Bài giảng toán cao cấp 2

CHƯƠNG 6: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH-DẠNG TOÀN PHƯƠNG

6.1. Dạng song tuyến tính

6.1.1. Các định nghĩa 6.1.1.1. Định nghĩa 1. Cho V là không gian vectơ thực. Ánh xạ gọi là dạng song tuyến tính trên V nếu với mọi , ta có:

i) ii) iii) iv)

6.1.1.2. Ví dụVí dụ 1: Nếu và là hai dạng song tuyến tính trên V thì cũng là dạng song tuyến tính trên V.

Ví dụ 2: Cho . Khi đó là một dạng song tuyến tính

trên không gian vectơ là không gian các hàm liên tục trên đoạn .

Ví dụ 3: Cho . Hoi ánh xạ nào sau đây là dạng song tuyến tính:a) .b) (a là hằng số).

Giải: Ta phải kiểm tra lần lượt 4 điều kiện của định nghĩaa) Ta có Mặt khác Ta thấy khi thì Do vậy không phải là dạng song tuyến tính.b) Với ta có:

+) .

+) .+)

.+)

Vậy f là một dạng song tuyến tính.

Năm 2011 1

Bài giảng toán cao cấp 2 Ví dụ 4: Cho được xác định như sau:với mọi : Xét xem f có phải là dạng song tuyến tính không?Giải: Với ta có:

+)

+) Các điều kiện khác thử tương tự và cũng đều thoa mãnVậy f là một dạng song tuyến tính.6.1.1.3. Biểu diễn dạng song tuyến tính Định lý 1. Mọi dạng song tuyến tính trong không gian vectơ n chiều với cơ sở cho trước có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

(6.1)

Trong đó là các tọa độ của x, y trong cơ sở S, còn .

Công thức (6.1) được gọi là biểu thức tọa độ của f trong cơ sở S.Định nghĩa 2. Ma trận

, trong đó

được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f trong cơ sở S.Chú ý: Nếu các tọa độ của các vectơ viết dạng cột

, và

Thì công thức (6.1) trở thành (6.2)

Định nghĩa 3. Ta gọi hạng của dạng song tuyến tính f là hạng của ma trận A, ký hiệu là rank(f). Vậy rank(f) = rankA.Định nghĩa 4. Dạng song tuyến tính cho trong không gian vectơ n chiều V gọi là không suy biến (suy biến) nếu hạng của nó bằng (nho hơn) số chiều của không gian vectơ đó.

Ví dụ 5: Cho dạng song tuyến tính Năm 2011 2

Bài giảng toán cao cấp 2 Trong đó .a) Xác định ma trận của dạng song tuyến tính f trong cơ sở cho các tọa độ của x, y.b) Tìm rank(f) và xem f có suy biến hay không?

Giải: a) Trong cơ sở , với . Khi đó

và

Trong đó 11 1 1( , ) 1a f e e= = 12 1 2( , ) 2a f e e= = 21 2 1( , ) 3a f e e= = 22 2 2( , ) 0a f e e= =

Vậy và .

b) Ta có rank(f)=rank(A)=2 vì det(A)= .Mặt khác .Vậy f là dạng song tuyến tính không suy biến.6.1.2. Sự biến đổi ma trận dạng song tuyến tính khi chuyển sang cơ sở mới Định lý 2. Giả sử không gian vectơ X cho 2 cơ sở là: và

. P là ma trận chuyển cơ sở S sang S’. và A’ là hai ma trận tương ứng của cùng một dạng song tuyến tính trong S và S’. Khi đó ta có:

, ( là ma trận chuyển vị của P)

Ví dụ 6: Trong không gian với cơ sở chính tắc . Cho dạng song tuyến tính xác định như sau: với , và cho hệ cơ sở mới , với Tìm ma trận A’ của f trong cơ sở S’.Giải:

Cách 1: Tính trực tiếp, đặt ,

với , , , , , ,

Vậy

Năm 2011 3

Bài giảng toán cao cấp 2

Cách 2: Ma trận của f trong cơ sở S là:

Ma trận chuyển cơ sở sang S’ là:

Do đó

.

Ví dụ 7. Cho f là dạng song tuyến tính từ , với cơ sở chính tắc được xác định như sau:

, .

Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của và trong cơ sở

, với

Giải: +) Đối với cơ sở chính tắc f có ma trận là:

Trong đó: , ,

, ,

, ,

Vậy ta có :

Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở S’ là: ,

nên ma trận của f trong cơ sở mới S’ là:

.

6.2. Dạng toàn phương

6.2.1. Dạng song tuyến tính đối xứng

Định nghĩa 5. Dạng song tuyến tính f trên V gọi là đối xứng nếu ta có:

Năm 2011 4

Bài giảng toán cao cấp 2 Nhận xét:

+) Nếu f đối xứng thì trong một cơ sở bất kỳ ta có: .

+) Ma trận vuông gọi là đối xứng nếu suy ra dạng song tuyến tính f có ma trận trong cơ sở nào đó đối xứng thì nó là dạng song tuyến tính đối xứng và ngược lại.6.2.2. Định nghĩa dạng toàn phương Định nghĩa 6. Giả sử là dạng song tuyến tính đối xứng trên tập X. Ta gọi ánh xạ là một dạng toàn phương sinh bởi dạng song tuyến tính f Trên tập X.Nhận xét: Giả sử Q(x) là một dạng toàn phương sinh bởi dạng song tuyến tính f trên tập X. Khi đó:

+) f(x,y) xác định và duy nhất. Thật vậy, với

Suy ra .

+) Ánh xạ Q không là ánh xạ tuyến tính

+) Trong cơ sở cho trước, biểu diễn duy nhất dưới dạng:

trong đó , trong cơ sở S.

Tức là

Hoặc dưới dạng ma trận:

, với , là ma trận đối xứng.

Ma trận A của dạng song tuyến tính trở thành ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở S.

Năm 2011 5

Bài giảng toán cao cấp 2

Ví dụ 8: +) Cho là dạng toàn phương

trong . Trong đó

. Ma trận của dạng toàn phương là:

+) Cho là dạng toàn phương trong , trong đó ma trận của dạng toàn phương là:

6.2.3. Phân loại dạng toàn phương. Tiêu chuẩn Sylvester 6.2.3.1. Phân loại dạng toàn phương

Cho dạng toàn phương trong X. Ta nói :

+) Xác định dương nếu .+) Nửa xác định dương nếu .+) Xác định âm nếu .+) Nửa xác định âm nếu .+) Có dấu không xác định nếu nó có thể mang giá trị dương hoặc âm.

Ví dụ 9: +) Dạng toàn phương trên là dạng toàn phương xác định dương.

+) Dạng toàn phương trên là dạng toàn phương nửa xác định dương.

+) Dạng toàn phương trên là dạng toàn phương dấu không xác định.6.2.3.2. Tiêu chuẩn SylvesterĐịnh lý 3 (Tiêu chuẩn Sylvester)

Giả sử A là ma trận của dạng toàn phương: , là

các định thức con chính của A. Khi đó:

i) xác định dương khi và chỉ khi .

ii) xác định âm khi và chỉ khi .

Ví dụ 10: Dùng tiêu chuẩn Sylvester phân loại dạng toàn phương:Năm 2011 6

Bài giảng toán cao cấp 2

Giải: Ma trận của f là: , ta có :

.

Ta thấy nên f là dạng toàn phương xác định dương6.2.4. Dạng chính tắc, chuẩn tắc của dạng toàn phương.

6.2.4.1. Dạng chính tắcĐịnh nghĩa 7. Trong cơ sở S nào đó của không gian vectơ X nếu dạng toàn phương

có biểu thức:

( là hằng số )

trong đó là tọa độ của vectơ x trong cơ sở S, thì ta nói dạng toàn phương có dạng chính tắc trong cơ sở S đó.

S được gọi là cơ sở của dạng toàn phương.

được gọi là hệ số chính tắc.

Nhận xét: +) Ma trận của dạng toàn phương ở dạng chính tắc là ma trận chéo

.

+) Rank(f) đúng bằng số các hệ số chính tắc khác không.

+) xác định dương khi và chỉ khi .

+) nửa xác định dương khi và chỉ khi tồn tại sao cho và

+) có dấu không xác định khi và chỉ khi có hệ số chính tắc dương và hệ số chính tắc âm.

Mỗi dạng toàn phương đều tồn tại một cơ sở để trong cơ sở đó nó có dạng chính tắc. Việc tìm cơ sở mới để trong cơ sở đó dạng toàn phương có dạng chính tắc được gọi là phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. 6.2.4.2. Dạng chuẩn tắc

Cho dạng toàn phương có dạng chính tắc (6.3)

Năm 2011 7

Bài giảng toán cao cấp 2

Thực hiện phép đổi biến: . Khi đó dạng toàn phương (6.1)

trở thành:

(6.4)

Ta gọi dạng toàn phương (6.4) là dạng chuẩn tắc:

6.3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange. Luật quán tính của dạng toàn phương

6.3.1. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange Giả sử biểu thức tọa độ của dạng toàn phương f(x,x) trong cơ sở B là:

Vì suy ra , ta có

Trước hết ta xét trường hợp , giả sử (vì nếu ta đánh số lại các chỉ số thì ta được ).

Thuật toán LagrangeBước 1: Từ dạng toàn phương trên ta nhóm tất cả các số có chứa và thêm hoặc bớt vào tổng đó các số hạng dạng ; để được một bình phương đủ và thu được:

Trong đó g(x,x) là một dạng toàn phương chỉ chứa các bình phương và các số hạng là tích chéo của .

Năm 2011 8

Bài giảng toán cao cấp 2

Bước 2: Đặt . Ta được (6.5)

Bước 3: Từ (6.5) ta lặp lại Bước 1, Bước 2 đối với sau một số bước hữu

hạn như trên, ta đưa được dạng toàn phương về dạng chính tắc và kết thúc thuật toán.Ví dụ 11. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

a) .

b)

Giải: a) Ta biến đổi:

=

=

=

Đặt , ta được dạng toàn phương trên về dạng chính tắc:

.

b) Ta thực hiện biến đổi:

=

=

=

=

Năm 2011 9

Bài giảng toán cao cấp 2

Đặt , ta được dạng chính tắc: .

Ví dụ 12. Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

a) .

b) .

Giải: a)

=

=

Đặt , ta được dạng chính tắc của dạng toàn phương trên là

b) Đặt: ,

ta được

=

Đặt , ta có dạng chính tắc là:

Chú ý: Ở dạng toàn phương ban đầu nếu , nhưng . Chẳng hạn

thì ta sử dụng phép đổi biến: thì khi đó trong cơ sở mới ta lại có

phương trình ở dạng ban đầu.

Năm 2011 10

Bài giảng toán cao cấp 2

6.3.2. Luật quán tính của dạng toàn phươngĐịnh lý 4 (Luật quán tính):

Số các số hạng và của một dạng toàn phương là bất biến (Nghĩa là chúng không phụ thuộc vào cơ sở mà ta chọn)Định nghĩa 8. Giả sử dạng toàn phương w(x) được đưa về dạng chuẩn tắc (6.4). Khi đó:

+) Số các số hạng khác 0 của (6.4) gọi là chỉ số quán tính của f.+) Số các hệ số của (6.4) gọi là chỉ số quán tính dương của f.

+) Số các hệ số của (6.4) gọi là chỉ số quán tính âm của f.Ví dụ 13: Tìm chỉ số quán tính, chỉ số quán tính dương, âm của các dạng toàn phương sau:

a) .

b) .

Giải:

a) Đặt , ta được dạng chuẩn tắc: .

Vậy chỉ số quán tính là: 2, chỉ số quán tính dương là: 2, chỉ số quán tính âm là: 0.b) Làm tương tự, ta có:Chỉ số quán tính là: 3, chỉ số quán tính dương là: 2, chỉ số quán tính âm là: 1.

Bài tập chương 6

6.1. Cho . Hoi ánh xạ f nào là dạng song tuyến tính.

1) f (x, y) = x2 + y 3) f (x, y) = 5 xy

2) f (x, y) = x2 + y2

6.2. Cho được xác định như sau:

f (x, y) = 2x1y 1 + 3x1y2 + 5x2 y1 ứng với , x = (x1, x2), y= (y1, y2)

1) Chứng to f là dạng song tuyến tính.

2) Tìm ma trận của f, rank (f).

6.3. Cho dạng song tuyến tính f xác định trong R3 như sau:Năm 2011 11

Bài giảng toán cao cấp 2 1) f(x, y) = 2x1y 2 + x1y3 + x2 y2

2) f(x, y) = 2x1y1 + 3x2y2 + 5x3 y3

Với x = ( x1, x2, x3), y= (y1, y2, y3). Tìm ma trận của f, rank (f).

6.4. Trong cơ sở chính tắc e1, e2, e3 của R3 cho các véctơ

, , , x= (x1, x2, x3) , y= (y1, y2, y3)

Và cho dạng song tuyến tính sau: f (x, y) = x1y1 + 2x1y1 - x2y2 + x2y3 + 2x3y3

1) Tìm ma trận của f trong cơ sở {e1, e2, e3}.

2) Tìm ma trận của f trong cơ sở {e2, e1, e3}.

3) Tìm ma trận của f trong cơ sở { }

6.5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

1) 3)

2) 4)

6.6. Sử dụng tiêu chuẩn Sylvester khảo sát tinh xác định của các dạng toàn phương:

Năm 2011 12