charakterystyki kinematyczne …home.agh.edu.pl/~kmtmipa/dydaktyka/pmism/kinematyka.pdf · podstawy...
TRANSCRIPT
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 1
CHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW PŁASKICH
PODSTAWY SYNTEZY GEOMETRYCZNEJ MECHANIZMÓW PŁASKICH.
Charakterystyki kinematyczne to zapis parametrów ruchu członów mechanizmów: zapis przemieszczeń, prędkości i przyspieszeń Charakterystyki kinematyczne mogą być uzyskane i zapisane w po-staci analitycznej lub wykreślnej. Synteza geometryczna – dobór parametrów geometrycznych członów mechanizmu w celu uzyskania wymaganych parametrów kinema-tycznych członów. Syntezę geometryczną można przeprowadzić metodami wykreślnymi właściwymi dla różnych mechanizmów, metodami analitycznymi lub poprzez wykorzystanie odpowiednich programów komputerowych.
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 2
CZ. 1. CHARAKTERYSTYKI KINEMATYCZNE MECHANIZMÓW 1. WPROWADZENIE Kinematyka mechanizmów obejmuje się badanie ruchu łańcuchów kinematycznych
istniejących (analiza) lub projektowanie nowych łańcuchów, które mają realizować ruch zgodnie z przyjętymi założeniami (synteza).
Metody kinematyki mechanizmów Metody wykreślne (graficzne i grafoanalityczne) 1) toru ocechowanego (metoda przybliżona, idea tej metody jest wykorzystywana w niektórych programach komputerowych), 2) chwilowego środka prędkości i chwilowego środka przyspieszeń, 4) rzutów prędkości, 5) prędkości i przyspieszeń obróconych, 6) biegunowych wykresów prędkości i przyspieszeń (metoda superpozycji, metoda
planów prędkości i przyspieszeń, 7) różniczkowania wykresów czasowych (analiza i synteza mechanizmów
krzywkowych).
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 3
Metody analityczne: 1) Metoda wieloboku wektorowego (wygodna metoda do analizy i syntezy łańcuchów płaskich mechanizmów o łańcuchu zamkniętym) 2) Metoda macierzowa (przydatna szczególnie do kinematyki łańcuchów otwartych, płaskich i przestrzennych). Metody analityczne pozwalają na wyznaczenie analitycznych związków określają-
cych położenia, prędkości i przyspieszenia kątowe członów mechanizmów oraz tory, prędkości i przyspieszenia charakterystycznych punktów mechanizmu w funkcji czasu lub w funkcji położenia członów napędzających.
Do analizy płaskich zamkniętych łańcuchów kinematycznych mechanizmów dźwi-
gniowych wygodnie jest stosować metodę wieloboku wektorowego. W analizie pła-skich lub przestrzennych łańcuchów otwartych bardzo przydatna jest metoda macie-rzowa
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 4
2. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK KINEMATYCZNYCH MECHANIZMÓW DŹWIGNIOWYCH METODĄ WIELOBOKU WEKTOROWEGO
2.1. Podstawy teoretyczne Metoda wieloboku wektorowego polega na zastąpieniu łańcucha kinematycznego
płaskiego mechanizmu dźwigniowego odpowiednim zamkniętym łańcuchem wektoro-wym spełniającym równaniem:
0l
n
1ii (1)
Każdy z wektorów tego wieloboku zdefiniowany jest we współrzędnych bieguno-
wych przez dwa parametry: długość wektora ii ll oraz kąt i określający jego kieru-nek.
Wielobok wektorowy opisany równaniem (1) po zrzutowaniu go na osie płaskiego układu współrzędnych odpowiada dwóm równaniom skalarnym.
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 5
0ll0lln
1iii
n
1iiy
n
1iii
n
1iix sin;cos
(2) Układ dwóch równań (2) pozwalają na wyznaczenie dwóch parametrów geometrycznych np. dwóch kątów,
dwóch długości lub długości i kąta. Ponieważ wielobok wektorowy (1) posiada n2 parametrów, zatem w mo-mencie tworzenia łańcucha kinematycznego mechanizmu należy przyjąć 2n2 parametry.
Różniczkując układ równań (2) otrzymujemy
0
dtdl
0dt
dl n
1i
iyn
1i
ix , (3)
0dt
ld0
dtld n
1i2iy
2n
1i2ix
2,
oraz (4)
Układ równań (3) pozwala wyznaczyć dwie nieznane prędkości kątowe i lub liniowe dtdli , natomiast (4)
dwa nieznane przyspieszenia kątowe i lub liniowe 2i
2
dtdl
Rys. 1. Warianty usytuowania układu współrzędnych dla mechanizmu korbowo-suwakowego
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 6
Przykład 1 Przeprowadzić analizę kinematyczną mechanizmu korbowo-suwakowego przedstawionego na rysunku 1
metodą wieloboku wektorowego.
W celu analizy przedstawionego mechanizmu wygodnie jest przyjąć układ współrzędnych Oxy i opisać me-
chanizm wielobokiem wektorowym w taki sposób jak to przedstawiono na rysunku 2. Mechanizm opisany został czterema wektorami 020121 llll ,,, . Zatem należy przyjąć 6242 parametrów
łańcucha kinematycznego. Dane: )( t11 - kąt obrotu członu napędzającego, BClABl 21 , ,
01 , DAl02 , 202 . Szukane: )(),(),(),( ttvvttrr 22CC22CC , )(),( ttaa 22CC
Rys. 2. Mechanizm korbowo-suwakowy opisany wielobokiem wektorowym
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 7
Rozwiązanie Zapisujemy zamknięty wielobok wektorowy równaniem wektorowym
0l4
1ii , czyli 0llll 020121 (5)
Wektory 21 ll , oraz 02l mają stałą długość, natomiast wektor 01l zmienia swoją długość podczas ruchu me-chanizmu.
Równanie (5) odpowiada po zrzutowaniu na osie układu współrzędnych dwóm równaniom skalarnym.
0lll 012211 coscos (6)
0lll 022211 sinsin (7)
Przyjmując oznaczenie 2
1ll
oraz 2
02
lla na podstawie (7) mamy
12 a sinsin (8)
Ponieważ 11sin , na podstawie (8) otrzymujemy warunek umożliwiający obrót korby 1l o kąt 2 .
1a lub 2102 lll (9) Na podstawie (8) mamy
)sinarcsin( 12 a (10) Przyjmujemy dalej oznaczenie
122
12
22
2 a2a11A sinsinsincos (11)
W celu wyznaczenia prędkości liniowej oraz przyspieszenia liniowego punktu C wprowadzamy wektor promień wodzący tego punktu.
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 8
0ya2A2A250aA
2AaAal2A50aAlxa
CCy
11
1233
11
11322
1232
12111
11
1111CCx
)cossin,sin
cossincos(cossin,cossin
Na podstawie (5) oraz rysunku (2) mamy
020121CCC llllyxr );( (12)
Współrzędne określające położenie suwaka na podstawie (3.6) i (3.7) wynoszą
022211y2y1C
012112211x2x1Cllllly
lAllllllxsinsin
coscoscos (13)
W celu wyznaczenia prędkości kątowej łącznika 2 różniczkujemy (8) względem czasu.
1122 coscos
11
12
1122 A cos
coscos
(14)
Różniczkując (3.13) względem czasu obliczamy prędkość liniową punktu C:
0yv)2sinA5,0cosaA(sinlxv
CCy
11
11
111CCx
(15)
W celu obliczenia przyspieszenia kątowego łącznika 2 różniczkujemy (14) względem czasu
111122
122
121
122 2A50AaA cossincos,cossin (16)
Następnie różniczkujemy (15) otrzymując przyspieszenie liniowe punktu C
(17)
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 9
Rys. 3. Wykresy parametrów kinematycznych łącznika mechanizmu korbowo-suwakowego
przedstawionego na rys. 2
Jeżeli korba ABl1 obraca się ze stałą prędkością kąto-wą, wtedy jej przyspieszenie kątowe jest równe zero czyli
01 , co należy uwzględnić w równaniach (16) i (17). Na rysunkach 3 i 4 przedstawiono wynik obliczeń nume-
rycznych parametrów kinematycznych analizowanego me-chanizmu dla następujących danych liczbowych: t21 ,
4,0l,2,0l 21 , 01 , 1,0l02 , 202 .
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 10
Rys. 3. Wykresy parametrów kinematycznych łącznika mechanizmu korbowo-suwakowego przedstawionego
na rys. 2
SAM
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 11
Przykład 2 Przeprowadzić analizę kinematyczną mechanizmu jarzmowego przedstawionego na rysunku 5 metodą wie-
loboku wektorowego
Rys. 5. Mechanizm jarzmowy opisany wielobokiem wektorowym Mechanizm opisany jest czterema wektorami, zatem przyjmiemy 6242 parametrów łańcucha kinema-
tycznego.
Dane: )( t11 , ABl1 , CEl4 , 23
4 , AEl5 , 5 .
Szukane: )t(ll 22 , )t(22 , )t(lv 23C2C , )t(22 , )t(la 2
t3C2C , )t(22 , Dv , Da .
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 12
Rozwiązanie Zamknięty wielobok wektorowy ma postać:
0llll 5421 (18)
Jedynie wektor )t(ll 22 zmienia swoją długość w czasie ruchu mechanizmu. Po zrzutowaniu równania (18) na osie układu Oxy otrzymujemy
0lsinlsinl0lcoslcosl
42211
52211 (19)
Z równań (19) wyznaczymy długość jarzma 2l
11422
11522llllllsinsincoscos
(20)
Po podniesieniu układu równań (3.20) do kwadratu i dodaniu stronami znajdujemy długość jarzma 2l .
2114
21152 )sinll()cosll(l (21)
Dzieląc równania (3.20) stronami otrzymujemy:
115
1142 cosll
sinlltg , 115
1142 cosll
sinllarctg (22)
W celu znalezienia prędkości kątowych i liniowych jarzma różniczkujemy pierwsze z równań (19) podstawiając 11 i 22
0sinlcosdtdlsinl 2222
2111 (23)
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 13
Obracając układ współrzędnych Oxy o kąt 2 znajdziemy na podstawie (23) prędkość względną punktu na jarzmie 2 poruszającego się względem suwaka 3.
0)sin(l)cos(dtdl)sin(l 222222
22111
stąd )sin(lvdtdl
21113C2C2
(24)
Prędkość kątową jarzma 2 znajdziemy obracając układ współrzędnych Oxy o kąt )90( 2 na podstawie (23).
0)90sin(l)90cos(dtdl)90sin(l 222222
22111
stąd )cos(ll
2112
12 (25)
W celu znalezienia przyspieszeń kątowych i liniowych różniczkujemy równanie (23) podstawiając 11 , 22 .
(26)
0ll
dtdl2
dtldll 2
22222222
222
22
1211111 cossinsincoscossin
Styczne pkt.B, normalne pkt.B, względne styczne pkt. C2C3, Coriolisa pkt. C2C3, styczne pkt.C2B, normalne pkt.C2B
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 14
Obracając układ współrzędnych Oxy o kąt 2 na podstawie (26) znajdujemy
przyspieszenie styczne 22
2t
3C2C dtlda
0l
ldtdl2
dtldll
22222
22222222
2222
2
212112111
)cos(
)sin()sin()cos()cos()sin(
Ostatecznie 0l)cos(l)sin(ldt
lda 22221
21121112
22
t3C2C (27)
Obracając układ współrzędnych Oxy o kąt )90( 2 na podstawie (26) obliczymy przyspieszenie kątowe
jarzma 2 .
090l90l
90dtdl290
dtld90l90l
222222222
2222
2222
2
212112111
)cos()sin(
)sin()cos()cos()sin(
Ostatecznie
dtdl
l2)sin(
ll)cos(
ll 2
2
221
21
2
1211
2
12 (28)
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 15
Na podstawie rysunku 5 mamy
BD1D llr (29)
Wyznaczymy współrzędne wektora promienia wodzącego Dr
2BD11Dy
2BD11Dx
sinlsinlrcoslcoslr
(30)
Różniczkując (3.30) znajdziemy współrzędne wektora prędkości punktu D
22BD111Dy
22BD111Dxllvllv
coscossinsin
(31)
Różniczkując (3.31) znajdujemy współrzędne wektora przyspieszenia punktu D
2
22BD22BD1
211111Dx
222BD22BD1
211111Dx
lllla
lllla
sincossincos
cossincossin (32)
Rys. 5
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 16
Na podstawie wyprowadzonych zależności przeprowadzone zostały obliczenia numeryczne parametrów kinematycznych analizowanego mechanizmu jarzmowego a ich wyniki są przedstawione na rysunku 6; 7; 8; 9; 10; 11. Obliczenia zostały wykonane dla następujących danych liczbowych: t21 , 15,0l1 , 2,0l4 ,
35,0l5 , 23
4 , 5 , 6,0lBD . Rys. 6. Wykresy parametrów kinematycznych jarzma mechanizmu jarzmowego przedstawionego na rysunku 5
Rys. 5
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 17
Rys. 7. Wykresy parametrów kinematycznych jarzma mechanizmu jarzmowego przedstawionego na rys. 5
Rys. 8. Tor punktu D jarzma mechanizmu przedstawionego na rys. 5
Rys. 5
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 18
Rys. 9. Współrzędne punktu D jarzma mechanizmu
przedstawionego na rys. 5
Rys. 10. Wykresy prędkości punktu D mechanizmu
przedstawionego na rys. 5
Rys. 11. Wykresy przyspieszenia punktu D
mechanizmu przedstawionego na rys. 5
Rys. 5
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 19
Dla mechanizmów o ruchliwości 1w wyznaczamy ponadto charakte-rystyki: a) przemieszczeniowe (przesunięciowe),
b) prędkościowe.
Charakterystyka przemieszczeniowa
Charakterystyka przemieszczeniowa (przesunięciowa) )( wep qf mechanizmu
określa zależność przemieszczenia członu wyjściowego mechanizmu w funkcji
przemieszczenia członu napędzającego:
)q(fq wepwy (33)
gdzie:
weq - przemieszczenie uogólnione (liniowe lub kątowe) członu napędzającego
mechanizmu
wyq - przemieszczenie uogólnione (liniowe lub kątowe) członu roboczego
(wyjściowego) mechanizmu
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 20
Dla niektórych mechanizmów (klinowych, śrubowych) zależność (33)
przyjmuje postać
wepwy qKq (34)
gdzie: pK - stały współczynnik proporcjonalności
W większości przypadków charakterystyka przemieszczeniowa jest funkcją
nieliniową. Charakterystykę przemieszczeniową można wyznaczyć metodą
analityczną, grafoanalityczną lub przy pomocy symulacji komputerowej.
Charakterystyka prędkościowa
Różniczkując wyrażenie (3) względem czasu otrzymujemy
wewe
wepwy q
dq)q(df
q (35)
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 21
we
wep
we
wywev dq
)q(dfqq
)q(f
Charakterystyka prędkościowa )( wev qf mechanizmu określa stosunek uogólnionej
prędkości członu wyjściowego mechanizmu do uogólnionej prędkości członu napędza-
jącego.
(36)
gdzie: weq - uogólniona prędkość (liniowa lub kątowa) członu napędzającego
wyq - uogólniona prędkość (liniowa lub kątowa) członu roboczego
(wyjściowego) mechanizmu
Charakterystykę prędkościową mechanizmu analogicznie jak przemieszczeniową
można wyznaczyć metodą analityczną, grafoanalityczną lub poprzez symulację
komputerową.
Charakterystyki prędkościowe zostaną wykorzystane do analizy siłowej
mechanizmu, a w szczególności do wyznaczenia przełożenia siłowego,
określonego poprzez charakterystykę siłową mechanizmu.
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 22
Allllllxf 2112211x2x1Cp coscoscos
122
12
22
2 a2a11A sinsinsincos
2
1
ll
2
02
lla
Przykład 3 Wyznaczyć charakterystykę przemieszczeniową i prędkościową dla mechanizmu korbowo-suwakowego z przykładu 1 przy założeniu, że prędkością członu wyjściowego jest prędkość punktu C suwaka 3, a prędko-ścią członu wejściowego jest prędkość kątowa członu 1. Przemieszenie suwaka (na podstawie przykładu 1)opisana jest wzorem: (37) Wzór (37) wyraża charakterystykę przemieszczeniową punktu C suwaka
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 23
Prędkość suwaka (na podstawie przykładu 1)opisana jest wzorem:
)sin,cos(sin 11
11
111CCx 2A50aAlxv
Podzielimy stronami przez 1 i otrzymamy zależność opisującą charakterystykę prędkościową mechanizmu.
)sin,cos(sin)( 11
11
111
C
1
C1v 2A50aAlxvf
(38)
Charakterystyki kinematyczne można otrzymać na drodze modelowania mechanizmu w progra-
mie SAM zakładając 1
1 s1 .
Rys. 12. Model mechanizmu w programie SAM
A
B
C D
Podstawy modelowania i syntezy mechanizmów. Charakterystyki kinematyczne mechanizmów. Podstawy syntezy geometrycznej mechanizmów płaskich.
Opracował J. Felis str. 24
Cp xf
Rys. 13. Charakterystyka przemieszczeniowa mechanizmu korbowo-suwakowego (SAM)
Rys. 14. Charakterystyka prędkościowa mechanizmu korbowo-suwakowego (SAM)
1
C
1
C1v
xvf )(