chƯƠng 2 biẾn ngẪu nhiÊn · 11/16/2016 3 bàigiảngxácsuấtthốngkê2015...

11/16/2016

1

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

CHƯƠNG 2BIẾN NGẪU NHIÊN

1 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Khái niệm

• Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận giá trị nàođó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên.

• Ký hiệu: chữ hoa X, Y, Z …

• Giá trị của bnn: chữ thường x, y, z, …

• Với mọi số thực x ta có {X≤x} là một biến cốngẫu nhiên.

2


Ví dụ 1

• X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày

• Y: Tuổi thọ của iphone 6

• Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. GọiZ: số mũ bảo hiểm được trả đúng người

• T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mớinhập về

• U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiêntrong lớp này


Định nghĩa

• Hàm số X xác định trên không gian mẫu củamột phép thử được gọi là biến ngẫu nhiên nếuvới mọi số thực x thì {X ≤ �} là một biến cố củaphép thử.

• Ta cũng gọi {X ≤ �} là một biến cố của bnn X

4


Định nghĩa (tham khảo)

Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gianmẫu các biến cố sơ cấp vào tập số thực

Chú ý:

- X là bnn

- {X=x} hoặc {X<x}, … là biến cố.

5

:X R

X


Ví dụ 2

• Tung một đồng xu. Ta có các biến cố sau:

– Đồng xu ngửa : “N”

– Đồng xu sấp: “S”

Đặt

Khi đó X là một biến ngẫu nhiên.

Lưu ý: “X=1” hay “X=0” là các biến cố.

6

0

1X

èegïSagp

èegïNgö ûa

11/16/2016

2


Ví dụ 3

• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấyngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bivàng có trong 2 viên lấy ra.

• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.

• Ta có:

• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???

7

0 1 2; ;Y


Phân loại biến ngẫu nhiên

• Gọi � Ω là tập giá trị của bnn X

• Ta phân loại bnn dựa vào � Ω

• Bnn rời rạc nếu � Ω hữu hạn hoặc vô hạn đếmđược

• Bnn liên tục nếu � Ω là một khoảng, một sốkhoảng hay toàn bộ trục số R.

8


Phân loại bnn

9

Rời rạc

Có hữu hạn giá trị

Có vô hạn đếmđược giá trị

Bnn X

Liên tục

Giá trị lấp đầy mộthay vài khoảng hữu

hạn hoặc vô hạn

P(X=a)=0 với mọi a


Hai biến ngẫu nhiên độc lập

• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biếncố:

• Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y.

• Nói cách khác các biến cố liên quan đến haibiến ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau.

10

X x Y y


Luật phân phối xác suất

• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biếnngẫu nhiên và xác suất tương ứng.

• Dạng thường gặp:– Hàm phân phối xác suất (CDF)

– Phân phối xác suất (PMF, PDF)


Hàm phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất (cumulativedistribution function), viết tắt CDF của biếnngẫu nhiên X là hàm xác định:

• Trong đó: {X≤x} là ký hiệu biến cố “bnn X nhậngiá trị nhỏ hơn hay bằng x”

• Đôi khi ta còn gọi là hàm phân bố xác suất

12

( ) ;X xF x P X x

11/16/2016

3


• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằngx, với x là một giá trị bất kì.

• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bêntrái số x.

• Xác suất X thuộc (a,b]

13

)( ( ) ( )b F aP a bX F



Tính chất

14

i) 0 1,XF x x R

ii) XF x là hàm không giảm, liên tục bên phải. Nếu

X là biến ngẫu nhiên liên tục thì F x là hàm liên tục

trên R.

iii) lim 0X Xx

F F x

lim 1X Xx

F F x

iv) X XP a X b F b F a .




Bnn Rời rạc - Hàm khối xác suất

• Probability mass function (PMF)

• Tính chất:

16

Xp x P X x

) 0

) 1

)

X

Xx

Xx A

i p x

ii p x

iii P A p x

• Dạng bảng

• Dạng đồ thị


Bnn Rời rạc - Bảng ppxs

• Bảng phân phối xác suất của X.

• xi : giá trị có thể có của bnn X

• pi : xác suất tương ứng;

• Chú ý:

17

X x1 …. x2 …. xn

P p1 …. p2 …. pn

1

1n

ii

p

( ) ( )i X i ip p x P X x


Bnn Rời rạc - Hàm phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất được xác định như sau:

18

1

1 1 2

1 2 2 3

1 1 1

0 ,

,

,

............................................

... ,

X

k k k

x x

p x x x

F x p p x x x

p p x x x

k

X X kx x

F x P X x p x

11/16/2016

4


Ví dụ 4

Xét phép thử tung hai đồng xu phân biệt.

Không gian mẫu là: Ω = {��; ��; ��; ��}

Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện, X là bnn rời rạc.

Hàm khối xác suất:

19

1/ 4 ; 0 2

1/ 2 ; 1

0 ; 0; 1; 2X

x x

p x x

x

âay


Ví dụ 4

• Hàm phân phối xác suất:

20

X 0 1 2

P 1/4 1/2 1/4

0 , 0

1/ 4 ,0 1

3 / 4 ,1 2

1 ,2

X

x

xF x

x

x


Ví dụ 5

• Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sảnphẩm đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.

• Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩmloại A lấy ra?

• Xác định PMF, CDF?


Ví dụ 6

Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sảnphẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩmxấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm vàtừ kiện 2 ra 1 sản phẩm.

a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩmtốt trong 3 sản phẩm lấy ra?

b) Xác định PMF, CDF

22


Ví dụ 7

• Luật Benford phát biểu rằng trong một lượngrất lớn các số thực ngoài đời, chữ số đầu tiêntuân theo luật phân phối với 30% là số 1, 18% làsố 2 và nói chung:

• Với D là chữ số đầu tiên của một phần tử chọnngẫu nhiên.

• Kiểm tra lại tính hợp lý của luật phân phối trên?

23

10

1log , {1,2,3...,9}

jP D j j

j


Biến ngẫu nhiên liên tục

• Cho X là bnn liên tục

• Ta có:

• Để thể hiện xác suất ta sử dụng mật độ xác suất

24

0)

)

( ) ,X a a

ii P a X b P a X b P X b P a X b

i P

11/16/2016

5


Bnn Liên tục - Hàm mật độ xác suất

• Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs FX(x). Nếu tồntại hàm fX(x) sao cho:

• Thì fX(x) gọi là hàm mật độ của bnn X

• Viết tắt là: PDF (probability density function)

25

,x

X XF x f t dt x R


Bnn Liên tục - Hàm mật độ xác suất

• Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs F(x). Nếu tồntại hàm f(x) sao cho:

• Thì f(x) gọi là hàm mật độ của bnn X

• Nếu không cần thiết phân biệt các hàm ppxs,hàm mđxs

26

,x

F x f t dt x R


Tính chất

iv) Tại những điểm mà f(x) liên tục ta có:

27

) 0

) 1

)b

a

i f x x R

ii f x dx

iii P a X b f x dx P a X b

'F x f x


Hàm mật độ xác suất

• Nếu X liên tục thì:

28

f x

x

F x

x

F x f t dt





Hàm mật độ xác suấtf(x) thỏa mãn 2 điềukiện:

30

) 0 ,

) 1

i f x x R

ii f x dx

11/16/2016

6


Ví dụ 8

• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xácsuất

• A) Xác định hệ số k

• B) Tìm hàm mật độ xác suất

31

2

0 , 0

,0 1

1 ,1

x

F x kx x

x

2 , 0 1f x x x


Ví dụ 9• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

• A) Xác định hệ số k

• B) Tìm hàm ppxs F(x)

• C) Tính xác suất P(2<X<3)

• D) Thực hiện 4 lần phép thử độc lập với bnn X. Tínhxác suất bnn X không nhận giá trị trong khoảng(2;3)

32

21

kf x x

x


Ví dụ 10

• Cho lợi nhuận của một công ty (%/ngày) là mộtbnn X liên tục có đồ thị của hàm mật độ y=f(x)đối xứng qua trục tung như hình bên.

33

10 100

y

y f x

x


Ví dụ 10

a) Cho =5%. Hãy tính giá trịtới hạn x và nêu ý nghĩacủa giá trị tới hạn này (cónghĩa P(X x)= )

34

10 100

y

y f x

x

b) VaR1- là một giá trị được định nghĩa là mứcchịu đựng lỗ của công ty. Có nghĩa là xác suấtcông ty sẽ lỗ một khoảng lớn hơn hay bằng

VaR1- là . Hãy tính VaR95%?


PPXS của hàm của bnn

• Bài toán. Cho hàm � � và bnn X có ppxs nàođó. Ta cần tìm ppxs của � �

• Ví dụ: Cho X có bảng ppxs:

• Tìm ppxs của Y=X2

35

X -1 0 1 2

P 0,1 0,2 0,3 0,4


PPXS của hàm của bnn-Rời rạc

• Đặt Y=� �

• B1. Tìm tập giá trị Y(Ω) của Y

• B2. Tính xác suất

36

,P Y y y Y

11/16/2016

7


PPXS của hàm của bnn - Liên tục

• Cho X là bnn liên tục có PDF fX(x)

• Cho � � là hàm đơn điệu, khả vi

• Khi này Y = � � có hàm mật độ xác suất:

• Trong đó: x(y) là hàm ngược của y = � �

37

' , Im

0 , Im

X

Y

f x y x y yf y

y


Ví dụ 11

• Cho bnn X có PDF:

• Tìm PDF của bnn Y=X2

38

2 1 0 1Xf x x x


CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

• Mốt (Mode) m0

• Trung vị (Median) me

• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)

• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)

• Độ lệch chuẩn (Standard Error)

• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV

• Hệ số bất đối xứng (Skewness)

• Hệ số nhọn (Kurtosis)

• Giá trị tới hạn


Tham số đặc trưng

40


ModX, Mode XKý hiệu:

Nếu X rời rạc:

Nếu X liên tục:

41

0x R

f m max f x

0 ii

P X m maxP x x

0ModX m


Median (Trung vị)

• Ký hiệu MedX, me là giá trị chia đôi hàm phânphối.

• Hay

42

0,5

0,5

e

e

P X m

P X m

0,5e eP X m P X m

11/16/2016

8


Median (Trung vị)

• Nếu X liên tục thì:

43

0,5em

f x dx

1 0,5S

em


Median (Trung vị)

• Nếu X rời rạc thì:

44

1 1

1

, , 0,5

0,5

i i i i

e

i i i

m m x x F x F xm

x F x F x

èegï

èegï

10 F x iF x 1iF x

0,5e im x0,5

1,e i im m x x


Ví dụ 12Cho bnn X

Ta có:

Vậy

45

X 1 2 3 4 5

P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25

X 1 2 3 4 5

F(X) 0 0,1 0,3 0,45 0,75

4Med X Mod X Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 13

• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất

• Tìm MedX và ModX?

46

32 ,0 2

4

0 , 0,2

x x xf x

x


Kỳ vọng (Expected Value)

• Ký hiệu: E(X), mean, M(X)

• Định nghĩa:

• E(X) là trung bình theo xác suất của X

• Có cùng đơn vị với X

47

i i

i

x p x

E Xx f x dx

-

,vôùi X rôøi raïc

. ( ) ,vôùi X lieâè tïïc


• Tung một cục xúc sắc nhiều lần. Về lâu dài (in along run) giá trị trung bình của những lần tunglà bao nhiêu?

• Giả sử ta có các kết quả tung như sau:

• Thì giá trị trung bình là bao nhiêu.

Ví dụ 14

11/16/2016

9


Chú ý

• Trong quá trình lâu dài thì mỗi mặt có tỷ lệ xuấthiện là 1/6.

• Giá trị trung bình ở đây là trung bình số học cótrọng số của X (trọng số là tỷ lệ, khả năng xuấthiện)

• Giá trị trung bình của X, ghi là E(X), hay viết tắtlà (đọc là muy)


Ý nghĩa kỳ vọng

• Là giá trị trung bình của bnn (trong một quátrình lâu dài); phản ánh giá trị trung tâm củappxs của bnn

• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cầnchọn phương án cho năng suất cao ta chọnphương án cho năng suất kì vọng cao

50


Ví dụ 15

• Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thànhcông (ký được hợp đồng) là 0,7 và lợi nhuận dựkiến là 1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năngthành công là 0,4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sửkết quả các cuộc hẹn độc lập nhau. Lợi nhuậnkỳ vọng của nhân viên bán hàng là bao nhiêu?


Ví dụ 16• Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở

1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs:

• Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng nàynhập mỗi ngày 100kg thực phẩm.

• Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thựcphẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá20/kg ngàn mới hết hàng.

• Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nênnhập thêm 20kg mỗi ngày hay không

52

X 80 100 120 150

P 0,2 0,4 0,3 0,1


Ví dụ 17

• X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử

• Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này.

53

3

20.000100f x x

x


Ví dụ 18

• Cho bnn X có pp mũ nghĩa là PDF có dạng:

• A) Kiểm tra lại hàm mật độ trên

• B) Tính E(X)

54

0xf x e x

11/16/2016

10


Tính chất

55

1)Tsèâ câagt 1: E(C)=C vôùi C laø âaèèg sog

2)Tsèâ câagt 2: E(C+X)=C+E(X)

3)Tsèâ câagt 3: E(C.X)=C.E(X)

4)Tsèâ câagt 4: E(X Y)=E(X) E(Y)

5)Tsèâ câagt 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) èegï X vaø Y ñoäc laäp


Kỳ vọng của hàm của bnn

• Cho bnn X và hàm (x)

• Kỳ vọng toán học của hàm Y=(X):

56

i ii

x p x

E Xx f x dx

,vôùi X rôøi raïc

,vôùi X lieâè tïïc


Ví dụ 19

• Tính kỳ vọng của bnn X rời rạc có hàm mật độ:

57

21 2 3

CP X k p k k

k , , , ,...


Ví dụ 20

• Vòng quay roulett có 38 số 00, 0, 1 … 36.

• Gọi X là số mà quả bóng rơi vào

• Y là số tiền phải trả cho người chơi

• Nhà cái phải thu tiền mỗi người chơi bao nhiêuđể có lợi.

58

5 0

10 00

1

2

X

XY

X odd

X even

,

,

, is

, is


Ví dụ 21

• Cho X là biến ngẫu nhiên. Đặt Y=(X-c)2

• Giả sử E(Y) tồn tại. Tìm c sao cho E(Y) nhỏ nhất.

Hướng dẫn: Đặt g(c)=E(Y)

Đáp số: c=E(X)


Ví dụ 22• Xét hai bnn sau:

• So sánh E(X) và E(Y)

• Vẽ đồ thị và nhận xét về mức độ biến thiên củaX, Y

60

X 3 4 5

P 0,3 0,4 0,3

Y 1 2 6 8

P 0,4 0,1 0,3 0,2

11/16/2016

11


Phương sai (Variance)

• Ký hiệu: V(X); Var(X); VX

• Định nghĩa:

• Rút gọn:

61

2

2 2V X E X E X E X

2

2

2

i ii

x p

V X E X E X

x f x dx

,èegï X rôøi raïc.

,èegï X lieâè tïïc.


Phương sai (Variance)

• Công thức rút gọn:

• Đơn vị của phương sai trùng với đơn vị của X2

62

22

22

i ii

x p E X

V X

x f x dx E X

,èegï X rôøi raïc.

,èegï X lieâè tïïc.

2

2 2V X E X E X E X


Ý nghĩa của phương sai

• Đặc trưng cho độ phân tán của bnn quanh giátrị trung bình

• Đặc trưng cho sai số của thiết bị (trong kỹthuật)

• Đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định(trong kinh tế, kinh doanh)


Phương sai của hàm bnn

64

2

XV X E X

2

2

Xx

X

V X x p x

V X x f x dx


Tính chất của phương sai

65

2

1 1i

1)Tsèâ câagt 1: V(C)=0 vôùi C laø âaèèg sog

2)Tsèâ câagt 2: V(C+X)=V(X)

3)Tsèâ câagt 3: V(C.X)=C .V(X)

4) èegï X vaø Y ñoäc laäp

èegï caùc X ñoäc laäp toa

V(X Y)=V(X) V(Y)

V = øè pâaàèn n

i ii i

X V X


Ví dụ 23

• Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B làcác bnn độc lập X, Y:

• Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngànhnào?

• Muốn rủi ro thấp hơn thì đầu tư vào ngành nào?

• Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷlệ nào?

66

X 0 15 30

P 0,3 0,5 0,2

Y -2 15 35

P 0,2 0,45 0,35

11/16/2016

12


Ví dụ 24

• Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong 1tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiềnlãi trong 1 tháng?

• Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìm trungbình và phương sai của tiền lãi thu được.

• Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau.Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong2 tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi không dưới 50triệu.

• Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B?

67

X 0 15 30

P 0,3 0,5 0,2

Y -2 15 35

P 0,2 0,45 0,35


Độ lệch chuẩn

• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tậptrung của X.

• V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X

• Đặt:

• (X) có đơn vị là đơn vị của X và gọi là độ lệchchuẩn của bnn X.

68

X V X


Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

• Cho X là bnn có kỳ vọng và độ lệch chuẩn>0.

• Đặt:

• Ta có:

• Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.

69

XZ

0 1E Z V Z


Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫunhiên X (đơn vị: tháng) với PDF như sau:

• Tìm hằng số k?

• Xác định CDF?

• Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên.

70

2 4 , 0 4f x kx x x

Ví dụ 25


Hệ số biến thiên

• Kí hiệu: CV(X).

• Đo mức độ thuần nhất của bnn. CV(X) càng nhỏbnn càng thuần nhất.

• So sánh độ phân tán của các bnn không có cùngđơn vị, không có cùng kỳ vọng.

71

.100% 0XCV X E XE X


Bài tập 1,21. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng

chất. Gọi X là tổng số nốt xuất hiện trên 2 conxúc sắc. Tìm luật phân phối xác suất của X?Tính E(X), V(X)

2. Trong một hộp có 5 bóng đèn gồm 2 tốt và 3hỏng. Chọn ngẫu nhiên từng bóng đem thử(thử xong không trả lại) cho đến khi thu đượchai bóng tốt. Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìmluật phân phối của X? Trung bình cần baonhiêu lần thử.

72

11/16/2016

13


Bài tập 3

Tuổi thọ một loại côn trùng là X (tháng) có hàmmật độ

a) Tìm hằng số k

b) Tìm Mod(X)

c) Tìm xác suất côn trùng chết trước khi nó được1 tháng tuổi

73

2 4 , 0;4

0 , 0;4

kx x xf x

x


Bài tập 4

Cho bnn X có hàm mật độ

và E(X)=0,6; V(X)=0,06

a) Tìm a,b,c?

b) Đặt Y=X3. Tính E(Y)

74

2 , 0;1

0 , 0;1

ax bx c xf x

x


Bài tập 5

• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một sốcuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm vềloại sách này như sau:

• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bánra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối nămphải hạ giá với giá 5USD một cuốn.

75

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

P 0,3 0,15 0,3 0,25


Bài tập 5

• Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán đượctrung bình là bao nhiêu?

• Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kìvọng là lớn nhất.

76

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

P 0,3 0,15 0,3 0,25


Bài tập 6

Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX.

b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.

77

1sin , 0,

2

0 , 0,

x xf x

x


Bài tập chương 2

• 2.1; 2.2; 2.6; 2.7; 2.9;

• 2.10; 2.11; 2.14; 2.15; 2.17;

• 2.18; 2.10; 2.23; 2.24; 2.25

• 2.26; 2.27; 2.30; 2.31; 2.32

• 2.33; 2.34; 2.37

• Tất cả 23 bài.

78

chƯƠng 2 biẾn ngẪu nhiÊn · 11/16/2016 3 bàigiảngxácsuấtthốngkê2015...

Documents