chapter ii

6

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analisa Perencanaan Proyek

Proyek dapat dikatakan sebagai kegiatan terencana dan berurutan yang hanya

berlangsung sekali dimana dalam kegiatan tersebut memiliki saat awal dan saat akhir.

Proyek adalah serangkaian kegiatan yang berlangsung dalam jangka waktu tertentu

dengan alokasi sumber daya yang tersedia dan bertujuan untuk melaksanakan tugas

yang telah ditetapkan. Perencanaan sangat penting didalam pelaksanaan proyek.

Perencanaan yang tidak sesuai akan mengakibatkan kesulitan di dalam

pelaksanaannya. Oleh karena itu, perencanaan proyek harus sesuai dengan batasan

yang dimiliki dan tujuan yang ingin dicapai. Fungsi perencanaan proyek yaitu sebagai

sarana komunikasi bagi seluruh pihak terkait, dasar dalam pengalokasian sumber

daya, dan tolak ukur di dalam pengendalian.

Dari uraian diatas dapat dikatakan bahwa manajemen proyek sangat penting

diterapkan dalam kasus ini. Manajemen proyek adalah usaha merencanakan,

mengorganisir, mengarahkan dan mengkoordinasi serta mengawasi kegiatan dalam

proyek sedemikian rupa sehingga sesuai dengan jadwal, waktu, dan anggaran yang

telah ditetapkan.

Baker (1974) mengatakan bahwa “penjadwalan merupakan alokasi dari

sumber daya terhadap waktu untuk menghasilkan sebuah kumpulan pekerjaan.

Penjadwalan dibutuhkan untuk memproduksi order dengan pengalokasian sumber

daya yang tepat seperti urutan pengerjaan part dan kebutuhan material. Dengan

pengaturan penjadwalan yang efektif dan efisien dapat memenuhi order tepat waktu

Universitas Sumatera Utara

7

serta kualitas yang telah ditentukan. Penjadwalan diperlukan ketika beberapa

pekerjaan harus diproses yang tidak bisa memproses lebih dari satu pekerjaan pada

saat yang sama. Penjadwalan yang baik akan memaksimumkan efektivitas

pemanfaatan setiap sumber daya.”

Santosa (2009) menjelaskan hubungan waktu dan biaya pada keadaan normal

dan crash sehingga umur proyek dapat dipersingkat dengan penambahan sumber daya

tenaga kerja, peralatan, modal untuk kegiatan-kegiatan tertentu (crashing).

Tahapan-tahapan yang dilakukan pada perencanaan proyek yaitu penerapan

tujuan meliputi pelaksanaan proyek yang diinginkan, serta waku, dan biaya

performansi yang ditargetkan. Kedua, urutan kerja yang berisi seluruh urutan dan

deskripsi pekerjaan-pekerjaan yang perlu dilakukan untuk mencapai tujuan proyek.

Ketiga, perancangan organisasi proyek untuk menentukan departemen-departemen

yang diperlukan di dalam pelaksanaan proyek. Keempat, jadwal kegiatan berisi waktu

pelaksanaan setiap aktivitas, batas selesai dan milestone. Kelima, rencana anggaran

dan sumber daya, perencanaan ini berisikan jumlah anggaran dan sumber daya yang

dibutuhkan untuk terlaksananya tujuan proyek. Terakhir yaitu ramalan mengenai

performansi penyelesaian proyek. Tahap ini berisi performansi yang diharapkan di

dalam penyelesaian proyek.

Pada sebuah perencanaan proyek digunakan alat-alat bantu sebagai berikut:

1. Work breakdown structure (WBS)

Metode ini digunakan untuk mengidentifikasi pekerjaan-pekerjaan yang ada

dalam pelaksanaan proyek.

2. Matriks tanggungjawab

Matriks ini digunakan untuk menentukan organisasi proyek, personil-personil

kunci dan tanggungjawab pekerjaanya.

3. Gantt Chart

Peta ini menggambarkan jadwal induk proyek, dan jadwal pekerjaan secara

detail.


8

4. Jaringan Kerja (Network)

Jaringan kerja digunakan untuk memperlihatkan urutan pelaksanaan pekerjaan

dari awal hingga akhir.

2.2 Jaringan Kerja

Jaringan adalah kerangka dari sistem informasi proyek yang akan digunakan oleh

manajer proyek dalam pengambilan keputusan dengan memperhatikan waktu, biaya,

dan performansi. Jaringan mudah dimengerti oleh setiap individu karena jaringan

berisi tampilan grafis dari aliran dan urutan tiap pekerjaan. Pengembangan jaringan

dapat dengan mudah dilakukan. Sebagai contoh jika material untuk suatu kegiatan

tertunda, dampak kejadian tersebut dapat dengan cepat ditaksir dan peninjauan

kembali terhadap proyek secara utuh.

Jaringan kerja adalah suatu alat yang digunakan untuk merencanakan,

menjadwalkan, dan mengawasi kemajuan dari suatu proyek. Jaringan dikembangkan

dari informasi yang diperoleh dari WBS dan gambar diagram alir dari rencana kerja

proyek. Jaringan menggambarkan beberapa hal yaitu kegiatan-kegiatan proyek yang

harus dilakukan, urutan kegiatan yang logis, ketergantungan antar kegiatan,waktu

kegiatan melalui lintasan kritis.

Manfaat jaringan kerja adalah sebagai berikut:

1. Merupakan dasar dalam perhitungan penyelesaian waktu pelaksanaan proyek.

2. Merupakan dasar dalam penjadwalan tenaga kerja dan paralatan.

3. Alat komunikasi antara seluruh manajer dan kelompok.

4. Alat perhitungan waktu apabila terjadi penundaan proyek.

5. Dasar dalam menggambarkan cash flow dari suatu proyek.

6. Alat untuk mengidentifikasi kegiatan yang kritis sehingga tidak terjadi

keterlambatan dalam penyelesaian.

Jaringan kerja dikembangkan dari WBS. Jaringan kerja merupakan visualisasi

diagram alir dari urutan, hubungan-hubungan, dan ketergantungan dari seluruh


9

kegiatan-kegiatan yang harus dipenuhi untuk melengkapi proyek. Suatu kegiatan

merupakan elemen pada proyek yang menghabiskan waktu. Sebagai contoh , bekerja

atau menunggu.

Paket pekerjaan dari WBS digunakan untuk membangun kegiatan pada

jaringan kerja. Suatu kegiatan dapat meliputi satu atau lebih paket pekerjaan.

Kegiatan-kegiaatan ditempatkan sesuai urutannya di dalam penyelesaian proyek.

Jaringan dibangun dengan menggunakan node (kotak) dan anak panah (garis). Node

menggambarkan suatu kegiatan dan panah menunjukkan keterkaitan dan aliran

proyek.

2.3 Analisa Jaringan Kerja

Analisa jaringan kerja proyek adalah suatu sistem kontrol proyek yang berisi kegiatan

tunggal, kegiatan gabungan, kegiatan paralel, dan lintasan kritis. Terdapat beberapa

istilah yang digunakan dalam membangun jaringan kerja yaitu:

1. Kegiatan (Activity)

Untuk manajer proyek, suatu kegiatan merupakan elemen dari proyek yang

membutuhkan waktu pelaksanaan (duration). Juga didefinisikan sebagai hal

yang membutuhkan sejumlah sumber ternaga, equipment, material, biaya dan

sebagainya. Kegiatan biasanya terdiri dari satu atau lebih tugas dari suatu

paket kerja. Deskripsi dari kegiatan seharusnya menggunakan format kata

kerja/kata benda: sebagai contoh, pembuatan fondasi.

2. Kegiatan Memusat (Merge Activity)

Beberapa kegiatan yang berbeda lalu dilanjutkan dengan kegiatan yang sama

sehingga disebut kegiatan memusat (lebih dari satu kaitan aliran panah).

3. Kegiatan paralel (Parallel Activity)

Ini adalah kegiatan yang dikerjakan pada waktu yang bersamaan.

4. Alur (Path)

Alur merupakan suatu urutan koneksi, kegiatan yang terkait.


10

5. Alur kritis (Critical Path)

Ini berarti alur terpanjang yang terdapat pada jaringan. Jika terdapat suatu

kegiatan yang tertunda (delay) pada alur, maka proyek juga akan tertunda pada

waktu yang sama.

6. Kegiatan (Event)

Istilah ini berupa suatu titik dan digunakan ketika sebuah kegiatan diimulai

atau selesai. Jadi tidak membutuhkan waktu.

7. Kegiatan memencar (Burst Activity)

Kegiatan ini memiliki lebih dari satu kegiatan yang secara bersamaan

mengikutinya (lebih dari satu panah yang terkait mengikutinya).

Analisa jaringan kerja berguna dalam mengkoordinir semua unsur proyek ke

dalam suatu rencana utama (master plan) dengan menerapkan suatu metode kerja

untuk melengkapi proyek sehingga diperoleh:

1. Waktu terbaik untuk pelaksanaan kegiatan (best time).

2. Pengurangan / penekanan ongkos/ biaya (least cost).

3. Pengurangan risiko (least risk).

4. Mempelajari alternatif-alternatif yang terdapat di dalam dan di luar proyek.

5. Untuk mendapatkan atau mengembangkan schedule (jadwal yang optimal).

6. Penggunaan sumber-sumber (resources) secara efektif dan efisien.

7. Alat komunikasi antar pemimpim.

8. Pengawasan pembangunan proyek.

9. Memudahkan revisi atau perbaikan terhadap penyimpangan yang terjadi.

2.4 Teknik-teknik Analisa Jaringan Kerja

Teknik-teknik ini umumnya bertujuan menguraikan dan menentukan hubungan-

hubungan antara berbagai kegiatan dan berbagai penafsiran waktu yang ada.

Waktunya diperlukan untuk setiap kegiatan dalam rencana proyek secara menyeluruh.

Untuk perencanaan dan pengendalian proyek dikenal berbagai teknik jaringan kerja

tertentu. Sebagai contohnya adalah:


11

1. PERT (Program Evaluation and Review Technique)

PERT adalah suatu alat manajemen proyek yang digunakan untuk melakukan

penjadwalan, mengatur dan mengkoordinasi bagian-bagian pekerjaan yang ada

didalam suatu proyek. Teknik ini merupakan suatu metode untuk menentukan jadwal

dan anggaran dari sumber-sumber, sehingga suatu pekerjaan tertentu dapat

diselesaikan tepat pada waktunya.

2. CPM (Critical Path Method)

Metode ini ditemukan oleh perusahaan bahan kimia Amerika yaitu Du Pon Company

pada tahun 1958 untuk memecahkan kesulitan-kesulitan proses fabrikasi. Metode ini

berbentuk diagram network yang hampir mirip dengan PERT. Perbedaanya adalah

dalam penentuan perkiraan waktu. CPM dapat memperkirakan waktu yang dibutuhkan

untuk melaksanakan kegiatan dan dapat menentukan prioritas kegiatan yang harus

mendapat perhatian dan pengawasan yang cermat, agar kegiatan dapat selesai sesuai

dengan rencana.

3. PDM (Preseden Diagram Method)

Pada CPM metode yang dipakai adalah Activity on Arrow (AOA) dimana aktifitas

dan kegiatan diletakkan pada tanda panah, sedangkan pada PDM Activity on Node

(AON) dimana tanda panah hanya menyatakan keterkaitan antar kegiatan. Kegiatan

dari peristiwa pada PDM ditulis dalam bentuk node yang berbentuk kotak segi empat,

sedang anak panah hanya sebagai petunjuk kegiatan-kegiatan yang bersangkutan.

4. Metode AOA (Activity On Arrow)

Untuk membentuk gambar dari rencana jaringan kerja digunakan simbol-simbol,

yaitu:


12

a. Anak panah = arrow (menyatakan sebuah kegiatan, activity).

b. Lingkaran = node (menyatakan sebuah kejadian atau peristiwa,

event).

c. Anak panah terputus-putus (menyatakan kegiatan semu atau

dummy).

Dummy terdiri dari dua macam, yaitu:

a. Grammatical Dummy diperlukan untuk menghindari kerancuan penyebutan

suatu kegiatan apabila terdapat dua atau lebih kegiatan yang berasal dari

peristiwa yang sama dan berakhir pula pada peristiwa yang sama.

1

1

2 1

2 2

Gambar 2.1 Grammatical Dummy

b. Logical Dummy digunakan untuk memperjelas hubungan antar kegiatan.

Misalnya, terdapat hubungan seperti pada gambar ini, hubungan ini dapat

diartikan bahwa kegiatan 4 dan 5 dapat dimulai setelah kegiatan 1,2, dan 3

selesai. Padahal maksud yang sesungguhnya ialah kegiatan 4 dapat dimulai

setelah kegiatan 1 dan 2 selesai, sedangkan kegiatan 5 dapat dimulai setelah

kegiatan 1,2, dan 3 selesai. Untuk menggambarkan logika ini maka diperlukan

dummy yang dapat memperjelas maksud tersebut.

a b

b

b

a a

c

c


13

1 4 1 4

2 2

3 5

3 5

Gambar 2.2 Logical Dummy

Contoh:

Dalam rangka memenuhi permintaan yang semakin meningkat, Perusahaan Daerah

Air Minum (PDAM) merencanakan untuk memasang instalasi pengolah air (water

treatment) baru. Maka terlebih dahulu diidentifikasi kegiatan-kegiatan yang harus

dilakukan. Rincian kegiatan akan diperlihatkan pada tabel di bawah ini.

Tabel 2.1 Daftar Rencana Kegiatan

Kegiatan Kegiatan pendahulu

A. Perencanaan system -

B. Pembuatan saluran air A

C. Pembuatan pondasi A

D. Pemesanan mesin A

E. Pembuatan instalasi listrik C

F. Pemasangan pipa B,E

G. Pemasangan mesin C,D

H. Finishing dan start up F,G

Jaringan kerja pada kasus ini dapat digambarkan dengan memperhatikan urutan

pekerjaan dan kegiatan yang mendahuluinya.


14

𝑑1

B

A C E F H

D G 𝑑2

Gambar 2.3 Jaringan Kerja Pemasangan Instalasi Pengolah Air

𝑑1 pada gambar di atas merupakan kegiatan semu yang terjadi saat kegiatan B dan E

sedang berlangsung sampai kegiatan tersebut berakhir. Demikian juga 𝑑2 merupakan

kegiatan semu yang terjadi saat kegiatan F dan G sedang berlangsung sampai kegiatan

tersebut berakhir.

2.4.1 Elemen Jaringan Kerja

Gambar 2.4 Elemen Jaringan Kerja

Waktu mulai tercepat (ES) untuk masing-masing kegiatan menunjukkan kapan suatu

kegiatan paling cepat dapat dilakukan. Waktu selesai terlama (LF) menunjukkan

kapan suatu kegiatan paling lama dapat diselesaikan. Dalam melakukan perhitungan

penentuan waktu penyelesaian digunakan beberapa terminologi dasar berikut:

E

L

Nomor identifikasi kejadian

Waktu mulai tercepat

Waktu selesai terlama

1 8

7

6

5

4

3

2 9


15

a). E (earliest event occurence time )

Saat tercepat terjadinya suatu peristiwa.

b). L (Latest event occurence time)

Saat paling lambat yang masih diperbolehkan bagi suatu peristiwa terjadi.

c). ES (earliest activity start time)

Waktu mulai paling awal suatu kegiatan. Bila waktu mulai dinyatakan dalam

jam, maka waktu ini adalah jam paling awal kegiatan dimulai.

𝐸𝑆𝑖 = max{𝐸𝑆 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚 𝑖 + 𝐷 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚 𝑖 ,𝑖

d). EF (earliest activity finish time)

Waktu Selesai paling awal suatu kegiatan. EF pada dasarnya merupakan

pasangan dari ES. Karena waktu penyelesaian kegiatan ditandai dengan 𝐷𝑖 ,𝑗 ,

maka

𝐸𝐹𝑖 ,𝑗 = 𝐸𝑆𝑖 + 𝐷𝑖 ,𝑗 .

EF suatu kegiatan terdahulu = ES kegiatan berikutnya.

e). LS (latest activity start time)

Waktu paling lambat kegiatan boleh dimulai tanpa memperlambat proyek

secara keseluruhan.

𝐿𝑆𝑖 ,𝑗 = 𝐿𝐹𝑗 − 𝐷𝑖 ,𝑗

f). LF (latest activity finish time)

Waktu paling lama kegiatan diselesaikan tanpa memperlambat penyelesaian

proyek.

𝐿𝐹𝑗 = min{𝐿𝐹 𝑠𝑒𝑠𝑢𝑑𝑎 𝑕 𝑗 + 𝐷(𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚 𝑗 ,𝑗 ).

g). t (activity duration time)

Kurun waktu yang diperlukan untuk suatu kegiatan (hari, minggu, bulan).

Slack dapat dihitung dengan cara: Slack=EF-LF=ES-LS.

Perhitungan ES dan LF ini dapat dilakukan dengan melalui 2 tahap yaitu:

1. Hitungan Maju

Dimulai dari Start (initial event) menuju Finish (terminal event) untuk

menghitung waktu penyelesaian tercepat suatu kegiatan (EF), waktu tercepat

terjadinya kegiatan (ES) dan saat paling cepat dimulainya suatu peristiwa (E).


16

2. Hitungan Mundur

Dimulai dari Finish menuju Start untuk mengidentifikasi saat paling lambat

terjadinya suatu kegiatan (LF), waktu paling lambat terjadinya suatu kegiatan

(LS) dan saat paling lambat suatu peristiwa terjadi (L).

2.4.2 Identifikasi Kegiatan Kritis

Pada CPM terdapat dua buah perkiraan waktu dan biaya untuk setiap kegiatan yang

terdapat dalam jaringan. Kedua perkiraan tersebut adalah perkiraan waktu

penyelesaian dan biaya yang sifatnya normal (normal estomate) dan perkiraan waktu

penyelesaian dan biaya yang sifatnya dipercepat (crash estimate). Dalam menentukan

perkiraan waktu penyelesaian akan dikenal istilah jalur kritis, jalur yang memiliki

rangkaian-rangkaian kegiatan dengan total jumlah waktu terlama dan waktu

penyelesaian proyek yang tercepat. Sehingga dapat dikatakan bahwa jalur kritis

berisikan kegiatan-kegiatan kritis dari awal sampai akhir jalur.

Waktu dan biaya pada keadaan normal dan crash dapat dihubungkan sehingga

umur proyek dapat dipersingkat dengan penambahan sumber daya tenaga kerja,

peralatan, modal untuk kegiatan-kegiatan tertentu (crashing).

Contoh bagan CPM sederhana. Tentukan jalur kritis dan waktu tercepat

1 minggu 3 minggu

2 minggu 4 minggu

1

3

4

2


17

Dapat dilihat bahwa jaringan diatas mempunyai dua jalur, yaitu 1-2-4 yang

memerlukan 4 minggu, dan 1-3-4 yang memerlukan waktu 6 minggu. Dengan

demikian waktu tercepat yang diharapkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut

adalah 6 minggu. Sedangkan jalur yang membentuk jalur terpanjang ini yaitu 1-3-4

disebut sebagai jalur kritis ( Critical Path ). Bisa dikatakan bahwa waktu tercepat yang

diharapkan untuk event 4 adalah 6 minggu.

Gambar 2.5 Hubungan antara Waktu dan Biaya pada

Keadaan Normal dan Dipercepat

𝑺𝒍𝒐𝒑𝒆 𝑩𝒊𝒂𝒚𝒂 =𝑩𝒊𝒂𝒚𝒂 𝑫𝒊𝒑𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒂𝒕 − 𝑩𝒊𝒂𝒚𝒂 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍

𝑾𝒂𝒌𝒕𝒖 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 − 𝑾𝒂𝒌𝒕𝒖 𝑫𝒊𝒑𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒂𝒕

Sebagai contoh, misalnya kegiatan B memiliki waktu normal selama 3 hari

dengan total biaya Rp 40.000,00. Jika kegiatan B dipercepat menjadi 2 hari maka total

biaya menjadi Rp 50.000,00. Biaya percepatan perhari kegiatan B dihitung

berdasarkan ketentuan sebagai berikut:

\

Biaya

Normal

Biaya untuk

Waktu

Dipercepat

Biaya

waktu

A (Titik Nomal)

Waktu

Normal

Waktu

Dipercepat

B (Titik Dipercepat)


18

Slope Biaya =Biaya Dipercepat −Biaya Normal

Waktu Normal −Waktu Dipercepat

=Rp 50.000,00−Rp 40.000,00

3−2

= Rp 10.000,00/𝑕𝑎𝑟𝑖.

2.5 Nilai Harapan dan Variansi

Tiga estimasi waktu kegiatan dalam menyelesaikan permasalahan yang memiliki

waktu probabilistik yaitu waktu kegiatan optimis (o), waktu kegiatan yang paling

mungkin (m) dan waktu kegiatan pesimis (p). Dua asumsi yang dipakai untuk

mengubah o, m dan p menjadi taksiran nilai harapan (𝑡𝑒) dan variansi (𝜎2) dari waktu

yang dibutuhkan suatu kegiatan yaitu bahwa standar deviasi sama dengan seperenam

dari rentang kebutuhan waktu yang mungkin, sehingga untuk variansinya dapat

dituliskan menjadi

𝜎2 = 𝑏 − 𝑎

6

2

sedangkan nilai harapan suatu proyek dapat ditentukan dengan rumus

𝑡𝑒 = 𝑎+𝑏+4𝑚

6 .

2.6 Program Linier

Program Linier (Linear Programming) merupakan metode matematika dalam

mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan seperti

memaksimalkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linier berkaitan

dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika.

Asumsi-asumsi yang terkandung dalam formulasi program linier untuk masalah

optimasi sebagai model program linier adalah sebagai berikut:

a. Propertionality

Asumsi ini menyatakan bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber

atau fasilitas, akan berubah secara proposianal dengan perubahan tingkat

kegiatan.


19

Misalnya: 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛

Setiap pertambahan/ pengurangan 1 unit 𝑥1 akan menaikkan/ menurunkan nilai

Z dengan 𝑐1, demikian juga untuk yang lain mempunyai sifat yang sama.

b. Additivity

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai fungsi tujuan setiap kegiatan tidak saling

mempengaruhi atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikkan nilai

fungsi tujuan Z yang diakibatkan oleh kenaikkan suatu kegiatan dapat

ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan

lain atau dapat dikatakan bahwa tidak ada korelasi antara satu kegiatan dengan

kegiatan lain.

Misalnya: 𝑍 = 8𝑥1 + 10𝑥2

Untuk 𝑥1 = 6 dan 𝑥2 = 8

𝑍 = 8.6 + 10.8 = 128

Jika 𝑥1 bertambah/ berkurang, penambahan/ pengurangan 𝑥1 dapat langsung

ditambahkan/ dikurangkan pada nilai Z, tanpa mempengaruhi bagian Z yang

diperoleh dari 𝑥2.

c. Disibility

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai keluaran (output) yang dihasilkan oleh

setiap kegiatan dapat berupa bilangan pacahan.

d. Deterministic ( Certainty)

Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model

program linier (𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑗 ) dapat diperkirakan dengan pasti. Dalam

kenyataannya, parameter model jarang bersifat deterministic, karena keadaan

masa depan jarang diketahui dengan pasti. Untuk mengatasi ketidakpastian

parameter, dikembangkan suatu teknik analisis, guna menguji nilai solusi,

bagaimana kepekaannya terhadap perubahan-perubahan parameter.

Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan

yang dihadapi ke dalam model program linier, maka dibutuhkan lima syarat yang

harus dipenuhi yaitu:


20

a. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang ingin dipecahkan dan dicari jalan

keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan. Fungsi

tujuan ini dapat berupa dampak positif, manfaat-manfaat, keuntungan, dan

kebaikan-kebaikan yang ingin dimaksimalkan, atau dampak negatif, kerugian-

kerugian risiko, biaya, jarak, waktu, dan sebagainya yang ingin

diminimumkan.

b. Alternatif Perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan;

misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu

terlambat dan biaya terendah; atau antara alternatif terpadat modal dengan

padat karya; atau antara kebijakan A dengan B; atau antara proyeksi

permintaan tinggi dengan rendah; dan seterusnya.

c. Sumber Daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas.

Misalnya, keterbatasan waktu, keterbatasan biaya, keterbatasan tenaga,

keterbatasan ruangan, dan lain-lain. Keterbatasan dalam sumber daya tersebut

dinamakan sebagai kendala atau syarat ikatan.

d. Perumusan Kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif

dalam apa yang disebut model matematika.

e. Keterkaitaan Peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus

memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan. Hubungan

keterkaitan tersebut dapat diartikan sebagai hubungan yang saling

mempengaruhi, hubungan interaksi, interdependensi, timbal-balik, saling

menunjang, dan sebagainya

Fungsi tujuan:

Maksimumkan atau minimumkan 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛


21

Sumber daya yang membatasi:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏2

⋮

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏𝑚

𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ≥ 0

Bentuk di atas juga dapat ditulis sebagai berikut:

Fungsi tujuan:

Maksimum dan minimumkan:

𝑍 = 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑛𝑗=1

Kendala:

𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑛𝑗 =1 ≥ 𝑏𝑖 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 1,2, … , 𝑚

Dan 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Simbol 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel

keputusan oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang

dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 merupakan konstribusi masing-

masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada

model matematikanya. Simbol 𝑎11 , … , 𝑎1𝑛 , …𝑎𝑚𝑛 merupakan penggunaan per unit

variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai

koefisien fungsi kendala pada model matematikanya. Simbol 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛

menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala

akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif.

Membuat model matematika dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut

kemampuan matematika tapi juga menuntut seni pemodelan. Menggunakan seni akan

membuat pemodelan lebih mudah dan menarik.

Contoh:


22

𝑀𝑎𝑘𝑠: 𝑍 = 170𝑥1 + 190𝑥2

Dengan kendala: 15𝑥2 ≤ 1050

20𝑥1 + 16𝑥2 ≤ 1600

24𝑥1 + 30𝑥2 ≤ 2400

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Untuk menggambarkan masing-masing persamaan garis adalah dengan menetapkan

salah satu variabel dalam suatu persamaan sama dengan nol dan kemudian mencari

nilai variabel yang lain.

1) 15𝑥2 = 1050

𝑥2 = 70

2) 20𝑥1 + 16𝑥2 = 1600

𝑥1 = 0 16𝑥2 = 1600

𝑥2 = 100

𝑥2 = 0 20𝑥1 = 1600

𝑥1 = 80

3) 24𝑥1 + 30𝑥2 = 2400

𝑥1 = 0 30𝑥2 = 2400

𝑥2 = 80

𝑥2 = 0 24𝑥1 = 2400

𝑥1 = 100


23

𝑥2

120

100 F

80 E

A B G 1

60

C

40

20 2 3

D H

0 20 40 60 80 100 𝑥1

Gambar 2.6 Grafik Fungsi Tujuan

Daerah yang bersamaan memenuhi ketiga kendala, ditunjukkan oleh area yang diarsir

yaitu OABCD pada gambar. Bagian yang di arsir ini disebut daerah fisibel (fisible

solution).

Untuk mencari titik yang paling menguntungkan adalah dengan

menggambarkan garis fungsi tujuan. Untuk menggambarkan garis fungsi tujuan dalam

grafik adalah dengan menggambarkan perbandingan nilai 𝑥1 dan 𝑥2. Perbandungan

nilai 𝑥1 dan 𝑥2 merupakan perbandingan 𝑐1 dan 𝑐2. Geser grafik fungsi tujuan tersebut

kesemua daerah fisibel. Sebagai pedoman bahwa titik fisibel optimal telah ditemukan

adalah ditentukan oleh titik singgung garis fungsi tujuan dengan area yang fisibel,

yang terjauh dari origin 0 untuk kasus maksimasi sedangkan untuk kasus minimasi

adalah yang paling dekat dengan titik original 0.


24

Solusi optimum untuk kasus diatas adalah pada titik C (perpotongan antara

kendala 2 dan kendala 3).

20𝑥1 + 16𝑥2 = 1600 × 6 120𝑥1 + 96𝑥2 = 960024𝑥1 + 30𝑥2 = 2400 × 5 120𝑥1 + 150𝑥2 = 1200

-54𝑥2 = −2400

𝑥2 = 400/9

20𝑥1 + 16 ∙ 400/9 = 1600

𝑥1 = 400/9

Z=170(400/9)+190(400/90=16000

2.6.1 Beberapa Pengertian dalam Program Linier

a. Feasible Solution

Feasible Solution adalah suatu solusi yang memenuhi seluruh pembatas yang

ada pada persoalan tersebut.

b. In Feasible Solution

In Feasible Solution berarti tidak ada titik-titik yang secara serentak memenuhi

semua kendala dalam masalah tersebut.

Contoh:

𝑀𝑎𝑘𝑠: 𝑍 = 10𝑥1 + 8𝑥2

Dengan kendala: 8𝑥1 + 10𝑥2 ≤ 40

2𝑥1 ≥ 12

𝑥2 ≥ 5

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Model di atas dapat ditunjukkan dengan grafik pada gambar 2.6


25

𝑥2

6 2

5 3

4

3

2 1

1 𝑥1

0 1 2 3 4 5 6

Gambar 2.7 Grafik In Feasible Solution

Daerah yang diarsir merupakan daerah hasil. Berdasarkan gambar terlihat

bahwa tidak ada daerah yang tidak melanggar salah satu dari tiga batasan

tersebut. Sehingga tidak ada daerah yang layak.

c. Optimal Solution

Optimal Solution adalah feasible solution yang memberikan nilai terbaik bagi

fungsi tujuannya. Terbaik diartikan sebagai nilai terbesar apabila fungsi

tujuannya maksimasi, dan diartikan sebagai nilai terkecil apabila fungsi

tujuannya minimasi. Pada gambar 2.5 titik C memberikan nilai terbesar

dibandingkan titik O, A, B dan C.

d. Multiple Optimal Solution

Multiple Operation Solution terjadi jika fungsi tujuan pada lebih satu titik

optimal. Misalnya bila contoh pada Gambar 2.5 fungsi tujuannya semula :

𝑍 = 170𝑥1 + 190𝑥2 berubah menjadi 𝑍 = 100𝑥1 + 80𝑥2, maka akan

terdapat Multiple Optimal Solution yang akan ditunjukkan oleh grafik pada

gambar 2.7.


26

𝑥2

120

100 F

80 E

A B G 1

60

C

40

20 2 3

D H

0 20 40 60 80 100 𝑥1

Gambar 2.8 Grafik Multiple Optimal Solution

Daerah feasible dan optimal berimpit dengan batasan dua. Hal ini berarti

bahwa titik B dan titik C serta titik-titik yang ada di sepanjang garis tersebut

mempunyai nilai Z yang sama dan optimal. Multiple optimal solution akan

memberikan keluwesan dalam memilih solusi bagi pengambil keputusan.

e. Boundary Equation

Boundary Equation terjadi apabila ada kendala dengan tanda sama dengan.

f. Corner Point Feasible Solution

Corner Point Feasible Solution adalah solusi layak yang terletak pada

perpotongan antara dua garis. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah titik O, A,

B, C dan D.

g. Corner Point Infeasible Solution

Corner Point Infeasible Solution adalah titik pada perpotongan dua garis diluar

daerah layak. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah E, F, G dan H.

h. No Optimal Solution

No Optimal Solution terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai

penyelesaian optimal.


27

Hal tersebut disebabkan oleh :

1. Tidak ada feasible solution (lihat gambar 2.6).

2. Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z.

Contoh yang disebabkan faktor ke-2 adalah sebagai berikut:

𝑀𝑎𝑘𝑠: 𝑍 = 10𝑥1 + 8𝑥2

Dengan kendala

𝑥1 ≤ 4

2𝑥1 ≤ 10

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Batasan tersebut dapat ditunjukkan dengan grafik berikut:

𝑥1

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6

Gambar 2.9 Grafik No Optimal Solution

Pengambilan waktu percepatan (crash) yang optimal dengan pendekatan

Program Linier.

Jika 𝑥𝑖 = waktu untuk kejadian i

𝑥𝑗 = waktu untuk kejadian j

𝑥𝑚 = waktu untuk kejadian pada simpul terakhir (m)

𝑡𝑖𝑗 = waktu normal untuk aktivitas 𝑖 → 𝑗

𝑡𝑐𝑖𝑗 = waktu chrashing aktivitas 𝑖 → 𝑗

𝜏𝑖𝑗 = kemungkinan maksimum pengurangan waktu untuk aktivitas

𝑖 → 𝑗 karena crashing maksimum


28

𝐶𝑖𝑗 = biaya untuk aktivitas normal 𝑖 → 𝑗

𝐶𝑐𝑖𝑗 = untuk aktivitas normal 𝑖 → 𝑗 dengan crashing

𝑆𝑖𝑗 = slope biaya untuk aktivitas 𝑖 → 𝑗

Model umum program linier untuk jaringan ini adalah 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑆𝑚𝜏𝑚 . Untuk

kendala yang menjelaskan struktur jaringan dimulai dari event i dengan asumsi bahwa

𝑥𝑖 = 0.

Untuk event berikutnya

𝑥𝑗 ≥ 𝑡𝐴 − 𝜏𝐴 + 𝑥𝑖

𝑥𝑘 ≥ 𝑡𝐵 − 𝜏𝐵 + 𝑥𝑗

⋮

𝑥𝑚 ≥ 𝑡𝑍 − 𝜏𝑍 + 𝑥𝑚−1

Selanjutnya dengan menggunakan metode simpleks dapat diperoleh jawaban

optimalnya. Pendekatan program linier terhadap jaringan kerja dapat dimodelkan

kedalam bentuk program linier.

Jika dianggap 𝑥𝑚 adalah waktu kejadian simpul terakhir dalam jaringan diatas,

yaitu pada simpul m, maka fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai Min Z = 𝑥𝑚 .

Selanjutnya dikembangkan hambatan model tersebut. Maka ditentukan waktu untuk

aktivitas 𝑖 → 𝑗 sebagai 𝑡𝑖𝑗 . Kumpulan hambatan yang menyatakan kondisi ini adalah

𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 ≥ 𝑡𝑖𝑗 . Maka model umum program linier untuk jaringan ini dapat dirangkum

sebagai 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑥𝑚 .

Dengan kendala: 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 ≥ 𝑡𝑖𝑗 untuk seluruh aktivitas 𝑖 → 𝑗

𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 ≥ 0

Diketahui: 𝑥𝑖 = waktu kejadian pada simpul i

𝑥𝑗 = waktu kejadian pada simpul j

𝑡𝑖𝑗 = waktu aktivitas 𝑖 → 𝑗

𝑚 = simpul terakhir dalam jaringan


29

2.5.2 Metode Simpleks

Apabila suatu masalah program linier hanya mengandung dua kegiatan (variabel-

variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat

lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga

diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi

dari tiga variabel atau lebih.

Masalah program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat

dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang

dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu

algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian

karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabel-

tabel.

Tabel 2.2 Bentuk Tabel Simpleks

𝐶𝑗 𝐶1 … 𝐶𝑘 … 𝐶𝑛 Jawab

Basis Variabel

Basis

Harga

Basis 𝑋𝐵1 … 𝑋𝑛 … 𝑋𝑚

𝑋𝐵1 𝐶𝐵1 𝑎11 … 𝑎1𝑘 … 𝑎1𝑛 𝑏1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑋𝐵𝑟 𝐶𝐵𝑟 𝑎𝑟1 … 𝑎𝑟𝑘 … 𝑎𝑟𝑛 𝑏𝑟

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑋𝐵𝑚 𝐶𝐵𝑚 𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑘 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚

𝑍𝑗 − 𝐶𝑗 = imbalan 𝑍1 − 𝐶1 … 𝑍𝑘 − 𝐶𝑘 … 𝑍𝑛 − 𝐶𝑛 𝐶𝐵𝑏

Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu

menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model

matematika persamaan linier, dengan cara mengkonversikan semua ketidaksamaan

menjadi persamaan. Agar persamaan garis memenuhi persyaratan pada daerah

kelayakan (feasible) maka untuk model program linier diubah menjadi suatu model

yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan


30

(artificial variable) pada tiap batasan (constraint) serta member harga nol pada setiap

koefisien c. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:

1). Untuk batasan bernotasi ≤ dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan

dengan menambahkan variabel slack kedalamnya.

2). Untuk batasan bernotasi ≥ dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan

dengan mengurangi variabel suplus dan kemudian menambahkan variabel

buatan (artificial variable) kedalamnya.

3). Untuk batasan bernotasi = diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan

(artificial variable) kedalamnya.

Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini

dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel

buatan dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimasi maka dibuat –M sebagai harga,

dan jika persoalan minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara

pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M Method).

Perhatikan contoh di bawah ini.

Bentuk umum

𝑀𝑖𝑛. 𝑍 = 7𝑥1 + 3𝑥2

Kendala: 4𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 36

7𝑥1 + 5𝑥2 = 35

8𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 32

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Bentuk standar persoalan di atas menjadi:

𝑀𝑖𝑛. 𝑍 = 7𝑥1 + 3𝑥2

Kendala: 4𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑠1 = 36

7𝑥1 + 5𝑥2 + 𝐴1 = 35

8𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑠2 + 𝐴2 = 32

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Dengan teknik M persamaan di atas menjadi

𝑀𝑖𝑛. 𝑍 = 7𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑀𝐴1 + 𝑀𝐴2

Kendala: 4𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑠1 = 36


31

7𝑥1 + 5𝑥2 + 𝐴1 = 35

8𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑠2 + 𝐴2 = 32

𝑥1, 𝑥2 , 𝑠1, 𝑠2, 𝐴1, 𝐴2 ≥ 0

1. Nilai 𝐴1 digantikan dari fungsi kendala kedua.

𝐴1 = 35 − 7𝑥1 − 5𝑥2

𝑀𝐴1 berubah menjadi 𝑀 35 − 7𝑥1 − 5𝑥2 = 35𝑀 − 7𝑀𝑥1 − 5𝑀𝑥2

2. Nilai 𝐴2 digantikan dari fungsi kendala kedua.

𝐴2 = 32−8𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑠2

𝑀𝐴2 berubah menjadi 𝑀 32−8𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑠2 = 32𝑀 − 8𝑀𝑥1 − 4𝑀𝑥2 +

𝑀𝑠2

3. Fungsi tujuan berubah menjadi

𝑀𝑖𝑛. 𝑍 = 7𝑥1 + 3𝑥2 + 35𝑀 − 7𝑀𝑥1 − 5𝑀𝑥2 + 32𝑀 − 8𝑀𝑥1 − 4𝑀𝑥2 +

𝑀𝑠2

= 7 − 15𝑀 𝑥1 + 3 − 9𝑀 𝑥2 + 𝑀𝑠2 + 67𝑀

Lakukan langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks. Tabel awal hingga

tabel optimal persoalan dapat dilihat pada tabel berikut:

Fungsi tujuan berubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua 𝑐𝑗𝑥𝑗

kekiri.

𝑍 = 7 − 15𝑀 𝑥1 + 3 − 9𝑀 𝑥2 + 𝑀𝑠2 + 67𝑀

berubah menjadi

𝑍 − 7 − 15𝑀 𝑥1 − 3 − 9𝑀 𝑥2 − 𝑀𝑠1 = 67𝑀


32

Tabel 2.3 Simpleks Awal

Basis Z 𝑥1 𝑥2 𝑠1 𝐴1 𝑠2 𝐴2 Solusi

Z 1 15M-7 9M-3 0 0 -M 0 67M

𝑠1 0 4 6 1 0 0 0 36

𝐴1 0 7 5 0 1 0 0 35

𝐴2 0 8 4 0 0 -1 1 32

Untuk persoalan dengan fungsi maksimasi, nilai Z dapat diperbaiki dengan

meningkatkan nilai 𝑥1 dan 𝑥2 pada persamaan Z menjadi tidak negatif. Untuk itu pilih

kolom pada baris fungsi tujuan yang mempunyai nilai negatif terbesar, gunakan kolom

ini sebagai entering variabel. Jika ditemukan lebih dari satu nilai negatif angka

terbesar pilihlah salah satu, sebaliknya jika tidak ditemukan nilai negatif berarti solusi

sudah optimal. Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilihlah kolom pada baris fungsi

tujuan yang nilainya positif terbesar. Jika tidak ditemukan nilai positif berarti solusi

telah optimal.

Leaving variable dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio

diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada entering variabel

yang sebaris.

𝑅𝑎𝑠𝑖𝑜 =𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖

𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔

Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci, maka persoalan tidak

memiliki pemecahan.

Tabel 2.4 Iterasi 0

Entering Coloumn

Basis Z 𝒙𝟏 𝑥2 𝑠1 𝐴1 𝑠2 𝐴2 Solusi Rasio

Z 1 15M-7 9M-3 0 0 -M 0 67M -

𝑠1 0 4 6 1 0 0 0 36 9

𝐴1 0 7 5 0 1 0 0 35 7

𝑨𝟐 0 8 4 0 0 -1 1 32 4

Persamaan pivot Elemen Pivot


33

Kolom pada entering variable dinamakan entering coloumn dan baris yang

berhubungan dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot. Elemen pada

perpotongan entering coloumn dan persamaan pivot dinamakan element pivot.

Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama : elemen pivot

Karena leaving variablenya 𝐴2 dan entering variablenya 𝑥1, maka gantilah basis 𝐴2

dengan 𝑥1.

Persamaan baru = (persamaan lama) – (koefisien kolom entering × persamaan

pivot baru). Persamaan dapat diperoleh sebagai berikut:

Tabel 2.5 Iterasi 1

Basis Z 𝑥1 𝒙𝟐 𝑠1 𝐴1 𝑠2 𝐴2 Solusi Rasio

Z 1 0 (3M+1)/2 0 0 (7M-7)/8 -(15M-7)/8 7M+28 -

𝑠1 0 0 4 1 0 ½ -1/2 20 3

𝑨𝟏 0 0 3/2 0 1 7/8 -7/8 7 6/5

𝑥1 0 1 ½ 0 0 -1/8 1/8 4 9/5

Langkah selanjutnya dapat dilakukan seperti di atas hingga diperoleh hasil

optimal.

Tabel 2.6 Iterasi 2

Basis Z 𝑥1 𝑥2 𝑠1 𝐴1 𝑠2 𝐴2 Solusi Rasio

Z 1 0 0 0 -M-1/3 -7/6 -M+7/6 77/3 -

𝑠1 0 0 0 1 -8/3 -11/6 11/6 4/3 25/3

𝑥2 0 0 1 0 2/3 7/12 7/12 14/3 -

𝑥2 0 1 0 0 -1/3 -5/12 5/12 5/3 1

Pada iterasi 2 nilai Z telah tercapai kondisi optimal karena nilai pada garis fungsi

tujuan tidak ada yang negatif.

Diperoleh nilai 𝑥1 =5

3 ; 𝑥2 =

14

3 ; 𝑠1 =

4

3 𝑑𝑎𝑛 𝑍 = 77/3


34

2.5.3 LINDO

Cara lain yang dapat digunakan dalam mencari solusi dalam program linier adalah

dengan menggunakan software. Ada banyak software yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah pemrograman linier seperti TORA, LINGO, EXCEL dan

banyak lagi yang lainnya. Adapun salah satu software yang sangat mudah digunakan

untuk masalah pemrograman linier adalah dengan menggunakan Lindo.

Lindo (Linear Interaktive Discrete Optimizer) adalah software yang dapat

digunakan untuk mencari penyelesaian dari masalah pemrograman linier. Prinsip kerja

utama Lindo adalah memasukkan data, menyelesaikan, serta menaksirkan kebenaran

dan kelayakan data berdasarkan penyelesaiannya. Model Lindo minimal memiliki 3

syarat:

1. Menentukan fungsi objektif. Ada dua jenis tujuan yaitu maksimasi (MAX) dan

minimasi (MIN).

2. Variabel. Lindo tidak dapat dijalankan tanpa memasukkan variabel dalam

formula.

3. Batasan (fungsi kendala). Setelah fungsi objektif diketikkan selanjutnya

diketikkan Subject to atau ST untuk mengawali pengetikan batasan. Pada akhir

batasan diketik kata END.

Setelah formula diketikkan dapat dicari solusinya dengan mimilih perintah solve atau

mengklik tombol solve pada toolbar.


chapter ii

Documents