CHƯƠNG I

PHEÙP TÍNH VI PHAÂN

HAØM NHIEÀU BIEÁN

NOÄI DUNG----------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

I- GIÔÙI HAÏN VAØ LIEÂN TUÏC CUÛA HAØM

HAI BIEÁN

IV- TÌM MIN – MAX CUÛA HAØM HAI BIEÁN

TREÂN MOÄT MIEÀN ÑOÙNG

II - ÑAÏO HAØM VAØ VI PHAÂN CUÛA HAØM

HAI BIEÁNIII- CÖÏC TRÒ VAØ CÖÏC TRÒ COÙ ÑIEÀU

KIEÄN

GIÔÙI HAÏN VAØ LIEÂN TUÏC CUÛA HAØM HAI BIEÁN

CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN---------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2. :

, ,

D f D

x y z f x y

Haøm Haøm 2 bieán soá xaùc ñònh treân D

D – mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá f x, y – caùc bieán ñoäc laäpz – giaù trò cuûa haøm f taïi ñieåm (x, y).

2 21z x y

arcsin - 1z x y

VD:

MXÑ VAØ MGT CUÛA HAØM HAI BIEÁN-----------------------------------------------------------------

---Mieàn xaùc đònh cuûa haøm z laø taäp hôïp caùc caëp (x, y) laøm cho bieåu thöùc f(x, y) coù nghóa.

2 2z x y 2

VD:Haøm số

xaùc định treân toaøn bộ mặt phẳng Oxy hay treân

2 2 2z R x y

2 2 2 2 2 2, / 0 , /D x y R x y x y x y R

coù miền xaùc định VD: Haøm soá

GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM HAI BIEÁN--------------------------------------------------------------------

Giôùi haïn cuûa daõy ñieåmDaõy ñieåm Mn(xn, yn) daàn ñeán ñieåm M0(x0, y0) trong R2, kyù hieäu M M0 hay (xn, yn) (x0, y0) khi n , neáu 0lim , 0nn

d M M

Daõy điểm {Mn(xn, yn)} hội tụ đến điểm M0(x0, y0) khi vaø chỉ khi

0 0lim và limn nn nx x y y

Ñònh lyù

VD: Tìm giôùi haïn cuûa daõy ñieåm

1;

1n

nM

n n

1lim lim 0 và lim lim 1

1n nn n n n

nx y

n n

0,1 khinM M n

Ta coù :

Vậy

.

ÑAÏO HAØM VAØ VI PHAÂN CUÛA HAØM NHIEÀU BIEÁNÑAÏO HAØM RIEÂNG

--------------------------------------------------------------------Đaïo haøm rieâng caáp 1

Cho haøm soá f(x, y) xaùc ñònh treân mieàn D chöùa ñieåm M0(x0, y0). Neáu haøm soá 1 bieán f(x0, y0)(y0 coá ñònh) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = x0 thì ta goïi ñoù laø ñaïo haøm rieâng theo bieán x cuûa haøm f(x, y) taïi ñieåm (x0, y0).

KH: '0 0 0 0, ,x

ff x y hay x y

x

Vaäy ' 0 0 0 00 0 0

, ,, limx x

f x x y f x yf x y

x

ÑAÏO HAØM RIEÂNG--------------------------------------------------------------------

Đaïo haøm rieâng caáp 1Töông töï ta cuõng coù ñaïo haøm rieâng theo bieán y

KH: '0 0 0 0, ,y

ff x y hay x y

y

Vaäy

' 0 0 0 00 0 0

, ,, limy y

f x y y f x yf x y

y

ÑAÏO HAØM RIEÂNG--------------------------------------------------------------------Đaïo haøm rieâng caáp cao: Caùc haøm soá fx, fy coù caùc ñaïo haøm rieâng (fx)x, (fx)y, (fy)y, (fy)x ñöôïc goïi laø ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa haøm f.

2

2

2

2

2

2

2

2

x xx

x xyy

y yy

y yxx

f ff f

x x x

f ff f

x y x y

f ff f

y y y

f ff f

y x y x

Kyù hieäu:

VD: Tính caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa haøm soá

3 2 3 4 1,1yz x e x y y taïi VD: Tính caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa haøm soá

2

, x yf x y xe Caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa haøm n bieán vaø ñaïo haøm rieâng caáp cao hôn ñöôïc ñònh nghóa töông töï.Ñònh lyù: (Schwarz)• Neáu haøm soá f(x, y) coù caùc ñaïo haøm rieâng fxy vaø fyx lieân tuïc trong mieàn D thì fxy = fyx.

VI PHAÂN--------------------------------------------------------------------

Vi phaân caáp 1 Cho haøm soá f(x, y) xaùc ñònh trong D R2 vaø M0(x0, y0) D, M0(x0+x, y0+ y) D. Neáu soá gia f (x0 , y0 ) = f (x0 + x, y0 + y) - f (x0 ,

y0 ) Coù theå bieåu dieãn döôùi daïng:f(x0 , y0 ) = A. x + B.y + a x + by ,trong ñoù A, B laø nhöõng soá khoâng phuï thuoäc x vaø y. a , b 0 khi (x, y)(0,0) , ta noùi f khaû vi taïi ñieåm M0.•Bieåu thöùc A.x + B.y - vi phaân caáp 1(toaøn phaàn) cuûa f(x, y) taïi M0(x0, y0) öùng vôùi x vaø y.Kyù hieäu: df(x0, y0)

Haøm soá f(x, y) khaû vi treân mieàn D neáu f(x, y) khaû vi taïi moïi ñieåm (x, y) thuoäc D.Nhaän xeùt:

Neáu f(x, y) khaû vi taïi M0 f(x, y) lieân tuïc taïi M0.Töø f(x0, y0) = A.x + B.y + ax + by, ta suy ra:f (x0 + x, y0) - f (x0 , y0 )= A.x+ ax 0 0 0 0

0

, ,limx

f x x y f x yA

x

Töông töï

0 0 0 0

0

, ,limy

f x y y f x yB

y

0 0 0 0 0 0, ' , ' ,x ydf x y f x y x f x y y

VI PHAÂN--------------------------------------------------------------------

Vi phaân toaøn phaàn caáp 1

' 'x y

z zdf f dx f dy dz dx dy

x y

hoaëc

VD: Tính vi phaân toaøn phaàn cuûa haøm soá:2 3 5) ( 1,1)x ya z x e xy y taïi

2 2) , sinx yb f x y e xy

2 2

2

2 '' 2

, ,

'' , 2 , '' ,xyx y

d f x y d df x y

f x y dx f x y dxdy f x y dy

VI PHAÂN CAÁP CAO--------------------------------------------------------------------

Vi phaân caáp 2

Vi phaân caáp n

0

, ,k n k

nnn k k n k

n x yk

d f x y C f x y dx dy

CÖÏC TRÒ VAØ CÖÏC TRÒ COÙ ÑIEÀU KIEÄN

CÖÏC TRÒ----------------------------------------------------------------

----

Haøm soá z = f(x, y) goïi laø ñaït cöïc ñaïi taïi ñieåm M0(x0, y0) neáu vôùi moïi ñieåm M(x, y) thuoäc laân caän cuûa ñieåm M0(x0, y0), ta coù:

0 0, ,f x y f x yHaøm soá z = f(x, y) goïi laø ñaït cöïc tieåu taïi ñieåm M0(x0, y0) neáu vôùi moïi ñieåm M(x, y) thuoäc laân caän cuûa ñieåm M0(x0, y0), ta coù:

0 0, ,f x y f x y

ÑIEÀU KIEÄN CAÀN ÑEÅ HAØM COÙ CÖÏC TRÒ

--------------------------------------------------------------------

Neáu haøm soá z = f(x, y) ñaït cöïc trò taïi M0(x0, y0) vaø taïi ñoù haøm soá coù ñaïo haøm rieâng thì ' '

0 0 0 0, , 0x yf x y f x y

Chuù yù. Ñieåm M0 thoûa maõnñöôïc goïi laø ñieåm döøng, coù theå khoâng laø ñieåm cöïc trò cuûa z.

' '0 0 0 0, , 0x yf x y f x y

ÑIEÀU KIEÄN ÑUÛ ÑEÅ HAØM COÙ CÖÏC TRÒ

--------------------------------------------------------------------

Giaû söû ñieåm M0(x0, y0) laø ñieåm döøng cuûa haøm soá. Giaù trò caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 taïi ñieåm M0(x0, y0), kyù hieäu laø:

2 2 2

0 0 0 0 0 02 2, ; , ; , ;

z z zA x y B x y C x y

x x y y

Neáu A < 0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi.Neáu A > 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu.

Khi ñoù:Neáu 2 0B AC HS ñaït cöïc trò taïi M0(x0, y0).Neáu 2 0B AC

haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M0(x0, y0).

Neáu 2 0B AC chöa theå keát luaän gì taïi ñieåm M0(x0, y0) coù cöïc trò hay khoâng

QUY TAÉC TÌM CÖÏC TRÒ----------------------------------------------------------------

----Böôùc 1. Tìm ñieåm döøng M0(x0; y0) baèng caùch giaûi heä:

'0 0

'0 0

, 0

, 0x

y

f x y

f x y

Böôùc 2. Tính

2

2

'' ''0 0 0 0

'' 20 0

, ; ,

,

xyx

y

A f x y B f x y

C f x y AC B

Böôùc 3.+ Neáu > 0 vaø A > 0 HS ñaït cöïc tieåu taïi M0 vaø cöïc tieåu laø f(M0);+ Neáu > 0 vaø A < 0 HS ñaït cöïc ñaïi taïi M0 vaø cöïc tieåu laø f(M0);

Böôùc 3.+ Neáu < 0 thì haøm soá khoâng ñaït cöïc trò.+ Neáu = 0 thì khoâng theå keát luaän (trong chương trình haïn cheá loaïi naøy)

CÖÏC TRÒ COÙ ÑIEÀU KIEÄN----------------------------------------------------------------

----Ta goïi cöïc trò cuûa haøm soá z = f(x, y), trong ñoù caùc bieán soá x vaø y bò raøng buoäc bôûi heä thöùc g(x, y) = b laø cöïc trò coù ñieàu kieän. Phương phaùp khöûTöø phương trình g(x, y) = 0 , ta ruùt x hoaëc y theá vaøo f(x, y) vaø tìm cöïc trò haøm 1 bieán.

VD. Tìm cöïc trò cuûa haøm soá f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y

Vôùi ñieàu kieän x + y + 3 = 0.

CÖÏC TRÒ COÙ ÑIEÀU KIEÄN----------------------------------------------------------------

----Phương phaùp nhaân töû Lagrange

Böôùc 1. Laäp haøm Lagrange:L(x, y, ) = f (x, y) +[b - g (x, y)] ,

laø nhaân töû Lagrange.

Böôùc 2. Giaûi heä

Ñieåm döøng M0(x0; y0) öùng vôùi 0.

'

' ' '

' ' '

, 0

0

0x x x

y y y

L g x y

L f g

L f g

Böôùc 3. Laäp ma traän

2 21 12 2 1 21 2 2 11 1 22

2 21 21 2 2 11 1 222

H g L g g L g g L g L

g L g g L g L

1 2

1 11 12

2 21 22

0 g g

H g L L

g L L

1 2

2 2 2 2

11 12 21 222 2

;

; ;

g gg g

x y

L L L LL L L L

x x y y x y

trong ñoù

Tính:Ñöôïc tính khi x = x0 ; y = y0 ; = 0.

+ Neáu 0H thì haøm ñaït cöïc ñaïi taïi M0(x0, y0)

+ Neáu 0H thì haøm ñaït cöïc tieåu taïi M0(x0, y0)

+ Neáu 0H thì haøm khoâng ñaït cöïc trò taïi M0(x0, y0)

, 2f x y xy x

8 4 120x y

VD. Tìm cöïc trò cuûa haøm soá

vôùi ñieàu kieän

TÌM MIN – MAX CUÛA HAØM HAI BIEÁN TREÂN MOÄT MIEÀN ÑOÙNG

--------------------------------------------------------------------Böôùc 1. Tìm caùc ñieåm tôùi haïn

cuûa haøm hai bieán trong moät mieàn ñoùng D.

Böôùc 2. Tính giaù trò cuûa haøm taïi caùc ñieåm tôùi haïn vaø giaù trò treân bieân cuûa mieàn D.Böôùc 3. So saùnh caùc giaù trò aáy vaø tìm GTLN - GTNN

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

1.Định nghĩa:

Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng

F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y)

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1

là hàm y=φ(x,c)

Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và

y’(x) là đạo hàm của nó

24

Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi

cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là

nghiệm riêng.

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng

nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quát

cho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm

kỳ dị

25

21' yy

21' ydxdy

y

VD: Xét phương trình vi phân cấp 1

Ta có:

)1:(1 2

yĐKdxy

dy

(*)

cxycxy

dy

arcsin1 2

26Đây là nghiệm tổng quát

)sin( cxy

Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình (*) nên

cũng là nghiệm của phương trình vi phân này

nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng

quát nên là nghiệm kỳ dị

2. Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của

phương trình vi phân cấp 1 y’=f(x,y) thỏa điều

kiện ban đầu y(xo) = yo .27

3 Các loại phương trình vi phân cấp 1

3.1 Phương trình tách biến

a. Dạng: f(x)dx + g(y)dy = 0

b. Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm

tổng quát của phương trình là:

Nhận xét: Nghiệm của mọi bài toán Cauchy đều là

nghiệm riêng.

cdyygdxxf )()(

28

cyx 222

là nghiệm của phương trình.

cyx 22

22

cydyxdx

VD: Giải phương trình vi phân

Ta có:

0 ydyxdx

29

0)(.)()(.)( 2211 dyygxfdxygxf

0)(.)( 21 xfyg

)(.)( 21 xfyg

0)()(

)()(

1

2

2

1 dyygyg

dxxfxf

Phương trình dạng:

Nếu chia 2 vế phương

tách biến:

trình cho ta được phương trình

30

)(' cbyaxfy

cbyaxz

'' byaz

)(' zbfaz

Đặt

Thay vì tìm hàm y(x) ta tìm hàm z(x).

Thay vào phương trình đầu ta được:

Phương trình dạng

(với z=z(x))

Ta có:

31

yxy 2'

2''2 zyyxz

zz 2'

VD: Tìm nghiệm của phương trình

Đặt

Thay y’ vào phương trình đầu ta đươc:

02 z

dxzdz 2

cxz 2ln

Trường hợp ta có:

32

2dz

zdx

Đây là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát ứng

với

xecyx .22

22. xecy x

2202 xyz

0c

Trường hợp

xecz .2 xecz .2

33

)(' xyfy

''. xuuyxuyxy

u

3.2 Phương trình đẳng cấp:

b) Cách giải:

a) Dạng:

Đặt

uufxu )('

Thay y’ vào phương trình đầu ta sẽ được:

34

)()(' xQyxPy

0)( xQ 0)(' yxPy

0)( xQ

)()(' xQyxPy

3.3 Phương trình tuyến tính cấp 1

Nếu thì phương trình

thì phương trình

được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không

thuần nhất.

a. Dạng: (*)

được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

Nếu

35

]).([ )()( cdxexQey dxxPdxxP

' 2y yx x

b. Cách giải:

VD1: Tìm nghiệm của phương trình

Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 (*) có dạng:

36

1,0;).()(' yxQyxPy

3.4 Phương trình Bernouli

b) Cách giải: Đặt

a) Dạng

sau đó sẽ đưa phương trình đầu về dạng phương

trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là

1yz

)(xz

)(xz 1yzSau khi tìm được ta lại thay vào.

37

yxy

xy

221'

2

VD1: Giải phương trình