chapter1 3dsurfaces...
TRANSCRIPT
1
Chapter 13D Surfaces
1. Surfaces of Revolution
2. Quadric Surfaces
2
Surfaces of Revolution (ผิวที่เกิดจากการหมุน)
De nitionSurface of revolution เกิดจากการหมุนเสนโคงรอบเสนตรงที่เรียกวา แกนหมุน (axis of revolution)
ตัวอยาง surfaces of revolutionผิว เสนโคง แกนหมุน ตัวอยาง
ทรงกลม(Sphere)
วงกลม เสนผานศูนยกลาง
ทรงกระบอก(Cylinder)
เสนตรง ขนานกับเสนตรง
กรวย(Cone):
เสนตรง ตัดกับเสนตรง
3
การหาสมการของ surface of revolutionเมื่อแกนหมุนขนานกับแกนพิกัด
พิจารณากรณีที่เสนโคงและแกนหมุนอยูบนระนาบ z = l
โดยหมุนเสนโคง y = f (x) รอบแกนหมุนคือเสนตรง y = k
ตัดผิวดวยระนาบที่ตั้งฉากกับแกน x ที่จุด (x, 0, 0)
จะไดรอยตัดเปนวงกลมรัศมี |f (x)− k|
ดังนั้น สมการ surface of revolution คือ(y − k
)2+(z − l
)2=
(f (x)− k
)2
4
ตัวอยางจงหาสมการของผิวที่เกิดจากการหมุน• เสนโคง 4y = x2 + 4, z = 1
• โดยมีเสนตรง y = −1, z = 1 เปนแกนหมุน
5
ตัวอยางจงหาสมการของผิวที่เกิดจากการหมุน• เสนโคง x = sin z, y = 0
• โดยมีเสนตรง y = 0, x = 2 เปนแกนหมุน
6
Quadric Surfaces (ผิวควอดริก)
ผิวควอดริกทั่วไปจะอยูในรูป
ax2+by2+cz2+fxy + gyz + hxz+px + qy + rz+d = 0
• พจน xy, yz, xz จะเกี่ยวของกับการหมุน• พจน x, y, z จะเกี่ยวของกับการเลื่อนตำแหนงตามแนวแกน x, y, z (เมื่อ a, b, c ̸= 0 ตามลำดับ)ซึ่งสามารถพิจารณาการเลื่อนตำแหนงนั้น ๆ ไดจากการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ เชน
x2 + 2y2 + 3z2 − 2x + 8y − 18z + 1 = 0
7
Translation (การเลื่อนขนาน)เมื่อเลื่อนขนานกราฟ f (x, y, z) = 0 ในปริภูมิสามมิติ ไปh, k, l หนวยตามแนวแกน x, y, z ตามลำดับ แลวภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานคือกราฟ f (x− h, y − k, z − l) = 0
ตัวอยางx2 + y2 + z2 = 1 (x− 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 1
z2 = x2 + y2 (z + 1)2 = x2 + (y − 1)2
8
Dilation (การยอ/ขยาย)เมื่อยอ/ขยายกราฟ f (x, y, z) = 0 ในปริภูมิสามมิติ ดวยอัตราสวน a, b, c ̸= 0 ตามแนวแกน x, y, z ตามลำดับ แลวภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานคือกราฟ f (xa,
yb ,
zc) = 0
ตัวอยางx2 + y2 + z2 = 1
(x2
)2+(y3
)2+ z2 = 1
z2 = x2 + y2 4z2 = x2 + y2
9
Translation and Dilationตัวอยางx2 + y2 + z2 = 1 (2x− 3)2 + y2 + (z − 1)2 = 1
z2 = x2 + y2 (2z + 5)2 = x2 + (2y + 1)2
10
ผิวควอดคริกมีทั้งหมด 6 ชนิดสำหรับแตละผิว จะพิจารณา1. จุดที่ผิวตัดแกนพิกัด
จุดตัดแกน แทนคา หาคาx y = z = 0 x
y x = z = 0 y
z x = y = 0 z
2. ขอบเขตของตัวแปร x, y, z
3. รอยตัดของผิวดวยระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด ดังนี้ระนาบตัด แทนคา ไดสมการของx = a x = a y กับ z
y = b y = b x กับ z
z = c z = c x กับ y
4. สมมาตรของผิวเทียบกับระนาบพิกัดระนาบพิกัด แทนคา
x = 0 x → −x
y = 0 y → −y
z = 0 z → −z
11
1. Ellipsoidทรงรี
x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1
รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด: วงรีถา a = b = c ทรงรีจะเปนทรงกลม (sphere)
2. Paraboloidพาราโบลอยด
x2
a2+y2
b2=
z
c
รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด:พาราโบลา 2 แนว กับวงรี 1 แนว
12
3. Hyperbolic Paraboloidพาราโบลอยดเชิงไฮเพอรโบลา
x2
a2− y2
b2=
z
c
รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด:พาราโบลา 2 แนว กับไฮเพอรโบลา 1 แนว
ผิวนี้เรียกอีกชื่อหนึ่งวา ผิวอานมา (saddle surface)
4. Coneกรวย
x2
a2+y2
b2=
z2
c2
รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด:ไฮเพอรโบลา 2 แนว กับวงรี 1 แนว
13
5. Hyperboloid of One Sheetไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว
x2
a2+y2
b2=
z2
c2+ 1
รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด:ไฮเพอรโบลา 2 แนว กับ วงรี 1 แนว
6. Hyperboloid of Two Sheetsไฮเพอรโบลอยดชนิดสองชิ้น
x2
a2+y2
b2=
z2
c2− 1
รอยตัดกับระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด:ไฮเพอรโบลา 2 แนว กับวงรี 1 แนว