chương 3 phép tính tích phân (hàm một biến) · pdf...
TRANSCRIPT
![Page 1: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/1.jpg)
Chương 3
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến)
Tích phân bất định
Tích phân xác định
Tích phân suy rộng
Ứng dụng tích phân
![Page 2: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/2.jpg)
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Nguyên hàm: Hàm 𝐹(𝑥) được gọi là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên 𝐷 nếu
𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷
Ví dụ:
Định lý: Nếu 𝑓(𝑥) có nguyên hàm là 𝐹(𝑥) trên 𝐷 thì 𝑓(𝑥) có vô số nguyên hàm trên 𝐷, và hơn nữa, các nguyên hàm đều có dạng
𝑭 𝒙 + 𝑪,
với 𝐶 là hằng số tùy ý.
Ví dụ:
![Page 3: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/3.jpg)
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Định nghĩa tích phân bất định: Giả sử 𝑓(𝑥) có nguyên hàm 𝐹(𝑥) trên 𝐷. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên 𝐷 được gọi là tích phân bất định của 𝑓(𝑥) trên 𝐷 và được ký hiệu là 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
Ví dụ: 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶
cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
![Page 4: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/4.jpg)
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Tính chất:
𝑘. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
′
= 𝑓(𝑥)
Ví dụ: [2 cos 𝑥 + 3𝑒𝑥]𝑑𝑥
Bảng tích phân bất định: Xem tài liệu tham khảo
![Page 5: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/5.jpg)
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Đổi biến
Nếu 𝑢 = 𝑢(𝑥) là một hàm có đạo hàm, có miền giá trị là 𝐷 và 𝑓 liên tục trên 𝐷, thì
𝑓 𝑢 𝑥 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢
Ví dụ: 2𝑥 1 + 𝑥2𝑑𝑥 = 1 + 𝑥22𝑥𝑑𝑥
= 1 + 𝑥2(1 + 𝑥2)′𝑑𝑥
= 𝑢𝑑𝑢 𝑢 = 1 + 𝑥2 =
2
3𝑢3 2 + 𝐶
= 2
3(1 + 𝑥2)3 2 +𝐶
![Page 6: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/6.jpg)
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Ví dụ:
𝑥3 cos(1 + 𝑥4) 𝑑𝑥 2𝑥 + 1𝑑𝑥
𝑥
1 − 4𝑥2𝑑𝑥
tan 𝑥 𝑑𝑥
1
1 + 𝑥2𝑑𝑥
1
1 − 𝑥2𝑑𝑥
![Page 7: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/7.jpg)
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Tích phân từng phần
Nếu 𝑢 𝑥 , 𝑣(𝑥) có đạo hàm liên tục thì
𝑢 𝑥 𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 − 𝑣 𝑥 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥
Ví dụ: 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥(− cos 𝑥) − (−cos 𝑥)𝑑𝑥
= −𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶
𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 arctan 𝑥 𝑑𝑥
![Page 8: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/8.jpg)
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Ví dụ: Tính các tích phân
𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 arctan 𝑥 𝑑𝑥
Ví dụ: Tính các tích phân
𝑥3 + 1
𝑥2 + 2𝑥 + 5𝑑𝑥
![Page 9: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/9.jpg)
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Tích phân hàm hữu tỷ
Phân thức tối giản
Một phân thức thực sự bằng tổng các phân thức tối giản
Một phân thức không thực sự bằng tổng của đa thức và phân thức thực sự.
𝑥 + 1
𝑥2 + 4𝑥 + 5
Tích phân hàm hữu tỷ như thế nào?
1
(𝑥 − 1)𝑛
1
𝑥 − 1
𝑥 + 1
(𝑥2 + 4𝑥 + 5)𝑛
![Page 10: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/10.jpg)
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Tích phân
với 𝑅(𝑢, 𝑣) là biểu thức tạo thành từ 𝑢, 𝑣 thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân, và chia.
𝑅 cos 𝑥 , sin 𝑥 𝑑𝑥
Tổng quát, bằng cách đổi biến 𝑡 = tan𝑥
2, tích
phân trở thành tích phân của hàm hữu tỷ theo 𝑡.
Ví dụ: cos 𝑥
2 + cos 𝑥𝑑𝑥
2 − sin 𝑥
2 + cos 𝑥𝑑𝑥
![Page 11: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/11.jpg)
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Tích phân
Đặc biệt:
𝑅 cos 𝑥 , sin 𝑥 𝑑𝑥
𝑅 lẻ theo sin 𝑥, đặt 𝑡 = cos 𝑥
Ví dụ:
sin3 𝑥
2 + cos 𝑥𝑑𝑥
cos 𝑥
cos4 𝑥 − 4 sin2 𝑥 + 4𝑑𝑥
𝑅 lẻ theo cos 𝑥, đặt 𝑡 = sin 𝑥
𝑅 chẵn theo cả sin 𝑥 và cos 𝑥 đặt 𝑡 = tan 𝑥
sin 𝑥
cos2 𝑥 (cos 𝑥 − sin 𝑥)𝑑𝑥
![Page 12: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/12.jpg)
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Tích phân
Đặc biệt:
𝑅 𝑥, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥
𝑅 lẻ theo sin 𝑥, đặt 𝑡 = cos 𝑥
Ví dụ:
sin3 𝑥
2 + cos 𝑥𝑑𝑥
cos 𝑥
cos4 𝑥 − 4 sin2 𝑥 + 4𝑑𝑥
𝑅 lẻ theo cos 𝑥, đặt 𝑡 = sin 𝑥
𝑅 lẻ theo cả sin 𝑥 và cos 𝑥 đặt 𝑡 = tan 𝑥
sin 𝑥
cos2 𝑥 (cos 𝑥 − sin 𝑥)𝑑𝑥
![Page 13: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/13.jpg)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Bài toán tính diện tích hình thang cong
Chia hình thang cong thành 𝑛 hình thang cong nhỏ có
đáy Δ𝑥 =𝑏−𝑎
𝑛, bởi các
đường 𝑥 = 𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘.Δ𝑥
𝑛,
𝑘 = 0, 𝑛
Hình thang thứ 𝑘 có diện tích 𝑓 𝑥𝑘 . Δ𝑥 với 𝑘 = 1, 𝑛
𝑆𝑛 = 𝑓 𝑥𝑘 . Δ𝑥
𝑛
𝑘=1
→ 𝐴 diện tích hình thang cong
![Page 14: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/14.jpg)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Định nghĩa
Cho 𝑓 liên tục trên [𝑎; 𝑏]. Chia [𝑎; 𝑏] thành 𝑛
đoạn con có độ dài Δ𝑥 =𝑏−𝑎
𝑛 bởi các điểm
𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘.Δ𝑥
𝑛, 𝑘 = 0, 𝑛. Trên đoạn con thứ 𝑘 ta
chọn điểm 𝑥𝑘∗ . Tích phân xác định của hàm 𝒇 từ
𝒂 đến 𝒃 là
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim𝑛→∞
𝑓 𝑥𝑘∗ . Δ𝑥
𝑛
𝑘=1
![Page 15: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/15.jpg)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Ví dụ: Tính tích phân 𝑥2𝑑𝑥
1
0
Chia [0; 1] bởi các điểm 𝑥𝑘 =𝑘
𝑛 và chọn 𝑥𝑘
∗ là
mút bên phải của đoạn con thứ 𝑘, 𝑘 = 1, 𝑛.
𝑓 𝑥𝑘∗ . Δ𝑥
𝑛
𝑘=1
= 𝑘
𝑛
21
𝑛
𝑛
𝑘=1
=1
𝑛2 𝑘2
𝑛
𝑘=1
=1
𝑛3.𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
→1
3 = 𝑥2𝑑𝑥
1
0
![Page 16: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/16.jpg)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Tính chất
[𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
2.
𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
3.
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐
𝑎
+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑐
4.
𝑓(𝑥)𝑏
𝑎
= − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎
𝑏
1.
![Page 17: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/17.jpg)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Tính chất
𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 ⇒ 𝑓 𝑥𝑏
𝑎
≥ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑎 < 𝑏, 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
≤ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎
6.
𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 ⇒ 𝑓 𝑥𝑏
𝑎
≥ 0 5.
𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 7.
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥𝑏
𝑎
≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
![Page 18: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/18.jpg)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân
Giả sử 𝑓 liên tục trên 𝑎; 𝑏 . Với mỗi 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] đặt
𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥
𝑎
Khi ấy, 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên 𝑎; 𝑏 .
Công thức Newton - Leibniz
Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎; 𝑏 và 𝐺(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên đó thì
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝐺 𝑏 − 𝐺 𝑎 = 𝐺(𝑥) 𝑎
𝑏
![Page 19: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/19.jpg)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Đổi biến
Nếu 𝑔′ liên tục trên 𝑎; 𝑏 và 𝑓 liên tục trên miền giá trị của 𝑔 thì
𝑓 𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝑓 𝑢 𝑑𝑢𝑔(𝑏)
𝑔(𝑎)
Ví dụ
![Page 20: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/20.jpg)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ
Giả sử 𝑓 liên tục trên [−𝑎; 𝑎].
(a) Nếu 𝑓 là hàm chẵn, 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓,
thì
Ví dụ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎
−𝑎
= 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎
0
(b) Nếu 𝑓 là hàm lẻ, 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓,
thì
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎
−𝑎
= 0
![Page 21: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/21.jpg)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Tích phân từng phần
Nếu 𝑓, 𝑔 có đạo hàm liên tục trên 𝑎; 𝑏 thì
𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑎
𝑏− 𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Ví dụ
![Page 22: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/22.jpg)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Loại 1: Miền lấy tích phân vô hạn
(a) Nếu 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡
𝑎 tồn tại với mọi 𝑡 ≥ 𝑎, ta định
nghĩa tích phân suy rộng của 𝑓 trên [𝑎; +∞) là
𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞
𝑎
= lim𝑡→+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡
𝑎
với điều kiện, giới hạn bên phải tồn tại.
Khi giới hạn bên phải hữu hạn ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞
𝑎
hội tụ; ngược lại, ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞
𝑎 phân kỳ.
Ví dụ 𝑑𝑥
𝑥2
+∞
1
𝑑𝑥
𝑥
+∞
1
𝑑𝑥
𝑥
+∞
1
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
+∞
0
![Page 23: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/23.jpg)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Loại 1: Miền lấy tích phân vô hạn
𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞
−∞
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎
−∞
+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞
𝑎
(b) Định nghĩa tương tự cho tích phân 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎
−∞
(c) Nếu 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎
−∞ và 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎 hội tụ, ta
định nghĩa
Ví dụ 𝑑𝑥
𝑥2
−1
−∞
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
0
−∞
Ví dụ 𝑑𝑥
1 + 𝑥2
+∞
−∞
𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥0
−∞
![Page 24: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/24.jpg)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Định lý
𝑑𝑥
𝑥𝑝𝑑𝑥
+∞
1
= lim𝑡→+∞
𝑑𝑥
𝑥𝑝
𝑡
1
𝑑𝑥
𝑥𝑝
+∞
1
=
1
𝑝 − 1, 𝑝 > 1
+∞, 𝑝 ≤ 1
= lim𝑡→+∞
𝑥1−𝑝
1 − 𝑝 1
𝑡
= lim𝑡→+∞
𝑡1−𝑝
1 − 𝑝−
1
1 − 𝑝
𝑝 ≠ 1
𝑝 > 1 𝑡1−𝑝 → 0 khi 𝑡 → +∞
𝑝 < 1 𝑡1−𝑝 → +∞ khi 𝑡 → +∞
𝑝 = 1 𝑑𝑥
𝑥𝑑𝑥
+∞
1
= lim𝑡→+∞
𝑑𝑥
𝑥
𝑡
1
= lim𝑡→+∞
ln 𝑡
![Page 25: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/25.jpg)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Định lý
𝑑𝑥
𝑥𝑝𝑑𝑥
+∞
1
= lim𝑡→+∞
𝑑𝑥
𝑥𝑝
𝑡
1
𝑑𝑥
𝑥𝑝
+∞
1
=
1
𝑝 − 1, 𝑝 > 1
+∞, 𝑝 ≤ 1
= lim𝑡→+∞
𝑥1−𝑝
1 − 𝑝 1
𝑡
= lim𝑡→+∞
𝑡1−𝑝
1 − 𝑝−
1
1 − 𝑝
𝑝 ≠ 1
𝑝 > 1 𝑡1−𝑝 → 0 khi 𝑡 → +∞
𝑝 < 1 𝑡1−𝑝 → +∞ khi 𝑡 → +∞
𝑝 = 1 𝑑𝑥
𝑥𝑑𝑥
+∞
1
= lim𝑡→+∞
𝑑𝑥
𝑥
𝑡
1
= lim𝑡→+∞
ln 𝑡
![Page 26: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/26.jpg)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Loại 2: Hàm lấy tích phân không bị chặn (a) Nếu 𝑓 liên tục trên [𝑎; 𝑏) nhưng không liên tục tại 𝑏, ta định nghĩa tích phân suy rộng của 𝑓 trên [𝑎; 𝑏] là
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= lim𝑡→𝑏−
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡
𝑎
với điều kiện, giới hạn bên phải tồn tại.
Khi giới hạn bên phải hữu hạn ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
hội tụ; ngược lại, ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎 phân kỳ.
Ví dụ 𝑑𝑥
1 − 𝑥
1
0
𝑑𝑥
1 − 𝑥2
1
0
![Page 27: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/27.jpg)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Loại 2: Hàm lấy tích phân không bị chặn
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐
𝑎
+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑐
(b) Định nghĩa tương tự cho tích phân 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
khi 𝑓 liên tục trên (𝑎; 𝑏] nhưng không liên tục tại 𝑎
(c) Nếu 𝑓 không liên tục tại 𝑐, với 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 và cả
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐
𝑎 và 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑐 hội tụ, ta định nghĩa
Ví dụ 𝑑𝑥
𝑥
1
0
Ví dụ 𝑑𝑥
𝑥 − 13
2
0
𝑑𝑥
𝑥
1
0
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)2
2
0
![Page 28: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/28.jpg)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Định lý
𝑑𝑥
𝑥𝑝
1
0
=
1
1 − 𝑝, 𝑝 < 1
+∞, 𝑝 ≥ 1
𝑑𝑥
𝑥𝑝𝑑𝑥
1
0
= lim𝑡→0+
𝑑𝑥
𝑥𝑝
1
𝑡
= lim𝑡→0+
𝑥1−𝑝
1 − 𝑝 𝑡
1
= lim𝑡→0+
1
1 − 𝑝−
𝑡1−𝑝
1 − 𝑝
𝑝 ≠ 1
𝑝 > 1 𝑡1−𝑝 → +∞ khi 𝑡 → 0+
𝑝 < 1 𝑡1−𝑝 → 0 khi 𝑡 → 0+
𝑝 = 1 𝑑𝑥
𝑥𝑑𝑥
1
0
= lim𝑡→0+
𝑑𝑥
𝑥
1
𝑡
= lim𝑡→0+
(−ln 𝑡)
![Page 29: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/29.jpg)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tiêu chuẩn so sánh 1
Giả sử 𝑓, 𝑔 liên tục, và 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ≥ 0 với 𝑥 ≥ 𝑎.
(a) Nếu 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞
𝑎 hội tụ thì 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎 hội tụ
(b) Nếu 𝑔 𝑥 𝑑𝑥+∞
𝑎 phân kỳ thì 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎
phân kỳ.
Ví dụ 𝑒−𝑥
𝑥
+∞
1
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑥3 + 1
+∞
1
𝑑𝑥
𝑥3 + 1
+∞
0
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑒𝑥
+∞
1
![Page 30: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/30.jpg)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tiêu chuẩn so sánh 2
Giả sử 𝑓, 𝑔 liên tục, không âm trên [a; +∞) và tồn tại giới hạn
𝐾 ∈ ℝ\ 0 : 𝑔 𝑥 𝑑𝑥+∞
𝑎 hội tụ ⇔ 𝑓(𝑥)
+∞
𝑎 hội tụ
Ví dụ
𝑑𝑥
𝑥3 + 1
+∞
1
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑒𝑥
+∞
1
lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 𝐾
𝐾 = 0: 𝑔 𝑥 𝑑𝑥+∞
𝑎 hội tụ ⇒ 𝑓(𝑥)
+∞
𝑎 hội tụ
𝐾 = +∞: 𝑔 𝑥 𝑑𝑥+∞
𝑎 phân kỳ ⇒ 𝑓(𝑥)
+∞
𝑎 phân
kỳ
![Page 31: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/31.jpg)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Chú ý:
Các định lý so sánh được phát biểu tương tự cho tích phân suy rộng loại 2.
Ví dụ 𝑥
𝑒sin 𝑥 − 1𝑑𝑥
1
0
𝑥𝛼𝑑𝑥
𝑥(𝑥 + 1)
1
0
(𝑥𝛼+1)𝑑𝑥
𝑥2 + 1 sin 𝑥
1
0
![Page 32: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/32.jpg)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Hội tụ tuyệt đối
(a) Nếu 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞
𝑎 hội tụ thì 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎 hội
tụ. Khi ấy ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞
𝑎 hội tụ tuyệt đối.
(b) Nếu 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎 hội tụ thì 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎 hội tụ.
Khi ấy ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎 hội tụ tuyệt đối.
Ví dụ cos 𝑥
𝑥2𝑑𝑥
+∞
1
sin
1𝑥
𝑥𝑑𝑥
1
0
sin 𝑥
𝑥𝑑𝑥
+∞
1
sin 𝑥
𝑥𝑑𝑥
+∞
1
![Page 33: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/33.jpg)
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Tính diện tích
Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑎 𝑏
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥.
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥4.
![Page 34: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/34.jpg)
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Tính diện tích
Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑥 = 𝑔 𝑦 , 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑.
𝑥 = 𝑓(𝑦)
𝑥 = 𝑔(𝑦) 𝑑
𝑐
𝑆 = 𝑔 𝑦 − 𝑓 𝑦 𝑑𝑦𝑑
𝑐
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 𝑥 = 𝑦2, 𝑥 = 𝑦 + 2.
![Page 35: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/35.jpg)
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Tính diện tích
Cho cung 𝐶 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, tương ứng giữa 𝑥 và 𝑦 là 1 − 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 𝐶 , 𝑥 = 𝑥 𝑎 , 𝑥 = 𝑥 𝑏 , 𝑂𝑥.
𝑆 = 𝑦 𝑡 𝑥′(𝑡) 𝑑𝑡𝑏
𝑎
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung
𝑥(𝑎)
𝑥(𝑏)
(𝐶)
𝑥 = 𝑟 𝑡 − sin 𝑡 , 𝑦 = 𝑟 1 − cos 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
và 𝑂𝑥.
![Page 36: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/36.jpg)
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Tính diện tích
Hình phẳng giới hạn bởi đường cong kín, không tự cắt, cho bởi phương trình tham số
𝑆 = 𝑦 𝑡 𝑥′(𝑡) 𝑑𝑡𝑏
𝑎
𝑥 = 𝑥(𝑡)𝑦 = 𝑦(𝑡)
, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏,
(𝑥 𝑎 , 𝑦(𝑎)) ≡ (𝑥 𝑏 , 𝑦(𝑏))
Ví dụ: Tính diện tích ellipse 𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 ≤ 1.
![Page 37: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/37.jpg)
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Tính độ dài cung phẳng
Cho cung trơn có phương trình tham số
𝐿 = 𝑑𝑥
𝑑𝑡
2
+𝑑𝑦
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡𝑏
𝑎
𝑥 = 𝑥(𝑡)𝑦 = 𝑦(𝑡)
, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏.
Độ dài cung là
Ví dụ: Tính độ dài cung của đường cong tham số 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 𝑡3, nằm giữa hai điểm (1; 1) và (4; 8)
Ví dụ: Tính độ dài cung của đường cong tham số 𝑥 = 𝑟 𝜃 − sin 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 1 − cos 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
![Page 38: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/38.jpg)
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Tính độ dài cung phẳng
Cho cung trơn có phương trình
𝐿 = 1 +𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Xem 𝑥 là tham số, độ dài cung là
Ví dụ: Tính độ dài cung 𝑦 =1
2𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
![Page 39: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/39.jpg)
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Tính độ dài cung phẳng
Cho cung trơn có phương trình
𝐿 = 1 +𝑑𝑥
𝑑𝑦
2
𝑑𝑦𝑏
𝑎
𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑎 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏
Xem 𝑦 là tham số, độ dài cung là
Ví dụ: Tính độ dài cung 𝑥 = 𝑦2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1.
![Page 40: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/40.jpg)
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Thể tích vật thể tròn xoay Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong: 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 quay quanh 𝑂𝑥 tạo nên vật thể tròn xoay có thể tích
𝑉 = 𝜋 𝑓(𝑥) 2𝑑𝑥𝑏
𝑎
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo bởi hình phẳng giới
hạn bởi các đường 𝑦 = ln 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 𝑒 quay quanh 𝑂𝑥.
![Page 41: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/41.jpg)
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Thể tích vật thể tròn xoay Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong: 𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏, 𝑎 < 𝑏 quay quanh 𝑂𝑦 tạo nên vật thể tròn xoay có thể tích
𝑉 = 𝜋 𝑓(𝑦) 2𝑑𝑦𝑏
𝑎
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 quay quanh 𝑂𝑦.
1
0
1
𝑦 = 𝑥2
![Page 42: Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF fileNếu = ( ) là một hàm có đạo hàm, có ... Một phân thức không thực sự bằng ... Định lý cơ](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020108/5a735ac47f8b9aac538e7aca/html5/thumbnails/42.jpg)
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Thể tích vật thể tròn xoay Hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑓 𝑥 ≥0, 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏, 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 quay quanh 𝑂𝑦 tạo nên vật thể tròn xoay có thể tích
𝑉 = 2𝜋𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2, 𝑦 = 0 quay quanh 𝑂𝑦.
0
𝑎
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑏