415

상상대대성성

그림 12.1 중심에 있는 은하의 중력렌즈 작용으로 형성된 머나먼 퀘이사의 상을 보여주는아인슈타인의십자가.

무엇을배우는가11112222....1111 에테르찾기11112222....2222 아인슈타인의가설과기준틀

베타와감마보기문제12.1 아폴로우주비행선

광원뿔시공간간격

11112222....3333 시간팽창과길이수축시간팽창보기문제12.2 뮤온붕괴

길이수축보기문제12.3 NASCAR 경주차의길이수축

쌍둥이역설11112222....4444 상대론적진동수이동

풀이문제12.1 은하의적색이동11112222....5555 로렌츠변환

불변량11112222....6666 상대론적속도변환

풀이문제12.2 가속기안의입자11112222....7777 상대론적운동량과에너지

운동량에너지운동량-에너지관계식속력, 에너지, 운동량보기문제12.4 속력0.99c의전자보기문제12.5 케이온붕괴

로렌츠변환이체충돌보기문제12.6 충돌기대고정표적물가속기

11112222....8888 일반상대성블랙홀중력파

11112222....9999 일상생활에서의상대성:::: GGGGPPPPSSSS

무엇을배웠는가/주요내용문제풀이능력키우기풀이문제12.3 같은속도

객관식문제설명문제연습문제

시공간과물질, 진동과파동

원서35장

그림 12.1의사진은처음볼때별의무리일것이라고생각되지만사실은그렇지않다. 중앙의

밝은 점은 지구로부터 아주 먼 거리에 있는 한 은하이며, 주위의 네 점 모두는 거기서부터 더

먼 거리에 있는 천체의 상들이다. 더 멀리 떨어진 천체(퀘이사라고 부른다)에서 나온 빛의

경로가 중간에 있는 은하의 중력작용으로 굽어져서 네 개의 둘러싼 상을 형성한 것이다. 빛

이 중력에 의해 굽어질 수 있다는 사실은 뉴턴의 법칙으로 설명할 수 없으므로, 아인슈타인의

상대성이론이필요하다. 아인슈타인의십자가라고부르는사진의 상은아인슈타인의상대성

이론을입증하는여러관측결과중하나이다.

상대성이론은공간과시간에대한우리의이해를근본적으로바꾸어놓는다. 그리고어떤

결과들은 일상의 경험과 모순된 것처럼 보인다. 기차역에 있는 미터자의 길이가 역에 서 있는

사람과 기차를 타고 지나가는 사람에게 같지 않다는 생각은 터무니없는 것처럼 보인다. 어떤

이들은 불가능하다고 주장하면서, 상대성은 인간의 인식을 기술하거나 단지 이론일 뿐이라고

폄하한다. 그러나상대성은과학의다른개념들과마찬가지로수없이검증을받아왔으며그때

마다옳다고확인되었다. 시간과공간은기준틀에독립적이지않다. 이것은형편없는생각이거

나시각적인착각이아니다. 오히려우주가작동하는근원적인방법이다.

이장에서는주로특수상대성이론에초점을맞추겠다. 특수라고불리는이유는일정한속

도를 갖는, 즉 가속도가 0인 운동이라는 특수한 경우만 다루기 때문이다. 가속운동을 다루는

일반상대성이론에서비롯된몇가지개념들은간단히언급하겠다. 비록상대성개념들이처음

에는 이상하게 보이겠지만, 수학은 특별히 어렵지 않다. 뉴턴 역학은 아인슈타인 이론의 특별

한경우로서일상적인상황에서는같은결과를얻는다. 그러나특수상대성은광속에근접하는

운동에있어서는전혀다른결과를준다. 이들결과는매우작은것의물리학(고에너지입자물

리학과양자역학)과매우큰것의물리학(천문학과우주론)에서핵심적인역할을한다.

15장과 16장에서 음파와 역학파동은 전파해 갈 매질이 필요하다는 것을 배웠다. 31장에서는

빛은 전자기파이며, 모든 전자기파는 진공에서 전파해 간다고 배웠다. 그러나 이 지식도 과학

416 12장 상대성

무엇을배우는가

� 빛은진공에서광원이나관측자의속도와무관하게항상

같은속력으로움직인다.

� 특수상대론의 두 가설: (1)모든 물리법칙은 모든 관성틀

에서 동일하다. (2)진공에서 광속은 불변이다. 관성틀은

일정한속도로움직이는기준틀이다.

� 특수상대론의가설로부터시간과공간간격의측정은상

대적으로움직이는관측자마다서로달라진다.

� 고속에서는기준틀사이에갈릴레이변환대신에로렌츠

변환을반드시써야한다.

� 속도는 선형으로 더해지지 않는다. 속도의 합은 로렌츠

변환을따라야한다. 그렇지않으면광속보다빠를수없

다는가설에위배된다.

� 운동에너지와 운동량, 그리고 이들의 관계는 새로 정의

할필요가있다.

� 상대론적역학에서속력이광속보다매우작다는극한에

서뉴턴역학의모든것이유도된다.

12.1 에테르찾기

에서는 단지 약 100년 정도밖에 안 된 상대적으로 새로운 것이다. 1887년까지 과학자들은 빛

도역시전파해갈매질이필요하다고믿었으며, 이매질을 빛나는 에테르, 또는간단히에테르

(aether)라고 불 다. 에테르에 대한 개념은‘이 매질은 엄 하게 무엇인가?’라는 질문을 불러

일으켰다. 아주멀리떨어진별들이나은하들에서오는빛이우리눈에도달하는것으로봐서,

빛은지구대기권바깥에서도전파할수있음은명백하다. 그렇다면모든공간이이매질로가

득차있어야만한다. 이매질은어떻게검출할수있을까?

만약모든공간이에테르로채워져있다면, 지구는태양주위를돌때에테르에대해상대

적으로움직여야만한다. 3장에서배웠듯이매질의운동은궤적에분명한차이를만든다. 예를

들어 바람 속을 비행하는 비행기가 바람에 수직으로 움직일 때, 바람을 따라서 또는 거슬러서

움직일때비행기의지면속력이서로다르다. 앞에서음파가매질내를전파할때도이와같은

기본원리가작동했다.

19세기에 광속을 측정하려고 엄청난 노력을 기울 다. 과학사의 관점에서 이러한 노력은

그자체로매력적인이야기다. 그러나에테르를검출하는데정확한광속을알필요는없다. 단

지에테르에대해상대적인지구의운동으로실험실에서측정하는광속이에테르에대한빛의

속도방향에따라달라지는것만알면된다. 오하이오주클리블랜드의케이스연구소에근무하

던 앨버트 마이컬슨과 에드워드 몰리가 1887년에 측정했던 것이 바로 이 효과이다. 그들은간

섭계라불리는정교한장치를사용했다(34장참조, 마이컬슨간섭계의사진도볼수있다).

그들이 발견한 사실은 물리학계를 어리벙벙하게 했다: 결과 없음!측정될 만한 차이가 없

음!빛은 모든 방향으로 정확하게 같은 속력으로 움직이고, 에테르에 대하여 상대적인 운동을

검출할수없다는결과이다.

물리학자들은이놀라운결과를설명하기위해버둥거렸다. 두이론물리학자헨드릭로렌

츠와 조지 피츠제럴드가 에테르 속을 움직이는 물체는 광속의 변화를 딱 상쇄할 만큼 움직이

는 방향으로 길이가 수축된다는 개념을 들고 나왔다. 그러나 새로운 통찰에 필요한 개념적 도

약과그것의놀라운결과로에테르는존재하지않는다는것을밝히는데는아인슈타인의천재

성이필요했다. 광속은관측자의운동에관계없이모든관측자에게일정하다는사실을충분히

생각한끝에아인슈타인은이장의주제인특수상대성이론을완성했다.

1905년에특출한경력없이물리학전공으로대학을막마치고나온 26세의스위스특허사무

관이과학계를뒤흔든세개의과학논문을발표했다. 더놀라운것은여가시간동안에연구했

다는것이다. 세논문은다음과같다.

1111.... 빛의양자본성에기인하는소위광전효과를설명하는논문. 이업적으로아인슈타인은

1921년노벨물리학상을수상했다. 36장에서광전효과를자세히다루겠다.

2222.... 분자, 원자들과의 충돌에 기인하는, 물이나 다른 용액에 섞여 있는 매우 작은 입자들의

운동인 브라운 운동을 설명하는 논문. 이 결과는 원자들이 실제로 존재한다는 강력한

논증을제시했다. (이논문이전에는결코분명하지않았다.)

12.2 아인슈타인의 가설과 기준틀 417

12.2 아인슈타인의가설과기준틀

3333.... 마지막으로이장에서가장중요한특수상대성이론을제시한논문.

아인슈타인은특수상대성의모든것이비롯되는두개의가설을만들었다. 이것을이해하기위

해서는 우선 다음의 정의가 필요하다. 관성기준틀(inertial reference frame)은 알짜 외력이 작

용할때만물체가가속되는기준틀이다. 한관성기준틀은다른어떤관성기준틀에대해서도일

정한 속도로 움직인다. 비관성틀은 원점이 가속되고 있는 틀이다. 예를 들어 다이빙대에서 뛰

어내려서 자유낙하하고 있는 다이빙 선수는 알짜 가속을 경험하고 있으므로 관성기준틀에 있

지않다. 다른언급이없다면, 이장에서기준틀이란관성기준틀을뜻한다. 이정의를가지고아

인슈타인의두가설을다음과같이기술할수있다.

가설 1:물리법칙은기준틀의운동에관계없이모든관성기준틀에서같다.

가설 2:광속 c는모든관성기준틀에서같다.

광속의값은다음과같다.

(12.1)

1장에서설명했듯이광속에대한이값은정확한값으로널리인정받고있다. 광속은 SI단위계

에서 미터 정의의 기반이 된다. 광속에 대한 간편한 어림값은 가장 널리 쓰이는 c � 3�108 m/s

이다. ( 국단위계에서는 c� 186,000mi/s 또는 c� 1 ft/ns이다.)

아인슈타인의 두 가설 중 첫 번째 가설은 반대할 여지가 없을 것이다. 태양 주위를 도는

운동에서지구는태양주위의공간을 29 km/s � 65,000mph보다더빠른속력으로움직인다.

지구의 궤도는 원에 매우 가까우므로, 지구의 속도 벡터는 태양에 대해서 연속적으로 방향을

바꾼다. 그러나 물리적 측정은 (은하수에 상대적인 지구와 태양의 작은 가속도에 의한 미미한

효과들을무시한다면)여전히측정이이루어진계절과는무관하게같은자연법칙을따른다.

두번째가설은마이컬슨과몰리가측정했던‘결과없음’을설명한다. 그러나간단히이해

하기가쉽지만은않다. 사고실험을하나해보자. 당신은로켓안에서 c/2의속력으로지구를향

해우주에서날아오고있다. 지금당신은전방으로레이저를비췄다. 레이저광의속력은 c이다.

지금까지속도더하기에대해알고있던대로순진하게지구에서관측하면레이저광의속력이

c�(c/2)�1.5c라고기대할것이다. 이결과는 3장의상대운동을다룬절에서예상했던것이다.

그러나 이러한 속도 더하기는 속력이 광속에 비해 매우 작을 때만 잘 맞는다. 아인슈타인

의두번째가설은지구에서관측한광속은여전히 c라고말한다. 이장의후반부에서모든속

력에 알맞은 속도의 덧셈 규칙을 자세히 설명하겠다. 일단은 상수 c가 어떠한 물체가 어떠한

기준틀에서가질수있는최대속력이라는것에만동의하자. 이진술은놀라우면서도, 모든종

류의흥미롭고겉으로는반직관적이기도한, 그럼에도모두실험적으로확인이된결과들을준

다. 따라서지금은상대성이론이거의확실히맞는다고믿고있다. 공간과시간을다시는이전

과같은방식으로생각해서는안된다.

베타와감마

광속이상대성에서너무나중요한역할을하기때문에, 통상자주쓰이는차원없는두양으로,

(상수인)광속 c와물체의속도 v"에만의존하는 �

"와 �를다음과같이도입한다.

418 12장 상대성

확인문제12.1

광년은빛이1년간진행한거리이다. 광년

을미터단위로계산해라.

(12.2)

(12.3)

여기서 � � |�"|이다. v� |v

"|� c이면식 12.2와 12.3은 � � 1그리고 � � 1을뜻한다.

�를 �의함수로그려보면유익하다. 광속에비해서작은속력이면 �는매우작아서어림

으로 0이다. 그런경우에 �는 1에매우가깝다. 그러나 �가 1에접근하면 �는발산한다. 즉 �가

점점커지다가결국은 ��1일때무한대가된다(그림 12.2참조).

낮은 속력에 대해서 유효한 어림식도 유용하게 자주 쓰인다. 이 경우 |v"|가 c에 비하여 작

으므로 �는 1에비하여작다. 급수전개식 (1�x)�1/2�1� x2� x4����를사용하면, �를

(�가 1에비하여작을때) (12.4)

로어림할수있다.

달에 가는 길에 아폴로 우주비행선은 지구에 대한 상대속력 4.0�104 km/h에 도달했으며,

이는어떤제트비행기보다도거의한자리수(10배)정도로빠른속력이다.

문제

이경우상대론적인자인 �와 �의값은얼마인가?

답

우선속력을 SI단위로다음과같이전환한다.

�를계산하기위해우주비행선의속력을광속으로나누면

이고, 이결과를 �의공식에대입하면다음을얻는다.

보기문제 12.1에서거의대부분의거시물체의운동은 0에매우근접하는 � 값과 1에매우

근접하는 � 값을 갖는다는 것을 알 수 있다. 이 장 전체를 통해 알게 되겠지만, 이런 경우에는

상대성효과를무시하고비상대론적으로계산해도좋다. 그러나많은흥미로운상황에서는상

대성에유의해야한다. 이차이가이장의주제이다.

38

12

12.2 아인슈타인의 가설과 기준틀 419

그림12.2 �의 � 의존성.

확인문제12.2

광속의얼마이면상대론적효과(올바른상

대론적 결과와 고전적 어림 사이의 편차)

가5%인가? 광속의얼마이면상대론적효

과가50%인가?

아폴로우주비행선보기문제 12.1

광원뿔

아인슈타인의 두 가설에서 얻는 추론으로, 어떤 것도 진공에서의 광속보다 더 빠르게 전파할

수없다는사실을알게되었다. (엄 하게말해서, 광속이속력의상한이아니고하한인입자가

존재할가능성이있다. 이와같은가상입자를타키온이라고부른다. 이책에서는이들을더이

상 다루지 않겠다.)만약 어떤 것도 진공에서의 광속보다 더 빨리 전파할 수 없다면, 사건들이

서로에게 향을미치는데에도한계가존재하게된다. 광속을넘어가는속력으로신호를주고

받을수없기때문이다. 따라서공간의한점에서일어난사건이공간의다른점에즉각적으로

향을미치는것은원리상불가능하다. 단순하게말하면, 신호또는원인과결과가공간을통

해전파하는데시간이걸린다는뜻이다.

이 결과를 살펴보기 위해 그림 12.3으로 묘사한 1차원 경우를 고려하자. 한 사건이 시간

t�0,위치 x�x0(빨간색점)에서일어난다. 시공간에서사건을알리는신호는광속보다더빠를

수없고, v��c와 v��c 사이의속력으로전파한다. 그림 12.3에서황갈색삼각형은사건을관

측할수있는시공간의 역을보여준다. 이 역은사건 (0,x0)에대한양의광원뿔(light cone)

이라고부른다. 시간 t1과공간 x1에위치한푸른색점은사건이일어났다는신호를받을수있

다. 그러나 시간 t2와 공간 x2에 위치한 초록색 점은 신호를 받을 수 없다. 즉 그림 12.3에서 빨

간색 점으로 표시된 사건은 초록색 점으로 표시된 사건을 일으킬 수 없다는 뜻이다. 빨간색과

초록색의두사건은인과관계로연결될수없다. 즉하나가다른하나의원인이될수없다.

거꾸로 (0,x0)의사건에 향을줄수있는과거의 역이있다. 이 역은음의광원뿔이라

고부른다. 그림 12.4a는수직시간축의관습적인표현에서양의광원뿔을보여준다. 편의상광

원뿔을나타낸사건을좌표계의원점으로옮겨갈수있다. 왜광원뿔을‘삼각형’이아니라‘원

뿔’이라고 부를까?답은 그림 12.4b에 있다. 두 공간좌표 x와 y에 대하여 조건 v�'∂ƒvx2�ßvßy

2�c

는 (2�1)차원 x,y,t 공간에서 원뿔을 쓸고 지나간다. 음의 광원뿔 내부에 있는 사건들만 원점

에 있는 사건에 향을 미칠 수 있다. 거꾸로, 양의 광원뿔 내부에 있는 사건들만 원점에 있는

사건에의해 향을받을수있다.

때때로 광원뿔 도표의 축들은 같은 단위를 갖도록 비율을 조정한다. 축들의 비율을 조정

하는한가지방법은시간축에광속을곱해서양축이모두길이의단위를갖도록만드는것이

다. 다른방법은 x축을광속으로나누어양축이모두시간의단위를갖도록만드는것이다. 이

런식으로광속이광원뿔도표에서대각선이되며, 이것은다음의예에서볼수있듯이정량적

논증을하는데매우유용하다.

광원뿔도표에서세계선을그릴수있다. 세계선(world line)이란시공간에서물체의궤적

이다. 이런종류의그림은시간과공간의두차원이상대성이론에서어떻게얽혀있는지를반

하여종종시공간(space-time) 도표라고도한다. 몇개의세계선을포함하는전형적인그림을그

림 12.5에서볼수있다. 이런유형의그림에서시간에따른공간차원 x만에서의운동을생각한

다. 이그림에서물체가초기에 x�0, t�0에있다고생각하자. 만약물체가 x방향으로움직이지

않는다면, 물체는 그림에서 수직선으로 표시된다(벡터 1).만약 물체가 양의 x방향으로 일정한

속력으로 움직인다면 그 궤적은 위와 오른쪽을 향하는 경로로 표시된다(벡터 2).만약 물체가

음의 x방향으로 일정한 속력으로 움직인다면 그 궤적은 위와 왼쪽을 향하는 경로로 표시된다

(벡터 3).양의 x방향, 광속으로움직이는물체는수직축에대하여각도 45�의경로로표시된다

(벡터 4).음의 x방향, 광속으로움직이는물체는수직축에대하여각도 �45�의경로로표시된

다(벡터 5).

420 12장 상대성

그림12.3 공간에서한점의광원뿔.

그림 12.4 시간축이 수직 위 방향인양과 음의 광원뿔. (a) (1�1)차원 시공간표현. (b) (2�1)차원시공간표현.

그림 12.5 양의 광원뿔을 보여 주는시공간그림.

시공간간격

고전역학에서는 두 점 사이의 거리를 쉽게 r�

로 표기한다. 만약 두 사건이 다른 시간에 일어난다면, 그들 사이의 시간 차이는 t�t2�t1이

다. 위의광원뿔과인과관계에대한논의의관점에서, 사건 1과사건 2사이의시공간간격 s를

도입하고, 다음과같이정의한다.

(12.5)

s2의부호에따라시공간간격을시간형간격, 광선형간격, 공간형간격의세유형으로다음과

같이구분한다.

(12.6)

광선형 시공간 간격은 광원뿔의 표면에 놓이고, 시간형 시공간 간격은 광원뿔의 내부에 놓이

며, 공간형시공간간격은외부에놓인다. 시간형시공간간격에서는고유시간 �를정의할수

있다. 고유시간은두사건사이의관성기준틀에서여행하는관측자가자기의시계로측정한두

사건 사이의 시간이다. 관측자의 경로는 각 사건이 일어나는 순간 사건의 세계선을 교차한다.

이러한고유시간(proper time)은다음과같이정의한다.

(12.7)

시간형조건 s2 > 0이성립하면고유시간은 (시간단위의)실수이다. 두사건사이에시간형(또

는광선형)간격이존재하면, 두사건은인과관계로연결될수있다는뜻이다.

두 사건이 공간형 간격으로 떨어져 있다면 인과관계로 연결될 수 없다. 즉 둘 중의 어느

사건도다른사건을유발할수없다. 두사건사이의고유거리 �를다음과같이정의한다.

(12.8)

고유길이는공간형사건에서 (길이단위의)실수이다.

일상에서 시간과 공간은 절대적이고 어떤 제한이나 조건이 없는 것으로 간주한다.‘절대적’이

란모든관성기준틀에있는관측자는어떤물체의길이와어떤사건의기간에대해서같은값

을측정한다는뜻이다. 그러나아인슈타인의가설과함께논리적인결론까지받아들인다면, 이

것은 더 이상 사실이 아니다. 절대적이 아닌 시간과 공간의 개념으로 공상과학소설 같은 결론

들이나오지만모두사실임이실험적으로하나씩증명되어왔다.

시간팽창

상대성이론의가장주목할만한결과들중하나는시간측정이기준틀과무관하지않다는것이

12.3 시간팽창과 길이수축 421

퀴즈문제12.1

사건 0은그림처럼시공간의어떤

점에서일어난다. 시공간에있는

다섯개의다른사건A, B, C, D, E

중무엇(들)이사건 0에의해 향

을받을수있는가?

퀴즈문제12.2

사건 0은그림처럼시공간의어떤

점에서일어난다. 시공간에있는

다섯개의다른사건A, B, C, D, E

중무엇(들)이사건 0과시간형시

공간간격을형성하는가?

a) A b) B c) C d) D e) E

a) A b) B c) C d) D e) E

12.3 시간팽창과길이수축

다. 대신에두사건이다른장소에서일어나는움직이는기준틀에서는두사건사이에흐른시

간이 (두 사건이 같은 장소에서 일어나는)정지된 기준틀에서의 시간간격과 비교해서 다음과

같이팽창한다(더길어진다).

(12.9)

시간팽창(time dilation)은 정지해 있는 동안 시계가 t0만큼 간다면, 시계에 대해서 상대적으

로 움직이는 관측자는 시계가 t(>t0)만큼 가는 것을 본다는 것을 의미한다. 시간간격 t는

관측자가 시계에 대해서 움직인 상대적인 속력에 의존한다!이 결과는 정말로 혁명적이다. 그

러나보기문제 12.2에서알수있듯이실험적으로증명가능한결과이다.

어떻게위결과를유도할수있을까?상대론적효과가광속과관련되어있다는것을

알고있다. 따라서수직으로광선을보내거울에반사되어오는광선을검출하여시

간을맞추는시계를만들어보자(그림 12.6a참조).

만약 거울과 광원 사이의 거리 h를 안다면, 광선이 올라갔다가 내려오는 데 걸

리는시간은다음과같다.

여기서 아래첨자 0는 관측자가 측정기구에 대해서 상대적으로 움직이지 않는다는

사실을나타난다. (광선이올라갈때도내려올때와마찬가지로같은시간 h/c이걸

린다.)

이제 관측자를 수평방향 속력 v로 움직여 보자. 관측자에게 시계가 양의 x방향

속력 v로 움직이는 것으로 보이도록, 이 방향을 음의 x방향이라고 부르겠다(그림

12.6b참조).그림 12.6 c에서볼수있듯이관측자는광선이진행한경로의길이가

인것으로본다. 여기서 x는빛이공기중에있는동안시계가움직인거리이다. 이결과는

단순히 피타고라스 정리의 결과이다. 암묵적으로 h는 그림 12.6에 묘사된 두 기준틀에 있

는관측자에게같다고가정한다. 만약 h가같지않다면한기준틀을다른기준틀과구별할

수있으며, 이것은아인슈타인의가설 1을어기는것이다.

두번째관측자는 x�vt라말하며, t는자신의계에서빛이방출되었다가검출되는

데 걸리는 시간간격을 뜻한다. 또한 위의 h와 t0를 연관짓는 식 h�ct0/2를 사용하여 h

를소거할수있다.

이 시점에서 두 번째 가설이 본질적으로 들어온다. 광선은 일정한 광속 c로만 움직일

수있으며, 이것은관측자의속도에무관하다!따라서다음의관계식을얻는다.

422 12장 상대성

그림 12.6 서로 다른 두 기준틀에서의시간측정. (a)이기준틀에서거울은정지해 있다. (b)이 기준틀에서는 실험기구가 속도 v로 움직인다. (c) 움직이는 기준틀에서 반사된 광선에 의해 형성된삼각형.

시간팽창유도과정 12.1

이결과를피타고라스정리에넣고 h와 x를바꿔넣으면다음을얻는다.

이방정식을 t에대하여풀면결국다음과같이원하는결과를얻는다.

시계의정지틀에서(그림 12.6a참조)시간간격은 t0이다. 이양은시계의두째깍소리사

이의 간격을 나타낸다. 시계가 움직이는 틀에서는(그림 12.6b참조)두 째깍 소리 사이의 시간

간격은 t��t0 > t0이다. 따라서 시계가 움직이는 기준틀에서 측정한 시간간격이 더 길다

는의미에서‘움직이는시계는느리게간다’라고말한다.

광속은 관측자의 속력과 무관하기 때문에, 두 관측자가 측정한 시간이 다르다는 사실을

인정해야만한다. 이단계는무척이나대담한것이다.

분명히정지한시계에는잘못된것이없고, 움직이는시계에도특별한것이없다. 높은속력

때문에특별한일이생기지않는다. 다만다른기준틀에있는관측자가측정한시간자체가길

어진것이다. 관측자는운동이나생체시계를포함한모든것이느려진다고생각한다. 즉다른기

준틀에있는관측자에비해서느리게움직이고천천히나이를먹는것으로보인다.이효과가상

대적이라는것이흥미롭다. 즉서로상대방에대하여움직이고있는두관성기준틀에있는관측

자들은각각상대방의시계가느리게간다고본다!그러나이것은특수상대성의핵심개념, 즉

‘절대적인운동은없다’라는사실을잘보여준다. 모든관성틀은측정에서동등하게유효하다.

마지막으로표기법에대해서정리해보자. 앞절에서고유시간의개념을도입했다(식 12.7

참조).때때로시계의정지틀에서측정한시간을고유시간이라말하는경우도있다. 위의유도

과정 12.1에서사용한고유시간간격은 t0이다.

가설을 세우고 시간팽창의 효과를 수학적으로 증명하는 것과 이 효과를 실험실이나 자연

에서관찰하는일은완전히별개의문제이다. 놀랍게도이효과는보기문제 12.2에서설명하듯

이 자연에서관찰되었다.

뮤온은 평균수명 �0가 단지 2.2 �s인 불안정한 원자 속 입자이다. 평균수명은 실험실에서

정지한 뮤온이 붕괴할 때 쉽게 관측할 수 있다. 그러나 뮤온이 초고속으로 날아가는 상태

로 생성되면 시간팽창이 일어난다. 1977년에 유럽의 CERN 입자가속기에서 속력

v�0.9994c (& ��0.9994)의뮤온이생성되었다. 이경우 �는다음과같다.

따라서뮤온의평균수명 �는정지해있을때보다다음과같이 ��29배더길어질것이다.

12.3 시간팽창과 길이수축 423

뮤온붕괴보기문제 12.2

뮤온의생성과붕괴사이의시간을측정하여시간팽창효과를검증하는것은아주간단하

다. 또는뮤온의생성장소로부터거리를옮기면서여전히뮤온이도달하는지를측정하는

다른방법도있다. 만약시간팽창의효과가없다면뮤온은붕괴하기전 2.2 �s동안에단지

의거리만움직일것이다. 그러나시간팽창의효과를고려하면, 진행거리는

나된다. 이를확인하려면뮤온의생성장소로부터얼마나먼거리까지뮤온의붕괴물이검

출되는지를측정해야한다. CERN의실험은상대성의시간팽창예측을사실로확인했다.이

측정은시간팽창이정말로실제효과임을보여준다.입자는더빨리움직일수록더오래산

다. (그러나자신의정지틀에있는시계로는원래의평균수명만큼산다.)사실현재구상중

인거대입자가속기들은뮤온들을충돌시킬예정이다. 이들가속기에서는뮤온들이수 km

의거리를이동할필요가있다.뮤온충돌기가가능하다는사실자체가시간팽창의효과이다.

상대론적 효과는 미시입자들만 관련이 있고 거시물체와는 관련이 없을까? 그렇지 않다.

1971년에 과학자들은 4개의 엄청나게 정 한 원자시계들을 지구 주위의 네 방향으로 하나씩

비행시켰다. 과학자들은 지상에 있는 원자시계와 비교하여 동쪽으로 날아간 시계는 5910 ns

를잃었고, 서쪽으로날아간시계는 27521ns를얻었다는것을관찰했다. 따라서시간팽창의

효과는거시적인시계에대해서도사실임이확인됐다. 물론비행기의속력이광속에비해매우

작기때문에이효과는믿을수없을정도로작다. 두시계는 3일(259,200 s)동안각각 59ns를

잃거나 275 ns를 얻으므로 10억 분의 몇 정도에 불과하다. 이 실험을 정량적으로 설명하려면

일반상대성도 필요하다. 그러나 이것은 요점이 아니다. 이 실험의 요점은 시간팽창이 없다면

예측되는 0이아니라측정할만한효과가있다는것이다. 이실험이증명하는기본적인사실은

더이상시간을절대적인양으로간주할수없다는것이다.

길이수축

상대성은 시간이 속력의 함수로 변하면서 팽창한다는 것뿐만 아니라 길이도 불변이 아니라는

것을 암시한다. 속력 v로 움직이는 물체의 길이 L은 정지틀에서의 길이인 물체의 고유길이

(proper length) L0에대해상대적으로다음과같은길이수축(length contraction)이일어난다.

(12.10)

우주왕복선의 길이를 측정한다고 가정하자(그림 12.7참조).관측자의 기준틀에서 우주왕

복선의 속력은 v이고, 고유길이는 L0이다. 미터자를 사용하지 않고 길이를 측정하는 방법

424 12장 상대성

퀴즈문제12.3

0.860c의속력으로움직이는우주

비행선에있는시계가 1.00 s의시

간간격이끝났음을알린다. 정지

한관측자의틀에서측정하는시

간간격은얼마인가?

a) 0.860 s b) 1.00 s

c) 1.25 s d) 1.77 s

e) 1.96 s

길이수축유도과정 12.2

은간단하다. 실험실에고정된시계에레이저를단다. 왕복선의머리가레이저광선을차단

하기시작하면시계가가기시작하고, 왕복선의꼬리가같은점을지나면서더이상레이저

광선이차단되지않을때시계가멈추게만들면가능하다. 이렇게측정한시간간격은 t0,

즉고유시간이므로 L�vt0이다.

왕복선 안에서는 내부에 고정된 시계를 사용하여 레이저광선이 차단되는 동안에 측

정한 시간간격은 시간팽창 때문에 t��t0이다. 따라서 왕복선 내부에 있는 우주비행사

는속력 v로움직이는시계가우주왕복선의머리를지날때한번, 꼬리를지날때다시한

번빛을내는것을관찰하고 L0�vt�v�t0를추론한다. 따라서

즉다음을얻는다.

이 사고실험에서는 운동의 방향을 따라서 길이를 잰다는 것이 핵심이라는 점에 유의해라.

운동방향과수직인모든길이는변하지않는다(그림 12.7참조).

유도과정 12.1과 12.2에서볼수있듯이, 시간팽창과길이수축현상은매우 접하게연관

되어있다. 광속이모든관측자에게일정하다는사실은시간팽창을암시하고, 실험적으로도여

러번확인되었다. 이번에는시간팽창이길이수축을암시하고있다.

길이수축에대해서기억해야할핵심은움직이는물체의길이가짧아진다는것이다. 단지

짧게보이는것이아니다. 움직이는틀에있는관측자가측정하면더짧다는것이다. 길이수축

은또다른특수상대성가설의필연적인그러나혼동스러운결과이다.

일정한 속력 v�89.4 m/s로 주행하는 NASCAR경주차(그림 12.8참조)를 보고 있다. 피트

에서멈춘경주차의길이는 5.232m이다.

문제

정면 관중석에 있는 기준틀에서 NASCAR경주차의 길이변화는 얼마인가?경주차는 바라

보는 시선에수직으로움직인다고가정해라.

답

경주차의 길이는 고속운동으로 인해 수축될 것이다. 경주차의 고유길이는 L0�5.232 m이

다. 정지한기준틀에서의길이는식 12.10에따라

12.3 시간팽창과 길이수축 425

그림 12.7 길이수축의 예시(올바른척도가아니다).

퀴즈문제12.4

다음진술이참인지거짓인지구

별해라.

a) 움직이는물체에서운동방향의

길이는정지해있을때보다더

짧다.

b) 광속에가까운속도로지나가는

시계는정지해있는손목시계보

다빨리가는것같다.

c) 광속에가까운속도로움직이면

서정지한관측자를지나가는

시계는관측자의손목시계보다

더빨리가는것같다.

그림12.8 NASCAR경주차.

NASCAR 경주차의길이수축보기문제 12.3

이며, 경주차의길이변화는다음과같다.

여기서 식 12.4의 급수전개식 (1�x2)1/2�1� x2����을 적용했다. 경주차의 속력은 광속

에비해매우작으므로, v/cV 1에서위의어림은정당하다. 따라서경주차의길이는

만큼 더 짧아진다. 경주차의 길이변화는보통 원자의 지름보다도작다. 결국 일상의속력

에서는물체의길이수축을사실상관측할수없다.

쌍둥이역설

시간간격(이를테면 시계의 째깍 소리의 사이)이 관측자의 틀 안에서 물체(이를테면 시계)의

속력에따라 t��t0로주어진다. 작은사고실험하나를실행해보자.

우주비행사앨리스에게쌍둥이남동생밥이있다. 20세의앨리스는 3.25광년떨어진우주

정거장을 왕복하는 우주비행선을 탄다. 우주비행선의 속력은 광속의 65.0%로 감마인자는

��1.32이다. 지구의밥이보기에는앨리스가비행한총거리는 2(3.25광년)�6.50광년이다.

앨리스의 정지틀에서는 지구와 우주정거장 사이의 거리가 수축되므로 그녀는 d�6.50광

년/��4.92광년의거리를여행한다. 따라서앨리스의왕복여행시간은다음과같다.

t�d/v�(4.92c�년)/0.650c�7.57년.

앨리스의 기준틀에서는 왕복시간이 7.6년이지만, 밥의 기준틀에서는 시간팽창으로 7.6��10.0

년이걸린다. 따라서앨리스가여행을마치고우주비행선밖으로나올때, 27.6세가될것이고,

반면에밥은 30.0세가될것이다.

이제앨리스의기준틀에서다시생각해보자. 앨리스의기준틀에서는그녀가정지해있고

밥이광속의 65.0%로움직인다. 따라서앨리스는밥보다 1.32배더나이가들어야한다. 앨리스

는자신이 7.57년의나이가들었음을알기때문에남동생밥과다시만날때 (20�7.57/1.32�)25.8

세일것으로기대한다. 두쌍둥이남매는다른쌍둥이보다젊을수없다. 이러한겉보기모순을

쌍둥이역설이라고부른다. 둘의관점중무엇이옳을까?

쌍둥이역설은밥이지구의정지한기준틀에남아있지만, 우주비행사앨리스는왕복여행

동안두개의다른관성틀에산다는것을깨달을때풀린다. 외계로나가는구간에서는지구로

부터멀어지는먼우주정거장쪽으로움직이다가, 우주정거장에도착한후에는선회하여우주

정거장에서지구로돌아온다. 따라서두쌍둥이사이의대칭성이깨진다.

시공간에서두쌍둥이의경로는광원뿔과세계선을사용하여분석할수있다. 관성정지틀

의 시간을 x축으로 잡은 방향에 대한 두 쌍둥이의 위치를 그리고, 밥과 앨리스의 관점에서 각

각 문제를 분석하자. 지구의 집에 남아 있는 쌍둥이 밥의 정지틀에서 여행을 분석하는 것으로

시작한다(그림 12.9참조).여기서는두축모두연단위가되도록조절했다.

12

426 12장 상대성

그림 12.9에서 밥의 속력은 언제나 0이고 항상 x�0에 머물고

있다. 빨간색의 수직선이 밥의 궤적이다. 반면에 앨리스는 광속의

65.0%(v�0.650c)로 지구에서 멀어지고 있다. 번호가 붙은

v�0.650c의 푸른색 선은 외계로 나가는 앨리스의 궤적이다. 양의 x

방향은 지구에서 우주정거장 방향으로 잡는다. 쌍둥이 남매는 계속

연락하기를 원한다. 각자는 자신의 기준틀에서 상대방의 생일에 축

하 전자카드를 보낸다. 전자카드는 광속으로 여행한다. 밥은 전자카

드를 우주정거장을 향해 곧장 보내고, 앨리스는 전자카드를 지구를

향해 곧장 보낸다. 밥의 신호는 오른쪽 위로 향한 빨간색 화살표이

고, 앨리스의 신호는 왼쪽 위로 향한 푸른색 화살표이다. 가는 화살

표가각쌍둥이의궤적을지날때각자는전자카드를받는다.

밥의 틀에서는 5년, 앨리스의 틀에서는 3.79년 후에 앨리스는

우주정거장에도착하고지구로방향을돌린다. 밥은 5년동안두개

의 생일카드만 받았기 때문에 슬슬 걱정이 되는 중이다. 앨리스도

3.79년 동안 하나의 카드만 받았기 때문에 썩 좋은 기분이 아니다.

앨리스가 선회한 후 다음 3.79년 동안에는 8개의 카드를 받는다. 밥

은 남은 5년 동안 5개의 카드를 받는다. 앨리스가 지구로 돌아와서

는밥으로부터 30번째생일카드를직접받지만, 앨리스는 28번째생

일을 기념할 준비도 안 되어 있다. 앨리스의 나이는 27.6세이기 때

문이다. 밥이 단지 7개의 카드를 받는 동안 앨리스는 총 10개의 생

일카드를받았다.

이번에는앨리스의관점에서도같은답을얻을수있다는것을

보이기 위해서, 앨리스가 나가는 구간에 해당하는 관성정지틀에서 분석해 보자(그림 12.10참

조).이기준틀에서는밥과지구는음의 x방향 v��0.650c의속력으로비행한다. 이동안앨리

스의속도는 0이다. 우주정거장은광속의 65.0%속력으로앨리스를향하여비행하므로 3.25광

년의 거리는 길이수축으로 3.79년 만에 도달한다. 그림 12.9와 12.10의 도표에서 이 부분은 완

전히대칭이다.

앨리스가우주정거장에도착한 이후에는 그림 12.9와 12.10의 대칭성이 깨진다. 앨리스가

지구로 돌아오기 위하여 음의 x방향으로 비행하기 때문이다. 지구에 대한 상대속도로 광속의

65.0%에 도달하려면 앨리스는 광속의 91.4%속력으로 비행해야만 한다. (이러한 상대론적 속

도더하기는 12.6절에서논의한다.)

앨리스가 지구를 향해 비행하기 전에 하나의 생일카드를 받고, 밥은 자신의 기준틀에서

처음 5년동안 2개의생일카드를받는다. 앨리스가지구를향해 0.914c의속력으로비행하면서,

밥이 다섯 개를 더 받는 동안 그녀는 8개의 생일카드를 받는다. 쌍둥이가 지구에서 다시 만날

때, 밥은 30세이고 앨리스는 27.6세이다. 앨리스가 나가는 기준틀을 사용하여 얻은 결과는 밥

의기준틀을사용하여얻은결과와같다. 따라서쌍둥이역설은해결된다.

쌍둥이 역설을 특수상대성만으로 분석했음을 유의해라. 가속도가 관련된 앨리스의 여행

에 대해서 걱정할 수 있다. 앨리스는 우주정거장으로 여행을 시작하기 위해 광속의 65.0%가

될 때까지 가속되고, 우주정거장에서 감속하여 멈춘 후에 지구방향으로 광속의 65.0%속력까

12.3 시간팽창과 길이수축 427

그림 12.9 지구에 정지한 밥의 기준틀에서 두 쌍둥이의 속도를보여주는도표. 두껍고수직인빨간색선이밥의궤적이고, 두꺼운두 푸른색 선은 앨리스의 궤적이다. (앨리스가 떠난 후의 연수에해당하는)빨간색번호가붙은가는빨간색선은밥이보낸생일축하 신호를 나타낸다. (또한 앨리스가 떠난 후의 연수에 해당하는)

푸른색번호가붙은가는푸른색선은앨리스가보낸생일축하신호를나타낸다. 점선은 t�0에서의광원뿔을보여준다.

지다시가속된다. 중력가속도의 3배인일정한가속도에서도정지상태에서광속의 65.0%에도

달하는 데 거의 석 달이 걸리고, 멈출 때와 광속의 65.0%로 다시 출발할 때도 같은 시간이 걸

린다. 그러나 이런 식의 반대를 제거하거나 적어도 그 중요성을 최소화하는 여러 가지 시나리

오를가정할수있다. 예를들면단순히여행거리를대폭늘려서가속단계를무시할수있도록

만들 수 있다. 앨리스가 지구로 되돌아오려면 관성기준틀을 바꾸면서 선회해야 하기 때문에,

가속도는쌍둥이역설을설명하기위해반드시필요하다. 그러나쌍둥이역설을설명하기위해

일반상대성의효과가필요하지는않다.

시간이더이상불변이아니라면, 시간에명백히의존하는양들역시속도의함수로변할것으

로예상된다. 진동수 f가그런양의하나이다.

음파를 다룬 16장에서 관측자, 음원, 매질 사이의 상대운동으로 생기는 진동수의 변화인

도플러 효과를 논의했다. 그러나 빛은 전파하는 데 매질이 필요 없다. 따라서 상대론적진동수

이동(relativistic frequency shift)은정성적으로새로운개념이며고전적도플러효과와는거리

428 12장 상대성

그림 12.10 앨리스가 나가는 구간의기준틀에서 두 쌍둥이의 속도를 보여 주는도표. 두꺼운빨간색선은밥의궤적이고, 두꺼운두푸른색선은앨리스의궤적이다. 빨간색 번호(연도)가 붙은 가는 빨간색선은밥이보낸생일축하신호를나타낸다. 푸른색 번호(연도)가 붙은 가는푸른색 선들은 앨리스가 보낸 생일축하신호를 나타낸다. 점선은 t�0에서의 광원뿔을보여준다.

퀴즈문제12.5

태양이외에가장가까운별은센

타우루스자리의프록시마별로지

구에서 4.22광년떨어져있다. 광

속의 90.0% 속력으로프록시마별

까지가는데걸리는시간은여행

자의틀에서얼마인가?

a) 2.04년 b) 2.29년

c) 3.42년 d) 3.80년

e) 4.22년

12.4 상대론적진동수이동심화학습

가 멀다. (그러나 종종 비공식적으로 상대론적 도플러 효과 또는 전자기복사의 도플러 효과라고

말한다.)만약 v가광원과관측자의상대속도이고, (서로를향하거나서로멀어지는방향인)지

름방향으로상대운동을한다면,진동수 F0인빛을관측한진동수 F는다음의공식으로주어진다.

(12.11)

여기서 위의 부호(분자의 �와 분모의 �)는 서로 멀어지는 상대운동에, 아래의 부호(분자의

�와 분모의 �)는 서로를 향하는 상대운동에 쓰인다. (순전히 시간팽창 효과 때문에 가로 도

플러이동도일어나지만, 여기서는더이상논의하지않겠다.)

속력, 파장, 진동수의관계식 c��f는여전히유효하므로, 파장에대한공식

(12.12)

를얻는다. 망원경을통하여우주를볼때, 모든은하는지구를향해적색이동(red-shifted)(� >

�0를뜻하며, 빨간색은가시광선색깔중가장긴파장을가지고있다)이된빛을보낸다는것

을발견했다. 이것은모든은하의속력이 v > 0이라는뜻이다. 즉모든은하는지구로부터멀어

지고 있는 중이다. (만약 물체가 지구를 향해 움직이면, � < �0이고 빛은 청색이동(blue-

shifted)이되었다고말한다.)게다가지구로부터먼은하일수록적색이동이더크다. 놀라운이

관측결과는팽창하는우주에대한명백한증거이다.

천문학자들은 소위 적색이동 매개변수(red-shift parameter)를 자주 인용한다. 적색이동

매개변수는대체로간단히적색이동이라고말한다. 이양은빛의파장이동을광원이정지해있

을때빛의파장으로나눈비율로다음과같이정의한다.

(12.13)

깊은우주를조사하는동안, z�0.450의적색이동을가진은하하나가관찰되었다.

문제

은하는얼마의속력으로멀어지고있는가?

풀이

생각하기

적색이동은 은하가 지구로부터 멀어지는 속력의 함수이다. 식

12.13을풀어서속력을적색이동으로얻을수있다.

그리기

그림 12.11은지구로부터멀어지고있는은하를보여준다.

조사하기

은하가멀어지는속력을적색이동과연관시키는식 12.13인

12.4 상대론적 진동수이동 429

은하의적색이동풀이문제 12.1

그림 12.11 지구로부터 멀어지는 은하(올바른척도가아니다).

을다시정리하여다음을얻을수있다.

v를포함한항들은좌변으로, c를포함한항들은우변으로모으면다음을얻는다.

단순화하기

은하가멀어져가는속도를광속단위로표기하면다음과같다.

계산하기

주어진값들을넣어서계산하면다음을얻는다.

반올림하기

유효숫자세자리로반올림하면다음과같다.

재확인하기

지구에서 멀어지고 있는 은하의 속력이 광속보다 작은 광속의 12.5%이므로 최종결과는

합리적으로보인다.

시간팽창과길이수축을공부하면서시간간격과공간간격이한관성기준틀에서다른관성기준

틀로 어떻게 변환되는지 배웠다. 한 기준틀과 상대속력 v로 움직이는 다른 기준틀을 연결하면

시간과공간의변환은하나로결합될수있다.

구체적으로두기준틀 F(좌표계 x, y, z와시간 t)와 F�(좌표계 x�, y�, z�과시간 t�)을 생각

해 보자. 두 기준틀은 x축을 따라서 상대속도 v로 움직이며, 같은 시각 t�t��0에 같은 점

x�x�, y�y�, z�z�에있다(이정렬은좌표계원점의단순이동으로언제나가능하다).기준틀 F

430 12장 상대성

12.5 로렌츠변환

에서 좌표 x, y, z와 시간 t로 관측한 사건(폭죽의 폭발 같은 사건)을 기준틀 F�의

좌표 x�, y�, z�과시간 t�으로어떻게기술하는가를알아보자(그림 12.12참조).

고전적변환은다음과같이주어진다.

(12.14)

이 변환은 갈릴레이 변환(Galilean transformation)으로 알려져 있으며, 2차원과 3차원의 운동

을다룬 3장에서배웠다. 이들변환식은 v가 c와비교해서상당히작으면올바르다. 시간팽창을

알기전까지는마지막식은너무나당연한것이었다. 이제는더이상사실이아니다.

크기 v인 모든 속도에 대해서 유효한 변환은 로렌츠변환(Lorentz transformation)이라고

부르며, 네덜란드의물리학자헨드릭로렌츠가처음으로다음과같이구했다.

(12.15)

한편역변환은다음과같다.

(12.16)

낮은속력의극한에서는(��1, ��v/c�0),쉽게볼수있듯이, 갈릴레이변환은로렌츠변

환의 특별한 경우에 해당한다. 그러나 광속에 비해서 작지 않은 속력에 대해서는 로렌츠 변환

은시간팽창과길이수축모두의효과들을포함하고있다.

로렌츠변환의‘가장간단한’유도는무엇인가에대한논의는계속진행중이다. 여기서는

2007년에발표된 J.-M.레비의논문[AmericanJournalofPhysics, Vol. 75, No. 7 (2007), pp.

615-618]을참조한다. 이유도과정에서는길이수축에대한유도과정 12.2를이용한다.

그림 12.12에서 y�y��0, z�z��0을가정하고, 틀 F(좌표계 x, y, z와시간 t)에서사건

E를 기술하자. 길이 x의 초록색 화살표는 틀 F의 원점 O에 대한 사건 E의 상대위치 벡터

를나타낸다. 간단한벡터더하기를사용하여초록색화살표$OE는벡터합

(i)

임을 알 수 있다.$OO�은 F의 원점에 대한 F� 원점의 상대변위 벡터이고,

$O�E는 F�의 원점

에서사건 E까지의변위벡터이다. 벡터관계식 (i)은모든틀에서유효하며, 이제식 (i)을

두기준틀 F와 F�에서표기하면된다.

먼저 틀 F에서 벡터 더하기 식 (i)을 계산하자. 벡터$OE의 길이는 간단히 x이고 벡터

12.5 로렌츠 변환 431

그림12.12 로렌츠변환은일정한상대속도로 움직이는 두 기준틀 사이의관계를맺어준다.

로렌츠변환유도과정 12.3

$OO�의길이는 vt이다. x�은틀 F�에서측정되기때문에틀 F에서측정하면길이수축의결과

를얻는다. 즉틀 F에서벡터$O�E의길이는 x�/�로표기할수있다. 결국틀 F에서식 (i)을

(ii)

로 표기할 수 있다. 이번에는 틀 F�(좌표계 x�, y�, z�과 시간 t�)에서 같은 계산을 해 보자.

틀 F�에서$O�E의 길이는 x�이고

$OO�의 길이는 vt�이다. 그러나 틀 F가 정지틀 F�에 대해

상대적으로 움직이므로 틀 F�에서 측정한$OE의 길이인 x는 길이수축의 결과로 x/�이다.

역시틀 F�에서식 (i)을다음과같이표기할수있다.

(iii)

핵심적인계산은다끝났다. 남은것은약간의대수적인정리뿐이다. 우선식 (ii)의양변에

서 vt를빼고, 양변에 �를곱하면

(iv)

을얻는다. 바로로렌츠변환식 12.15의첫번째식이다. 식 (iii)의양변에 �를곱하면로렌

츠역변환식 12.16의첫번째식

(v)

을얻는다. 식 (iv)에서얻은 x�에대한식을식 (v)에대입하면다음을얻는다.

��1/'∂∂1∂� ∂v2/ ßc2에서 �2�1/(1�v2/c2)이므로 1���2�v2/c2이다. 따라서다음을얻는다.

이결과는로렌츠변환식 12.15의마지막식이다.

불변량

로렌츠 변환에서는, 시간이 변하는 것처럼, 두 관성틀의 상대운동 방향의 (여기서는 x좌표로

선택한)좌표도 변한다. 상대운동의 속도 벡터에 수직인 (여기서는 y와 z좌표로 선택한)두 좌

표는두틀에서서로같다. 이들은로렌츠변환에서불변량(invariants)이다.

그렇다면또다른운동학적불변량들이있을까?이시점에서모든것을다원하는것은아

니다. 우선 그 중 하나에만 초점을 맞추면 이미 앞에서 도입했던 물리량이 있다. 바로 식 12.5

의시공간간격 s2�c2t2�r2이불변량이다.

432 12장 상대성

확인문제12.3

유도과정 12.3의 식 (v)에서 얻은 x를 식

(iv)에 넣어서 t��(t��vx�/c2)를 유도

할수있다. 직접유도해라.

퀴즈문제12.6

12.6 다음 중 무엇(들)이 식 12.14

의갈릴레이변환에서불변량인가?

a) x b) y

c) z d) t

시공간 간격이 다른 관성틀에서 모두 같다는 것을 보여야 한다. 즉 s2�s�2를 얻어야 한다.

s2을좌표로표기할수있고, 로렌츠변환에서좌표들이어떻게변환되는지알고있으므로,

다음과같이증명을시작할수있다.

두 번째 단계에서 단순히 r�2를 세 좌표성분의 제곱의 합으로 대체했다. 세 번째 단계에

서는 각 좌표 간격에 로렌츠 변환을 적용했고, 네 번째 단계에서 제곱된 항들을 계산했다.

괄호들의곱셈을수행하고같은항들을다음과같이소거할수있다.

여기서밑줄친윗줄의두항은상쇄된다. 이제괄호안의양이

이므로, 시공간간격이다음과같음을알수있다.

실제로 s2�s�2이므로시공간간격은로렌츠변환에서불변량이다.

다른불변량들은다음의절들에서하나씩소개될것이다.

12.2절에서 다뤘던 문제를 다시 살펴 보자. 지구를 향해 c/2의 속력으로 우주공간을 날아오는

로켓 안에서 전방으로 레이저를 비춘다고 하자. 지구에서 관측한 레이저광의 속력이

c�(c/2)�1.5c라고 순진하게 기대할 수 있다. 3장의 속도 더하기 공식 v"pg�v

"ps�v

"sg을 보면 당

연하다. 여기서 아래첨자 p, g, s는 각각 발사체(이 경우에는 빛),지면, 우주비행선을 뜻한다. 그

러나아인슈타인에따르면레이저광은로켓이나지구의기준틀에서같은광속 c를갖는다.

12.6 상대론적 속도변환 433

시공간간격의로렌츠불변성유도과정 12.4

12.6 상대론적속도변환

위와 같이 고전적 속도 덧셈 공식을 사용하여 얻은 결과는 어떤 속력도 c보다 클 수 없다

는 상대성 가설과 모순되기 때문에, 속도들을 올바르게 더하는 새로운 공식을 찾아낼 필요가

분명히있다. 상대론적속도덧셈(relativistic velocity addition) 공식을양또는음의 x방향으로

상대적으로움직이는두틀의 1차원운동으로제한해서구해보자. 만약한물체의속도가틀 F

에서 u"

�(ux, uy, uz)이고, 틀 F�이틀 F에대해서상대속도 v"

�(v, 0, 0)으로움직인다면, 틀 F�에

서물체의속도 u"

��(u�x, u�y, u�z)은다음과같다.

(12.17)

틀 F�에서틀 F로의역변환은다음과같다.

(12.18)

로렌츠변환식을유도할때처럼모든운동을양과음의 x방향으로제한한다. 그래도 u", u"

� 및 v"

는모두벡터이고, 변환식이적용되는상황에따라양과음의값을가질수있다. 또한이변환

공식은두벡터를더하거나빼는데도사용할수있다.

한 틀에서 다른 틀로의 속도변환을 구하기 위해, 공간과 시간 좌표의 변환에 대한 로렌츠

변환으로시작하자. x좌표의시간미분을취하면두틀의상대운동방향의속도성분을다음

과같이얻는다(이미기호 v를두틀의상대속도로썼기때문에, 이속도를 u로표기한다).

로렌츠 변환식 12.15에 따라 미분 dx�과 dt�을 틀 F에서 표현한 것이다. 이제 분자와 분모

의 � 인자를없애고다음과같이얻는다.

434 12장 상대성

속도변환유도과정 12.5

ux�dx/dt로치환하면세로성분(두틀의상대운동방향의성분)의속도변환은다음과같다.

이제가로성분, 즉두틀의상대운동의방향에수직인속도벡터의성분도비슷하게구할

수 있다. y성분에 대해서는 다음과 같이 직접 계산하지만, z성분도 마찬가지로 계산할 수

있다. dy��dy이므로 y좌표의시간미분을취한후로렌츠변환에따라정리하면

을얻는다. 분자와분모를 dt로나누면다음과같이원하는결과를얻는다.

속력들이 광속에 비해서 작은 |v| V c, 그리고 |u| V c 극한에서는 속도변환식에서 분모

의 vux/c2 항이 1에 비해서 작아지고, �는 1이 되어서, 식 12.17과 12.18은 고전적 극한

u�x�ux�v, ux�u�x�v, u�y�uy, u�z�uz로접근한다는것에주목해라.

앞의예로돌아가서, u��c‘더하기’v�c/2는 1.5 c가아니고, 다음과같다.

결국 위 분석이 옳았다. 광속은 모든 기준틀에서 같다!따라서 식 12.17과 12.18은 적절한

고전적극한을제공하며동시에특수상대성의가설들을만족한다.

입자가속기의 빔관 속을 움직이는 전자 하나와 알파입자(헬륨 원자의 핵)하나가 있다고

가정하자. 두입자는같은방향으로움직인다. 전자의속력은 0.830c이고알파입자의속력

은 0.750c이며, 둘다실험실에정지한관측자가측정한값이다.

문제

전자에서관측한알파입자의속력은광속단위로얼마인가?

풀이

생각하기

실험실에서정지한관측자가측정한대로전자가더빠르므로, 전자가알파입자를추월하

고있는중이다. v"1�v

"2 같은식으로계산하고싶은생각이들수도있다. 그러나상대론적

속도변환을알고있으므로, 이를이용하는것이훨씬더쉽다. 모든속도들은양의 x방향이

12.6 상대론적 속도변환 435

확인문제12.4

ux�dx/dt로시작해서로렌츠역변환을

사용하면다음식에도달함을보여라.

퀴즈문제12.7

상대성에알맞은두속도의합은

고전적속도더하기의결과보다

작다는사실을알았다. 속도의차

이는어떨까? 속도벡터 v"1과 v

"2가

모두양의 x방향이라고가정하자.

둘사이의상대속도를 v"r이라하

자. 다음중무엇이옳은가?

a) |v"r|고전< |v

"r|상대

b) |v"r|고전�|v

"r|상대

c) |v"r|고전> |v

"r|상대

d) 두속도 v"1과 v

"2 중무엇이더

큰가에따라 (a) 또는 (c)가될수

있다.

가속기안의입자풀이문제 12.2

라고가정하자. 어떤속도를 v, ux, u�x으로택할지를조심스럽게정하고나서식 12.17또는

식 12.18을사용할수있다.

그리기

그림 12.13은전자가알파입자를지나가는모습이다.

조사하기

지구에원점을둔틀 F와실험실에대해일정한상대속도 v로움직이는전자에원점을둔

틀 F�이있다.

전자의 틀에서 알파입자의 속력 u�x을 찾는 문제는 상대론적 속도변환과 연관이 있으

며, 실험실틀에서알파입자의속력 ux는알려져있다. 식 12.17에서다음의관계식을이용

한다.

단순화하기

이경우에단순화할것이별로없다. 대부분이어떤양이어떤틀에서측정되고각틀에알

맞은상대속도는무엇인가를정하는것이었다.

계산하기

주어진수치를넣으면다음을얻는다.

반올림하기

유효숫자세자리로반올림하면다음과같다.

재확인하기

전자가보는알파입자의속도에서음의부호는알파입자가음의 x방향으로전자에접근하

는것으로보이기때문에이치에맞는다. 전자와알파입자사이의상대속도를비상대론적

으로계산하면다음을얻는다.

최종결과를 보면 비상대론적 속도 차이가 |1/(1�uxv/c2)|의 인자만큼 보정된다는 것을 알

수 있다. 전자와 알파입자의 속력이 광속에 가까워지면 위의 보정인자가 1보다 커지므로,

상대론적속도차이는비상대론적인차이보다더커질것이다. 따라서최종결과는합당해

보인다.

436 12장 상대성

그림 12.13 알파입자를 지나가는전자.

단지 길이, 시간, 속도만이 특수상대성이론에서 수정이 필요한 개념들은 아니다. 에너지와 운

동량도역시수정이필요하다. 물리법칙은한틀에서다른틀로의변환에서불변이라는사실과

광속보다매우작은속력에서는역학에서유도했던고전적관계식들을얻을수있어야된다는

두기본원리에따라진행해보자.

운동량

고전적 운동량은 속도와 질량의 곱인 p"

�mv"로 정의한다. 물체의 속력이 c를 넘을 수 없기 때

문에, 운동량의정의가바뀌든지아니면입자의운동량에최댓값이있어야한다. 첫번째가올

바르다.

특수상대성이론과부합되는운동량의정의는다음과같다.

(12.19)

여기서m은입자의정지질량(restmass)(입자가정지해있는틀에서측정한질량), u"는어떤틀

에서입자의속도, p"는그틀에서입자의운동량이고, ��1/'∂1ƒ�u2/ ßc2이다. 식 12.19는질량m>

0인 입자에 대해서만 맞는다. 질량이 없는 입자는 이 절의 뒷부분에서 논의한다. (불행히도 많

은교과서들은상대론적 질량 �m의개념을사용한다. 이개념은이제거의모두가택하지않는

다. 질량은불변량으로간주한다. 즉특정한기준틀에서물체가움직이는속력에무관하다.)

그림 12.14는운동량에대한두식을비교하여보여준다. 푸른색은올바른공식을, 빨간색

은고전적어림식을보여준다. 속도는 c의단위이고, 운동량은mc의단위이다. 약 c/2의속력까

지 두 식은 거의 같은 결과를 주지만, 그 후에 올바른 상대론적 운동량은 v가 c에 접근하면서

무한대로발산한다.

뉴턴의제2법칙은상대론적극한에서수정할필요가없다. 뉴턴의제2법칙은그대로

(12.20)

이고, p"가상대론적운동량이다.

에너지

만약운동량의정의가변한다면, 에너지도수정이필요한것으로예상할수있다.

비상대론적 계산에서는 외부 퍼텐셜이 없는 경우에 입자의 총에너지가 바로 운동에너지

K� mv2임을 알았다. 상대론적인 경우에는 입자의 에너지에 질량의 기여를 고려해야만 한다.

아인슈타인은정지해있는질량m인입자의에너지가

(12.21)

임을발견했다. (모든과학에서가장유명한공식임에틀림없다!)

만약 입자가 운동하고 있다면, 움직이는 입자의 시간팽창처럼 � 인자만큼 에너지가 증가

한다. 그러면에너지에대한일반적인표현식은다음과같아진다.

12

12.7 상대론적 운동량과 에너지 437

그림12.14 속력의함수로나타낸운동량. 푸른색 선: 정확한 공식, 빨간색선: 비상대론적어림식.

12.7 상대론적운동량과에너지

(12.22)

운동에너지에대한올바른공식은총에너지에서‘정지에너지’를뺀것으로다음과같다.

(12.23)

운동에너지에대한고전적공식은광속보다작은속력에서잘맞았다. 상대론적결과에서어떻

게고전적어림식인K� mv2을얻을까?

작은 속력에 대해서는 이미 ��1� �2�1� v2/c2임을 알고 있다. 이 어림식을 상대론적

운동에너지공식에넣어서계산하면다음과같이원하는결과를얻을수있다.

(12.24)

일-운동에너지정리로돌아가서로렌츠변환을사용한결과를살펴보자. 간단히하기위해

x방향으로운동하는 1차원경우를고려한다. 일을힘의적분으로다음과같이도입한다.

여기서 x0는 t�0에서의좌표이고, 입자는 t�0에서속력이 0이며운동에너지도 0이라고가

정한다. 식 12.19를사용하고시간에대해미분하면 dp/dt를다음과같이계산할수있다.

여기서미분의곱과사슬규칙을사용했다. 이결과를일에대한위의적분에대입할수있

다. dx�vdt로변수를치환하면

이고, 적분을계산하면다음을얻는다.

일-운동에너지정리(5장참조)에서W�K이고, 운동에너지 0에서시작했으므로

이다. 이것은 식 12.23과 같은 결과이다. 또한 적분에서 mc2 항은 v�0의 기여이므로, 식

12.21의정지에너지임을확인할수있다.

12

12

12

438 12장 상대성

에너지유도과정 12.6

운동량-에너지관계식

고전적극한에서운동에너지와운동량은 K�p2/2m로연결된다. 따라서에너지와운동량의올

바른상대론적관계식을알아야한다. E��mc2와 p"

��mv"에서시작하여다음을얻는다.

(12.25)

운동량과에너지에대한식을각각제곱하면다음과같다.

상대론적감마인자의제곱이두식에나타난다. 감마를 v와 c로표기하면다음과같다.

이제에너지의제곱을계산하면다음을얻는다.

위계산의두번째단계에서, 단순히분자에 v2을더하고뺀다음에분자를분리해서인수

c2�v2로약분했다. 다음단계에서는두번째항에있는인수들을재정리해서 �를다시뽑

아냈고, 마지막으로 �2m2v2�p2을대입하여원하는결과를얻었다.

위의에너지-운동량관계는종종다음의제곱근형태로도표기한다.

(12.26)

또한식 32.25를다음의형태로도표기할수있다.

(12.27)

입자의질량m은스칼라불변량이고, 진공에서의속력 c 역시불변량이다. 따라서위표현식을

보면시공간간격 s2�c2t2�r2처럼 E2�p2c2도불변량임을알수있다.

식 12.27의특별한경우가질량 0인입자와관련이있다. (가시광선을포함한모든복사의

입자인 광자가 바로 질량이 없는 입자의 예이다.)만약 입자가 m�0이라면, 에너지-운동량 관

계가상당히간단해져서, 다음과같이운동량은에너지에비례한다.

(m�0인경우). (12.28)

12.7 상대론적 운동량과 에너지 439

에너지-운동량관계유도과정 12.7

속력, 에너지, 운동량

m> 0인입자에대해서, 운동량 p��mv의절댓값을에너지 E��mc2으로나누면

이고, 결국다음을얻는다.

(12.29)

이공식은알려진입자의에너지나운동량으로부터상대론적인자 �를결정하는데유용하다.

또한실제응용에유용한또다른에너지-운동량관계식으로다음을알수있다.

또는 (12.30)

몇몇응용에서는에너지단위로전자볼트(eV), 1 eV�1.602�10�19 J을사용하는것이편리

하다. 전자의 정지에너지는 E0�5.11�105 eV�0.511 MeV이고, 정지질량은 m�0.511

MeV/c2이다.

문제

전자의속력이광속의 99.0%라면, 전자의총에너지, 운동에너지, 운동량은각각얼마인가?

답

먼저 �를계산하면다음을얻는다.

전자의총에너지는

이고, 운동에너지는

이며, 운동량은다음과같다.

흥미롭게도, 비교적 작은 규모의 가속기로도 전자를 광속의 99%까지 가속시킬 수 있다.

가속기의크기는전형적인물리학과실험실크기에도맞출수있다. 그러나 0.99c 위로올

라가면 건설비가 급격하게 증가한다. 광속의 99.9999999%까지 전자의 속력을 높이려면

거대한 입자가속기가 필요하다. 스탠퍼드에 있는 길이 3 km를 넘는 SLAC선형가속기가

한예이다.

440 12장 상대성

속력 0.99c의전자보기문제 12.4

공식 E�mc2는 에너지와 질량이 관련되어 있으며 서로 변환될 수 있다는 뜻을 내포하고

있다. 화학시간에‘질량보존’이라는 설명을 들었을 것이다. 화학에서 질량보존은 분자들의 화

학반응에서 각 원자들의 수가 같아야 한다는 뜻이다. 이것은 단지 계산용 도구일 뿐이고 엄

한 의미의 보존법칙은 아니다. 에너지와 운동량의 보존법칙은 상대론적 운동학에서도 여전히

성립하지만, 한반응에서는총질량이정확하게보존되지않는다. 이사실은특히입자의붕괴에

서 명백하며, 보기문제 12.5가그런경우의하나이다.

중성케이온은다음과같이양의파이온과음의파이온으로붕괴할수있는입자이다.

이들 입자에 대해서는 39장에서 자세히 논의하겠지만, 입자 붕괴의 운동학은 상대성이론

만으로도충분히이해할수있다.

문제

케이온의 붕괴 후 남은 두 파이온의 운동에너지는 각각 얼마인가?중성 케이온의 질량은

497.65 MeV/c2이고, 양과 음의 파이온들의 질량은 각각 139.57 MeV/c2이다. 붕괴가 일어

나기전에중성케이온은정지해있다고가정해라.

답

이붕괴에서운동량과에너지는보존된다.케이온의붕괴전과후의운동량은 0이다.따라서

이다. 즉두파이온의운동량크기는같다. 반대전하인파이온의질량역시같으므로, 붕괴

후두파이온의운동에너지도다음과같이반드시같아야한다.

여기서 K는붕괴후각파이온의운동에너지이다. 붕괴전의케이온의총에너지는케이온

이정지해있기때문에다음과같다.

붕괴후에에너지는다음과같다.

에너지보존에따라붕괴전과후의총에너지가같으므로다음을얻는다.

이식을다시정리하고, ��와 ��의운동에너지가같다는것을기억하면

12.7 상대론적 운동량과 에너지 441

케이온붕괴보기문제 12.5

를얻는다. 이제파이온의운동에너지에대하여풀면다음을얻는다.

문제에주어진질량들의값을넣어서계산하면다음과같다.

정지해 있는 케이온의 붕괴에 대해서는 붕괴생성물인 두 파이온의 전체 운동에너지는 케

이온과두파이온의질량차이로생긴다는사실에주목해라.

질량을에너지로전환할수있는가능성을핵분열반응에서이용한다. 핵분열에서는무거

운원자핵이작은핵들로쪼개지면서엄청난양의운동에너지를방출하고, 열로전환되고궁극

적으로는 전기에너지로 전환된다. 핵분열은 핵발전의 기반이며 핵물리학에 관한 40장에서 자

세히다루겠다. 40장에서는핵융합도논의한다. 핵융합은핵분열과마찬가지로질량-에너지관

계에근거를두고있다. 대부분의별들은핵융합으로빛나고있다. 가까운미래에이용가능한

핵융합반응로를건설하여상업적으로전기를생산할것으로기대한다.

로렌츠변환

유도과정 12.3은 로렌츠 변환을 통해 틀 F의 위치벡터 r"과 t를 다른 틀 F�의 위치벡터 r

"�과 t�

으로표기할수있음을보여준다. 운동량과에너지는어떻게변환될까?

식 12.19에서 운동량 벡터는 p"

��mu"로 정의된다. 이것으로부터 에너지에 대한 식 12.22,

E��mc2가 따라 나온다. 속도는 u�x�(ux�v)/(1�vux/c2)의 관계를 통해 식 12.17을 사용해서

한틀에서다른틀로변환될수있다. 따라서운동량과에너지의로렌츠변환은

(12.31)

로 표기할 수 있다. 이 관계식의 증명을 연습문제로 남긴다. 로렌츠 변환의 도움으로

E2�p2c2�E�2�p�2c2 , 즉 E2�p2c2이로렌츠불변량이라는것을보일수있다. 이증명은유도과

정 12.4와완전히유사하며, 역시연습문제로남긴다.

이체충돌

로렌츠변환과로렌츠불변량은상대론적운동학에서흔한문제인이체충돌문제를다루는데

도움이 된다. E2�p2c2가 로렌츠 불변량임을 배웠다. 이 정의는 특정 틀에서 관측되는 두 입자

의에너지와운동량으로도확장될수있다(그림 12.15참조). (각입자는아래첨자 1과 2로표시

한다.)다음의관측량 S(단순히‘에스’로발음한다)를도입해보자.

442 12장 상대성

그림12.15 두관성틀에서두입자의운동량 벡터들. (a) 임의의 틀. (b) 질량중심틀.

(12.32)

여기서 E1, p"1은 입자 1의 총에너지와 운동량, E2, p

"2는 입자 2의 총에너지와 운동량이다.

E2�p2c2가 로렌츠 불변량이므로, S도 불변량이다. 따라서 관측량을 계산하기 가장 쉬운 한 틀

로 자유롭게 변환할 수 있다. 8장의 이체충돌에 관한 절에서 질량중심틀이 가장 편리했다. 질

량중심틀에서측정한양을위첨자 cm으로표기한다. 질량중심틀에서는두 입자의운동량벡터

가크기는정확히같고방향은반대인 p"1cm��p

"2cm이다(8장참조).이틀에서 S를계산하면

이다. 이 식은 S의 물리적 의미를 보여 준다. S의 제곱근은 두 입자의 에너지 합과 같다. 즉 질

량중심틀에서이용가능한총에너지로다음과같다.

(12.33)

따라서 'S는이체충돌의물리적과정에사용될수있는최대에너지에대한정보를제공한다.

두입자각각의에너지또한운동에너지와질량에너지의합이기때문에, 이관계식은

로도표기할수있다. 실용적인면에서흥미로운두관성틀중질량중심틀이외의다른하나는

실험실틀이다. 다음의보기문제는실험실틀과질량중심틀사이의유용한관계들을보여준다.

새로운입자를만들기위해서두양성자를충돌시킨다고가정하자. 두종류의가속기로충

돌시킬수있다. 어느정도의에너지를가진한양성자를실험실에정지해있는표적양성

자를 향해 쏘는 방법이 하나이다. 이것이 고정표적물가속기의 개요이다. 좀 더 복잡한 다

른방법은두양성자를같은운동에너지로가속시켜서반대방향으로충돌시키는것이다.이

기술은훨씬높은정 도를요구하지만, 큰질량중심에너지가필요할때는이점이많다.

문제

BNL에있는 RHIC는반대방향으로가속된 250 GeV의운동에너지를가진양성자빔을만

들수있다. 고정표적물가속기에서같은질량중심에너지에도달하는데필요한양성자빔

의운동에너지는얼마인가?

답

양성자의정지질량은mp�0.938 GeV/c2이다. 문제의운동에너지와비교하면매우작지만,

아래의 계산에서 무시하지 않기로 한다. 이렇게 하면 모든 종류의 빔에너지에 적용할 수

있는일반적인공식을얻을수있다.

질량중심틀에서이용가능한총에너지는m1�m2�mp 및K1cm�K2

cm��Kcm에서

(i)

12.7 상대론적 운동량과 에너지 443

충돌기대고정표적물가속기보기문제 12.6

이다. 고정표적물 가속기에서 사용되는 실험실틀에서는 모든 관성틀에서 유효한 식 12.32

에서 시작하여다음과같이계산할수있다.

대괄호항은각양성자의불변량인질량에너지의제곱이다. 식 12.27에따라치환하면

을얻는다. 양성자중하나, 가령양성자 1은정지해있다(p"1실험�0, E1

cm�mpc2).따라서 위

식의 스칼라곱 항이 0이다. 다른 양성자(양성자 2)에 대해서는 총에너지를 운동에너지 더

하기질량에너지로표기할수있으므로다음을얻는다.

(ii)

S가불변량이기때문에식 (i)과 (ii)를같게놓으면다음을얻는다.

이식에서실험실틀의운동에너지를구하면다음과같다.

분명히 양성자의 질량에너지에 비해서 빔 운동에너지가 작은

경우에는위의선형항이우세할것이다. (선형항은정확히비

상대론적인 계산에서 나오는 것이다. 8장과 비교해라.) 그러나

큰 운동에너지에 대해서는 그림 12.16에서 볼 수 있듯이 2차

항이 우세하다. 가속기의 비용이 운동에너지와 함께 증가한다

는 것을 안다면, 첨단 에너지 연구인 입자 및 핵물리학의 실험

에 필요한 질량중심 에너지를 얻기 위해서는 충돌기만이 가능

하다는사실을분명하게알수있다.

끝으로구체적인수치를알아보자. RHIC에서양성자빔의

값으로 각각 250 GeV의 질량중심 운동에너지를 최종결과 식에 넣어 보면, 134,000

GeV(134 TeV)가넘는빔에너지를갖는고정표적물가속기가필요함을쉽게알수있다.

지금까지는특수상대성에대해서만논의했다. 일반상대성이론은특수상대성의모든것을포함

할 뿐만 아니라, 추가로 중력이론을 제공한다. 뉴턴의 시대 이후로 하나의 중력이론이 성공적

444 12장 상대성

그림 12.16 양성자-양성자 충돌에서질량중심 운동에너지의 함수로 나타낸등가의 고정표적물 양성자빔의 운동에너지.

12.8 일반상대성

으로 사용되어 왔었다. 뉴턴의 중력이론에서 질량 m인 물체와 질량 M인 물체 사이에 작용하

는중력은다음과같이주어진다.

(12.34)

여기서질량m에작용하는힘과가속도를연관시키기위해뉴턴의제2

법칙을 사용했다. 이 방정식에는 질량m이 두 번 나타나는데, 거기에는

아주미세한차이가하나있다. 이방정식의우변에있는질량은 관성질

량이라고 부른다. 관성질량은 가속을 받는 질량이다. 그러나 중력에서

역할을 하는 양도 역시 질량인데, 이는 중력질량이다. 가장 정 한 실험

들에서조차실험의측정오차범위내에서관성질량과중력질량이정확

하게같다는사실을발견했다.

뉴턴의 중력이론은 대단히 잘 맞았으며, 모든 실험적 관찰들과 거

의 완벽하게 일치했다. 그러나 매우 정 한 관측들에서는 몇몇 작은 문

제점들이 생겨났다. 예컨대 수성의 정확한 궤도의 불일치 같은 문제로

서뉴턴의중력이론으로는설명할수없었다.

알베르트아인슈타인은 1907년에다시결정적인통찰력을발휘했다(그림 12.17참조).“만

약 사람이 자유낙하한다면, 자신의 무게를 느끼지 못할 것이다.”이관찰에따르면사람이가속되

는기준틀안에있는지또는중력의 향하에있는지구별할수없다는것을의미한다. 이개념

은다음과같은유명한등가원리(Equivalence Principle)를이끌어냈다.

회전없이자유낙하하는모든국소적실험실은모든물리적실험을수행하는데동등하다.

이 원리로부터 공간과 시간이 질량에 의해 국소적으로 구부러진다는 것을 보일 수 있으며, 굽

은 시공간이질량의운동에 향을미쳐서어떻게움직이는가를정해준다.

이개념은시각적으로그리기어려울것같지만한가지예가크게도움이된다. 2차원공

간을 상징하는 평평하고 얇은 고무판을 생각해 보자. 고무판 위에 볼링공을 놓으면 그림

12.18a처럼고무판이변형된다. 이렇게굽은표면을따라서굴러가는어떤질량도판의곡률을

경험하므로마치볼링공에이끌리는것처럼움직인다. 일반상대성의관점에서보면굽은시공

간에서 최단 경로를 따라 자유운동을 하는 것이다. 그림 12.18b에서는 두 번째 질량이 있으면

또다시공간변형을일으켜서서로의인력으로나타나지만원리는앞과똑같다.

일반상대성의가장놀라운예측중하나는빛의운동에관한것이다. 빛은질량이없기때

문에, 뉴턴의 중력은 빛의 운동에 향을 미칠 수 없다고 단정한다. 그러나 일반상대성이론에

12.8 일반상대성 445

그림 12.17 아인슈타인의 관찰. 자유낙하하는물체는무게가없어진다.

그림 12.18 무거운 질량체의 존재에의한공간의변형. (a)한물체가주변의공간을 변형시킨다. (b)두 물체는 서로의공간변형때문에서로끌어당긴다.

서는 빛은 굽은 시공간에서 최단 경로를 따라 움직이므로 무거운 질량의 존재에 의해 편향되

어야한다.

1919년의 일식 동안에 국의 천문학자 아서 에딩턴 경이 관측한 결과는 놀라운 예측이

맞음을확인했다. 그림 12.19는에딩턴의일식관측팀이찍은사진을보여준다.

역시 얇은 고무판 비유를 사용하여 무슨 일이 일어났는지 살펴보자. 태양 근처를 지나는

머나먼별에서온빛은그림 12.20처럼구부러진다. 태양의질량이렌즈처럼작용한것이다. 태

양의 양쪽 옆으로 진행하는 광선은 그림 12.20처럼 구부러진다. 그 결과 관측자는 하나의 별

대신에두개의별또는심지어는원호를보게된다. 에딩턴은 6개월후에태양이빛의경로근

처에 없는 밤에 별들의 사진을 찍어서 별들의 구부러지지 않은 방향을 측정했다. 관측된 변위

는먼별의 상지름의약 1/5이었다. 일반상대성은관측된 상과별의실제방향사이의각

분리를 1.74"로 예측했고, 관측된 각분리와 잘 일치했다. 이러한 측정은 일식 동안에만 가능하

다. 그렇지 않으면 태양에서 온 빛이 별에서 온 빛을 간단하게 압도해서, 중력 효과를 이런 방

식으로는 측정할 수 없다. 실제 관측결과의 통계적 정확도는 비판을

받았지만, 그후에몇번의일식에서측정한값들이에딩턴의관측결

과가진실임을확인했다.

HST를 사용한 최근의 관측으로 무거운 암흑물체에 의한 중력

렌즈 효과도 증명했다(그림 12.21참조).그림 12.21a는 보이지 않는

무거운암흑물체주위의굽은경로를따르는먼은하에서나온빛의

경로를보여준다. 중력렌즈효과로두개또는그이상의은하의

상을 만들거나, 빛의 원호들을 만들 수 있다. 무거운 암흑물체에 의

한중력렌즈의효과로생긴원호몇개를그림 12.21b에서볼수있다.

블랙홀

빛이 충분한 질량을 가진 물체에 충분히 가까이 왔을 때는 물체가 만든 시공간의 곡률로부터

빠져나갈수없다.‘충분히가깝다’가의미하는것은소위슈바르츠실트반지름(Schwarzschild

radius)으로다음과같이정의한다.

(12.35)

446 12장 상대성

그림 12.19 에딩턴의 일식 관측팀이1919년 5월 29일아프리카근처의프린시페섬에서 찍은 사진. 수평 막대는 별들의위치를표시한다.

그림 12.20 먼 별에서 온 빛은 태양근처에서 굽는다. 명확하게 하기 위해각도를 상당히 과장했다. 이 별들은 일식동안만태양근처에서보인다.

그림12.21 (a)무거운암흑물체에의한머나먼은하의중력렌즈현상. (b)중력렌즈효과로아벨 2218은하단주위에생긴원호들.

모든 질량은 쉽게 계산할 수 있는 슈바르츠실트 반지름을 가지고 있다. 고전적으로는 12장에

나온 탈출속력 v탈출�'∂∂2∂G∂Mß/ ßR을 광속과 같게 놓고 재정리하여 이 공식을 얻을 수 있다. 만약

슈바르츠실트반지름이물체의내부에놓인다면주목할만한일은일어나지않는다. 예를들어

지구의슈바르츠실트반지름은 (지구를지구와같은질량을가진점질량으로생각하면)

이다. 이 반지름은 인치보다 작으며 명백하게 지구의 반지름보다 무척이나 작다. 슈바르츠실

트반지름은질량M이반지름안에온전히포함될때만물리적의미를갖는다.

최초 질량이 태양질량의 약 15배보다 큰 상태로 시작한 별들은 생의 최후에 남긴 물체의

반지름이슈바르츠실트반지름보다더작을정도의고 도상태로붕괴한다. 이러한물체로부

터는 어떤 정보도 바깥으로 빠져나갈 수 없다. 이런 물체를 블랙홀(black hole)이라고 부른다.

(지구전체를 인치보다작은구로 집시키면블랙홀이될것이다.)우리은하를포함하여많

은은하들의중심에는태양질량의수백만배의질량을가진초거대질량블랙홀들이있다. 이미

12장에서매우무거운블랙홀의존재를지적했고, 보기문제 12.4에서블랙홀의질량이태양질

량의약 3.6�106배임을보 다.

중력파

일반상대성의특별히흥미로운예측중또하나는중력파의존재이다. 중력파동은강력한가속

운동 중인 거대질량에 의해서 생겨날 수 있다. 15장에서 이미 LIGO같은 현대식 검출기로 중

력파를검출하려는노력들을설명했다. LIGO는두개의관측소로구성되어있는데, 하나는워

싱턴주 핸퍼드에 있고, 다른 하나는 루이지애나주 리빙스턴에 있으며, 둘 사이의 거리는 3002

km이다. 훨씬 더 민감한 중력파 관측소 하나가 구상 중이다. 잠정적으로 LISA라는 이름이 붙

여진 것으로 우주공간에 건설할 계획이다. 한 변의 길이가 500만 km인 정삼각형으로 배열된

세개의우주비행선으로구성될것이다(그림 12.22참조).

아마도중력파를방출하는근원을관측할가장좋은기회는쌍성펄서라고생각한다. 이것

은 아주 가까운 거리에서 서로 공전하는 두 개의 중성자별(지름이 약 20 km인 극단적으로 작

은 고 도 별)로 구성되어 있으며, 그 중에 하나는 펄서(매우 정확한 시간간격으로, 대개는 수

ms에서수 s까지범위의전자기복사펄스를방출한다)이다. 쌍성펄서는매우강력한중력파를

방출한다. 쌍성계의 총에너지는 보존되어야 하므로 펄서의 공전주기는 시간이 가면서 짧아진

다. 1974년에러셀헐스의논문지도교수인조셉테일러가처음으로쌍성펄서를발견하여관측

했다. 두사람은 1993년노벨물리학상을공동수상했다. 그들은또한짧아지는공전주기가일

반상대성의예측과일치한다는것도보일수있었다.

대부분의 상대론적 효과는 우주공간에서, 불가능할 정도의 초고속에서, 또는 우주의 탄생초기

에서만중요할것이라고주장할지도모르겠다. 그러나한 역에서는상대성이사실상모든일

상과 접하고 있다. 바로 GGGGPPPPSSSS(Global Positioning System)이며, 지면 위 약 20,000 km높이에서

12

12

12.9 일상생활에서의 상대성: GPS 447

퀴즈문제12.8

질량이태양질량(m태양�1.99�1030

kg)의 14.6배인블랙홀의슈바르

츠실트반지름은얼마인가?

a) 43.2 cm b) 55.1 m

c) 1.55 km d) 43.1 km

e) 4.55�104 km

그림 12.22 차세대의 중력파 검출기로제안된 LISA의개념도.

12.9 일상생활에서의상대성: GPS

반 항성일의 주기로 지구궤도를 운행 중인 24개의 위성으로 구성되

어 있다(그림 12.23 참조). (1항성일�지구가 완전히 한 바퀴 자전하

여 밤하늘의 별들이 다시 같은 위치에 오는 데 걸리는 시간�

86,164.09074s� (1�1/365.2425)(86,400s).보기문제 9.3참조.)

GPS는모든위성에탑재된초정 도로동기화된시계들로운용

된다. 위성들에탑재된현대식원자시계는전형적으로 1013분의 1정

도의 시분할 안정성을 가지고 있다. 동기화된 타이밍 신호를 보냄으

로써, 위성들은 GPS수신기를 가진 사용자들이 시공간의 위치를 알

게해준다. 보통수신기는적어도 4개의위성에서오는신호를동시

에 감지할 수 있다. 위성 i에 대한 수신기의 상대적인 공간의 위치 r"r

과시간 tr을다음식으로결정할수있다.

(12.36)

각위성의위치와시간은알려져있으므로, 식 12.36은수신기시계의세공간좌표와시간좌표

인네미지수에대한방정식이다. 네위성을감지하면네미지수에대한네개의연립방정식을

얻는다. 이연립방정식을풀면약 1m의놀라운정 도를얻게된다.

이들연립방정식이성립하려면, 특수상대성의두번째가설에의지해야한다. 그러나다른

상대론적 효과들도 포함되어야 한다. 위성은 지구에 대하여 약 4 km/s의 속력으로 움직이고,

시간팽창효과는 1010분의 1정도로시계의진동수이동을일으킨다(위성의원자시계는지상의

시계에 비해 약 7 �s/일씩 늦어진다). 이 값은 무시할 수 있는 수준의 약 1000배 크기이다. 또

한 일반상대성에 의한 중력 보정도 최소한 같은 크기 정도는 된다. 따라서 상대성이론의 올바

른사용은GPS의올바른작동을위해서필수적이다.

448 12장 상대성

그림 12.23 궤도에 있는 GPS 위성.

(록히드마틴사사진제공)

무엇을 배웠는가 || 주요내용

� 빛은광원이나관측자의속도와무관하게항상같은속력

c�2.99792458�108 m/s로움직인다.

� 특수상대성의두가설은다음과같다.

(i)물리법칙은 모든 관성기준틀에서 동일하고, 기준틀의

운동과는무관하다.

(ii)광속 c는모든기준틀에서같다.

� 무차원양 � � 1와 � � 1는다음과같이정의한다.

� 시간은관측자속력의함수로서다음과같이팽창한다.

여기서 t0는정지틀에서측정한고유시간이다.

� 운동방향의 길이는 관측자 속력의 함수로서 다음과 같이

수축한다.

여기서 L0는정지틀에서측정한고유길이이다.

� 움직이는광원에서나온빛의상대론적진동수이동은

이고, 이에해당하는파장의보정은

이다. 적색이동매개변수는다음과같이정의한다.

새 기호와 주요 방정식 449

� 공간과시간좌표에대한로렌츠변환은다음과같다.

� 상대론적속도변환은

이고, 역변환은다음과같다.

여기서모든속도는같은방향이다.

� 입자의정지에너지는 E0�mc2이다.

� 운동량의 상대론적 표현은 p"

��mv"이고, 에너지는

E��E0��mc2이다.

� 에너지와운동량의관계는 E2�p2c2�m2c4이다.

� 운동량과에너지에대한로렌츠변환은다음과같다.

� 로렌츠불변량

은질량중심틀에서이용가능한총에너지의제곱이다.

� 일반상대성이론의등가원리: 회전없이자유낙하하는모든

국소적실험실은모든물리실험을수행하는데동등하다.

� 무거운물체의슈바르츠실트반지름은다음과같다.

주요용어

GPS(Global Positioning System)

갈릴레이변환(Galilean transformation)

고유길이(proper length)

고유시간(proper time)

관성기준틀(inertial reference frame)

광원뿔(light cone)

길이수축(length contraction)

등가원리(Equivalence Principle)

로렌츠변환(Lorentz transformation)

불변량(invariants)

블랙홀(black hole)

상대론적 속도 덧셈(relativistic velocity

addition)

상대론적 진동수이동 (relativistic

frequency shift)

세계선(world line)

슈바르츠실트 반지름(Schwarzschild

radius)

시간팽창(time dilation)

시공간(space-time)

에테르(aether)

적색이동(red-shifted)

적색이동매개변수(red-shift parameter)

정지질량(restmass)

청색이동(blue-shifted)

새 기호와 주요 방정식

��|v"/c|, 광속단위의속력

��1/'∂1∂� ßß�2, 상대론적인자

t��t0, 시간팽창

L�L0/�, 길이수축

u, u�, 상대론적속도변환에서사용하는속도표기

p"

��mv", 상대론적운동량

E��E0��mc2, 상대론적에너지

E0�mc2, 질량m인정지입자의에너지(정지에너지)

'S, 충돌하는 두 입자의 질량중심틀에서 이용 가

능한총에너지

, 슈바르츠실트반지름

어떤 경우에 입자물리학자들은 양성자빔과 정확하게 똑같은 속도를 가진 전자빔을 필요

로한다. 양성자는mpc2�938MeV이고, 전자는mec

2�0.511MeV이다.

문제

양성자빔의운동에너지가 2.50 GeV이면, 전자빔에필요한운동에너지는얼마인가?

풀이

생각하기

속도 v가 같은 입자들은 같은 �를 갖는다. 전자와 양성자에 대하여 �, 총에너지, 정지질량

을연결하는관계식들을사용하여 �를얻은다음에같도록놓을수있다. 입자의총에너지

는정지질량더하기운동에너지와같다. 그리고필요한전자의운동에너지에대하여풀수

있다.

그리기

그림 12.24는같은속도로움직이는전자와양성자의대략적인그림이다.

조사하기

입자의에너지 E와 �는다음과같이관련된다.

450 12장 상대성

확인문제 해답

11112222....1111 1 광년�(3.00�108 m/s)(365.25일/년)(24시간/일)(3600 s/

시간)�9.47�1015 m

11112222....2222

5%효과:

정확한계산: �0.31�c의31%

어림계산: �0.32�c의32%

50%효과:

정확한계산: �0.75�c의75%

11112222....3333

(�2으로나눈다.)

(x�을뺀다.)

(v로나눈다.)

(재정리한다.)

(�를곱한다.)

11112222....4444

문제풀이 능력 키우기

문제풀이요령

1111.... 상대론문제풀이의첫번째단계는정보를확인하는것이다.

문제와 관련된 사건은 무엇인가?기준틀들은 무엇인가?고유시

간은 무엇이며, 고유길이는 무엇인가? 12.3절을 복습하고, 어떻

게고유시간과고유길이를파악하는지확인해라.

2222.... 상대성이론이 미묘하므로 구한 답의 재확인이 매우 중요하

다. 정지틀에 대해 움직이고 있는 기준틀에서 시간은 팽창되고

길이가수축되었는지확인해라.

3333.... 로렌츠변환식을사용할때는두기준틀과그들사이의속도

방향은물론각틀에서의운동속도를확인해라.

그림12.24 같은속도를가진전자와양성자.

같은속도풀이문제 12.3

따라서 전자의 에너지는 Ee��mec2으로, 양성자는 Ep��mpc

2으로 표기할 수 있다. 전자와

양성자의 �를같다고놓으면다음을얻는다.

전자의 에너지는 운동에너지와 정지에너지의 합으로 Ee�Ke�mec2이다. 마찬가지로 양성

자의에너지를 Ep�Kp�mpc2으로표기한다.

단순화하기

앞의식들을결합하여다음을얻는다.

이식에서전자의운동에너지를구하면다음과같다.

계산하기

수치들을넣어서계산하면다음을얻는다.

반올림하기

유효숫자세자리로반올림하면다음과같다.

재확인하기

전자와양성자에대한 �를계산하여최종결과를재확인할수있다. 전자의 �는

이고, 양성자는다음과같다.

이것은반올림오차범위내에서전자에대한계산결과와일치한다. 따라서최종결과는타

당해보인다.

문제풀이 능력 키우기 451

452 12장 상대성

객관식 문제

11112222....1111 에테르에대해서배운가장중요한사실은무엇인가?

aaaa)))) 에테르는존재하지않는것으로실험적으로증명되었다.

bbbb))))에테르의존재가실험적으로증명되었다.

cccc)))) 에테르는빛을모든방향으로동등하게투과시킨다.

dddd)))) 에테르는빛을세로방향으로더빠르게투과시킨다.

eeee)))) 에테르는빛을세로방향으로더느리게투과시킨다.

11112222....2222 만약우주선 A가정지한관측자에상대적으로광속의 70%로여행하고, 우주선 B는 정지한 관측자에 상대적으로 광속의 90%로 여행한다면, 우주선 B에있는관측자가측정한가장큰속도는무엇인가?

aaaa)))) A의기준틀에서측정할때광속의 50%로A에서 B로발사한포탄bbbb)))) B의기준틀에서측정할때광속의 50%로 B에서A로던진공cccc)))) 정지한 기준틀에서 측정할 때 광속의 70%로 정지한 관측자에서 B

를향해쪼인입자빔dddd)))) A의기준틀에서측정할때A에서 B를향해광속으로움직이는빛살eeee)))) B의기준틀에서측정하면위의모든속도는동일하다.

11112222....3333 정지질량m0의입자가속력 v�0.20c로움직인다. 입자의운동량이 원래 운동량의 두 배로 증가하려면 입자는 얼마나 빨리 움직여야하는가?

aaaa)))) 0.40c bbbb)))) 0.10c cccc)))) 0.38c

dddd)))) 0.42c eeee)))) 0.99c

11112222....4444 다음중무엇이불변량인가?즉무엇이모든기준틀에서같은값을갖는가?

aaaa)))) 시간간격 t bbbb)))) 공간간격 x

cccc)))) 속도 v dddd)))) 시공간간격 c2(t)2�(x)2

11112222....5555 쌍둥이 A와 B가 머나먼 우주에서 반대방향 c/4의 상대속력으로움직이는 비슷한 로켓에 타고 있다. 얼마 후에 쌍둥이 A가 선회해서쌍둥이 B를향해돌아가면서상대속도가반대방향으로 c/4가된다. 그들이 다시 만났을 때, 한 쌍둥이가 더 젊은가?만약 그렇다면 어느 쌍둥이가더젊은가?설명해라.

aaaa)))) 쌍둥이A가더젊다. bbbb)))) 쌍둥이 B가더젊다.

cccc)))) 쌍둥이들은같은나이이다.

dddd)))) 각쌍둥이는상대방이더젊다고생각한다.

11112222....6666 운동량 3.0 GeV/c인 양성자는 관측자에 상대적으로 얼마의 속력으로움직이는가?

aaaa)))) 0.31c bbbb)))) 0.33c cccc)))) 0.91c

dddd)))) 0.95c eeee)))) 3.2c

11112222....7777 기준틀에 정지해 있는 면적 100 m2의 정사각형이 속력 ('3/2)c

로움직이고있다. 다음중무엇이옳은가?

aaaa)))) ��'3/2 bbbb)))) ��2

cccc))))정지한관측자에게는면적이 100m2보다작은정사각형처럼보인다.

dddd)))) 움직이는방향의길이는 로수축된다.

11112222....8888 0.5c 이하의속력으로움직이는입자를생각해보자. 만약입자의속력이두배로증가하면, 운동량은몇배로증가하는가?

aaaa)))) 2배이하 bbbb)))) 2배 cccc)))) 2배이상

12

설명문제

11112222....9999 역학에서는 완벽한 강체 모형으로 물리적 물체의 운동을 결정한다(예를 들어 회전을 다룬 10장을 참조해라).이 모형이 아인슈타인의특수상대성이론과어떻게모순이되는지설명해라.

11112222....11110000 다음 문제는 광원뿔과 세계선을 사용하면 도움이 된다. 에디와마틴은 물풍선을 과녁에 아주 빠르게 던지고 있다. t��13 �s에 과녁은 x�0,에디는 x��2 km,마틴은 x�5 km에있다. 그리고모두들언제나 같은 위치에 남아 있다. t�0에 과녁이 맞았다. 누가 성공적으로쏘았는가?과녁에 대한 광원뿔을 사용해라. 과녁에 맞았을 때 전파신호가 방출된다. 마틴은 과녁에 맞았다는 것을 언제 아는가?에디는 과녁에 맞았다는 것을 언제 아는가?세계선을 사용해라. 도표를 그리기전에 다음을 고려해라. 만약 위치 x가 km 단위이고, t 대 x/c를 그린다면, 첫번째유효숫자까지, t는어떤단위이어야하는가?

11112222....11111111 중력렌즈는원호가아니라후광효과를만들어야한다. 빛이사이에 끼인 무거운 물체의 오른쪽과 왼쪽뿐만 아니라 위쪽과 아래쪽으로지나가더라도, 왜대부분원호만을보는가?

11112222....11112222 친구에게 상대성이론을 설명하면서 어떤 것도 300,000 km/s보다더빨리갈수없다고설명했다고하자. 친구는다음과같이말하면

서 명백하게 틀렸다고 주장한다.“상대성이론에서 완벽하게 가능한200,000 km/s로 운행하는 우주비행선에서 또한 상대성이론으로 완벽하게가능하도록우주비행선에대한상대속력 200,000 km/s로어뢰를전방을향해발사하면어뢰의속력은 400,000 km/s이다.”친구에게어떻게대답하겠는가?

11112222....11113333 전류가 흐르는 전선에 평행하게 전류의 방향으로 일정한 속력으로움직이는양으로대전된입자를생각해보자. (27장과 28장을공부한 후에)알았듯이, 입자는 전류가 만드는 자기력에 의해 전선 쪽으로 끌려간다. 이제 다른 관측자가 입자와 함께 움직인다고 가정하자.

관측자는 입자가 정지해 있다고 본다. 물론 정지한 입자는 자기력을전혀 받지 못한다. 관측자는 입자가 전선 쪽으로 끌리는 것을 보는가,

못 보는가?왜 그런가? (둘 중의 어느 답도 모순에 이르는 것 같다. 만약 입자가 끌린다면, 자기력은 없기 때문에, 반드시 전기력이 있어야한다. 그러나 중성인 전선이 만드는 전기장은 없다. 만약 입자가 끌리지않는다면, 사실상입자가전선쪽으로움직이는것을보게된다.)

11112222....11114444 정지한로켓의총길이는 L이다. (가장싼값을부른입찰자가로켓을위해건설한)고정된격납고의길이는단지 L/2에불과하다. 다행

연습문제 453

히격납고에는앞문과뒷문이있어서로켓이 v�0.866c의속력으로날아가면로켓이격납고길이에완벽하게들어맞는다. 그러나로켓조종사에 따르면, 로켓의 길이는 L이고 격납고의 길이는 L/4이다. 로켓 조종사는로켓이격납고에들어맞지않는다는것을어떻게관측하는가?

11112222....11115555 지구에정지해있는막대가 x축과 10�의각도를이루고있다. 만약 막대가 x축을 따라 움직인다면, 지면에 있는 관측자가 보는 각도는어떻게되는가?

11112222....11116666 광속의 절반으로 지구의 적도를 향해 날고 있는 우주비행선 안의 한 우주비행사에게는 지구가 옆으로 넓고 길쭉하며, 긴 축 주위로회전하는타원체처럼보인다. 광속의절반으로지구의북극을향해날아가는 두 번째 우주비행사에게는 지구가 비슷한 타원체이지만 짧은축에대하여회전하는것으로보인다. 왜모순이아닌가?

11112222....11117777 지구틀에 대해 상대적으로 양의 x방향 v의 속력으로 움직이는기준틀에 있는 관측자들이 운반하는 두 시계를 생각해 보자. 두 기준틀의 축은 평행하고, 원점에 있는 두 시계가 0일 때 두 기준틀의 원점이 일치한다고 하자. 두 시계는 각각의 기준틀에서 x�방향으로 거리 l

만큼 떨어져 있다. 예컨대 두 시계 모두 y��z��0이면서 한 시계는x��0에있고, 다른시계는 x��l에있다. 두시계의시간 t�을지구틀의시간 t의함수로구해라.

11112222....11118888 모든 경우에 광속 이하의 두 속도가‘상대론적으로’더해지면항상광속이하의속도가된다는것을증명해라. 1차원공간의운동만고려해라.

11112222....11119999 뉴턴 동역학에서 유명한 결과 중 하나는 움직이는 입자가 정지해 있는 동일한 입자와 탄성충돌하면, 충돌 후 두 입자는 서로 수직으로 움직인다는 것이다. 특수상대성이론에서도 동일하게 성립하는가?

정지질량m, 총에너지 E인 입자가 정지해 있는 동일한 입자와 탄성충돌하여 두 입자가 새로운 속도로 움직인다고 가정하자. 두 속도는 필연적으로수직인가?설명해라.

11112222....22220000 지상에서 광속의 80%로 지구궤도를 돌고 있는 우주비행선을관측한다고하자. 궤도의중심에서봤을때우주비행선의길이는얼마인가?

연습문제

각장의푸른색문제번호는문제풀이집에풀이한문제를나타낸다. 또한푸른점 •와 ••은문제의난이도를표시한다.

11112222....1111절과 11112222....2222절

11112222....22221111 광속을 ft/ns단위로유효숫자세자리까지구해라.

11112222....22222222 지표면에서 중력가속도 g의 값을 광년/년 단위로 유효숫자 세자리까지구해라.

11112222....22223333 마이컬슨과 몰리는 찾을 수 있을지 모르는 에테르 속에서 지구의 운동에 관계없이 광속은 일정하다는 것을 보이기 위하여 간섭계를사용했다. 이것은등속력 u로흐르는강에서보트가두개의다른경로를 왕복하는 데 걸리는 시간의 차이로 비유할 수 있다. 하나는 거리 D

로강을곧장가로질러갔다가되돌아오는경로이고, 다른하나는같은거리 D를 상류로 올라갔다가 되돌아오는 경로라고 하자. 왕복하는 동안에보트는 (물에대하여)등속력 v로움직이고, 배가선회하는데걸린시간은무시한다고가정해라. 강을가로질러오가는시간을상류-하류로오가는시간으로나눈비율을주어진속도의함수로구해라.

11112222....22224444 0.8c의속력으로움직이는입자의 � 값은얼마인가?

11112222....3333절

11112222....22225555 0.50c의속력으로비행하는우주비행선에서우주비행사가미터자하나를운동방향과평행하게잡고있다.

aaaa)))) 우주비행선의 다른 우주비행사가 측정하는 미터자의 길이는 얼마인가?

bbbb)))) 만약지구에있는관측자가측정한다면미터자의길이는얼마인가?

11112222....22226666 우주비행선이지구에서달까지직선으로거리 3.84�108 m를비

행한다. 지구에서측정한우주비행선의속력은 0.50 c이다.

aaaa)))) 지구에있는시계로비행시간은얼마인가?

bbbb)))) 우주비행선에있는시계로비행시간은얼마인가?

cccc)))) 우주비행선에서 우주비행사가 측정한 지구와 달 사이의 거리는 얼마인가?

11112222....22227777 30살 엄마가 10살 아들에게 작별하고 성간여행을 떠난다. 그녀가지구로돌아왔을때, 그녀와그녀의아들둘다 40살이다. 우주비행선의속력은얼마인가?

11112222....22228888 광속의 90.%로 움직이는 뮤온의 수명은 실험실의 정지틀에서측정한수명 2.2�10�6 s와비교해서어떻게되는가?

11112222....22229999 10.0m 길이의소방차가 8.00m 길이의차고에 (적어도일시적으로)맞춰 들어갈 필요가 있다. 차고 길이에 완벽하게 맞추려면 소방차는 얼마나 빨라야 하는가?소방차가 차고 안으로 들어가는 데 걸리는시간은다음의관점에서각각얼마인가?

aaaa)))) 차고의관점 bbbb)))) 소방차의관점11112222....33330000 쥘베른의고전소설『80일간의세계일주』에서, 필리어스포그는자신의계산에따라서는 81일동안세계를일주했지만, 날짜변경선을지났기때문에실제로는 80일만에세계를일주한것이다. 시간팽창으로 80일이 81일이 되려면 그는 얼마나 빨리 가야 하는가? (물론 이 속력에서는세계를도는데 1일보다훨씬덜걸릴것이다.)

•11112222....33331111 NASA가태양과같은별을돌고있는지구와같은행성을발견했다고 가정하자. 이 행성은 우리 태양계로부터 35광년 떨어져 있다.

NASA는 행성으로 우주비행사를 보내는 계획을 수립하면서, 여행 동안에우주비행사가 25살이상나이를먹지않는다는조건을달았다.

aaaa)))) 지구의 기준틀에서 여행하는 동안에 우주비행사가 25살을 먹으려

454 12장 상대성

면우주비행선은얼마의속력으로여행해야하는가?

bbbb)))) 우주비행사에따르면여행거리는얼마인가?

•11112222....33332222 기준틀 F에 정지해 있는 미터자를 고려하자. 미터자는 xy평면에 놓여 있고, x축과 37�의 각도를 이룬다. 기준틀 F는 다른 기준틀 F�

의 x축에평행한등속력 v로움직인다.

aaaa)))) F�에서 x축과 45�의각도로측정한미터자의속도는무엇인가?

bbbb)))) F�에서미터자의길이는얼마인가?

•11112222....33333333 너비 20.0 m,길이 50.0m인이등변삼각형모양의우주비행선이 0.400c의 속력으로 비행한다. 정지한 관측자가 측정한 우주비행선의 밑변과 옆변 사이의 각도는 얼마인가?이 각도를 우주비행선 속력의함수로그려라.

11112222....4444절

11112222....33334444 푸른색빛(480nm)이빨간색빛(660nm)으로보이려면푸른색빛에상대적으로얼마나빨리움직여야하는가?

11112222....33335555 물리시간에 상대론적 진동수이동을 배우자마자, 파티에서 친구들을 깜짝 놀라게 하려고 다음과 같이 말한다. 정지신호등을 그냥 통과하여 경찰에 걸렸을 때, 상대론적 도플러 이동 때문에 파장 650 nm

의 빨간색 빛을 파장 520 nm의 초록색 빛으로 보았다고 설명하여 딱지를 떼지 않았다고 말한다. 이 얘기가 사실이라면, 얼마나 빨리 달려야하는가?

11112222....33336666 순수한 크립토나이트(그렇다. 크립토나이트가 실제로 존재하지않는 것을 잘알고 있다.)로이루어진 운석이 지구를 향해움직인다고가정하자. 운석이지구에부딪치면지구상모든생명체의존망을위협할 정도로 심각한 피해를 줄 것이다. 만약 레이저가 560 nm의 파장으로 운석을 맞히면, 전체 운석이 폭발해 버린다고 하자. 지구에서 충분한 출력을 가진 유일한 레이저의 파장은 532 nm이다. 과학자들은 레이저를 우주비행선에 실어 보내서 특수상대성을 이용하여 원하는 파장을얻기로결정했다. 운석은매우천천히움직이므로상대속도에의한 보정은 필요 없다고 하자. 레이저가 원하는 파장을 가지려면 우주비행선은얼마의속도로움직여야하는가?운석을향하여움직여야하는가, 운석에서멀어지게움직여야하는가?

11112222....33337777 레이더속도측정기는방출한전자기파가되돌아올때발생하는도플러이동을관측해서속도를측정한다. 32.0 km/h의속력으로움직이는 자동차를 향해서 진동수 10.6 GHz의 파동을 보냈다고 가정하자.

방출된 파동의 진동수와 자동차에 있는 관측자가 검출하는 진동수의차이는얼마인가?

•11112222....33338888 멀리 떨어진 우주정거장을 향해 움직이는 우주비행선에 탑재된 He-Ne 레이저가 우주정거장을 향하여 빨간색 레이저광선을 방출한다. 우주비행선에 탑재된 파장계로 측정한 광선의 파장은 632.8 nm

이다. 만약 우주정거장의 우주비행사가 파장 514.5 nm의 푸른색 빛으로 광선을 측정한다면, 우주정거장에 대한 우주비행선의 상대속도는얼마인가?이경우적색이동매개변수 z는얼마인가?

11112222....5555절과 11112222....6666절

11112222....33339999 샘은다음의두사건을동시에보고있다.

((((iiii)))) 사건A는지점 (0,0,0)에서보편시간 0:00:00에일어난다.

((((iiiiiiii)))) 사건 B는지점 (500.m,0,0)에서같은순간에일어난다.

0.999c tx의속력으로샘을지나가는팀또한두사건을관측한다.

aaaa)))) 팀의기준틀에서는어느사건이먼저일어나는가?

bbbb)))) 팀의 기준틀에서 첫 번째 사건이 일어나고 얼마 후에 두 번째 사건이일어나는가?

11112222....44440000 상대론적속도덧셈을사용하여어떤관성기준틀에서도광속이c임을재확인해라. 공통의 x축에대한 1차원운동을가정해라.

11112222....44441111 지면에 대한 상대속력 v�50.0 m/s로 직선 고속도로를 달리는자동차에서 반대방향 같은 속력으로 다가오는 자동차의 속력을 측정하면얼마인가?

11112222....44442222 0.90c로 지구에 접근하는 우주비행선에서 지구를 향해 우주비행선에 대한 상대속력 0.50c로 미사일을 발사한다. 지구에서 보면 미사일은얼마나빨리지구에접근하는가?

11112222....44443333 쌍둥이역설의예에서, 앨리스는 3.25광년떨어진우주정거장을향해 속력 0.65c인 우주비행선을 타고 갔다가 돌아온다. 앨리스가 측정할 때, (a) 앨리스가 여행한 전체거리를 계산해라. (b) (a)의 전체거리로전체여행시간을계산해라.

•11112222....44444444 쌍둥이 역설의 예에서, 앨리스는 3.25광년 떨어진 우주정거장을향해속력 0.650c인우주비행선을타고갔다가돌아온다. 지구로돌아올때앨리스의기준틀에서살펴보자.

aaaa)))) 지구에 대한 상대속도 0.650c를 가지려면, 앨리스의 속력이 0.914c

임을보여라.

bbbb)))) (a)의속력으로앨리스의비행시간을계산해라.

•11112222....44445555 길이 100. m인 기차의 뒤쪽 끝에 서 있는 로버트가 기차의 앞쪽을향해 0.300c의속도로화살을쏜다. 기차가 0.750c의속도로플랫폼을지나갈때플랫폼에서있는제니는모든것을보았다. 제니가관측한다음의값을구해라.

aaaa)))) 기차의길이 bbbb)))) 화살의속도cccc)))) 화살이기차길이를다지나가는데걸리는시간dddd)))) 화살이지나간거리••11112222....44446666 1차원공간의운동을고려하자. 어떤속도 v에대해서, 매개변수 를 관계식 v�c tanh 로 정의하며, c는 진공에서의 광속이다. 이속도 v를속도 매개변수 또는신속도라고부른다.

aaaa)))) 로렌츠의규칙에따라더해지는두속도에해당하는속도매개변수들은 대수적으로 더해진다. 즉 갈릴레이 속도변환처럼 더해짐을 증명해라.

bbbb)))) x방향속력 v로상대적으로움직이는두기준틀을고려하자. 축들은평행하고두기준틀의원점에있는시계가 0일때원점이일치한다. 두좌표계 사이의 로렌츠 변환을 v에 해당하는 속도 매개변수와 좌표들로표기해라.

연습문제 455

11112222....7777절

11112222....44447777 운동량 p�mc인입자의속력은얼마인가?

11112222....44448888 전자의정지질량은 0.511MeV/c2이다.

aaaa)))) 운동에너지가 정지에너지의 10배가 되려면 전자는 얼마나 빨리 움직여야되는가?

bbbb)))) 이속력에서전자의운동량은얼마인가?

11112222....44449999 RHIC는 질량중심틀에서 운동에너지가 각각 A�100. GeV인 금핵의충돌빔을만들수있다. 여기서 A는금의핵자수(197)이다. 핵자의 질량에너지는 약 1.00 GeV로 어림할 수 있다. 이 경우에 고정표적물의등가에너지는얼마인가? (보기문제 12.6참조.)

11112222....55550000 정지한 양성자를 0.997c의 속력까지 가속하는 데 필요한 일은얼마인가?

11112222....55551111 암치료에 사용하는 양성자 가속기에서 양성자는 0.61c까지 가속된다. 양성자의에너지를MeV 단위로표기해라.

•11112222....55552222 어떤양성자가속기에서두양성자빔이마주보고가속되어정면충돌을 한다. 가속기에서 양성자는 실험실에 대한 상대속력 0.9972c

로움직인다.

aaaa)))) 정면충돌하려는 한 양성자에 대한 다른 양성자의 접근속력을 계산해라. 답을유효숫자 6자리까지 c의배수로표기해라.

bbbb)))) 실험실 기준틀에서 각 양성자빔의 운동에너지는 (MeV단위로)얼마인가?

cccc)))) 한 양성자의 정지틀에서 충돌하는 다른 양성자의 운동에너지는(MeV 단위로)얼마인가?

•11112222....55553333 음극선관전자총의뜨거운필라멘트는운동에너지가거의 0인전자들을방출한다. 방출된전자들은관의스크린형광물질을향해나아가기전에, 5.00 kV의퍼텐셜차로가속된다.

aaaa)))) 전자를 가속시키는 퍼텐셜차에서 전자가 얻는 운동에너지를 계산해라.

bbbb)))) 전자는상대론적속도로움직이는가?

cccc)))) 전자의 총에너지와 운동량은 얼마인가? (두 양 모두에 대하여 상대론적및비상대론적값을각각구해라.)

11112222....55554444 질량m1과m2인두입자의상대론적속력에서 1차원충돌을고려하자. 0.700c의 속력으로 움직이는 입자 1이 정지해 있는 입자 2와충돌한다. 충돌 후에 입자 2는 0.200c의 속력으로 움직이고, 입자 1은0.500c의속력으로되튀긴다. 질량비율m2/m1은얼마인가?

•11112222....55555555 기본입자실험에서질량m의입자가운동량mc로질량 2'2m

인표적입자를향해발사된다. 두입자는완전비탄성충돌하여새로운단일입자를형성한다. 다음을구해라.

aaaa)))) 충돌전발사체의속력 bbbb)))) 새로운입자의질량 cccc)))) 충돌후새로운입자의속력•11112222....55556666 한 관성틀에서 다른 관성틀로의 운동량과 에너지의 변환이p�x��(px�vE/c2), p�y�py, p�z�pz, E���(E�vpx)임을 보여라. 귀띔: 시공간로렌츠변환의유도과정을참조해라.

•11112222....55557777 E2�p2c2�E�2�p�2c2 , 즉 E2�p2c2이 로렌츠 불변량임을 보여

라. 귀띔: 시공간간격이로렌츠불변량임을유도한과정을참조해라.

11112222....8888절과 11112222....9999절

11112222....55558888 특수상대성이론의평평한시공간에서중력이작용하는지구근처의 시공간 기하의 편차는 �/c2로 잴 수 있다. 여기서 �는 지표면에서뉴턴의중력퍼텐셜이다. �/c2의값을구해라.

11112222....55559999 다음의질량을가진블랙홀의슈바르츠실트반지름을계산해라.

a)태양b)양성자. 이 결과와 양성자의 크기 정도인 10�15 m를 어떻게 비교할수있는가?

11112222....66660000 지구에 대한 GPS위성의 상대속력이 약 4.00 km/s라고 가정하자. 지구에정지한원자시계와비교해서위성에있는원자시계는하루에얼마씩느리게가는가?

11112222....66661111 은하수의중심에있는블랙홀의슈바르츠실트반지름을계산해라. 귀띔: 블랙홀의질량은보기문제 12.4에서구했다.

추가문제

11112222....66662222 50.0 ft 길이의리무진이 35.0 ft 길이의차고에맞춰들어가려면,

차고의기준틀에서리무진운전사는얼마나빨리차를몰아야되는가?

리무진의기준틀에서차고에는무슨일이일어나는지언급해라.

11112222....66663333 상대론적 표현을 사용하여 하나는 2.00�108 m/s, 다른 하나는2.00�103 m/s로움직이는두전자의운동량을비교해라. 고전적운동량과이값들사이의백분율차이는얼마인가?

11112222....66664444 로켓 A가 0.75c의속력으로지구를지나간다. 같은시간에로켓B가 같은 방향으로 지구에 대한 상대속력 0.95c로 지구를 지나간다. B

가A를지나갈때, A에대한 B의상대속력은얼마인가?

11112222....66665555 먼저 뉴턴 역학을 사용한 다음에 특수상대성이론을 사용하여,

0.9900c와 0.9999c로움직이는전자의운동에너지차이를각각구해라.

11112222....66666666 이륙 직전에 마을 A에서 마을 B로 날아가는 비행기의 승객이자신의시계를마을 B에서기다리고있는친구의시계와맞췄다. 비행기는등속력 240m/s로비행한다. 비행기가지면에닿는순간에두친구는 동시에 각자 시계의 시각을 확인했다. 비행기 승객의 시계로 마을 A에서마을 B까지정확히 3.00시간이걸린다. 어떤가속효과도무시해라.

aaaa)))) 마을 B에서기다리는친구시계의시간간격은더짧은가, 더긴가?

bbbb)))) 두시계의시각차이는얼마인가?

11112222....66667777 제2차 세계대전이 끝날 즈음에 히로시마에 떨어진 원자폭탄의폭발력은 약 TNT 15.0킬로톤이다. 1킬로톤은 약 4.00�1012 J의 에너지에해당한다. 폭탄에서에너지로전환된질량을구해라.

11112222....66668888 어떤속력에서미터자의길이가 90.0 cm로보이는가?

11112222....66669999 지구의 관측자가 측정한 0.600c의 속력으로 서로 마주 보고 접근하는두물체의상대속력은얼마인가?

11112222....77770000 옛날 노래에“내 캐딜락을 운전하는 동안, 놀랍게도 크기가 1/3

인 작은 내시 램블러가 나를 따르고 있다.”라는 가사가 있다. 이 노래

456 12장 상대성

의가수는내시램블러가비슷한속도로운전한다고가정한다. 실제로캐딜락크기의 1/3이아니라램블러의고유길이가캐딜락과같다고가정하자. 노래의 가사가 정확하려면, 캐딜락에 대한 램블러의 상대속도는얼마가되어야하는가?

11112222....77771111 수업에 늦은 것에 대한 핑계로 나머지 세상에 대한 상대운동으로 인한 시간팽창을 들이대서는 안 된다. 교실에 정지해 있는 사람들에게 상대적으로 시간이 천천히 간다는 것은 사실이지만, 그 차이는무시할 만하다. 주말에 미국 중서부에 있는 대학에서 뉴욕까지 한 방향으로 20.0시간 동안 운전하여 총 2200.0마일을 왕복했다고 가정하자. 당신의시계는교수의시계와얼마나차이가나겠는가?

11112222....77772222 우주비행선이 정지한 소행성을 향해서 광속의 2/3로 여행하고있다. 만약 우주비행선이 전조등을 켠다면, 우주비행선에서 소행성으로가는빛의속력은다음의경우에각각얼마인가?

aaaa)))) 우주비행선에있는누군가가관측할때bbbb)))) 소행성에있는누군가가관측할때11112222....77773333 두 정지우주정거장 중 한 우주정거장에 있는 누군가가 측정한두 우주정거장의 거리는 100광년이다. 우주비행선이 한 우주정거장에서다른우주정거장을향해서우주정거장에대한상대속력 0.95c로비행한다. 우주비행선에서 측정하면 다른 우주정거장에 도착하는 데 걸리는 시간은 얼마인가?우주정거장에서 측정하면 한 우주정거장에서다른 우주정거장으로 비행한 우주비행선의 여행자에게 걸린 시간은얼마인가?

11112222....77774444 정지한 전자가 1.0�106 V의 퍼텐셜로 가속된다. 최종속력은 얼마인가?

11112222....77775555 성간여행의시대에, 지구로부터 2000.0광년떨어진흥미로운별로의 탐험을 준비하고 있다. 탐험자들을 성공적으로 모집하기 위하여별까지 왕복해도 정상적인 인간수명의 10.000%보다 더 걸리지 않는다고 보장한다. (그 시기에 정상적인 인간수명은 400.00년이다.) 탐험대를나르는우주비행선의최소속력은얼마인가?

•11112222....77776666 속력 0.800c,운동량 1.00�10�20 Ns인입자의에너지는얼마인가?

•11112222....77777777 고속 미식축구경기에서, 경기장에 대한 상대속력이 광속의55.0%인러닝백이경기장에대한상대속력이광속의 65.0%이고같은방향으로달리는리시버에게공을던진다. 러닝백에대한공의상대속력은광속의 80.0%이다.

aaaa)))) 리시버가인식하는공의속력은얼마인가?

bbbb)))) 만약 러닝백이 리시버에게 손전등을 비추면, 리시버가 인식하는 광자의속력은얼마인가?

•11112222....77778888 운동에너지가 질량에너지의 0.305배인 전자의 방출원으로 14C

가 있다. 전자들을 방해하지 않고 전자의 통과를 검출할 수 있는 검출기 한 쌍이 있다고 가정하자. 이제 운동량에 대한 상대론적 표현은 옳고 비상대론적 표현은 틀린다는 것을 실증하고자 한다. 만약 두 검출기 사이의 수직거리가 2.0 m라면, 상대론적 운동량이 옳다는 것을 보이는데필요한시간측정의정확도는얼마인가?

•11112222....77779999 지구에 있는 관측자가 측정하면 우주비행선이 1.00�10�3 광년의 거리를 20.0시간에 여행한다. 우주비행선의 선장이 측정한 여행시간은얼마인가?

•11112222....88880000 특수상대성이론의 운동학적 측면보다 중요한 것은 뉴턴 동역학이 기술하지 못하는 동역학 과정들이다. 정지질량 1.000 GeV/c2 , 운동에너지 1.000 GeV인가상입자가정지해있는동일한입자와충돌한다고 가정하자. 놀랍게도 두 입자는 융합되어 하나의 새로운 입자를형성한다. 충돌에서총에너지와운동량은모두다보존된다.

aaaa)))) 첫번째입자의운동량과속력을구해라.

bbbb)))) 새로운입자의정지질량과속력을구해라.

••11112222....88881111 비록 관성기준틀을 다루지만, 특수상대성이론은 가속되는 물체도 아무 어려움 없이 기술할 수 있다. 물론 등가속도는 더 이상dv/dt�g(g는 상수)를 의미하지 않는다. 유한한 시간에 v가 c보다 커지기 때문이다. 다만 움직이는 물체가 경험하는 가속도가 일정하다는 뜻이다. 물체 자신의 고유시간 증분 d�마다, 물체가 순간적으로 정지해있는 기준틀에서 측정한 값으로 속도증분 dv�g d�를 얻는다. (물체는가속되면서 서로에 대해 상대적으로 움직이는 기준틀들을 계속해서만난다.)이해석을토대로다음에답해라.

aaaa)))) 처음에 물체가 정지해 있던 관성틀(‘지면틀’)에서 측정할 때 1차원공간에서 움직이는 물체의 속력 v에 대한 미분방정식을 표기해라. 미분의제곱과고차제곱들을무시한다면방정식이간단해진다.

bbbb))))지면틀에서 v와 t 둘다측정할때, v(t)에대한방정식의해를구해라.

cccc)))) 작은 t와 큰 t에 대해서 방정식의 해가 적절하게 거동하는 것을 보여라.

dddd)))) 지면틀에서 측정하는 물체의 위치 x(t)를 계산해라. 편의상 지면틀시간 t�0에서지면틀위치 x�c2/g에물체가정지해있다고가정해라.

eeee)))) 지면틀에서 측정하는 좌표 x와 ct의 시공간 도표(헤르만 민코프스키를기념하여민코프스키 도표라한다)에서물체의궤적을구해라.

ffff)))) g�9.81 m/s2일 때 정지한 물체가 c의 70.7%까지 가속하는 데 걸리는, 지면틀에서 측정한 시간은 얼마인가?이 시간 동안 물체가 이동한지면틀거리는얼마인가?