cheatsheet de topologia matematica
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LA TOPOLOGÍA EN LOS NUDOS Y GRAFOS JOSÉ PÉREZ
TOPOLOGÍA
La topología es la rama de las matemáticas que estudia las
propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen
inalteradas por transformaciones continuas y las propiedades de los
espacios topológicos y las funciones continúas. La topología se
interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el
tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar
objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad,
compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros.
Los matemáticos usan la palabra
topología como una cierta familia
de subconjuntos de un conjunto
dado. La familia cumple unas reglas sobre la unión y la
intersección de un espacio topológico. El espacio topológico
es una estructura matemática que permite definir de manera
formal a la continuidad,
conectividad y convergencia,
entre otros conceptos.
A la topología se conoce como «La geometría de la página de
goma». Esto hace referencia a que dos objetos serán equivalentes
mientras podamos transformar uno en otro mediante isometrías
(rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc.); es decir, mediante
transformaciones se conservan las medidas de ángulo, área,
longitud, volumen y entre otras.
En topología, dos objetos son equivalentes en un sentido
mucho más amplio. Han de tener el mismo número de trozos,
huecos, intersecciones, etc. En topología está permitido
doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., los objetos, pero
siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba
unido, ni pegar lo que estaba separado. Un triángulo es
topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de
forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento,
ya que habría que partirla (o pegarla) por algún punto.
LA TOPOLOGÍA EN LOS NUDOS Y GRAFOS JOSÉ PÉREZ
ROMPECABEZAS TOPOLÓGICOS DE MADERA
DE ALAMBRES
DE CUERDA
Los rompecabezas topológicos son aquellos juegos que plantean un problema geométrico aparentemente imposible de resolver. Los cruces, nudos o lazos pueden fijar o no a los elementos de una determinada manera que a primera vista parece imposibles de separar. Son fáciles de construir con cuerdas, maderas, alambres y telas; pero son difíciles de resolver. Requieren de un alto grado de paciencia con el estudio sistemático de todas las posibilidades y, sobretodo, enfocar la solución fuera de los contextos habituales que muchas veces nos las presentan. Donde la solución puede ser un verdadero enigma.
LA TOPOLOGÍA EN LOS NUDOS Y GRAFOS JOSÉ PÉREZ
TEORÍA DE GRAFOS
La teoría de grafos es un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos. Un grafo es estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados que pueden estar ordenados o no. La teoría de grafos se utiliza en diferentes conceptos de diversas áreas de las matemáticas; tales como, combinatoria, álgebra, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética y topología. El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con el problema de los puentes de Königsberg, el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes, de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de Leonard Euler sobre este problema es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. Este problema se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría e ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología. La teoría de grafos se puede resolver diversos problemas. Por ejemplo, la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Actualmente, los grafos han tenido mayor auge en el campo de la informática, las ciencias de la computación y telecomunicaciones. Los grafos se utilizan para modelar rutas, administración de proyectos, problemas de control de producción, visualizar las redes de ordenadores, diseñar módulos electrónicos modernos, estudiar la biología y el hábitat, predecir sistemas físicos, la solución de problemas de genética, los problemas de automatización de la proyección y el procesamiento de la información e investigaciones nucleares. Además, los grafos representan mapas conceptuales, planos de las estaciones del metro, planos de autopistas, circuitos eléctricos, sociogramas de una red social, la topología de red de computadores, organigramas, isómeros, la arquitectura de redes de telefonía móvil y los diagramas de eliminación directa en las competencias de los deportes.
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TEORÍA DE GRAFOS
Grafo de cuatro nodos Grafo de cinco nodos Grafo de ocho nodos
Puente de Konigsberg Grafo de seis nodos Grafo de 18 nodos
Cinta de Moebius Botella de Klein Topología Geométrica
Topología de la Taza-Dona
Topología Arquitectónica
LA TOPOLOGÍA EN LOS NUDOS Y GRAFOS JOSÉ PÉREZ
TEORÍA DE NUDOS La teoría de nudos es una rama de la topología que
se encarga de estudiar los nudos en forma
matemática. Los nudos comúnmente se encuentran
en los cordones de los zapatos, en las sogas, en una
extensión eléctrica, etc. Estos difieren muy poco del
concepto matemático de nudos.
Los Anillos de Borromeo son tres anillos
entrelazados de forma tal que ningún par de ellos
está enlazado; sin embargo, es imposible
separarlos. Se trata de un entrelazado de tres nudos con tres circunferencias y tres
curvas cerradas sin anudamientos. Un nudo, una vez pegados sus extremos será
representado por una curva simple y cerrada en tres dimensiones por encajes o por el
embebimiento de la circunferencia en diversos espacios. La idea de un nudo es que el
nudo no se pueda desanudar, se pegan las puntas extremas del nudo. Por ello se dice
que un nudo es un encaje o embebimiento de la circunferencia en el espacio.
Los nudos se clasifican en domesticados y salvajes si se puede encontrar una
clasificación. El nudo puede complicarse tanto como se quiera. La cantidad de
enrevesados cruces que podamos hacer o lo larga que sea la cuerda no tienen
importancia a la hora de definir el nudo. Un método para clasificar nudos consiste en
calcular el orden del nudo. Este es el número de veces que la cuerda se cruza consigo
misma. Se entiende que al definir el orden de un nudo nos referimos al número mínimo
de cruces que tiene el nudo, ya que la cuerda podría estar enredada con bucles que no
fueran auténticos nudos. Existen pues varios criterios matemáticos para la clasificación
de nudos, pero ninguno de ellos es completo, en el sentido de que consiga una
clasificación general de todos los nudos posibles. El asunto de la clasificación de nudos
topológicos sigue siendo pues un problema abierto.
La teoría de nudos se utiliza en física, en mecánica estadística, en el análisis de circuitos
eléctricos, en criptografía, en la modelización de la física de polímeros y cristales
líquidos, en anudaciones entre redes o mallas, en la teoría física de Cuerdas de
mecánica cuántica, en la biología molecular, en una molécula de ADN humano, en las
estructuras de doble hélice del material genético y en la topología de nudos.
LA TOPOLOGÍA EN LOS NUDOS Y GRAFOS JOSÉ PÉREZ
TEORÍA DE NUDOS
Tipos de Nudos en una cortaba
El nudo simple
El nudo doble
El nudo Windsor
El medio Windsor
El nudo pequeño
El nudo mariposa
Tipos de Nudos en una soga
El simple
El barrilito
El ocho
El corredizo
El horca
El Llano
El Vuelta Escota
El Pescador
El Ballestrinque
El Leñador
El Margarita
El Cote Doble
El As de Guía