13장 1/27

Chapter 13

질점의동역학 : 힘과가속도

(Kinetics of a Particle : Force and Acceleration)

13장 2/27

　 13.1 뉴턴의 운동법칙 (Newton’s Laws of Motion)

제 1법칙 : 질점에 작용한 힘이 없으면 그 질점은 정지해 있거나 일정한 속도로

움직이고 있다.

제 2법칙 :

제 3법칙 : 힘은 반드시 쌍으로 존재하며, 쌍을 이루는 두 힘은 크기가 같고 방향은

반대 이며 동일 직선상에서 작용한다.

aF m=원래는 에서

m이 일정한 경우, F=ma가 된 것이다.

)( vF mdtd

=( )aF

m

관성(Inertia) : 모든 물체가 갖고 있는 성질로서 속도의 변화에 저항하는 성질

질량(Mass) : 관성의 척도

aF

=m주의

제 1법칙은 제 2법칙의 특수한 경우에 불과하다.즉 제 2법칙에 포함되는 제 1법칙을 왜 뉴턴은 떼어 냈을까?

13장 3/27

뉴턴의 만유인력의 법칙 ( Newton’s Law of Gravitational Attraction )

두 질점 사이에 존재하는 인력의 크기에 관한 법칙

: 만유인력 상수,

221

rmmGF ==−= FF

)s/(kgm 1066.73 2312 ⋅× −G

F

2m

1m F−

r

13장 4/27

질량과 무게 (Mass and Weight )

속도의 변화에 저항하는 성질을 관성이라 하고 이 관성의 척도를 질량(mass)라 한다.

사물의성질 척 도 단 위관 성 질 량 kg, slug

따뜻한 성질 온 도긴 성질 길 이 m, ft

FC, °°

Einstein의 상대성 역학에 의하면 물체의 질량은 그 물체의 속도의 함수가 되어, 속도가

광속에 달하면 질량은 무한대가 된다. 그러나 공업역학에선 질량이 속도에 무관한

것으로 보아 절대량(absolute quantity)로 간주한다.

무게(weight)는 물체에 작용하는 지구인력이다.

만유인력의 법칙으로부터 질량이 m인 물체의 무게

2rmGmW e= (여기서 는 지구의 질량, 은 물체로부터

지구중심까지의 거리)em r

13장 5/27

뉴턴의 운동법칙 와 비교하면

가 가속도임을 알 수 있는데 이 가속도를 지구중력가속도 g라 한다.

결국 .

질량이 위치와 무관한 반면 무게는 위치(r)의 함수인데 물체가 지구표면근방에 있는

경우 대부분의 공학계산에선 위도가 인 해수면에서의 중력가속도

을 표준 중력가속도로 사용한다.

aF m=

2rmG e

gmW =

)ft/sec2.32(m/sec81.9 22 =

°45

13장 6/27

　 13.2 운동방정식(The Equation of Motion)

질량이 m인 질점에 작용한 힘의 합력 = (13-4)

D’Alembert’s principle

관성력을 물체에 작용하는 힘으로 간주하면 정역학에서 성립하는 힘의 평형방정식이

동역학의 운동방정식과 일치함을 알 수 있다. 즉, 동역학의 기본방정식을 정역학의

힘의 평형의 개념으로 설명할 수 있다는 점을 D’Alembert’s principle의 핵심으로 이해하는

사람(이 교과서의 저자를 포함하여)도 있으나 이것은 D’Alembert의 위대한 업적에 대한

모독이라고 여겨지기도 한다. 왜냐하면 역학에서 해석을 단순화하는 과정에서

구속력의 기여를 배제하기 위해 가상일(virtual work)이란 스칼라량을 도입해야만 비로소

D’Alembert’s principle을 설명할 수 있기 때문이다. 관련된 더 자세한 내용은 해석역학에

관한 책을 참고하시라.1. Classical Dynamics by D.T. Greenwood, Prentice-Hall (1977).2. Analytical Dynamics of Discrete Systems by R.M. Rosenberg , Plenum Press(1977).

aF m=∑

( ) 0aF =−+∑ m

실제 힘 + 관성력 = 0

Actualforce

Inertialforce

13장 7/27

관성기준계 (Inertial Frame of Reference )

제 12장에서 물체의 가속도는 어느 기준계(직교하는 세 축)에서 관측했는가에 따라

달라진다는 걸 알게 되었다. 그런데 운동방정식 에서 는 절대로 움직이지

않는 기준계 즉, 주관성기준계 (Primary inertial frame of reference)로부터 관측한

가속도이다. 이 가속도는, 주관성기준계에서 봤을 때 일정한 속도로(nonaccelerating)병진하는 (nonrotating) 기준계 즉, 관성기준계(inertial frame of reference)에서 본 가속도와

동일하므로, 뉴턴운동 제2법칙의 가속도는 주관성기준계 또는 관성기준계에서 관측한

가속도이어야 한다.

aF m=∑ a

2

2

2

2

2

2

2

2

dtd

dtd

dtd

dtd

oP

oPoP

′

′′

=

+=

r

rrr0

•Z

YX

O

Pro′r

P oP ′ro′

z

y

x 관성기준계

주의

주관성기준계 우주공간 내에 절대로 정지한 별의 존재를 알 수 없으므로 주관

성기준계나 관성기준계는 개념상의 기준계이지, 우리가 아는

어느 특정한 물체에 세워 둔 기준계라고 할 수 없다.

13장 8/27

　 13.3 질점계의 운동방정식 (Equation of Motion for a System of Particles )

질점계(system of particles) : 여러 개의 질점들로 구성된 계 (예:태양계)

상상의 경계를 기준으로 내부와 외부로 구분하고 그 계의 내부에서 발생한 힘을

내력(internal force), 외부에서 발생한 힘을 외력(external force)이라 한다.

주의

예로써 자루 속의 구슬로 구성된 계를 생각하면, 자루가 그 계의 경계가

되고 구슬끼리의 상호작용 즉 충돌, 마찰등은 내력의 원인이 되고 구슬에

작용하는 지구인력은 외력이 된다.

관성기준계 (a)

mi

자유물체도 동역학도

(b)Fig. 13-4

13장 9/27

와 는 가속도가 인 질점 에 작용한 합외력과 합내력이며, 은총질량이 인 질점계 내의 질점의 수이다. 개의 방정식을 모두 더하면

)( 2

2

dtd i

ira =

iF if ia im nm n

∑∑∑===

=+n

iii

n

ii

n

ii m

111

afF

mi에 대한 운동방정식, Fi+fi= miai, i = 1, 2, …, n

내력의 총합 이므로

( 13-5)

계의 질량중심의 위치벡터의 정의

0=∑ if

iii m aF ∑=Σ

mm

mm ii

i

iiG

rrr ∑=

∑∑

= 로부터

GG

Giii

iii mdt

dmmdtdm

dtd

dtdmm arrrra ===∑=∑=∑ 2

2

2

2

2

2

2

2

)()(

Gi maFF =∑≡∑즉 (13-6)

내력의 총합

에 가 작용하는 힘 (운동 제3법칙에서)

이므로, 내력의 총합 =

iij m:f jm jif−=

∑≠=

=n

ijj

iji1

ff

000

ffffff

=⋅⋅⋅++=

⋅⋅⋅++++==∑ ∑ ∑= =

≠=

3113211 1 1

12

n

i

n

i

n

ijj

iji

(자기자신에

미친 힘은

이므로)0

의 의미 :질량중심은 질점계의 운동을 이해하는데 가장 중요한 점이라고 볼 수 있다.따라서 이 점의 가속도(운동)와 힘의 관계를 아는 것이 중요한데, 질점계의

모든 질점과 외력이 에 몰려 있다고 간주하여, 질량이 이고, 에 위치하며

외력 가 작용하는 단 하나의 질점의 동역학으로 이해할 수 있다는 것이다.

GmaF=Σ

mG GF∑

im jm

ijf jif

주의

주의13장 10/27

13장 11/27

　 13.4 운동방정식 : 직각좌표( Equations of Motion:Rectangular Coordinates )

aF m=∑)( kjikji zyxzyx aaamFFF ++=∑+∑+∑

xx amF =∑

yy amF =∑ (13-7)

zz amF =∑

Fig. 13-5

13장 12/27

예제 13-1 : Problem 13-29

Block B has a mass m and is released from rest when it is on top of cart A, which has a mass of 3m. Determine the tension in cord CD needed to hold the cart from moving while B is sliding down A. The coefficient of kinetic friction between A and B is .

문제의 요지: A의 경사면을 따라 B가 미끄러져 내려올 때 A가 움직이지 않도록C에작용해야 하는 힘은?

B의 경사면에 수직한 방향으로의 운동방정식

k

A의 수평방향으로의 운동방정식

µ

θθ cos,0cos mgNmgN BB ==−

)cossincos0cossin

θµθ(θmgTθNµθNT

k

BkB

−==−+−

mg

BN

Bk NµB

θ BN

AN

mg3Bk Nµ

T •θ AC

13장 13/27

예제 13-2 : Problem 13-30

문제의 요지: 속도에 비례하는 저항력을 받는 유조선의 초기속도가 3ft/s 일 때 속도가절반이 될 때까지 필요한 시간과 멈추는 데 필요한 이동거리는?

The tanker has a weight of lb and is traveling forward at in stillwater when the engines are shut off. If the drag resistance of the water is proportional to the speed of the tanker at any instant and can be approximated by lb, where is in ft/s, determine the time needed for the tanker’s speed to become 1.5 ft/s. Given the initial velocity of , through what distance must the tanker travel before it stops?

)10(800 6 ft/s30 =v

))10(400( 3 vFD =v

ft/s30 =v

avamF xx 2.32)10(800)10(400,

63 =−=∑

이므로dtdva =

3ln0161.0

)10(8002.32)10(400

360

3

vt

vdvdt

vt

=−

=− ∫∫

vvFD )10(400 3=

13장 14/27

s1.43ft/s23 == tv 일때,

ft1860161.0

3

3

0,3

0

0161.0

max

0

0161.0

0

0161.0

max

=−

=∴

=

∞====

∞−

∞ −

−

∫∫t

tx

t

ex

dtedx

tvedtdxv 시간되는가 이므로

주의

현실에서도 유조선이 멈추는 데 무한대의 시간이 필요할까?저항력이 속도에 비례하는 모델은 속도가 점차 작아지면 더 이상 유효하지 못 할

것이므로, 실제로는 유한한 시간 내에 유조선이 멈추게 된다.

13장 15/27예제 13-3 : Problem 13-31

The 2-kg shaft CA passes through a smooth journal bearing at B. Initially, the springs, which are coiled loosely around the shaft, are unstretched when no force is applied to the shaft. In this position and the shaft is originally at rest.If a horizontal force of F=5kN is applied, determine the speed of the shaft at the instant s = 50mm,

. The ends of the springs are attached to the bearing at B and the caps at C and A.

mm 250=′= ss

450mm=′s

문제의 요지: 베어링 B의 양쪽의 스프링에 연결된 축 CA 에 5kN이 작용하여 200mm 이동했을 때 축의 속도는?

(스프링 의 인장력)(스프링 의 압축력)

CBkABkABFCBF

x

kN5

xxkFxxkF

ABAB

CBCB

20003000

====

,xx amF =∑

axaxx

=−=−−

)1(25002200030005000

,이므로dvvdxa =

∫∫=

=−)2.0(

0

2.0

0)1(2500

xvdvvdxx

m/s30)2.0( ==xv

13장 16/27

　 13.5 운동방정식 : 법선 및 접선좌표( Equations of Motion : Normal and Tangential Coordinates )

aF m=∑

nnttbbnntt mamaFFF uuuuu +=∑+∑+∑

tt amF =∑

nn amF =∑ (13-8)

0=∑ bF

Fig. 13-11

예제 13-4 : Problem 13-80

문제의 요지:

The 5-lb collar slides on the smooth rod, so that when it is at A it has a speed of 10 ft/s. If the spring to which it is attached has an unstretched length of 3ft stiffness of k=10 lb/ft, determine the normal force on the collar and the acceleration of the collar at this instant.

,2

82xy −=

( ) °=−=−=−=−==

435.63,2tan2tan 2 θθθπ xxdxdy ( ) 62

218 2 =−=y

t

θ

sF

n

θ

θ

mg

N

α

ϕ

y

x02

곡률중심

13장 17/27

스프링에 연결되어 있으면서 매끈한 봉 위를

미끄러지고 있는 칼라에 작용하는 법선력과

이 칼라의 가속도를 구하여라.

13장 18/27

( ) ( ) 2346.662 22 =+=OA

( ) lb246.3332346.610 =−== ksFs °=∴= 565.71,26tan ϕϕ

( )( ) ft18.11121

1 2/32

2

2

2

2

23

=−−+

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

==

dxyd

dxdy

xρ

( ) 39.118.11

102.32

545cos24.334.63cos5:22

===+−=ΣρvmNmaF nn

lb35.24=N

( ) θαϕπ+−=

2

°=−+=

−+=

4590435.63565.71

2πθϕα

13장 19/27

tttt amamaF2.32

545sin24.334.63sin5: ==+=Σ

2ft/s16.180=ta

( ) 222

ft/s94.818.11

10===

ρvan

22222 ft/s38.18094.816.180 =+=+= nt aaa

nntt aa uua +=

13장 20/27

접선력과 법선력( Tangential and Normal Forces )식 (13-9)를 사용하여 가속도 성분으로부터 힘 성분을 구하는 일은 쉽겠지만, 힘 성분으로부터 가속도를 구하기 위해선 각 힘들의 크기와 방향에 대한 자세

한 정보가 필요하다. 예로써, 경로에 수직하게 작용하는 반력 과 접선방향으로 작용하는 마찰력

를 원통 좌표계의 방향 성분으로 분해하기 위해선 곡선경로에 대

한 다음의 정보를 이용하면 편리하다.

　 13.6 운동방정식 : 원통좌표 (Equations of Motion: Cylindrical Coordinates )

(13-9)

aF m=∑zzrrzzrr mamamaFFF uuuuuu ++=∑+∑+∑ θθθθ

)( 2θrrmamF rr −==∑

zmmaF zz ==∑

)2( θθθθ rrmamF +==∑

NF zr ,, θ

Fig. 13-16

z

x

y

13장 21/27

(b) (c)(a)

Fig. 13-17

각 : 의 방향으로부터, 가 증가할 때 경로의 접선진행방향까지 시계방향으로이루는 각도

ψ r θ

θθψ

ddrr

drrd

==tan

,732.3tan −=ψ

°−°= 75 115 혹은ψ

(13-10)

ur과 ut가 이루는 각

=

Fig. 13-18

13장 22/27

예제 13.5 :A weight rests on the top of a frictionless sphere of radius r. The weight slides downthe side of the sphere in a vertical plane under the action of gravity.Find both the point at which the weight leaves the sphere and the velocity at that instant.

문제의 요지 : 정지상태에서부터 매끈한 구면을 따라 미끄러져 내려오는 질점이

구면으로부터 이탈하는 점의 위치( )와 이 때의 속도는 ?sθ

)(cos 2θθ rrmmamgNF rr −==−=Σ

)2(sin θθθ θθ rrmmamgF +===Σ

m이 구로부터 이탈하기 전까지 원운동을 하므로

0, ==∴= rrr 일정2cos θθ mrmgN −=−

θθ mrmg =sin -------

-------

이므로θθθθ

θθθθ

dd

dtd

dd

dtd

===

mgr

θv

θN

θ'1

'2

-------

------- 1

2

13장 23/27

,sin θθθθ ddrg

= Crg

+=− 2

21cos θθ

이므로초기속도는 0 == θθ rvrgC −=

2

21)1(cos θθ =−−

rg

,''2

''2 '1

)1(cos2cos −=− θθ mgmgN

)2cos3( −= θmgN

구로부터 이탈하는 순간( )에 이므로sθθ = 0=N

02cos3 =−sθ

°≈=∴ − 2.4832cos 1

sθ

13장 24/27

이탈순간의 속도 를 위해

2 ′′

θθ uv r=

( )ss rg θθ cos12

−=로부터

( ) 32cos12 grgrrv sss =−==∴ θθ

주의

1. 는 물체의 질량 , 구의 크기 , 중력가속도 와 무관하며 는 에

무관함을 유의하라

2. 마찰이 있을 경우엔 어떨까?

3. 가 되기 위한 최소의 초기속도는 얼마일까?

4. 교과서 Example13-9와 풀이 과정과 결과를 비교해 보라

sθ m r g msv

0=sθ

13장 25/27예제 13-6 : Problem 13-101

The ball has a mass of 2kg and a negligible size. It is originally traveling around the horizontal circular path of radius =0.5m such that the angular rate of rotation is =1rad/s.If the attached cord ABC is drawn down through the hole at a constant speed of 0.2m/s, determine the tension the cord exerts on the ball at the instant r =0.25m. Also,compute the angular velocity of the ball at this instant. Neglect the effects of friction between the ball and horizontal plane. Hint: First show that the equation of motion in thedirection yields . When integrated, ,wherethe constant is determined from the problem data.

0r 0θ

( ) ( )( ) 012 2 ==+= dtrdrrra θθθθ cr =θ2c

문제의 요지 : 매끈한 표면 위에서 방향의 힘(중심력)만 받는 질점의 운동에서 초기에

방향의 속도성분만 가진 경우에 중심으로부터 떨어진 거리 이 절반이

되었을 때의 중심력(여기선 cord의 장력)의 크기와 각속도를 구하라.

rrθ

θ r

T

•B

13장 26/27

[ ] ( )θθθθθ2120: r

dtd

rmrrmmaF =+==Σ

따라서 , 일정 (나중에 이 표현이 각운동량보존을 의미한다는 걸

알게 될 것이다.)cr =θ2

( )2: θrrmTmaF rr −=−=Σ

0 m/s2.0 =−= rr 일정하므로로서

( ) 3

2

3

222 1r

mcr

rmmrT === θθ

( ) 25.015.0 2 =⋅=c

( )( )

N825.02

25.025.02

3

2

===T

( )rad/s4

25.025.0

22 ===rcθ ANS.

13장 27/27

원심력(遠心力)이란 무엇인가? 실제의 힘(actual force)인가?주의

앞의 예제의 경우를 생각해 보자. (원운동( =일정)의 경우도 마찬가지로설명할 수 있다.)2θmrmaTF rr −==−=

r

0)( =−+ rr maF (D’Alembert’s Principle에서)

관성력(inertia force)

실제 힘(actual force) : m에 실제로 작용하는 힘(surface force 건 body force건)

TFr −=2θmrmar =−

02 =+− θmrT•

2θmr곡률중심

T

r

-r 방향 r 방향 : 중심에서 멀어지는원심(遠心) 방향

이므로

결국, 그림에서 보듯이 장력 와 방향의(원심방향)의 어떤 존재 과 서로

평형을 이룬다는 정역학적 해석으로 대신 할 수 있다. 이 을 원심력이라 하는데

이것은 실제 힘이 아니라, 관성력(질량×가속도의 음=)이란 점에 유의해야 한다.

T r 2θmr2θmr