation by ­3, we will be able to eliminate the x variable.           30x + 10y = 20               Substituting:        6x + 2y = 4           ­30x ­ 21y = 24                                       6x + 2(­4) = 4                    ­11y = 44                                              6x ­ 8 = 4                         y = ­4                                                    6x = 12                                                   x = 2 The solution is (2, ­ 4).

Another Example

Solve the system.   x ­ 3y = ­9     (1) 2x ­ 6y = 3       (2)

Solution:  ­2x + 6y = 18       Mult. (1) by ­2

   2x ­ 6y = 3             0 = 21    There are no values of x and y in which 0 = 21. So this system has no solution. The graphs of the equations are of parallel lines.

171S9.1 Systems of Equations in Two Variables

4

September 02, 2010

Another Example

Solve the system.  9x + 6y = 48   (1)  3x + 2y = 16   (2)

Solution:    9x + 6y = 48  ­9x ­ 6y = ­48     Mult. (2) by ­3              0 = 0 When we obtain the equation 0 = 0, we know the equations are dependent. There are infinitely many solutions. The graphs of the equations are identical. 

Application

    Ethan and Ian are twins. They have decided to save all of the money they earn, at their part­time jobs, to buy a car to share at college. One week, Ethan worked 8 hours and Ian worked 14 hours. Together they saved $256. The next week, Ethan worked 12 hours and Ian worked 16 hours and they earned $324. How much does each twin make per hour?

SolutionLetting E represent Ethan and I represent Ian, the following system can be obtained.

  8E + 14I = 256   First week       12E + 16I = 324   Second week

Mult by 12              96E + 168I = 3072Mult by ­8              ­96E ­ 128I = ­2592 

                      40I = 480                                             I = 12

Solve for E.   8E + 14(12) = 256                 8E = 88                       E = 11Ian makes $12 per hour while Ethan makes $11 per hour.

731/2.  Match the system of equations with one of the graphs ( a) ­ ( f), which follow.  x ­ y = ­5  and  x = ­4y

171S9.1 Systems of Equations in Two Variables

5

September 02, 2010

731/8.  Solve graphically.  x + y = 1  and  3x + y = 7 731/24.  Solve using the substitution method. Use a graphing calculator to check your answer.  x ­ 2y = 3  and  2x = 4y + 6

732/42.  Solve using the elimination method. Also determine whether each system is consistent or inconsistent and whether the equations are dependent or independent. Use a graphing calculator to check your answer.

0.2x ­ 0.3y = 0.3  and  0.4x + 0.6y = ­0.2

732/51. Winter Sports Injuries. Skiers and snowboarders suffer about 288,400 injuries each winter, with skiing accounting for about 400 more injuries than snowboarding ( Source : U. S. Consumer Product Safety Commission). How many injuries occur in each winter sport?

171S9.1 Systems of Equations in Two Variables

6

September 02, 2010

733/56. Mail­ Order Business. A mail­ order lacrosse equipment business shipped 120 packages one day. Customers are charged $ 3.50 for each standard­delivery package and $ 7.50 for each express­delivery package. Total shipping charges for the day were $ 596. How many of each kind of package were shipped?

Solution:  3.5x + 7.5y =  596  multiply ­3.5(x + y) = ­3.5(120) to get               ­3.5x ­  3.5y = ­420  add these two equations to get 4y = 176 or y = 44.              Substitute y = 44 to get x + (44) = 120 or x = 76.         So, the business shipped 76 standard­delivery packages and 44 express­delivery packages.

733/64. Break­even Point. The point at which a company's costs equal its revenues is the break­even point. In Exercises 61­64, C represents the production cost, in dollars, of x units of a product and R represents the revenue, in dollars, from the sale of x units. Find the number of units that must be produced and sold in order to break even. That is, find the value of x for which R = C.  C = 3x + 400  and  R = 7x ­ 600

734/68. Motion. A DC10 travels 3000 km with a tail wind in 3 hr. It travels 3000 km with a head wind in 4 hr. Find the speed of the plane and the speed of the wind.