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Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007
Sistemi di Supporto alle
Decisioni I
Lezione 3
Chiara MocenniCorso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale
e L2 in Ingegneria InformaticaIII ciclo
Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007
Funzione di utilità e attitudini al rischio del decisore
• Nel seguito vedremo come la funzione di utilità, a seconda della sua forma, può tenere conto delle diverse attitudini al rischio del decisore.
Assumeremo, per semplicità che le conseguenze possano essere rappresentate da numeri reali e che le preferenze del decisore aumentino all’aumentare di tali valori.
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Valutazione di una lotteria
• Data una lotteria L, è possibile associarvi
• E[L] =
• U[L] =
∑i=1
r
p iu x i
∑i=1
r
p iu x i
Valore oggettivo
Valore soggettivo
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Equivalente certo di una lotteria• L’equivalente certo xc di una lotteria
L è quella somma avente utilità pari all’utilità attesa della lotteria
u(xc) = U[L]
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Equivalente certo di una lotteria• Il decisore è indifferente tra
ricevere xc o partecipare alla lotteria L
• xc rappresenta la minima cifra che il decisore è disposto a ricevere per non partecipare alla lotteria L
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Premio di rischio
• Data una lotteria L, il premio di rischio p è definito come
p = E[L] - xc
• p può interpretarsi come quella parte del valore atteso E[L] cui si è disposti a rinunciare pur di non partecipare alla lotteria L
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Premio di rischio (esempio)
40 L0.5
0.5
100
0
= E[L] - xc = 50 – 40 = 10
~
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Premio di rischio
• Il premio di rischio non è necessariamente positivo (e.g. individuo che deve necessariamente reperire 100 euro)
• A seconda del segno di p si hanno diversi atteggiamenti rispetto al rischio
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Atteggiamenti rispetto al rischio
• p = E[L] - xc > 0
avverso al rischio
• p = E[L] - xc < 0
propenso al rischio
• p = E[L] - xc = 0
indifferente al rischio
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Atteggiamenti rispetto al rischio
Lp
1-p
x1
x2
E[L] = p x1 +(1-p) x2
U[L] = p u(x1) +(1-p) u(x2)
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Atteggiamenti rispetto al rischio
E[L] = p x1 +(1-p) x2
xc = u-1(p u(x1) +(1-p) u(x2))
Se il decisore è avverso al rischio,
p x1 +(1-p) x2 u-1(p u(x1) +(1-p) u(x2))
Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007E[L]x1 x2
U[L]
xc
u(x1)
u(x2)
Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007E[L]x1 x2
U[L]
xc
u(x1)
u(x2)
Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007E[L]= xc
x1 x2
U[L]
u(x1)
u(x2)
=0
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Premio di assicurazione
Lp
1-p
-K
0
K valore del bene da assicurare
q somma di assicurazione
p probabilità di perdere il bene
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Lp
1-p
-K
0
E[L] = – p K + (1-p)*0-q è l’equivalente certo di questa
lotteria
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Premio di assicurazione
p = E[L] – xc = – p K – (–q)
Ossia: q = p + p K
• Dunque p rappresenta l’eccesso rispetto al valore atteso
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• Le persone preferiscono pagare un piccolo premio di assicurazione piuttosto di scommettere il prezzo della loro casa sul fatto che non si verifichi un incendio.
• Dal punto di vista dell’agenzia di assicurazioni il valore della casa e’ molto piccolo rispetto alle riserve finanziarie totali: la curva di utilita’ dell’assicuratore e’ lineare in quella regione e la scommessa non costa quasi nulla alla compagnia.
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Determinazione delle probabilità • A questo punto occorre avere
informazioni sulla verosimiglianza con cui diversi stati di natura potranno presentarsi
• Si opera col meccanismo dell’intervista…
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a1
Variazione indice Dow-Jones (%)
110
< -3 [-3,+2] > +2
a2
a3
110 110
100 105 115
90 100 120
Decisioni
probabilità 0.2 0.4 0.4
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Utilità attesa dei tre investimentiU[a1] = 0.2 *u(110) + 0.4*u(110) +0.4*u(110)
= 0.8
U[a2] = 0.2 *u(100) + 0.4*u(105) +0.4*u(115) = 0.7
U[a3] = 0.2 *u(90) + 0.4*u(100) +0.4*u(120) = 0.56
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Analisi della sensibilità
• Per giungere a una soluzione più ponderata, occorre sottoporre ad analisi le preferenze espresse dal decisore
• Un decisore non ha capacità di discernimento infinita
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Analisi della sensibilità (II)
• Poiché l’utilità della lotteria a1 è ritenuta superiore alle altre, occorre trovare:– un limite inferiore al valore di U[a1] e
– un limite superiore al valore di U[a2] e U[a3]
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Analisi della sensibilità (III)
110 L0.75
0.25
120
90
• Supponiamo il decisore preferisca i 110 sicuri
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Analisi della sensibilità (IV)
110 L0.75
0.25
120
90
u(110) > 0.75*u(120) + 0.25*u(90)=0.75
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Analisi della sensibilità (V)
• Analogamente possono stabilirsi limiti superiori:
u(100) < 0.45
u(105) < 0.64
u(115) < 0.96
• Usando questi valori-limite nelle utilità di a2 e a3 si possono ottenere indicazioni più complete
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Utilità attesa dei tre investimenti (rivista)U[a1] > 0.75
U[a2] < 0.2 *0.45 + 0.4*0.64 +0.4*0.96= 0.73
U[a3] < 0.2 *0 + 0.4*0.45 +0.4*1= 0.58
• Alla luce dell’analisi della sensibilità, l’investimento a1 sembra il più adatto al decisore in esame